高考数学一轮复习点点练44推理与证明

点点练44__推理与证明一基础小题练透篇1.[2023·陕西模拟]观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a8＋b8＝()A．47B．76C．121D．1232．[2023·辽宁省摸底]科学家在研究皮肤细胞时发现了一种特殊的凸多面体，称之为“扭曲棱柱”．对于空间中的凸多面体，数学家欧拉发现了它的顶点数、棱数与面数存在一定的数量关系(如下表).凸多面体顶点数棱数面数三棱柱695四棱柱8126五棱锥6106六棱锥7127根据上表所体现的数量关系可得，有12个顶点、8个面的扭曲棱柱的棱数是()A．14B．16C．18D．203．[2023·长沙模拟]我国古代数学家刘徽提出的割圆术为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在eq\r(2＋\r(2＋\r(2＋…)))中“…”虽然代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程eq\r(2＋x)＝x确定出x＝2，类似地，不难得到1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))＝()A．eq\f(－\r(5)－1,2)B．eq\f(\r(5)－1,2)C．eq\f(\r(5)＋1,2)D．eq\f(－\r(5)＋1,2)4．[2023·黑龙江大庆模拟]一个机器人一秒前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序是让机器人以“先前进3步，再后退2步”的规律移动．如果将机器人放在数轴的原点，面向正方向在数轴上移动(1步的距离为1个单位长度)，令P(n)表示第n秒机器人所在的点对应的实数，且记P(0)＝0，则下列结论中错误的是()A．P(3)＝3B．P(5)＝1C．P(2007)>P(2006)D．P(2003)＜P(2006)5．[2023·成都市摸底]平面内的一条直线将平面分成2个部分，两条相交直线将平面分成4个部分，三条两两相交且不共点的直线将平面分成7个部分……则平面内五条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为()A．15B．16C．17D．186．[2023·重庆七校联考]某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A，B，C，D，E五辆车，每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是()A．今天是周四B．今天是周六C．A车周三限行D．C车周五限行7．[2023·宁夏模拟]在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：图1，正三角形的边长为1，在各边取两个三等分点，往外再作一个正三角形，得到图2中的图形；对图2中的各边作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形，记第n个图形(图1为第一个图形)中的所有外围线段长的和为cn，则满足c1＋c2＋c3＋…＋cn>81的最小正整数n的值为________．(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)8．[2023·陕西高三月考]平面内，若三条射线OA，OB，OC两两成等角为φ，则cosφ＝－eq\f(1,2)，类比该特性：在空间上，若四条射线OA，OB，OC，OD两两成等角为θ，则cosθ＝________．二能力小题提升篇1.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．在古代是用算筹来进行计数的，表示数的算筹有纵、横两种形式，如图所示．表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各个数位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位上的数用纵式表示，十位、千位、十万位上的数用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就是，则9117用算筹可表示为()A．B．C．D．2．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为eq\f(b,a)和eq\f(d,c)(a，b，c，d∈N*)，则eq\f(b＋d,a＋c)是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π＝3.14159…，如果初始值取3.1＜π＜3.2，即eq\f(31,10)＜π＜eq\f(16,5)，则在此基础上使用三次“调日法”，得出的π的更为精确的近似分数值为()A．eq\f(22,7)B．eq\f(47,15)C．eq\f(63,20)D．eq\f(69,22)3．[2023·辽宁抚顺一模]学校开设了多种体育类的校本选修课程，以更好的满足学生加强体育锻炼的需要．该校学生小明选择确定后，有三位同学根据小明的兴趣爱好，对他选择的体育类的校本课程进行猜测．甲说“小明选的不是游泳，选的是武术”，乙说“小明选的不是武术，选的是体操”，丙说“小明选的不是武术，也不是排球”，已知这三人中有两个人说的全对，有一个人只说对了一半，则由此推断小明选择的体育类的校本课程是()A．游泳B．武术C．体操D．排球4．[2023·天津西青区检测]将正整数按如图所示规则排列，其中排在第i行第j列的数记为aij，例如a43＝9，则a(64)4＝()eq\a\vs4\al(1,23,456,78910,…)A．2018B．2019C．2020D．20215．[2023·江西赣州二模]“n×n蛇形数阵”是指将从1开始到n2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n∈N*))的若干个连续的自然数按顺序顺时针排列在正方形数阵中，如图分别是3×3与4×4的蛇形数阵，在一个11×11的蛇形数阵，则该数阵的第6行第5列的数为________．eq\a\vs4\ac\hs10\co3(1,2,3,8,9,4,7,6,5)eq\a\vs4\ac\hs10\co4(1,2,3,4,12,13,14,5,11,16,15,6,10,9,8,7)6．[2023·安徽淮南二模]像eq\f(1,3)，eq\f(1,13)，eq\f(1,105)等这样分子为1的分数在算术上称为“单位分数”，数学史上常称为“埃及分数”.1202年意大利数学家斐波那契在他的著作《算盘术》中提到，任何真分数均可表示为有限个埃及分数之和，如eq\f(7,8)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,8).该结论直到1880年才被英国数学家薛尔维斯特严格证明，实际上，任何真分数分eq\f(a,b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a<b，a∈N*，b∈N*))总可表示成eq\f(a,b)＝eq\f(1,x＋1)＋eq\f(（x＋1）a－b,（x＋1）b)①，这里x＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))，即不超过eq\f(b,a)的最大整数，反复利用①式即可将eq\f(a,b)化为若干个“埃及分数”之和．请利用上面的方法将eq\f(13,18)表示成3个互不相等的“埃及分数”之和，则eq\f(13,18)＝________．三高考小题重现篇1.[2019·全国卷Ⅱ]在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为()A.甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙2．[2019·全国卷Ⅰ]古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是eq\f(\r(5)－1,2)(eq\f(\r(5)－1,2)≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是eq\f(\r(5)－1,2).若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是()A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm3．[2020·北京卷]2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(πDay).历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是()A．3neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(30°,n)＋tan\f(30°,n)))B．6neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(30°,n)＋tan\f(30°,n)))C．3neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(60°,n)＋tan\f(60°,n)))D．6neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(60°,n)＋tan\f(60°,n)))4．[2022·全国乙卷]嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))：b1＝1＋eq\f(1,α1)，b2＝1＋eq\f(1,α1＋\f(1,α2))，b3＝1＋eq\f(1,α1＋\f(1,α2＋\f(1,α3)))，….依此类推，其中αk∈N*(k＝1，2，…)，则()A．b1<b5B．b3<b8C．b6<b2D．b4<b7点点练44推理与证明一基础小题练透篇1．答案：A解析：由a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，可知从第三项开始，后一项等于前两项的和，所以a6＋b6＝7＋11＝18，a7＋b7＝11＋18＝29，则a8＋b8＝18＋29＝47.2．答案：C解析：由题中的表格易知同一凸多面体顶点数、棱数与面数间的规律为：棱数＝顶点数＋面数－2.所以有12个顶点、8个面的扭曲棱柱的棱数为12＋8－2＝18.3．答案：C解析：依题意得1＋eq\f(1,x)＝x（x＞0），解得x＝eq\f(\r(5)＋1,2)，所以1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))＝eq\f(\r(5)＋1,2).4．答案：D解析：由题意可知P（0）＝0，P（1）＝1，P（2）＝2，P（3）＝3，P（4）＝2，P（5）＝1，…，以此类推得，P（5k）＝k（k为正整数），因此P（2003）＝403，P（2006）＝402，P（2007）＝403，故P（2003）＞P（2006），P（2007）＞P（2006），故A，B，C正确，D错误．5．答案：B解析：方法一一条直线将平面分成2个部分，两条符合要求的直线将平面分成4个部分，三条符合要求的直线将平面分成7个部分，注意到直线将平面分成的部分数满足4＝2＋2，7＝4＋3，归纳可知：四条符合要求的直线将平面分成7＋4＝11（个）部分，五条符合要求的直线将平面分成11＋5＝16（个）部分．方法二如图，画出符合题意的五条直线，易知将平面分成16个部分．6．答案：A解析：在限行政策下，要保证每天至少有四辆车可以上路行驶，周一到周五每天只能有一辆车限行．由周末不限行，B车昨天限行知，今天不是周一，也不是周日；由E车周四限行且明天可以上路可知，今天不是周三；由E车周四限行，B车昨天限行知，今天不是周五；从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，如果今天是周二，A，C两车连续上路行驶到周五，只能同时在周一限行，不符合题意；如果今天是周六，则B车周五限行，又E车周四限行，所以A，C两车连续上路行驶到周二，只能同时在周三限行，不符合题意．所以今天是周四．7．答案：9解析：由图形变化规律可得c1＝3，c2＝4，c3＝eq\f(16,3)，…，cn＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))n－1，c1＋c2＋c3＋…＋cn＝eq\f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))n)),1－\f(4,3))＝9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))n－1))>81，则有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))n>10⇒lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))n>lg10⇒n>eq\f(1,2lg2－lg3)＝8.006，所以最小正整数n的值为9.8．答案：－eq\f(1,3)解析：设正四面体ABCD棱长为a，O为其中心，如图所示，则OA，OB，OC，OD两两成等角；设O在底面的射影为O1，则O1为△BCD的中心，OA＝OD＝R，∴O1D＝eq\f(2,3)×eq\r(a2－\f(1,4)a2)＝eq\f(\r(3),3)a，AO1＝eq\r(a2－\f(1,3)a2)＝eq\f(\r(6),3)a，则R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)a－R))2＋eq\f(1,3)a2，解得：R＝eq\f(\r(6),4)a，∴cosθ＝eq\f(OC2＋OD2－CD2,2OC·OD)＝－eq\f(1,3).二能力小题提升篇1．答案：A解析：由题意知，千位9为横式，百位1为纵式|，十位1为横式—，个位7为纵式．2．答案：A解析：第一次为eq\f(31＋16,10＋5)＝eq\f(47,15)，则该值为π的一个不足近似分数值，即eq\f(47,15)＜π＜eq\f(16,5)；第二次为eq\f(47＋16,15＋5)＝eq\f(63,20)，该值为π的一个过剩近似分数值，即eq\f(47,15)＜π＜eq\f(63,20)；第三次为eq\f(47＋63,15＋20)＝eq\f(22,7)，该值为π的一个更为精确的过剩近似分数值．3．答案：C解析：若甲说的全对，则小明选的是武术，若乙说的全对，则小明选的是体操，矛盾；若甲说的全对，则小明选的是武术，若丙说的全对，则小明选的不是武术，矛盾；若乙说的全对，则小明选的是体操，若丙说的全对，不是武术也不是排球，满足题意；此时甲说的不是游泳正确，是武术错误，所以甲说的半对，满足题意，所以小明选择的是体操．故选C.4．答案：C解析：根据题意，第1行第1列的数为1，即a11＝eq\f(1×（1－1）,2)＋1＝1；第2行第1列的数为2，即a21＝eq\f(2×（2－1）,2)＋1＝2；第3行第1列的数为4，即a31＝eq\f(3×（3－1）,2)＋1＝4；…；据此分析可得，第64行第1列的数为a（64）1＝eq\f(64×（64－1）,2)＋1＝2017，则a（64）4＝2020.5．答案：120解析：根据3×3的蛇形数阵可知，当n为奇数时，“n×n蛇形数阵”的正中间数为n2，故11×11的蛇形数阵正中间数为112＝121，且为第6行第6列，又观察3×3的蛇形数阵可得11×11的蛇形数阵第6行第5列的数比第6行第6列小1，为120.6．答案：eq\f(1,2)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,45)解析：∵eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(18,13)))＝1，故eq\f(13,18)＝eq\f(1,2)＋eq\f(2×13－18,2×18)＝eq\f(1,2)＋eq\f(2,9)，又因为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝4，所以eq\f(2,9)＝eq\f(1,5)＋eq\f(5×2－9,5×9)＝eq\f(1,5)＋eq\f(1,45)，故eq\f(13,18)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,45).三高考小题重现篇1．答案：A解析：三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，有以下三种情况：（1）若乙预测正确，则丙预测也正确，不合题意；（2）若丙预测正确，甲、乙预测错误，即丙成绩比乙高，甲的成绩比乙低，则丙的成绩比乙和甲都高，此时乙预测又正确，与假设矛盾；（3）若甲预测正确，乙、丙预测错误，可得甲成绩高于乙，乙成绩高于丙，符合题意．2．答案：B解析：26＋26÷0.618＋（26＋26÷0.618）÷0.618≈178（cm），故其身高可能是175cm.3．答案：A解析：连接圆心与圆内接正6n边形的各顶点，则圆内接正6n边形被分割成6n个等腰三角形，每个等腰三角形的腰长均为圆的半径1，顶角均为eq\f(360°,6n)＝eq\f(60°,n)，底角均为eq\f(180°－\f(60°,n),2)＝90°－eq\f(30°,n)，所以等腰三角形的底边长均为2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(90°－\f(30°,n)))＝2sineq\f(30°,n)，故单位圆的内接正6n边形的周长为6n×2sineq\f(30°,n)；连接圆心与圆外切正6n边形的各顶点，则圆外切正6n边形被分割成6n个等腰三角形，每个等腰三角形底边上的高均为圆的半径1，顶角均为eq\f(360°,6n)＝eq\f(60°,n)，顶角的一半均为eq\f(30°,n)，所以等腰三角形的底边长均为2taneq\f(30°,n)，故单位圆的外切正6n边形的周长为6n×2taneq\f(30°,n).因为单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形的周长的算术平均数为2π的近似值，所以2π≈eq\f(6n×2sin\f(30°,n)＋6n×2tan\f(30°,n),2)＝6n×sineq\f(30°,n)＋6n×taneq\f(30°,n)，所以π≈3n×sineq\f(30°,n)＋3n×taneq\f(30°,n)＝3n（sineq\f(30°,n)＋taneq\f(30°,n)）.4．答案：D解析：（方法一）因为αk∈N*（k＝1，2，…），所以0<eq\f(1,α