差分方程及其应用

差分方程及其应用在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔时间周期统计的。例如，银行中的定期存款是按所设定的时间等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按年统计，产品的产量按月统计等等。这些量是变量，通常称这类变量为离散型变量。描述离散型变量之间的关系的数学模型成为离散型模型。对取值是离散化的经济变量，差分方程是研究他们之间变化规律的有效方法。本章介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法，与微分方程的基本概念、解的基本定理及其解法非常类似，可对照微分方程的知识学习本章内容。§1基本概念线性差分方程解的基本定理一、基本概念1、函数的差分对离散型变量，差分是一个重要概念。下面给出差分的定义。设自变量取离散的等间隔整数值：是的函数，记作。显然，的取值是一个序列。当自变量由改变到时，相应的函值之差称为函数在的一阶差分，记作，即。由于函数的函数值是一个序列，按一阶差分的定义，差分就是序列的相邻值之差。当函数的一阶差分为正值时，表明序列是增加的，而且其值越大，表明序列增加得越快；当一阶差分为负值时，表明序列是减少的。例如：设某公司经营一种商品，第月初的库存量是，第月调进和销出这种商品的数量分别是和，则下月月初，即第月月初的库存量应是，若将上式写作，则等式两端就是相邻两月库存量的改变量。若记，并将理解为库存量是时间的函数，则称上式为库存量函数在时刻（此处以月为单位）的差分。按一阶差分的定义方式，我们可以定义函数的高阶差分。函数在的一阶差分的差分为函数在的二阶差分，记作，即。依次定义函数在的三阶差分为。一般地，函数在的阶差分定义为。上式表明，函数在的阶差分是该函数的个函数值，的线性组合。例1设，求，。解。。差分方程的基本概念先看例题。设是初始存款（时的存款），年利率，如以复利计息，试确定年末的本利和。在该问题中，如将时间（以年为单位）看作自变量，则本利和可看作是的函数：。这个函数是要求的未知函数。虽然不能立即写出函数关系，但可以写出相邻两个函数值之间的关系式，，（1-1）如写作函数在的差分的形式，则上式为，，（1-2）由（1-1）式可算出年末的本利和为，。（1-3）在（1-1）式和（1-2）式中，因含有未知函数，所以这是一个函数方程；又由于在方程（1-1）中含有两个未知函数的函数值和，在方程（1-2）中含有未知函数的差分，像这样的函数方程称为差分方程。在方程（1-2）中，仅含未知函数的函数值的一阶差分，在方程（1-1）中，未知函数的下标最大差数是，即，故方程（1-1）或方程（1-2）称为一阶差分方程。（1-3）式是在之间的函数关系式，就是要求的未知函数，它满足差分方程（1-1）或（1-2），这个函数称为差分方程的解。由上例题分析，差分方程的基本概念如下：含有自变量，未知函数以及未知函数差分的函数方程，称为差分方程。由于差分方程中必须含有未知函数的差分（自变量、未知函数可以不显含），因此差分方程也可称为含有未知函数差分的函数方程。例如就是一个差分方程，按函数差分定义，任意阶的差分都可以表示为函数在不同点的函数值的线性组合，因此上差分方程又可分别表示为。正因如此，差分方程又可定义为含有自变量和多个点的未知函数值的函数方程称为差分方程。差分方程中实际所含差分的最高阶数，称为差分方程的阶数。或者说，差分方程中未知函数下标的最大差数，称为差分方程的阶数。上方程为二阶差分方程。阶差分方程的一般形式可表示为，（1-4）或，（1-5）由于经济学中经常遇到是形如（1-5）式的差分方程，所以以后我们只讨论由（1-5）式的差分方程。若把一个函数代入差分方程中，使其成为恒等式，则称为差分方程的解。含有任意常数的个数等于差分方程的阶数的解，称为差分方程得通解；给任意常数以确定值的解，称为差分方程得特解。用以确定通解中任意常数的条件称为初始条件。一阶差分方程的初始条件为一个，一般是（是常数）；二阶差分方程的初始条件为两个，一般是，（，是常数）；依次类推。二、线性差分方程解的基本定理现在我们来讨论线性差分方程解的基本定理，将以二阶线性差分方程为例，任意阶线性差分方程都有类似结论。二阶线性差分方程的一般形式，（1-6）其中，和均为的已知函数，且。若，则（1-6）式称为二阶非齐次线性差分方程；若，则（1-6）式称为，（1-7）定理1若函数，是二阶齐次线性差分方程（1-7）的解，则，也该方程的解，其中、是任意常数。定理2(齐次线性差分方程解的结构定理)若函数，是二阶齐次线性差分方程（1-7）的线性无关特解，则是该方程的通解，其中、是任意常数。定理3（非齐次线性差分方程解的结构定理）若是二阶非齐次线性差分方程（1-6）的一个特解，是齐次线性差分方程（1-7）的通解，则差分方程（1-6）的通解为。定理4(解的叠加原理)若函数，分别是二阶非齐次线性差分方程与的特解，则是差分方程的特解。§2一阶常系数线性差分方程的迭代解法一阶常系数线性差分方程的一般形式为，（2-1）其中常数，为的已知函数，当不恒为零时，（2-1）式称为一阶非齐次差分方程；当时，差分方程。（2-2）称为与一阶非次线性差分方程对应的一阶齐次差分方程。下面给出差分方程（2-2）的迭代解法。一、求齐次差分方程的通解把方程（2-2）写作，假设在初始时刻，即时，函数取任意常数。分别以代入上式，得最后一式就是齐次差分方程（2-2）的通解。特别地，当时，齐次差分方程（2-2）的通解为，。二、求齐次线性差分方程的通解1、设为常数此时，非齐次差分方程（2-1）可写作。分别以代入上式，得。（2-3）若，则由（2-3）式用等比级数求和公式，得，，或，，其中为任意常数。若，则由（2-3）式，得，，其中为任意常数。综上讨论，差分方程的通解为（2-4）上述通解的表达式是两项之和，其中第一项是齐次差分方程（2-2）的通解，第二项是非齐次差分方程（2-1）的一个特解。这里，当时，由上式所确定的解序列的特性作两点说明：例1求解差分方程。解：由于，，。由通解公式（2-4），差分方程的通解为，（为任意常数）。2、为一般情况此时，非齐次差分方程可写作。分别以代入上式，得（2-5）其中是任意常数。（2-5）式就是非齐次差分方程（2-1）的通解。其中第一项是齐次差分方程（2-2）的通解，第二项是非齐次线性差分方程（2-1）的一个特解。例1求差分方程的通解。解由于，。由通解式（2-5）得非齐次线性差分方程的特解，于是，所求通解为。其中为任意常数。§3常系数线性差分方程一、一阶常系数线性差分方程的解法一阶常系数线性差分方程的一般形式为，（3-1）与一阶非次线性差分方程对应的一阶齐次差分方程为。（3-2）1、求齐次线性差分方程的通解为了求出一阶齐次差分方程（3-2）的通解，由上节定理2，只要求出其一非零的特解即可。注意到方程（3-2）的特点，是的常数倍，而函数恰满足这个特点。不妨设方程有形如下式的特解，其中是非零待定常数。将其代入方程（3-2）中，有，即。由于，因此是方程（3-2）的解的充要条件是。所以时，一阶齐次差分方程（2）的非零特解为。从而差分方程（3-2）通解为（为任意常数）。称一次代数方程为差分方程（3-1）或（3-2）的特征方程；特征方程的根为特征根或特征值。由上述分析，为求出一阶齐次差分方程（2）的通解，应先写出其特征方程，进而求出特征根，写出其特解；最后写出其通解。2、求非齐次线性差分方程的特解和通解下面仅就函数为几种常见形式用待定系数法求非齐次线性差分方程（3-1）的特解。根据的形式，按表1确定特解的形式，比较方程两端的系数，可得到特解。表1：的形式确定待定特解的条件待定特解的形式是次多项式不是特征根是次多项式是特征根令不是特征根是特征根说明：当时，因和为已知，令，则可计算出。例1求差分方程的通解。解：特征方程为，特征根。齐次差分方程的通解为。由于，不是特征根。因此设非齐次差分方程特解形式为。将其代入已知方程，有，解得，所以。于是，所求通解为，（为任意常数）。例2求差分方程的通解。解：特征方程为，特征根。齐次差分方程的通解为。由于，是特征根。因此非齐次差分方程的特解为。将其代入已知差分方程得，比较该方程的两端关于的同次幂的系数，可解得，。故。于是，所求通解为，（为任意常数）。例3求差分方程的通解。解：已知方程改写为，即。求解如下两个方程，（3-3），（3-4）对方程（3-3）：特征根，，不是特征根，设特解为，将其代入方程（3-3）有，可解得，。故。对方程（3-4）：特征根，，是特征根，设特解为。将其代入方程（3-4）解得。于是，。因此，齐次差分方程的通解为。所求通解为，（为任意常数）。例4求差分方程的通解。解：因特征根，齐次差分方程的通解。，，，，。令。因为不是特征根，设特解。将其代入原方程有。（3-5）因为，，将其代入（3-5）式，并整理得。比较上式两端的系数，解得，。故非齐次差分方程的特解。于是，所求通解为，（为任意常数）。二、二阶常系数线性差分方程的解法二阶常系数线性差分方程的一般形式为，（3-6）其中，为已知常数，且，为已知函数。与方程（7）相对应的二阶齐次线性差分方程为。（3-7）1、求齐次线性差分方程的通解为了求出二阶齐次差分方程（3-7）的通解，首先要求出两个线性无关的特解。与一阶齐次差分方程同样分析，设方程（3-7）有特解，其中是非零待定常数。将其代入方程（3-7）式有。因为，所以是方程（3-7）的解的充要条件是。（3-8）称二次代数方程（3-8）为差分方程（3-7）或（3-8）的特征方程，对应的根称为特征根。（1）、特征方程有相异实根与此时，齐次差分方程（3-7）有两个特解和，且它们线性无关。于是，其通解为，（，为任意常数）。（2）、特征方程有同根这时，，齐次差分方程（3-7）有一个特解，直接验证可知也是齐次差分方程（3-7）的特解。显然，与线性无关。于是，齐次差分方程（8）的通解为，（，为任意常数）。（3）、特征方程有共轭复根此时，直接验证可知，齐次差分方程（3-7）有两个线性无关的特解，，其中，由确定，。于是，齐次差分方程（3-7）的通解为，（，为任意常数）。例5求差分方程的通解。解：特征方程是，特征根为二重根，于是，所求通解为，（，为任意常数）。例6求差分方程满足初值条件的特解。解：特征方程为，它有一对共轭复根。令，由，得。于是原方程的通解为。将初值条件代入上式解得，。于是所求特解为。2、求非齐次线性差分方程的特解和通解利用待定系数法可求出的几种常见形式的非齐次差分方程（3-6）的特解。如表3表3的形式确定待定特解的条件待定特解的形式是次多项式不是特征根是次多项式是单特征根是2重特征根令不是特征根是单特征根是2重特征根例7求差分方程的通解。解：特征根为，。，其中，。因是单根，故设特解为。将其代入差分方程得，即。解得，，因此特解为。所求通解为，（，为任意常数）。例8求差分方程的通解。解：特征根为。，其中，。因为二重根，应设特解为。将其代入差分方程得，解得，特解为。通解为，（，为任意常数）。例9求差分方程满足初值条件，的特解。解:特征根为。因为，由，得。所以齐次差分方程的通解为。，其中，。因不是特征根，故设特解。将其代入差分方程得，从而。于是所求特解。因此原方程通解为。将分别代入上式，解得，。故所求特解为。§4差分方程在经济学中的应用一、筹措教育经费模型某家庭从现在着手从每月工资中拿出一部分资金存入银行，用于投资子女的教育。并计划20年后开始从投资帐户中每月支取1000元，直到10年后子女大学毕业用完全部资金。要实现这个投资目标，20年内共要筹措多少资金？每月要向银行存入多少钱？假设投资的月利率为0.5%。设第个月投资帐户资金为元，每月存入资金为元。于是，20年后关于的差分方程模型为。（4-1）并且。解方程（4-1），得通解，以及从而有。从现在到20年内，满足的差分方程为，（4-2）且。解方程（4-2），得通解，以及从而有。即要达到投资目标，20年内要筹措资金90073.45元，平均每月要存入银行194.95元。二、价格与库存模型设为第个时段某类产品的价格，为第个时产品的库存量，为该产品的合理库存量。一般情况下，如果库存量超过合理库存，则该产品的价格下跌，如果库存量低于合理库存，则该产品的价格上涨，于是有方程，（4-3）其中为比例常数。由（4-3）式变形可得。（4-4）又设库存量的改变与产品销售状态有关，且在第时段库存增加量等于该时段的供求之差，即，（4-5）若设供给函数和需求函数分别为，代入到（4-5）式得，再由（4-4）式得方程。（4-6）设方程（4-6）的特解为，代入方程得，方程（4-6）对应的齐次方程的特征方程为，解得，于是若，并设，则方程（4-6）的通解为。若，则为两个实根，方程（4-6）的通解为。由于，则当时，将迅速变化，方程无稳定解。因此，当，即，亦即时，价格相对稳定。其中为正常数。三、动态经济系统的蛛网模型在自由市场上你一定注意过这样的现象：一个时期由于猪肉的上市量远大于需求量时，销售不畅会导致价格下跌，农民觉得养猪赔钱，于是转而经营其它农副产品。过一段时间猪肉上市量减少，供不应求导致价格上涨，原来的饲养户觉得有利可图，又重操旧业，这样下一个时期会重新出现供大于求价格下跌的局面。在没有外界干预的条件下，这种现象将一直循环下去，在完全自由竞争的市场体系中，这种现象是永远不可避免的。由于商品的价格主要由需求关系来决定的，商品数量越多，意味需求量减少，因而价格越低。而下一个时期商品的数量是由生产者的供求关系决定，商品价格越低，生产的数量就越少。当商品数量少到一定程度时，价格又出现反弹。这样的需求和供给关系决定了市场经济中价格和数量必然是振荡的。有的商品这种振荡的振幅越来越小，最后趋于平稳，有的商品的振幅越来越大，最后导致经济崩溃。图1：蛛网模型图现以猪肉价格的变化与需求和供给关系来研究上述振荡现象。图1：蛛网模型图设第个时期（长度假定为一年）猪肉的产量为，价格为，产量与价格的关系为，本时期的价格又决定下一时期的产量，因此，。这种产销关系可用下述过程来描述：，设，。以产量和价格分别作为坐标系的横轴和纵轴，绘出图1。这种关系很象一个蜘蛛网，故称为蛛网模型。对于蛛网模型，假定商品本期的需求量决定于本期的价格，即需求函数为，商品本期产量决定于前一期的价格，即供给函数为。根据上述假设，蛛网模型可以用下述联立方程式来表示，其中，均为常数且均大于零。蛛网模型分析了商品的产量和价格波动的三种情况。现在只讨论一种情形：供给曲线斜率的绝对值大于需求曲线斜率的绝对值。即当市场由于受到干扰偏离原有的均衡状态以后，实际价格和实际产量会围绕均衡水平上下波动，但波动的幅度越来越小，最后会回复到原来的均衡点。图2：收敛型蛛网假设，在第一期由于某种外在原因的干扰，如恶劣的气候条件，实际产量由均衡水平减少为。根据需求曲线，消费者愿意支付的价格购买全部的产量，于是，实际价格上升为。根据第一期较高的价格水平，按照供给曲线，生产者将第二期的产量增加为；在第二期，生产者为了出售全部的产量，接受消费者所