备战2025年高考数学一轮复习第五章平面向量与复数

第五章平面向量与复数5.1平面向量的概念及线性运算1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.2.理解平面向量的几何表示和基本要素.3.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义.4.通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及运算规则，理解其几何意义.理解两个平面向量共线的含义.5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.【教材梳理】1.向量的有关概念名称定义说明向量在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量平面向量是自由向量有向线段具有方向的线段叫做有向线段，向量可以用有向线段表示，也可用字母a,b,c，…表示有向线段包含三个要素：起点、方向、长度向量的模向量AB的大小称为向量AB的长度（或称模），记作AB向量的模是数量零向量长度为0的向量叫做零向量，记作0单位向量长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量a是非零向量，则±aa平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量规定：零向量与任意向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量两向量可以相等也可以不相等，但不能比较大小相反向量与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作-a0的相反向量仍是02.向量的线性运算运算定义法则（或几何意义）运算律（性质）加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则交换律：a+b=b+a,并规定：a+0=0+a=a减法求两个向量差的运算a-数乘求实数λ与向量a的积的运算λa是一个向量，其长度：λa=其方向：λ>0时，与a方向相同；λ<0时，与a方向相反；λ设λ，μ∈Rλμa=λ+μa=λa+b3.向量共线定理向量aa≠0与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ【常用结论】4.加法运算的推广（1）加法运算的推广：A1（2）向量三角不等式：a-b≤a±b≤a+b.两向量不共线时，可由“5.线性运算重要结论（1）若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP=（2）若G为△ABC的重心,则GA（3）若OA=λOB+μOCλ，μ为实数，则点A（4）如图,△ABC中,BD=m,CD=n,则AD=nm+nAB+m1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.（1）相等向量的起点和终点分别相同.(×)（2）a与b是否相等与a，b的方向无关.(√)（3）零向量与任一向量平行.(√)（4）若向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.(×)（5）当两个向量a，b共线时，一定有b=λaλ∈2.（教材习题改编）下列说法正确的是(D)A.单位向量都相等 B.若a//b，则C.若a=b，则a=b D.若a[解析]解：对于A，单位向量的模长相等，但方向不一定相同，所以错误；对于B，当a//b时，其模长a与b不一定相等对于C，当a=b时，不一定有a=b，因为a=b需a=b对于D，a=λbb≠0，则a//3.【多选题】（教材题改编）对于向量a,b有下列表示，其中向量a,b一定共线的有(ABC)A.a=2e,b=-2eC.a=4e1-25e[解析]解：对于A，a=-b对于B，a=-1对于C，a=4b.故A，B，C对于D，若a=λb，e1,e2故选ABC.4.（教材题改编）在等腰梯形ABCD中，AB=2DC，E,F分别为AD,BC的中点，G为EF的中点，则AGA.38AB+34AD B.38[解析]解：由题意，AG=AE+EG考点一平面向量的基本概念例1（1）下列命题正确的是(B)A.任一向量与它的相反向量都不相等B.长度相等、方向相同的两个向量是相等向量C.平行且模相等的两个向量是相等向量D.若a≠b，则[解析]解：零向量与它的相反向量相等，A错；由相等向量的定义知，B正确；两个向量平行且模相等，方向不一定相同，故不一定是相等向量，例如，在平行四边形ABCD中，AB//CD，且AB=CD，但AB≠CD，故C错；a≠（2）在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则如图所示的向量中，相等向量有(AA.1组 B.2组 C.3组 D.4组[解析]解：由相等向量的定义可知，题图中只有一组向量相等，即CE=EA.【点拨】准确理解向量的概念，请特别注意以下几点:①a//b，有a与b方向相同或相反两种情形;②向量的模与数的绝对值有所不同，如a=b⇏a=±b;③零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行;④对于任意非零向量a，aa是与a同向的单位向量，这也是求单位向量的方法;⑤向量平行，其所在直线不一定平行，两向量还可能在一条直线上;⑥只要不改变向量变式1.（1）下列命题正确的是(D)A.若向量a//b，则a与bB.若向量a//b，b//cC.若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等D.若向量a=b，b=c[解析]解：对于A，向量a//b，不能得到a与b的方向相同，故A错误;对于B，向量a//b，b//c，可能b=0，此时不能得到a//c，故B错误;对于C，两个单位向量相互平行，可能方向相反，此时不能得到两个向量相等，故C（2）在如图所示的向量a,b,c,d,e中（小正方形的边长为1），分别写出满足下列关系的向量：（Ⅰ）是共线向量的有a和d，e和b；（Ⅱ）方向相反的向量有a和d，b和e；（Ⅲ）模相等的向量有a,c,d..[解析]（Ⅰ）a//d，e//b，故a和d，e和b是共线向量.（Ⅱ）a和d，b和e是方向相反的向量.（Ⅲ）由勾股定理可得，模相等的向量有a,c,d.故填（Ⅰ）a和d，e和b；（Ⅱ）a和d，b和e；（Ⅲ）a,c考点二平面向量的线性运算例2（1）[2022年新高考Ⅰ卷]在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA.记CA=m，CDA.3m-2n B.-2m+[解析]解：如图，因为CD=CA+AD=CA+12DB（2）如图，AB是圆O的一条直径，C，D是半圆弧的两个三等分点，则AB=(DA.AC-AD B.2AC-2AD[解析]解：因为C，D是半圆弧的两个三等分点，所以CD//AB，且AB=2CD，所以（3）[2023届广东高三上开学联考]在平行四边形ABCD中，点E,F分别满足DE=12EC，BF=13FD，若AB=A.512a-34b B.1112[解析]解：因为在平行四边形ABCD中，点E,F分别满足DE=12EC所以EF=AF-AE=AB+BF-AD【点拨】进行向量的线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算规则进行运算.变式2.（1）[2020年新高考Ⅱ卷]在△ABC中，D是AB边上的中点，则CB=(A.2CD+CA B.CD-2CA[解析]解：CB=CA+AB（2）【多选题】如图，在梯形ABDC中，AB//CD，AB=2CD，AD与BC相交于点OA.AD-AC=1C.OA+2OD=[解析]解:对于A,AD-AC=CD对于B,AB+BC+CD对于C,△OCD∽△OBA，所以CDAB=ODOA=12对于D,OA=23DA=23（3）如图，在平行四边形ABCD中,AB=4FC，BE=2EC，AEA.16 B.-16 C.-1[解析]解：由题意可得，AE=AB+BE=AB+23BC=AB+2考点三向量共线定理及其应用命题角度1向量共线问题例3[2022届江西南昌月考]已知向量a,b不共线，若ka-b与a+2b共线，则实数A.-1 B.-12 C.1[解析]解：因为ka-b与a+2b共线，所以存在唯一实数所以k=λ,2λ=-1【点拨】a//b⇔a=λbb≠0是判断两个向量共线的主要依据，注意待定系数法和方程思想的应用；若a与b不共线且λa=μb,则λ=μ=0.对于两个向量共线定理（aa≠0与b共线⇔存在唯一实数λ使得b=λa）中条件“a≠0”的理解：①当a=0时，a与任一向量b都是共线的；②当a=0且b≠0时，b=λa是不成立的，但变式3.已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a+b与c共线，且b+c与a共线，则向量[解析]解：依题意，设a+b=mc，b+c=na，则有a+b-b+c=mc-na，即a-c=命题角度2三点共线问题例4设a，b是不共线的两个平面向量，已知PQ=a+kb，QR=2a-b.若P，QA.-12 B.12 C.-2[解析]解：若P，Q，R三点共线，则PQ→=λQR→⇒a【点拨】三点共线问题可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线.变式4.设a,b是不共线的两个向量，已知BA=a+2b,BC=4aA.A，B，D三点共线 B.B，C，D三点共线C.A，B，C三点共线 D.A，C，D三点共线[解析]解：因为BA=a+2b，BC=4a-4b，CD=-a+2b，所以AC=AB+BC=3a-6b=-3-a+考点四向量共线性质的应用例5（1）已知PA=23PB+tPC，若A,B,CA.23 B.25 C.12[解析]解：因为PA=23PB+tPC，且A，B，C三点共线，则23+t=1，解得t=13（2）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线与AB，AD所在直线分别交于点M，N，若AB=mAM，AN=nADm>A.22 B.1 C.22 D.[解析]解：因为AO=12AB+12AD，又AB=mAM，AN=nAD，故可得AO=m2AM+12nAN，又O,M【点拨】①若OA=λOB+μOC（λ,μ为实数）,则A,B,C共线⇔λ+μ变式5.（1）[2023届河南名校联盟高三上9月联考]已知△ABC的边BC上有一点D，满足AD=mAB+2A.1 B.12 C.13 D.[解析]解：直接应用性质得m+2m=1⇒m=13.或者：因为D是BC上任一点，所以存在唯一实数λ0≤因为AD=mAB+2mAC，所以λ（2）点M为△ABC所在平面内一动点，且M满足：AM=13λAB+231-λAC，AC=3，A=π3[解析]解：设AD=13AB，AE因为M满足AM=13λAB+231-λAC,所以AM=λAD+(1因为点M的轨迹与直线AB，AC围成封闭区域的面积为32，所以12AD⋅AEsinA=32，即12AD⋅2sinπ3=32【巩固强化】1.给出下列命题,其中正确的为(B)A.两个具有公共终点的向量一定是共线向量B.两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小C.λa=0（λ为实数），则D.λ,μ为实数，若λa=μb，则a[解析]解：因为两个向量终点相同，起点若不在一条直线上，则不共线，命题错误；由于两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小，因此命题正确；若λa=0（λ为实数），则a也可以为0，因此命题错误；若λ,μ为0，尽管有λa=μb，则a2.已知四边形ABCD，O为任意一点，若OA-OB=OD-OC，那么四边形A.正方形 B.平行四边形 C.矩形 D.菱形[解析]解：因为OA-OB=OD-OC，所以BA=CD，所以BA//CD，且3.D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD=(A.-BC+12BA B.-BC-[解析]解:如图，CD=CB+BD4.已知向量a，b不共线，c=ka+bk∈R，dA.k=1且c与d同向 B.k=1且cC.k=-1且c与d同向 D.k=-1且c[解析]解：因为c//d，所以存在实数λ，使得c=λd，即ka+b=λa-b,所以k=λ，1=-λ，5.设a，b是非零向量，则“存在实数λ,使得a=λb”是“a+b=A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件[解析]解：存在实数λ，使得a=λb，说明向量a,b共线，则a,b同向或反向；a+b=a+b，则a,b同向.故“存在实数λ，使得a=λ6.向量a,b,e1，e2，如图所示，则a-A.2e1-4e2 B.-4[解析]解：如图，连接向量a,b的终点并指向a的终点，于是得a-b，观察图形得a故选C.7.[2023届湖北“宜荆荆恩”高三起点考试]在△ABC中，D是BC边上的点，且BD=2DC，设AD=x[解析]解：由题意知D是BC边上的点，且BD=2则AD=AB所以x-y=13-8.已知△OAB中，点D在线段OB上，且OD=2DB，延长BA到C，使BA=AC.（1）用a，b表示向量OC,DC;[答案]解：因为A为BC的中点，所以OA=12OB+而DC=OC（2）若向量OC与OA+kDC共线，求k[答案]由（1）得，OA+k因为OC与OA+kDC共线，设即2a-根据平面向量基本定理，得2=解得k=3【综合运用】9.已知△ABC和点M满足MA+MB+MC=0.若存在实数m使得A.1 B.12 C.13 D.[解析]解：由MA+MB+MC=0可得MA+MA+AB+MA+10.直角三角形ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点P满足OP=OA+12ABA.1 B.2 C.52 D.3[解析]解：如图，取BC边中点D，连接AD，则12(OP=OA+12AB+11.在△ABC中，D，E为BC边上的两个动点，且满足AD+AE=xABA.有最小值4 B.有最大值4 C.有最大值2 D.有最小值2[解析]解：设F为DE的中点，如图所示.则AD+AE=2AF，所以2又因为B,C,F三点共线，且F在线段BC上，所以x>0，y>0所以1x+1y=1x+12.已知A，B，C是不在同一直线上的三点，O是平面ABC内一定点，P是平面ABC内一动点，若OP-OA=λAB+12BC,λ∈0A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心[解析]解：设BC的中点为D，则OP-OA=λAB+12BC=λAB+BD，所以AP=λAD13.【多选题】已知△ABC的面积为3，在△ABC所在的平面内有两点P，Q，满足PA+2PC=0，QA=2QBA.PB//CQ B.C.PA⋅PC>0[解析]解:由PA+2PC=0，QA=2QB，可知点P为AC的三等分点，点Q为AB对于A，点P为AC的三等分点，点B为AQ的中点，所以PB与CQ不平行，故A错误.对于B，BP=BA+AP=BA对于C，，PA⋅PC=PAPC对于D，设△ABC的高为h，则△APQ的高为23h.S△ABC=12ABh=3，即AB【拓广探索】14.我国古代人民早在几千年前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若AB=a,AD=b，E为BF的中点，则A.45a+25b B.25[解析]解：设BE=m,则AE=BF=2BE=过点E作EH⊥AB于点H则EH=2m25AH=2所以AH=45AB所以AE=AH另解：AE=AB+BE=AB+5.2平面向量基本定理及坐标表示1.理解平面向量基本定理及其意义.2.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.4.能用坐标表示平面向量共线的条件.【教材梳理】1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e2.平面向量的正交分解及坐标表示（1）平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.（2）线性运算的坐标表示文字叙述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和.若a=x1,y1，b减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差.若a=x1,y1，b两点构成的向量坐标一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.若Ax1,y1，Bx2,y2，则数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.若a=x,y，λ∈R（3）平面向量共线的坐标表示：设a=x1,y1,b=x2,y2【常用结论】3.平面向量基本定理的推论（1）设a=λ1e1+λ2e2,b=λ3e1（2）若a与b不共线，且λa+μb（3）教材例1推论：①已知平面上点O是直线l外一点，A，B是直线l上给定的两点，则平面内任意一点P在直线l上的充要条件是：存在实数t，使得OP=1-tOA+tOB.特别地，当t=②对于平面内任意一点O，P，A，B三点共线⇔存在唯一的一对实数λ，μ，使得OP=λOA+4.重要坐标公式已知△ABC的顶点Ax1,y1,Bx2,y2,Cx1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.（1）平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.(×)（2）若a，b不共线，且λ1a+μ1b=λ2（3）平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示.(√)（4）若a=x1,y1，b=x2（5）向量的坐标就是向量终点的坐标.(×)2.设e1，e2是平面内不共线的两个向量，则以下各组向量中不能作为基底的是(A.e1+2e2与e2+C.e1-2e2与4e2[解析]解：因为e1，e2对于A，因为e1+2e2对于B，因为e2与e1对于C，因为e1-2e2=-12对于D，因为e1-e2与e13.（教材练习改编）已知点A-1,1，B1,2，C-2A.9,7 B.7,6 C.1[解析]解：依题意得AB=2,1，CD=5,4.（教材题改编）已知向量a=1,-2，b=-1,m，若A.1 B.-1 C.2 D.-[解析]解：由向量a=1,-2，b=-1,m，a//b考点一平面向量的坐标运算例1设O0,0，A0,3，B6,0A.5 B.22 C.25 D.[解析]解：设Px,y，则BP=x-6,y，AP所以x-6=-2x,y=-则OP=2,2，OP【点拨】平面向量坐标运算的技巧：①向量的坐标运算常建立在向量的线性运算的基础之上，若已知有向线段两端点的坐标，则应考虑坐标运算；②解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程（组）进行求解.变式1.设点A-1,2，B2,3，C3,-1[解析]解：由题意，可得AB=3,1所以2AB-设点D的坐标为x,y，则AD可得x+1=3所以点D的坐标为2,16.故填2考点二平面向量基本定理及其应用例2（1）[2023届河北衡水部分学校高三9月联考]在△ABC中，D为BC的中点，E为AC上一点，且AE=3EC，若DE=λA.0 B.1 C.12 D.-[解析]解：因为D为BC的中点，所以AD=1又因为AE=3EC，所以AE=3则λ=-12,μ=14（2）已知AB与AC的夹角为90∘，AB=2，AC=1，AM=λAB+μ[解析]解：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A0,0，B0,2，C1,0，所以AB=0,2，AC=1,0，BC=1,-2.设Mx,y，则AM=x,【点拨】应用平面向量基本定理应注意平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量.选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来.变式2.（1）[2023届浙江嘉兴高三上9月测试]在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE=2EC，CF=3FD，记AB=aA.-34a+13b B.3[解析]解：因为BE=2EC，CF=3FD，所以EC=13BC,CF=3所以EF=EC+CF（2）如图，已知平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120∘，OA与OC的夹角为30∘，且OA=OB=1，OC=23[解析]解：（方法一）以λOA和μOB为邻边作平行四边形OB1C因为OA与OB的夹角为120∘，OA与OC的夹角为30∘，所以∠B1OC=90∘所以OB1=2，B1C=4，所以O（方法二）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A1,0，C23cos30∘,23由OC=λOA+μ得λ-12μ=3,32μ考点三共线向量的坐标表示及应用例3（1）设平面向量a=2,1，b=x,-2A.5 B.6 C.17 D.26[解析]解：由题意，2×-2-x=0，得x=-4（2）已知梯形ABCD，其中AB//CD，且DC=2AB，三个顶点A1,2，B2,[解析]解：因为在梯形ABCD中，DC=2AB，AB//CD，所以DC=2AB则DC=4AB=2所以4-x,2-所以4-x=2,2-y=-2,解得x=【点拨】两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a=x1,y1，b=x2,y2，则a//bb≠0变式3.（1）已知向量a=2,tanθ，b=1,-1A.2 B.-3 C.3 D.-[解析]解：由题意可得tanθ=-则tanπ4-θ（2）[2023届广西高三上开学考试]已知向量AB=7,6，BC=-3,m，AD=-1,2m[解析]解：AC=AB因为A，C，D三点共线，所以AC//AD，则2m×4=-m+6思想方法·以数辅形在平面向量中的应用典例已知P为边长为2的正方形ABCD所在平面内一点，则PC⋅PB+PDA.-1 B.-3 C.-12[解析]解：建立如图所示坐标系，设Px,y,则A0,0,B2,0,C2,2,D0,2，所以PC=2-x,【点拨】向量是沟通几何和代数的桥梁，有垂直背景的试题中，直观不易处理时，常可利用向量的正交分解解题，体现出数形结合思想中的“以数辅形”.如条件中的图形是矩形（正方形）、等腰（等边）三角形、等腰或直角梯形等，因为此时建系确定坐标更为容易.与圆相关的问题则常建好系后利用圆的参数方程求解.但是要注意灵活应用，不可把简单问题复杂化.变式.[2020年北京卷]已知正方形ABCD的边长为2，若点P满足AP=12AB+AC，则PB⋅PD=-1[解析]解：分别以AB,AD为x轴，y轴建立直角坐标系，则A0,0，B2,0，C2,因为AP=1所以P2,1，所以PB⋅PD=-2×0+1×-1=-【巩固强化】1.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是(B)A.a=1,2，b=0,C.a=3,2，b=9,[解析]解：在平面内，根据向量基底的定义知，两个向量不共线即可作为基底.故选B.2.已知向量a=-4,3，a+A.-3,1 B.3,-2 C.[解析]解：设b=m,n，因为a=所以-4+3m=5,3故选B.3.已知点A3,2，B5,1，则与A.255,-55 B.-25[解析]解：因为A3,2，B5,1,所以AB=2,-1，则AB4.若向量m与向量n=-2,1为共线向量，且m=35A.-6,3 B.6,-3 C.6,-3或-[解析]解：根据题意，设向量m=λ因为m=35，即有解得λ=±3所以向量m的坐标为6,-3或-6,5.（教材练习改编）如图所示，平行四边形ABCD中，BE=2EC，点F为线段AE的中点，AE=a,BF=A.34a+12b B.34[解析]解：AC=AE+EC6.[2021年全国乙卷]已知向量a=2,5,b=λ,4,[解析]解：由已知,a//b,则2×4=5λ,故7.已知两点A1,0，B1,1，O为坐标原点，点C在第二象限内，且∠AOC=135∘[解析]解：由∠AOC=135∘知，点C在射线y=-xx<0上，设点C的坐标为a,-a，a<0，则有a,-a=-8.已知A-2,4，B3,-1，C-3,-4，设AB=a（1）3a+[答案]解：由已知，得a=5,-5，b=3a（2）满足a=mb+nc的实数[答案]因为a=m所以n-6m=（3）M，N的坐标及向量MN的坐标.[答案]设O为坐标原点，因为CM=OM所以OM=3所以M的坐标为0,20又CN=ON所以ON=-2所以N的坐标为9,2，故MN【综合运用】9.已知三点Aa,0，B0,b，C2,2，其中a>0，b>A.2 B.4 C.6 D.8[解析]解：因为四边形OACB是平行四边形，所以OA=BC，即aa=2,2-b=0,10.[2022江苏八校联盟第一次适应性考试]【多选题】如图所示，在4×4方格中，点O，A，B，C均为小正方形的顶点，则下列结论正确的是(A.OB=OA+OCC.AC=OB-2[解析]解：设小方格边长为1，由题意，以O为原点建立平面直角坐标系，则可得O0,0，A-1,4，B3,5，C4,1，所以OA=-1,4,OB=3,511.已知在△ABC中，D为边BC上的点，且BD=3DC，点E为AD的中点，BE=mA.1 B.54 C.-2 D.[解析]解：BE=BD又BE=mAB+nAC，所以mAB+nAC=-78AB+38AC.12.已知单位向量OA，OB满足OA⋅OB=0.若点C在∠AOB内，且∠AOC=60A.m+n=1 B.mn=1[解析]解：（方法一）由题意OA⊥OB，以O为原点，OA，OB的方向分别为x轴，y轴的正向建立平面直角坐标系，则OA=1,0,OB=0,1，OC=（方法二）设OC=rr≠0，则OC=12rOA+13.[2023届河北邢台高三上开学考试]如图所示，梯形ABCD中，AB//CD，且AB=2AD=2CD=2CB=2，点PA.54 B.45 C.1316[解析]解：（方法一）AP=xAB+yAC+CD=x-（方法二）建立如图所示的平面直角坐标系，则A0,0,B2,0,C32,32,D设BP=λBC0≤λ≤1又AP=x所以2-12λ所以x2+y2=1-12λ【拓广探索】14.[2022年天津卷]在△ABC中，CA=a,CB=b，D是AC的中点，CB=2BE，试用a,b表示DE为32b[解析]解：（方法一）DE=CE-CD=32b-12a，AB=CB（方法二）如图所示，建立坐标系.E0,0,B1,0,C3,0,Ax,y，DE⊥AB⇒x+32x-1+y22=0⇒x+12+y2=4故填32b-125.3平面向量的数量积及平面向量的应用1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.2.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.3.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角.4.能用坐标表示平面向量垂直的条件.5.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用.【教材梳理】1.向量的数量积（1）向量数量积的定义①向量的夹角：已知两个非零向量a,b，O是平面上的任意一点，作OA=a,OB=b（如图所示），则∠AOB=θ0≤θ②向量的平行与垂直：当θ=0时，a与b同向；当θ=π时，a与b反向；如果a与b的夹角是π2，我们说a与b③向量的数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量abcosθ叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a⋅规定：零向量与任一向量的数量积为0.（2）向量的投影①定义：如图，设a,b是两个非零向量，AB=a,CD=b，作如下的变换：过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，则称上述变换为向量a向向量b投影，A1②计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是acos（3）向量数量积的性质设a,b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则①a⋅e=②a⊥b⇔③当a与b同向时，a⋅b=ab；当a与b反向时，a⋅b=-ab.特别地，④a⋅b≤（4）向量数量积运算的运算律对于向量a,b,c和实数λ，有①a⋅b=②λa⋅b③a+b⋅（5）数量积的坐标表示设a=x1,y①a⋅b=x1x2+y1y2②a⊥b⇔③x1x2④设θ是a与b的夹角，则cosθ=a2.平面几何中的向量方法（1）用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题;③把运算结果“翻译”成几何关系.（2）常用充要条件①G为△ABC重心的一个充要条件：GA+②O为△ABC外心的一个充要条件：OA=③P为△ABC垂心的一个充要条件：PA【常用结论】3.数量积的有关结论（1）a±（2）a+（3）a2+b24.平面向量与平面几何综合的有关结论（1）若MA，MB为非零向量，则给出MA⋅MB=0，等价于已知MA⊥MB；给出MA⋅MB<0，等价于已知（2）给出λMAMA+MBMB=MP，等价于已知（3）在▱ABCD中，给出AB+AD⋅AB-AD=0，等价于已知▱1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.（1）两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(√)（2）由a⋅b=0可得a=0（3）a⋅b=b⋅c且b（4）a⋅bc（5）若a⋅b>0，则a和b的夹角为锐角；若a⋅b<0，则a2.若a=2,1,b=2,-1,c=0[解析]解：a+b=4,0,所以a+3.（教材题改编）已知单位向量a,b的夹角为60∘，ka-b与a垂直，则[解析]解：a⋅b=1×1×cos60∘=12，ka-4.（教材题改编）一条河流的两岸平行，一艘船从河岸边的A处出发到河对岸.已知船在静水中的速度v1的大小为v1=10m/s，水流速度v2的大小为v2A.θ=π3 B.θ=π2[解析]解：当航线垂直于河岸时，航程最短.如图，在△ABC中，AB=10,BC=2所以∠BAC∈0,π6考点一平面向量数量积的基本概念及运算例1（1）[2022年全国甲卷]设向量a，b的夹角的余弦值为13，且a=1，b=3[解析]解：由题意可得a⋅b=1×3×13=（2）在边长为3的菱形ABCD中，∠DAB=π3，AM=2A.-172 B.-1 C.152[解析]解：DM⋅DB=AM【点拨】数量积a⋅b=abcosθ=x1x2变式1.（1）已知两个单位向量e1，e2的夹角为π3，若向量b1=e1-2[解析]解：b1⋅b2=e（2）[2023届广东佛山禅城区高三上调研]已知△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=60∘，且A.52 B.72 C.8 D.[解析]解：因为BM=13BC,AN=因为△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=考点二平面向量数量积的应用命题角度1求平面向量的模例2[2020年全国Ⅰ卷]设a,b为单位向量，且a+b=1,则[解析]解：因为a,b为单位向量，所以a=b=1,所以a+b=a+b2=a2【点拨】求向量模的常用方法是利用公式a2=a2,即变式2.（1）[2023届广东广州高三上8月测试]已知向量a，b满足a=b=1，a⋅a[解析]解：a⋅a-b=32，所以a2-a⋅2a-b2=4a2-（2）[2022年全国乙卷]已知向量a，b满足a=1，b=3，a-2A.-2 B.-1 C.1 D.[解析]解：因为a-2b=a-2b2=命题角度2求平面向量的夹角例3[2020年全国Ⅲ卷]已知向量a，b满足a=5，b=6，a⋅bA.-3135 B.-1935 C.17[解析]解：因为a=5，b=6，a⋅a+b因此，cos⟨a,a【点拨】求两向量a,b的夹角θ,通常采用公式cosθ=a变式3.[2022年新高考Ⅱ卷]已知向量a=3,4,b=1,0,c=A.-6 B.-5 C.5 D.[解析]解：c=3+t,4,cos⟨a,c⟩=cos⟨命题角度3判断两个向量的垂直关系例4（1）[2020年全国Ⅱ卷]已知单位向量a，b的夹角为60∘，则在下列向量中，与b垂直的是(DA.a+2b B.2a+b[解析]解：由已知可得,a⋅b=abcos60∘=1×1×12=12.对于A，因为a+2b⋅b=（2）[2021年全国乙卷]已知向量a=1,3,b=3,4[解析]解：a-λb=1,3-λ3,故填35【点拨】两个非零向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，即：两个非零向量a=x1,y1变式4.（1）设非零向量a，b满足a+b=a-A.a⊥b B.a=b C.a[解析]解：因为a+b=a-b，所以a+b2=（2）[2021年全国甲卷]已知向量a=3,1,b=1,0,c=[解析]解：因为a=3,1,b=1,0,所以c=a+kb=3+k考点三平面向量与平面几何例5【多选题】在△ABC中，下列命题为真命题的是(ABDA.O是△ABC所在平面内一定点，且满足OA⋅OB=OB⋅OC=B.O是△ABC所在平面内一定点，动点P满足OP=OA+λAB+AC,λC.O是△ABC内一定点，且OA+OB+D.若ABAB+ACAC⋅BC=0[解析]解：A中,OA⋅OB=OB⋅OC⇒OB⋅OA-OCB中,OP=OA+λAB+AC⇒OP-OA=λAB+AC⇒AP=λAB+ACC中,设BC的中点为D,由OA→+OB→+OC→=0,可得OA=-2OD,OD中,由ABAB+ACAC⋅BC=0可知∠BAC的平分线垂直于底边BC，故△ABC是等腰三角形，由ABAB⋅AC【点拨】向量与平面几何的综合问题，往往要数形结合，借助平面几何的知识解题.根据数量积求模或参数的值（范围）问题的一般方法：①基底法;②坐标法.变式5.【多选题】已知P为△ABC所在平面内一点，则下列正确的是(ABDA.若PA→+3PB→+2PCB.若PA→+PB→+PC→=C.若AB⋅AC>0D.若AP=13AB+23AC,则[解析]解：对于A，设AB的中点为D,BC的中点为E，因为PA→+3PB→+2PC→=0,所以PA+PB=-2PB+PC,所以2PD=-4PE,即PD=2EP,对于B，设AB的中点为D,由PA→+PB→+PC→=0得,PA+PB=-PC=CP,又PA+PB=2PD,所以CP=2对于C，因为AB⋅AC>0,所以AB与AC的夹角为锐角，即A为锐角，但此时B，C有可能是直角或钝角，故无法判断△ABC对于D，因为AP=13AB+23AC,所以P为线段BC上靠近C的三等分点，即BP故选ABD.考点四交汇问题例6（1）已知圆x2+y2+4x-5=0的弦AB的中点为-1,1，直线[解析]解：设M-1,1因为kMC=根据圆的性质可知，kAB=-所以AB所在直线方程为y-1=-x+1，即x+y=0，联立方程x2+令y=0可得PPA⋅PB=x1x（2）如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度d=500m，一艘船从A点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为v1=10km/h,水流速度的大小为v2=4km/h,设v[解析]解：船垂直到达对岸，即v=v1+v2与v2垂直，即v1+v2⋅v2=0.所以v1【点拨】平面向量相关的交汇问题，主要体现在平面向量与其他数学知识交汇或在物理中的应用.变式6.（1）【多选题】已知向量a=sinα,cosα，bA.若a//b，则B.若a⊥b，则C.若fα=a⋅D.a-b的最大值为[解析]解:对于A选项，若a//b，则2sinα-cosα=对于B选项，若a⊥b，则sinα+2cosα=对于C选项，fα=a⋅b=sinα+2cosα=5sinα+φ，其中tanφ=2对于D选项，a-b2=a2+b2-2a⋅b=1+5-2sinα（2）已知一个物体在大小为6N的力F的作用下产生的位移s的大小为100m，且F与s的夹角为60∘，则力FA.300J B.1002J C.[解析]解：W=F⋅思想方法·以形助数在平面向量中的应用典例（1）[2021年新高考Ⅰ卷]【多选题】已知O为坐标原点，点P1cosα,sinα，P2cosβ,-sinβA.OP1=OC.OA⋅OP3[解析]解：此题从“数”的角度，结合向量运算、恒等变换等知识可解，但计算量不小，故结合各点参数形式坐标，从“形”入手：把各点标记在如图的单位圆上，注意其中α与β可变.A显然正确；B显然不正确；C正确，因为等式两边向量的模相等且夹角相等；D不正确，如图α+2β为钝角，等式左正右负（2）设θ为两个非零向量a,b的夹角，且θ=π6，已知对任意实数t，b+ta的最小值为A.14 B.12 C.2 D.[解析]解：（方法一）如图，当t变化时，ta起点为B，终点在l上运动，故b+ta最小值为OA=1（方法二）由题意可知，b+ta2=a2t2+2a⋅bt+b2，令gt=a2t2+2a⋅（3）已知a,b,e是平面向量,e是单位向量，若非零向量a与e的夹角为π3，向量b满足b2-4e⋅b+A.3-1 B.3+1 C.2[解析]解：不妨设e=1,0,b=x,y，则由b2-4e⋅b+3【点拨】在平面向量的涉及最值范围问题的考查中，常利用数形结合思想中的“以形助数”求解，主要是利用线性运算与数量积运算的几何意义等解题.变式.（1）[2020年新高考Ⅰ卷]已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP⋅AB的取值范围是(A.-2,6 B.-6,2[解析]解：（方法一）过P作PH⊥AB于H则AP⋅AB（方法二）如图，作出该正六边形，取中心为O,以A为原点，AB所在的直线为x轴,AE所在的直线为y轴建立平面直角坐标系.因为正六边形的边长为2,所以A0,0,设点P的坐标为x,y所以AP⋅AB易知xF<xC=xF=-所以-2<所以AP⋅AB的取值范围是-2,（2）设向量a，b满足a=2，a2=2a⋅bA.2 B.1 C.12 D.1[解析]解：（方法一）设a，b夹角为θ，易知bcosθ=1，如图，C为OA中点，则由投影知点B在l（方法二）由题得a-b=a2+b2-2a⋅b=4+b2-4=b，因为a2=2a⋅b，所以4=2×2×b（3）已知a，b是单位向量，a⋅b=0，若向量c满足c-a-[解析]解：因为a，b是单位向量，且a⋅b=0，不妨设a=1,0，b=0,1，c=x,y，则c-a-b=x-1【巩固强化】1.设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m=λn”是“m⋅n<A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件[解析]解：充分性显然成立，但必要性不成立，如m与n不共线时.故选A.2.已知向量a，b满足a=1，a⋅b=-1A.4 B.3 C.2 D.0[解析]解：因为a⋅2a3.[2023届湖南长沙雅礼中学高三上月考]已知b=2a且a⋅a-b=0A.π6 B.π4 C.π3[解析]解：因为b=2a且a⋅a-b=0，所以a2-a⋅b=0，即a⋅4.[2022届重庆巴蜀中学高三月考]【多选题】已知向量a=x-4,2,A.当a⊥b时，B.当a//b时，C.当t=2时，a在b上的投影向量为D.当a与b的夹角为锐角时，t的取值范围为4,+∞[解析]解：当a⊥b时，-4×2+2当a//b时，-4t-4=当t=2时，设a,b的夹角为θ，则acosθa与b的夹角θ∈[0,π2)时，a⋅b=-8+2t>0,t>4,当a=λbλ>05.[2023届湖北重点高中高三10月联考]已知向量a，b满足a=5,25，a⋅b=6A.5 B.6 C.7 D.8[解析]解：因为a=5,25，所以a=5+20=5.又a⋅b=66.[2021年新高考Ⅱ卷]已知向量a+b+c=0，a=1，[解析]解:由已知可得a+b+c2=a2+7.[2023届湖北孝感部分学校高三联考]在△ABC中，A=5π6，AB=3，AC=4[解析]解：依题意，可作图如下.因为AD=AB+BD=AB+3BC所以AB⋅AD=AB⋅-8.已知向量OA=2,-2,OB=4,1（1）求使AP⋅BP最小时点P[答案]解：设点P的坐标为x,0可得AP=x-2,所以AP⋅BP当x=3时，AP⋅BP取得最小值-3（2）若∠APB为钝角，求点P的横坐标的取值范围[答案]若∠APB为钝角，则有PA⋅PB<0，且PA设Pm,0，则PA=2则2-m4-m由PA，PB共线，可得2-m=-24-m，解得m=【综合运用】9.[2020年全国Ⅲ卷]在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若AC⋅BC=1，则点CA.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.直线[解析]解：设AB=2aa>则A-a,0,Ba,0，设Cx,y，可得AC=x+a,y,BC=x-a10.已知向量a=cos2α,sinα，b=1,2sinα-1A.74 B.17 C.27[解析]解：a⋅b=cos2α+2sin2α-sinα=1-211.在△ABC中，向量AB与AC满足ABAB+ACAC⋅BC=0，且A.非等腰直角三角形 B.等腰直角三角形C.等边三角形 D.等腰非等边三角形[解析]解：ABAB，ACBC分别为向量AB与AC因为ABAB+ACAC⋅BC=0，所以角A的角平分线与BC由cosB=BABA⋅BCBC=所以C=B=π4所以△ABC是等腰直角三角形.故选12.【多选题】如图,在△ABC中，BD=λBC,其中λ∈[0,1]A.当λ=23时，AD=23AC+1C.当λ=1时，△ABD的面积最大 D.当λ=[解析]解：因为BD=λBC，所以AD-AB=λAC-λAB,即AD=由AB⋅BD=AB⋅λBC=当λ=1时，BD=BC,D与C重合，△当λ=35时，AD=AB+BD=AB+故选ABC.13.[2023届重庆高三上9月质检]写出一个与向量a=1,-1的夹角为75∘的向量b[解析]解：cos75∘=cos45∘+30∘=cos45∘cos30∘-sin45∘×sin【拓广探索】14.[2022年北京卷]在△ABC中，AC=3,BC=4,∠C=90∘.P为△A.[-5,3] B.[-3,5[解析]解：依题意建立如图平面直角坐标系，则C0,0，A3,因为PC=1，所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动，设Pcosθ,sin所以PA=3-cosθ,-sinθ其中sinφ=35，cosφ=45.因为-1≤sin5.4复数1.通过方程的解,认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义,理解两个复数相等的含义.3.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.【教材梳理】1.复数的概念概念定义复数把形如a+bia,b∈R的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.复数通常用字母z表示，即z=a+bi,其中复数集全体复数所构成的集合，即C={a复数相等a+bi=c+di⇔a=c,b=复数分类复数z=a复数实数共轭复数一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用z表示，即如果z=a+bi（a,b∈R复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数的模复数z=a+bi（a,b∈R,i为虚数单位）对应的向量为OZ,则向量OZ的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作z或a+bi.即z=a+b2.复数的几何意义为方便起见，我们常把复数z=a+bi说成点Z或说成向量OZ3.复数的四则运算（1）运算法则:设z1=a+①z1±z②z1z2③z1z2=（2）复数加、减法的几何意义加法复数z1+z2是以OZ1，OZ2减法复数z1-z2是从向量OZ2的终点指向向量（3）复数加法的运算律:对任意z1,z2,z交换律z1+z结合律z1+z（4）复数乘法的运算律:对于任意z1,z2,z交换律z1结合律z1z2分配律z1z2【常用结论】4.1±i2=±2i5.i4n=1,i4n+1=i,i4n6.zz=z2=z21.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.（1）方程x2+x+1（2）复数z=a+bia（3）两个复数可以相等，因此两个复数可以比较大小.(×)（4）原点是实轴与虚轴的交点.(√)（5）复数z的模为5,则复数2+z的模为7.(2.（教材题改编）设m∈R，若m2+m-[解析]解：因为m2+m-2+m2-1i3.（教材题改编）如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1+2i,-2+i,0A.3+i B.3-i C.1-[解析]解：因为OC=OA+OB，所以OC对应的复数为1+2i-2+i=-14.（教材题改编）4+2iA.-3-i B.-3+i C.[解析]解：4+2i1+i考点一复数的概念例1（1）[2023届辽宁六校高三上期初]【多选题】已知复数z=-10i2A.复数z在复平面内对应的点在第四象限B.复数z的虚部为-4C.复数z的共轭复数z=D.复数z的模z=[解析]解：z=-复数z在复平面内对应的点在第三象限，故A错误.复数z的虚部为-4，故B正确复数z的共轭复数z=-2+4iz=-22+故选BD.（2）【多选题】下列命题不正确的是(BCD)A.若z=m+nim,n∈RB.若z1-z2C.x+D.若实数a与ai[解析]解：A显然正确；对于B，当z1=1,z2=对于C，只有当x,y∈R对于D，若a=0,则0⋅i=0【点拨】复数问题标准化、实数化是解决复数问题最基本的思想方法.复数概念中应注意的几点：①对于复数m+ni，如果m，n∈C（或没有明确界定m,n∈R）,则不可想当然地判定m，n∈R;②易误认为y轴上的点与纯虚数一一对应（注意原点除外）变式1.（1）【多选题】已知i为虚数单位，在复平面内，复数z=2i2+iA.复数z的虚部是45i B.C.复数z的共轭复数z=25-45[解析]解：z=2复数z的虚部是45,故A错误z=252+复数z的共轭复数z=25-4复数z对应的点是25,45,在第一象限,故D（2）【多选题】已知z为复数，则下列命题正确的是(ABD)A.若z=z，则zB.若z2<0，则C.若z+1=z-D.“z2∈R”是“z∈R[解析]解：设z=a+bia,b∈R，则z=a-bi，若z=z，则b=0,则z为实数，A正确；z2=a2-b2+2abi<0，则ab=0且a2-b2<0，所以考点二复数的几何意义例2（1）在复平面内，若z=m21+i-m4+i-[解析]解：因为z=m2-4m2-4m<0,m2（2）[2020年全国Ⅱ卷]设复数z1，z2满足z1=z2=2[解析]解：（方法一）如图所示，设复数z1，z2所对应的点为Z1，Z2，OP=OZ1+OZ2，由已知OP=3+1=2=OZ1（方法二）设z1=a+bia∈R,b∈R，z2=c+dic∈R,d∈R，所以z【点拨】①复数的两种几何意义：一是复数z=a+bi与复平面内的点Za,b一一对应;二是复数z=a+bi与平面向量OZ一一对应，其中a,b∈R.②由几何意义可知z可表示复数变式2.（1）[2021年新高考Ⅱ卷]在复平面内,复数2-i1-3A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限[解析]解：因为2-i1-3i=2-i1+（2）若复数z满足1<z<2，则在复平面内，zA.π B.2π C.3π D.[解析]解：由题意得复数z对应的点的轨迹是如图所示的圆环内，小圆的半径r=1，大圆的半径R=2，所以圆环的面积（3）若z∈C，且z+2-2i=A.2 B.3 C.4 D.5[解析]解：设z=x+yix,y∈R，则z+2-2i=x+2+y-2i=1考点三复数的运算例3（1）[2023届广东广州天河区高三一模]已知复数z=2-i1+i，则A.-32 B.-32i C.[解析]解：因为z=2所以z=12+32i，则z（2）若复数z与其共轭复数z满足z=3，z+z=2[解析]解：设z=a+bia,b∈R所以a2+b2=3（3）i是虚数单位，计算2i-21[解析]解：因为2i-11-i2=2i-1=-i+【点拨】①复数的计算除了掌握基本运算法则外，最好熟记一些常见算式运算的结果，这对提高运算的速度和准确度都有很大的帮助,详见本节【常用结论】.②除法的关键是“分母实数化”.变式3.（1）[2023届湖南部分学校高三入学摸底]若复数i4+2iz=A.-2-i B.-2+i C.[解析]解：由题意，可得z=4+3ii4+（2）已知复数z满足z+2z=2+i[解析]解：设z=a+bia+b所以a+b所以a+2a2+b2所以z=02+12=1或z（3）1+3+i1[解析]解：1+3+i1+2i5=[1+3+i1-2i【巩固强化】1.[2022年北京卷]若复数z满足iz=3-4iA.1 B.5 C.7 D.25[解析]解：由题意,z=3-4ii=2.[2022年全国乙卷]已知z=1-2i，且z+az+b=A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2 C.a[解析]解：z=1+2i所以1+a+b故选A.3.【多选题】若复数z满足zz+2i=A.z的实部为3 B.z的虚部为1C.zz=10 D.[解析]解：设z=a+bia,b∈R，因为zz+2i=8+6i，所以zz+2iz=8+6i，所以a2+b2-2b+2ai=84.设复数z满足z-i=1，z在复平面内对应的点为x,A.x+12+yC.x2+y-[解析]解：由题意知z=x+yi,则z-i=x+y5.[2023届江苏苏州八校高三上适应性检测]若1-iz=i2022，其中iA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限[解析]解：z=i2022故复数z在复平面内对应的点为-12,126.已知复数z=4+ai1+i，且z[解析]解：因为z=4所以复数z在复平面内对应的点为4+a2，a-42又a为整数，a可取-3，-2，-1，0，1，2，故填0（答案不唯一）.7.关于x的方程x2-2i-1x[答案]112[解析]解：设实根为x0，则x0即x02由复数相等的充要条件得x0所以m=-13x028.已知复数z1=a2-2-2a+4i，z（1）若复数z为纯虚数，求z1z[答案]解：z1-z2=a2-所以z1=2-8i，（2）若z+1=z-i[答案]z=z1-z2=a2-a-2+a2-2a-3i，设z=x+yi当a=-1时，z=0当a=52时，z=7【综合运用】9.[2023届广西桂林高三上入学检测]已知复数z=a+bia,b∈A.3 B.2 C.5 D.3[解析]解：因为2023=4×所以ai2023+2=-ai2-i10.若复数z满足z-1-i=1，则A.4 B.5 C.6 D.41[解析]解：因为复数z满足z-1-i=1，所以复数z对应的点P在圆x-z-4-5i的几何意义是点P到点4故选C.11.设A，B为锐角三角形的两个内角，则复数z=1tanB-A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限[解析]解：因为A，B为锐角三角形的两个内角，所以A+B1tanB-tanA=cos12.【多选题】设z1,z2,z3为复数，z1≠A.若z2=z3，则z2=±z3C.若z2=z3，则z1z2=[解析]解:由复数模的概念可知，z2=z3不能得到z2=±z3，如由z1z2=z1z3可得z1z2-z因为z1z2=z1z2，z1z3=z1取z1=1+i,z2=1-i故选BC.13.已知z1=z2=z[解析]解：（方法一）由复数几何意义结合题中等式可知，原点、z1对应的点、z2对应的点构成等边三角形.从而易得z（方法二）设z1=cosθ+isinθ则z1=2-则2cosθ所以z1=2+故填3.【拓广探索】14.[2023届云南三校高三上联考]【多选题】已知eix=cosx+isinx（其中e为自然对数的底数，A.复数eπ2B.复数e3C.复数eπ3iD.复数eiθ[解析]解：对于A，eπ2i=cosπ2+isinπ对于B，e3i=cos3+isin3，因为π2<3<π，所以cos3对于C，eπ3i=cosπ3+isinπ3=1对于D，eiθ=cosθ+isin由于θ∈[0,π]，所以-1≤cos故复数eiθθ∈[0,π]故选ABD.时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.AB+PC+BA-A.PQ B.QP C.BQ D.CQ[解析]解：AB+PC+BA2.[2021年浙江卷]已知a∈R,(1+ai)i=3+i（iA.-1 B.1 C.-3 D.[解析]解：因为(1+ai)i=3+i,所以i+ai2=3+i3.[2023届湖湘名校高三上9月联考]已知平面四边形ABCD中，E为CD的中点，AC⋅AD=10,AE=4A.26 B.6 C.22 D.[解析]解：在平面四边形ABCD中，AC⋅AD=AE+EC⋅AE+ED=AE2-EC24.[2023届山东高三10月联考]向量a=1,3，b=（3x-1,x+1），c=5,7A.2 B.52 C.3 D.7[解析]解：由题意，得a+b=3x因为a+b//a+c，所以30x=c=m即m+2n=5,3m+25.已知向量a=-1,1,b=1,m,若向量-a与A.3 B.1 C.-1 D.-[解析]解：由题意得，-a=1,-1所以-a=2,所以cosπ4=-a⋅b-6.[2023届湖北高三上8月联考]在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是AE的中点，则CF=(DA.12AD-34AB B.-1[解析]解：因为E是BC的中点，F是AE的中点，所以CE=-12AD所以CF=CE+EF7.如图，在△ABC中，AN=23NC，P是BN上一点，若AP=tABA.23 B.25 C.16[解析]解：（方法一）利用B,P,N三点共线，AC=52AN,则AP=tAB+56（方法二）设BP=mBN,由题意及图知AP=AB+BP=AB+mBN=AB+mAN-AB=m8.[2023届湖南岳阳高三上适应性考试]已知面积为6的Rt△ABC中，P,Q为斜边BC上的两个三等分点