备战2025年高考数学一轮复习第八章平面解析几何

第八章平面解析几何8.1直线的倾斜角、斜率与方程1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）.【教材梳理】1.直线的倾斜角（1）定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.（2）规定：当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0∘（3）范围：直线倾斜角的取值范围是[02.直线的斜率（1）定义：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k=tan（2）过两点直线的斜率公式：过两点P1(x1,y1)（3）直线的方向向量坐标：若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，则直线P1P2的方向向量P1P2的坐标为(x3.直线方程的五种形式名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式y-(x0,y0不垂直于x轴（k存在）斜截式y=k为斜率，b是直线的纵截距，是点斜式的特例不垂直于x轴（k存在）两点式y-(x1,y1不垂直于x轴和y轴(x截距式xaa为横截距，b为纵截距，是两点式的特例不垂直于x轴和y轴，且不过原点(ab一般式Ax+By+A,B,C为系数任何位置的直线【常用结论】4.斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角（范围）α=0∘α=90∘斜率（范围）k=0k>0不存在k<05.过点P1(x1,（1）若x1=x2，且y1≠y（2）若x1≠x2，且y1=y（3）若x1=x2=0，且y1≠（4）若x1≠x2，且y1=y1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.（1）倾斜角越小，斜率越小. (×)（2）不是所有的直线都有斜率. (√)（3）过点P(x0,y0)的直线都可用方程（4）能用斜截式方程表示的直线都能用点斜式方程表示. (√)（5）直线2kx+y+1-2k=02.过点A(-2,1)，B(3,-3)的直线方程为(A.4x-5y+13=0C.5x+4y+5=0[解析]解：因为直线过点(-2,1)和(3,-3)，所以y-1-3-1=x+23+2，所以3.（教材题改编）如果AC<0，且BC<0，那么直线Ax+By+A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限[解析]解：由已知得，直线Ax+By+C=0在x轴上的截距-CA>0，在y4.（教材题改编）经过A(0,1),B(-1,m)两点的直线l的方向向量为(1,-1)，倾斜角为α,则m=2[解析]解：由题意知，直线l的斜率k=1-m0-(-1)=-11.所以m=2,k=-1.又k=tanα考点一直线的倾斜角和斜率例1（1）【多选题】如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2A.k1<k3<k2 B.k[解析]解：由题图知，k2>k3>0，k故π2>α2>α3>0，且（2）直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(-3,3)，则其斜率k的取值范围是(DA.(-1,15)C.(-∞,-1)∪(15,+∞)[解析]解：设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y-2=k(x-1)，直线l令-3<1-2k<3，解得k<-1或【点拨】①任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在，直线倾斜角的范围是[0,π)，斜率的取值范围是R，同时要知道正切函数在[0,π)变式1.（1）已知直线l的方程为xsinα+3y-1=0，α∈A.(0,π3]∪[2π3,π)[解析]解：因为y=-sinα3x+13，即直线l的斜率k=-sinα3.由-1≤sinα≤1，得-3（2）已知实数x,y满足y=x2-x+2(-1≤x[解析]解：y+2x+3可看作点P(-3,-2)与曲线y=x2-如图,当点A为曲线左端点(-1,4)时,k最大,为4+2-1+3=3;当直线PA与曲线相切时,k最小,此时设PA的方程为y+2=k(x+3),与曲线方程y=x2-x+2联立,得x2-(k+1)x+4-3k=0，其判别式Δ=(k+1考点二求直线方程例2（1）求适合下列条件的直线方程.（Ⅰ）过点P(4,-2)，倾斜角为150∘[答案]解：因为倾斜角α=150∘，所以斜率k=tan即y=-3（Ⅱ）过两点A(1,3)，B(2,5)[答案]解：因为斜率k=5-32-1=2，所以直线的点斜式方程为y-3=2(（Ⅲ）在x轴、y轴上的截距分别为-3，-[答案]解：由题意，得直线的截距式方程为x-3即x+3y【点拨】选用直线方程时，注意其适用条件.同时注意截距相等包含截距为0，截距不是距离等.（2）设直线l的方程为(m（Ⅰ）已知直线l在x轴上的截距为-3，则m=-[解析]解：由题意知m2-2m-3≠0，即m≠3且m≠-1所以2m-6m2-2m-所以m=-5（Ⅱ）已知直线l的斜率为1，则m=-[解析]解：由题意知，2m2+m-1≠0，即由直线l化为斜截式方程得y=m2-2m-32m2+所以m=-2故填（Ⅰ）-53；（Ⅱ）-【点拨】①若方程Ax+By+C=0表示直线，则需满足A，B不同时为0；②令x=0可得在y轴上的截距，令y=0变式2.（1）求适合下列条件的直线方程.（Ⅰ）过点A(1,3)，倾斜角是直线y=-3x[答案]解：因为y=-3x的斜率为k=-3，其倾斜角为120∘，所以所求直线的倾斜角为所以直线方程为y-3=3(x（Ⅱ）直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距相等；[答案]解：若截距不为0,设直线的方程为xa+因为直线过点(-3,4)，所以-3a+4a此时直线方程为x+y若截距为0,设直线方程为y=kx，代入点(-3,4)有4=-3k,解得k=-43综上，所求直线方程为x+y-1=0（Ⅲ）经过点B(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形[答案]解：由题意可知，所求直线的斜率为±1，又过点(3,4)，得y-4=±(所求直线的方程为x-y+1=0或（2）一次函数y=-mnx+A.m>1且n<1 B.mn<0 C.m>0且n<0 D.[解析]解：因为y=-mnx+1n的图象经过第一、三、四象限，故-mn＞0，且1n＜0考点三直线方程的应用例3（1）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0[解析]解：由直线x+my=0求得定点A(0,0)，直线mx-y-m+3=0，即y-3=m(x-1)，所以得定点B(1,3).当m=0时，两条动直线垂直，当m≠0时，因为(-1m（2）直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点（Ⅰ）当|PA|⋅|PB|[答案]解：依题意，l的斜率存在，且斜率为负.设l:y令y=0，可得A(1-令x=0，可得B(0,4-|PA=-4k(1+k2)=-4(所以当且仅当1k=k且k<0，即k=-1时，|PA|⋅|PB|（Ⅱ）当|OA|+|OB|最小时，求[答案]|OA|+|OB|=(1-4k)+(4-k)=5-(k+4k)≥9.所以当且仅当k=4k且【点拨】①求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值；②求参数值或范围，注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.变式3.（1）若直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1)，则该直线在A.1 B.4 C.2 D.8[解析]解：因为直线ax+by=ab过点(1,1)，所以a+b=ab，1a+1b=1，因为直线在x轴的截距为b，在y轴上的截距为a，所以直线在x轴、y（2）已知直线l1:ax-2y=2a-4，l2:2x+a[解析]解：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1的纵截距为2-a，直线l2的横截距为a2+2，所以四边形的面积S=12×2(2-a)+12【巩固强化】1.【多选题】下列说法正确的是(BD)A.截距相等的直线都可以用方程xa+B.方程x+my-2=0(mC.经过点P(1,1)，倾斜角为θ的直线方程为yD.经过两点P1(x1,y1[解析]解：对于A，截距相等且为0的直线都不可以用方程xa+对于B，当m=0时，方程x+my-2=0(m∈R对于C，经过点P(1,1)，倾斜角为θ=90∘对于D，因为x1≠x2，所以直线的斜率存在，可写成y-2.过点(1,33)且与直线x-3y=0A.x+3y-C.x=1 D.x+3y[解析]解：因为x-3y=0，即y=33x，斜率为k1=33，倾斜角为30∘，所以所求直线的倾斜角为150∘或90∘,斜率为-33.已知直线kx-y+1-3k=0，当kA.(0,0) B.(0,1) C.(3,1) D.(2,1)[解析]解：kx-y+1-3k=0可化为y-1=4.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l上的一点向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，仍在该直线上，则直线l的斜率为(A)A.-2 B.-12 C.12[解析]解：根据题意，设该点的坐标为(a,b)，将该点平移后的坐标为(a+2,b-4)5.直线l:x+ycosA.[0,π) B.[π4,π2[解析]解：当cosθ=0时,直线l的倾斜角为π2;当cosθ≠0时,直线l的斜率k=-1cosθ∈(-∞,-1]∪[1,+∞)6.从点(2,3)出发的光线沿与向量a=(8,4)平行的方向照射到y轴上,经y轴反射,其反射光线所在直线的方程为(AA.x+2y-4=0 B.2x+y[解析]解：反射光线与入射光线的斜率互为相反数.又入射光线的斜率k=48=12,所以反射光线的斜率k'=-12.又入射光线所在直线方程为y-3=12(x-2),令7.如果直线x-4y+b=0的纵截距为正，且与两坐标轴围成的三角形的面积为[解析]解：由题意知，直线的方程为y=14x+b4(所以它与两坐标轴围成的三角形的面积为12×b4×b=88.已知在△ABC中，点A的坐标为(1,3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x-2y+1=0和y[答案]解：由题意,设B(a,1)，C(2b-1,b),则AB的中点(a+12,2)在中线x-2y+1=0上,所以a+12-4+1=0,得a=5，所以B点的坐标为(5,1).AC的中点(b,b+32)在中线y=1上,所以b+32=1【综合运用】9.直线ax+by+c=0同时要经过第一、二、四象限，则a，b，cA.ab>0，bc<0 B.ab>0，C.ab<0，bc>0 D.ab<0[解析]解：由于直线ax+by所以直线存在斜率，将方程变形为y=-a易知-ab<0且-cb>0，故故选A.10.过点A(2,1),B(m,3)的直线的倾斜角α的范围是[π4,3A.[0,2] B.(2,4] C.[0,2)∪(2,4] D.[0,4][解析]解：当m=2时，直线AB的倾斜角为π2当m≠2时，kAB≥1或kAB≤-1,即3-1m-2≥1或所以2<m≤4或0≤综上，0≤m≤4.11.设点A(-2,3)，B(3,2)，若直线ax+y+2=0与线段AB没有交点，则aA.(-∞,-52]∪[4C.[-52,4[解析]解：直线ax+y+2=0恒过点M(0,-2)，且斜率为-a，因为k画图可知-a>-52且-a<412.若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为13，-[解析]解：正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立如图直角坐标系，设对角线OB所在直线的倾斜角为θ，则tanθ=2，直线OA的倾斜角为θ-45∘，直线OC故kOA=tan(θ故填13；-313.已知直线l:(2+（1）直线l经过定点吗？若经过定点，求出定点P的坐标；若不经过定点，说明理由.[答案]解：直线l:(2+m)x+(令x+y-3=0故直线l过定点P(1,2)（2）若直线l分别与x轴正半轴，y轴的正半轴交于A，B两点.（Ⅰ）当△AOB面积最小时，求对应的直线l[答案]设点A,B的坐标分别为A(a,0),B(0,b)，因为A,B分别在x轴，y轴的正半轴，所以a>0,b>0，则可设直线l:xaS△AOB=12ab，由1=1a+2b≥21a⋅2b，得故△AOB面积最小时，直线l:2（Ⅱ）当|PA|⋅|PB|最小时，求对应的直线[答案]设直线l的斜率为k(k<0)，则其方程为y-2=所以A(1-2k,0)，B(0,2-k)，所以|PA当且仅当4k2=4k2故当|PA|⋅|PB|最小时，对应的直线l【拓广探索】14.已知过定点(2,1)作直线l,与两坐标轴围成三角形的面积为4,这样的直线有(C)A.1条 B.2条 C.3条 D.4条[解析]解：根据题意,直线l不过坐标原点,且与坐标轴不平行,可设截距式方程为xa+直线l经过点(2,1),则有2a+1直线l与两坐标轴围成三角形的面积为4,则S=12×|a|×|b联立①②可得,a2-8a+16=0方程a2-8a+16=0方程a2+8a-16=0的解为可知有三组不同的实数解a和b满足题意.故选C.8.2两条直线的位置关系1.能根据直线的斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.【教材梳理】1.两条直线的位置关系（1）平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1//l2⇔k1=k2，特别地，当直线l（2）垂直：如果两条直线l1，l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1k2=-1，特别地，若直线l2.两条直线的交点坐标一般地，将两条直线的方程联立，得方程组A1x+B1y3.距离公式（1）两点间的距离公式：点P1(x1,y1),P2(x2,y2)（2）点到直线的距离公式：点P0(x0,y0)（3）两条平行直线间的距离：两条平行直线l1:Ax+By+C1=0【常用结论】4.两条直线平行、垂直的充要条件设直线l1与l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0（A1，B1（1）l1（2）l15.常见直线系方程（1）过定点(x1,y1)（2）平行于直线Ax+By+C（3）垂直于直线Ax+By+C（4）过两条已知直线A1x+B1y+C1=0与A6.对称常用结论（1）点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y（2）点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a（3）点(x,y)关于点(1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.（1）当直线l1和l2斜率都存在时，k1（2）已知两条直线l1:A1x+B1y+C1=0（3）点P(x0,y0)到直线（4）直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.(√)（5）若点A，B关于直线l:y=kx+b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于-12.（教材习题改编）过点(2,2)且平行于直线x-2y+3=0A.x-2y+2=0 B.2x+y[解析]解：设所求直线方程为x-2y+c=0.把点(2,2)代入可得2-2×2+c=0，所以3.圆(x+1)2+y2=2A.1 B.2 C.2 D.22[解析]解：圆(x+1)2+y2=2的圆心坐标为(-1,0).由y=x4.（教材题改编）以A(1,2),B(3,4),C(9,0)[解析]解：（方法一）由题意，S△ABC=12|AB|h|AB|=AB边所在的直线方程为x-y点C(9,0)到直线x-y+1=0的距离h=|9-0+1|（方法二）如图过点B作x轴的垂线，交AC于点D.易得AC边所在的直线方程为x+4y-9=0，令x=3，得y则S△=12故填10.考点一两条直线的平行例1已知两条直线l1:(a-1)x+2y+1=0A.-1 B.2 C.0或-2 D.-1[解析]解：（方法一）因为直线l1:(a-1)x+2y+1=0所以a=-1或a=2，又两条直线在y所以当a=-1或a=2（方法二）由A1B2-A解得a=-1或a=2由A1C2-A所以a=-1或a=2.【点拨】①当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.②在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.③A1A2变式1.已知三条直线2x-3y+1=0，4x+3y+5=0，A.{-43,23} B.{-4[解析]解：由题意得直线mx-y-1=0与另外两条直线中的一条平行，或者过另外两条直线的交点.当直线mx-y-1=0与2x-3y+1=0，4x+3y+5=0分别平行时，m=23或-43考点二两条直线的垂直例2（1）已知直线l1:(a+2)x+(1-a)y-3=0与直线l2:(a-A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件[解析]解：l1⊥l2的充要条件是(a+2)(a-显然“a=1”是“a=±1”的充分不必要条件，故“a=1”是“l1⊥l（2）设a，b，c分别是△ABC中内角A，B，C所对边的边长，则直线xsinA+ay+c=0A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直[解析]解：由正弦定理asinA=bsin所以两直线垂直.故选C.【点拨】判定两直线垂直的方法：①判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1k2=-1，则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则两直线也垂直.②直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论.设直线l1:A变式2.（1）已知a>0，b>0，直线l1:(a-1)x+y-1=0，A.2 B.4 C.8 D.9[解析]解：因为l1⊥l2，所以(a因为a>0，b>0，所以2a+1b=(2a+1b)(a+2b)=2+2+（2）已知点A(5,2),B(-1,4)，则AB的垂直平分线方程为(A.x-3y+7=0 B.3x-y[解析]解：设线段AB的中点坐标为(x,则x=5-12=2,y=直线AB的斜率k=4-2所以AB的垂直平分线的斜率为3，则AB的垂直平分线方程为y-3=3(即3x-y-考点三两条直线的相交、距离问题例3（1）直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在A.-24 B.6 C.±6 D.-[解析]解：因为两条直线2x+3y-k=0和x-ky所以3b-k=0，-kb+12=0，（2）若三条直线x+y-3=0，x-y+1=0，mx+A.5 B.6 C.23 D.2[解析]解：联立x+y-3=0因为三条直线x+y-3=0，x-y+1=0则点(m,n)到原点的距离的最小值为原点到直线x+2y=5（3）若两平行直线3x-2y-1=0，6x+ay+c=0[解析]解：依题意知，63=a-2≠c-1，解得a=-4又两平行线之间的距离为21313，所以|c2+1|32+(-2)2=21313【点拨】求两条直线的交点坐标，一般思路就是解由这两条直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点.距离的求法：①点到直线的距离，可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式.②两平行直线间的距离，利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；或利用两平行线间的距离公式d=变式3.（1）经过两条直线x+y-3=0和x-2y[解析]解：联立x+y-3=0，x-2y+3=0，得交点为(1,2).又由题知，所求直线斜率为-2,（2）直线l过点P(-1,2)且到点A(2,3)和点B(-4,5)的距离相等，则直线l的方程为x+[解析]解：（方法一）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y-2=k(x由题意知|2k-即|3k-1|=|-3k-所以直线l的方程为y-2=-即x+3y当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-1，也符合题意（方法二）当AB//l时，直线l的斜率k=kAB=-13，直线当l过AB的中点(-1,4)时，由直线l过点P(-1,2)直线l的方程为x=-1故所求直线l的方程为x+3y-5=0故填x+3y-5（3）直线l1，l2分别过点M(1,4)，N(3,1)，它们分别绕点M和N旋转，但必须保持平行，那么它们之间的距离dA.5 B.4 C.13 D.3[解析]解：当直线l1，l2都与MN垂直时，它们之间的距离取得最大值，且为d=|MN考点四对称问题例4（1）点P(2,5)关于直线x+y+1=0[解析]解：设点P(2,5)关于直线x+y+1=0则b-5a-2⋅(-1)=-1,a+22+b+52故填(-6,-（2）已知直线l:2x-3y+1=0，点A(-1,-2)，则直线l关于点[解析]解：（方法一）在l:2x-3y+1=0上任取两点，如P(1,1),N(4,3),则P，N关于点A的对称点P易知P'(-3,-5)，N'(-6,-7)，由两点式可得l'的方程为（方法二）设Q(x,y)为l'上任意一点，则Q(x因为Q'在直线l上，所以2(-2-x)-3(-4-y)+1=0，即2x（3）直线l1:2x+y-4=0关于直线l[解析]解：解方程组2x+y-4=0,x-y+2=0,得直线l1与直线l的交点A(23,83)则x+22-y2+2=0,yx又直线l2过A(23,83)和C(-2,4)两点，故由两点式得直线l2的方程为【点拨】关于中心对称问题的处理方法：①若点M(x1,y1)及N(x,关于轴对称问题的处理方法：①点关于直线的对称.若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称，则线段P1P2的中点在l上，且连接P1P2变式4.（1）点A(-2,a)与点B(b,-3)关于直线l[解析]解：由题意知点A与点B的中点P的坐标为(b-22,a-32)，因为P在直线l上，所以b-22+2⋅a-32-a=0，得（2）直线l1:y=2x+3关于直线l:[解析]解：由y=2x+3，y=x+1，得直线l1所以可设直线l2的方程为y+1=即kx-y在直线l上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l1，l2|k-2+2k-1|k2所以直线l2的方程为x-2y=0考点五直线系及其应用例5求证：动直线(m2+2m+3)x[答案]证明：（方法一）令m=0，则直线方程为3x+再令m=1时，直线方程为6x+联立①②，得方程组3x+y+1=0将点A(-1,2)代入动直线(m(m=(3-1-2)m2故点A(-1,2)的坐标恒满足动直线方程，所以动直线(m2+2m（方法二）将动直线方程按m降幂排列整理得，m2(x不论m为何实数，①式恒为零，所以有x-y+3=0，故动直线恒过点(-1,2).【点拨】对证明直线系过定点问题,常用方法有恒等式法和特殊直线法,恒等式法就是将直线方程化为关于参数的恒等式形式,利用参数为R,则恒等式的系数为0,列出关于x,y的方程组,通过解方程组,求出定点坐标；特殊直线法就是取两个特殊参数值,得到两条特殊直线,通过求出这两条直线的交点坐标并代入原直线系方程检验,即得定点.变式5.若点P(-2,-1)到直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λA.[0,13) B.[0,13] C.([解析]解：把直线l的方程化为(x+由方程组x+y-2=0,3x+2y-5=0,解得x=1,y=1,又|PA|=(-2-1)2+(-1-1)2=13，且PA与直线3x+2y-5=0垂直，即点P到直线3x+2y-【巩固强化】1.直线2x+y+m=0和A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.不能确定[解析]解：由方程组2x+y+m=0,x+2y再由两直线的斜率分别为-2和-12，斜率之积不等于-另解：由题意，k1=-2,k2=-12,又k1≠k2.已知两直线方程分别为l1:x+y=1，l2:axA.2 B.-2 C.12 D.[解析]解：因为l1⊥l2，所以a2=-13.若O为坐标原点，P是直线x-y+2=0上的动点，则|OP|A.22 B.2 C.3 D.2[解析]解：由题意，为使|OP|取最小值，只需OP与直线x-则|OP|min=4.若两平行直线l1:x-2y+m=0(m>0)A.0 B.1 C.-2 D.-[解析]解：因为l1//l2，所以1×(-6)≠2m，1×n又l1，l2之间的距离是5，所以|m+3|1+4=5，得m=2或5.已知直线l1:y=2x+3，直线l2与l1关于直线yA.12 B.-12 C.2[解析]解：直线y=2x+3与y=-x的交点为A(-1,1)，直线y=2x+3上的点(0,3)关于y=-x的对称点为B（-3，0），又A6.【多选题】下列说法正确的是(AB)A.动点A，B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:xB.点(0,2)关于直线y=x+1C.当点P(3,2)到直线mx-y+1-2m=0D.过点(2,1)且与直线3x-2y[解析]解：A项中，点M所在直线的方程为l:x+y+m=0，根据平行线间的距离公式得|m+7|2=|m+5|B项中，(0+12,2+12)在直线y=x+1上，且(0,2),C项中，直线mx-y+1-2m=0过定点Q(2,1)，所以点P(3,2)到直线mx-y+1-2m=0D项中，设要求的直线方程为2x+3y+m=0，把点(2,1)代入可得4+3+m=0，解得m=-77.已知点A(3,2)和B(-1,4)到直线ax+y+1=0的距离相等，则a=[解析]解：（方法一）利用点到直线的距离公式,可得|3a+2+1|a2+1=|-a+4+1|（方法二）直线ax+y+1=0与直线AB平行,或过线段AB的中点,即4-2-1-3=-a或a×3-12+2+42+1=0,8.已知直线l经过直线2x+y-5=0（1）点A(5,0)到l的距离为3，求l[答案]解：经过两已知直线交点的直线系方程为(2x+y-5)+所以|10+5λ-解得λ=2或λ=所以l的方程为x=2或4x（2）求点A(5,0)到l的距离的最大值[答案]由2x+y-5=0如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|（当l所以dmax=|【综合运用】9.已知A(3,1),B(-1,2)，若∠ACB的平分线所在的直线方程为y=x+1，则A.2x-y+4=0 B.2x-y[解析]解：设点A关于直线y=x+1的对称点为A'(x0,y0)，则可得直线A'B的方程为2由2x-y+4=0所以C(-3,-2)所以直线AC的方程为y-1即x-2另解：求出点B关于直线y=x+1的对称点B'，所求即为AB'10.已知直线kx-y+2k+1=0与直线2x+yA.(-32,-1)C.(-∞,-13)∪(1[解析]解：联立kx-y+2k+1=0，2x+y-2=0所以1-2k2+k>0，则实数k的取值范围是(-13,111.将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m,n)重合，则m+A.345 B.365 C.283[解析]解：由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y=2x-3，它也是点(7,3)于是3+n2=2×7+故m+n=3412.△ABC中，A(1,5)，高BE，CF所在的直线方程分别为x-2y=0，x+5yA.x+4y=0 B.5x-y=28[解析]解：因为两边AB，AC上的高线方程分别为x+5y+10=0与x-2y=0，所以它们的斜率分别为-15，12，故AB和AC的斜率分别为5，-2整理为一般式可得5x-y=0联立方程组5x-y=0，x-2同理联立2x+y-7=0，x+5所以BC所在直线的方程为y=-35x故选C.13.已知a，b为正数，且直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平行，则2a[解析]解：由两直线互相平行可得a(b-3)=2b2a+3b=1.又a，b为正数，所以2a+3b=(2a+3b)⋅(2a+3b)=13+【拓广探索】14.【多选题】如图,直线l1,l2交于点O,点P是平面内的任意一点,若x，y分别表示点P到l1,l2的距离,则称(x,y)为点P的A.距离坐标为(0,0)的点有1个 B.距离坐标为(0,1)的点有2个C.距离坐标为(1,2)的点有4个 D.距离坐标为(x,[解析]解：对于A,若距离坐标为(0,0),则P到两条直线的距离都为0,P为两条直线的交点,只有一个,故A正确.对于B,若距离坐标为(0,1),则点P到直线l1的距离为0,到直线l2的距离为1,即点P在l1上,还在与直线l2距离为1的两条平行线上.l1与这两条平行线的交点有2个对于C,满足条件的点P为与l1距离为1的两条平行线和与l2距离为2的两条平行线的交点,一共有4个,故C对于D,若距离坐标为(x,x),则点P到两条直线的距离相等,则点P在∠MON及其外角的平分线上.满足条件的点P在两条互相垂直的直线上,故8.3圆的方程回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.【教材梳理】1.圆的方程（1）圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.（2）圆的标准方程：我们把方程(x-a)2+(y-b当a=b=0时，方程为x2+y2=r（3）圆的一般方程：对于方程x2+y2①当D2+E2-4F>0②当D2+E2③当D2+E2.点与圆的位置关系已知圆(x-a)2+(y位置关系d与r的大小关系图示点P的坐标特点点在圆外d>(x点在圆上d=(x点在圆内d<(x【常用结论】3.常见圆的方程的设法标准方程的设法一般方程的设法圆心在原点x2x2过原点(xx2圆心在x轴上(xx2圆心在y轴上x2x2与x轴相切(xx2与y轴相切(xx24.二元二次方程Ax2+Bxy5.以A(x1,y1)6.圆心为(a,b),半径为r的圆的参数方程为x=a1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.（1）圆心决定圆的位置，圆的半径决定圆的大小.(√)（2）方程(x+a)2+(y+b)2（3）方程x2-2ax+（4）若点M(x0,y0)不在圆（5）已知圆的方程为x2+y2-2y=02.若圆(x-1)2+(y-1)2A.2 B.-2 C.1 D.-[解析]解：由题意知直线y=kx+3过圆心(1,1)，即1=k+3，解得3.（2020年北京卷）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为(A)A.4 B.5 C.6 D.7[解析]解：由平面几何知识，知当且仅当原点、圆心、点(3,4)共线时，圆心到原点的距离最小，且最小值为dmin=(3-0)4.已知a∈R，方程a2x2+(a[解析]解：由已知方程表示圆，则a2=a+2，解得a=2当a=2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去当a=-1时，原方程为x2+y2+4x+8y-5=0，化为标准方程为(x+2)2考点一求圆的方程例1（1）过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1)[解析]解：（方法一）由已知kAB=0，所以AB的中垂线方程为x=3过B点且垂直于直线x-y-1=0的直线方程为y-1=-(联立①②，解得x=3,y=0,所以圆心坐标为(3,0)，半径所以圆C的方程为(x-（方法二）设圆的方程为(x-因为点A(4,1)，B(2,1)在圆上，故又因为b-1a-2=-1，解得a=3故所求圆的方程为(x-故填(x-（2）经过P(-2,4)，Q(3,-1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程为x2+[解析]解：设圆的方程为x2+将P，Q两点的坐标分别代入得2D又令y=0，得x2+设x1，x2是方程③的两根，则x1+x由|x1-x2|=6由①②④解得D=-2，E=-4故所求圆的方程为x2+y2-故填x2+y2-（3）已知三角形的三边所在直线方程分别为x+2y=5，2x-y=5[解析]解：设内切圆圆心为I(a,b)由点到直线的距离知r=|2又因为三角形的内心总在这三角形的内部，所以r=2由2a-b-5=a由2a-b-5=-(2将a=52代入①式，得b=56故所求圆的方程为(x-故填(x-【点拨】求圆的方程的方法主要是几何法与代数法，几何法确定圆心的位置的方法一般有：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；③圆心在圆的任意两条不平行的弦的中垂线的交点上；④两圆相切时，切点与两圆圆心共线.确定圆的半径的主要方法是构造直角三角形（即以弦长的一半、弦心距、半径组成的三角形），并解此直角三角形.代数法即设出圆的方程（标准方程或一般方程），用“待定系数法”求解a，b，r或D，E，F.求解三角形内切圆方程要注意:内切圆的圆心总在三角形的内部，因此需要应用有关知识判断绝对值中代数式的符号，否则会求出多解（其他的解是三个旁切圆的圆心）.变式1.（1）对于a∈R，直线(1-a)x+y+2a-1=0恒过定点A.x2+y2C.x2+y2[解析]解：由条件知(1-a)x+y+2a-1=0，可以整理为x+y-1+(2-（2）[2022年全国甲卷]设点M在直线2x+y-1=0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M[解析]解：（方法一）设圆心M(a,1-2a),半径为r,则r2=(a-3)（方法二）设A(3,0),B(0,1),则圆心M为线段AB的垂直平分线y=3x-4与已知直线2x+y-1=0的交点(1,-1).设半径为r,故填(x-（3）求以A(2,2)，B(5,3)，C(3,-1)[答案]解：设所求圆的圆心为(a,b)则有(2-a)2+(2-所以△ABC的外接圆的标准方程为(x考点二与圆有关的最值问题例2（1）已知实数x，y满足方程x2+（Ⅰ）yx[答案]解：原方程可化为(x-2)2+y2=3yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx=k，即y=kx.当直线y=kx与圆相切时（如图），斜率k取最大值或最小值，此时|2k-0|k（Ⅱ）y-x[答案]y-x可看作是直线y=x+如图所示，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距此时|2-0+b|2=3，解得b=-2±6,所以y-（Ⅲ）x2+y[答案]x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2,所以x2+y2的最大值是(2+（2）点(x,y)在曲线y=4-x[解析]解：曲线y=4-x2-2为圆x2+(y+2)2=4如图，AD=125，故所求为[5(AD-2),5BC]，即[2,18]（3）已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1，圆C2:(x-3)2+(y-4)A.52-4 B.17-1 C.[解析]解：圆心C1(2,3),C2(3,4),P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|-1，同理|PN|的最小值为|PC2|-3，则|PM|+|PN|的最小值为|【点拨】求解与圆相关的最值问题，基本思路是利用数形结合思想转化.（1）已知圆的半径为r，则①圆O上一点到圆外一点P的距离d的最大值和最小值分别为dmax=|OP|+r，dmin=|OP|-r；②圆上的点到与该圆相离的某条直线的距离d的最大值和最小值分别为（2）与圆上点(x,①形如u=y-bx-a②形如t=ax③形如(x-a)2+(y-④形如|ax+by+c|型的最值问题，可转化为动点(x,y求解形如|PM|+|PN|（其中M，N均为动点）且与圆C有关的折线段最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“变式2.（1）设点P是圆(x+1)2+(y-2)2=2A.2 B.22 C.32 D.[解析]解：因为(x+1)2+(y-2)2=2的圆心坐标为(-1,2)，半径为r=2，因此圆心到直线x-y-（2）设P(x,y)是圆(x-2A.6 B.25 C.26 D.36[解析]解：因为圆(x-2)2+y2=1的半径为1，圆心坐标为(2,0)，该圆心到点(5,-4)的距离为(2-5)2+(0+4)2=5，所以圆（3）设点P是函数y=-4-(x-1)2图象上的任意一点，点Q的坐标为(2[解析]解：函数y=-4-(x-1)2的图象表示圆(x-1)2+y2=4在x由于圆心(1,0)到直线x-2y-6=0的距离d=|1-2×0-6|12+(-2)2=5>2，故直线x考点三曲线的轨迹问题例3（1）已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(-1,0)，B（3,0（Ⅰ）直角顶点C的轨迹方程；[答案]解：（方法一）设C(x,y)，因为A，B，C因为AC⊥BC，且BC，AC的斜率均存在，所以k又kAC=yx+1，kBC=y因此，直角顶点C的轨迹方程为x2+（方法二）设AB的中点为D，由中点坐标公式得D（1,0），由直角三角形的性质知|CD|=12|AB|=2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆（由于A，B所以直角顶点C的轨迹方程为(x-（Ⅱ）直角边BC的中点M的轨迹方程.[答案]解：设M(x,y)，C(x0,y0)，因为B(3,0)所以x0=2x-3由（1）知，点C的轨迹方程为(x-将x0=2x-3，y0=2y因此动点M的轨迹方程为(x-（2）已知圆B:(x-3)2+y2=64，点A(-3,0)，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径BP相交于点QA.x216+y29=1 B.x[解析]解：连接QA，由已知得|QA|=|所以|QB|+|又|AB|=6<8根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以B，A为焦点，8为长轴长的椭圆，即2a=8,c则a2=16,b则点Q的轨迹方程是x216+y（3）已知点P(0,-3)，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足PA⋅AM=0，AM=-32MQ，当点A在[解析]解：设M(x设A(a,0)，Q(0,b)(b>0).已知P(0,-3)，则由PA⋅AM=0，得a由AM=-3(x-所以x-a=3由b>0，得y>0将a=-x2代入①，得-x2(x+x【点拨】求与曲线轨迹有关的问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法.①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；②定义法：根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程；③几何法：利用圆的几何性质列方程；④相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.变式3.（1）已知圆C的方程为x2+y2=4，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量OQ=OM+ON[答案]解：设点Q的坐标为(x,y)，点M的坐标为(x0,y因为OQ=OM+ON，所以(x,y)=(因为点M在圆C上，所以x02+y0所以动点Q的轨迹方程为x24（2）已知F1，F2分别是双曲线C:x24-y23=1的左、右焦点，P是C的右支上任一点，过F2作∠FA.圆 B.椭圆 C.直线 D.线段[解析]解：延长F2Q交PF1于点R连接QO,则|QO|=12|RF1|=12(|PF1|-|PR|)=12（3）【多选题】在一张纸上有一圆C:(x+2)2+y2=r2(r>0)与点M(m,0)(m≠-2)，折叠纸片，使圆C上某一点M'A.当-2-r<m<-2+B.当m=2，1≤r≤2时，点TC.当r=1，m=2时，点TD.当r=22，m=2时，在点T的轨迹上任取一点S，过点S作直线y=x的垂线，垂足为N，则△[解析]解：对于A，当-2-r<m<-2+r时，点M在圆C内，此时有|TM|+|TC|=|CM'|=r>|对于B，当m=2时，1≤r≤2时，T的轨迹是以点C，点M为焦点的双曲线，方程为x2r24-y24-r24对于C，当r=1，m=2时，由选项B，知双曲线方程为x214对于D，当r=22，m=2时，点T的轨迹方程为x2-y2=2直线SN的方程为y-q=-(x-p)，它与y=所以|ON|=22|所以S△SNO=12×|【巩固强化】1.已知点A(1,-1)，B(-1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是(A.x2+y2=2 B.x2+[解析]解：AB的中点坐标为(0,0)，|AB|=所以圆的方程为x2+y2=22.若方程x2+y2-4x+2A.(5,+∞) B.(-∞,5) C.[5,+∞) D.(-∞,5][解析]解：因为方程x2+所以D2+解得k<5.故选3.以点(3,-1)为圆心，且与直线3x+4y=0A.(x-3)C.(x+3)2[解析]解：由题意知，圆的半径r=|3×3-4|32+424.若经过点P(5m+1,12m)可以作出圆(x-1A.(-110,110C.(-113,1[解析]解：由题意,点P在圆外，所以(5m+1-1)2+(12m)2>1，解得|m5.已知圆x2+y2+ax+by+1=0关于直线xA.-2 B.±2 C.-4 D.[解析]解：圆x2+y2=1的圆心是坐标原点设(0,0)关于直线x+y=1的对称点为则m2+n2=1,n则点(0,0)关于直线x+y=1对称的点的坐标为(1,1)，所以圆x2+y2=1关于直线x+y=1对称的圆的方程为(x-6.在平面直角坐标系中，三点O(0,0),A(2,4)，B(6,2)，则△OAB[解析]解：设△OAB的外接圆方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0，由点O(0,0),A(2,4)，B(6,2)在圆上可得，F7.已知F1，F2是椭圆x24+y23=1的两焦点，P是椭圆上任一点，过焦点F2引∠F1[解析]解：延长F2Q交F1P的延长线于点R连接QO,则|QO|=12|RF1|=12(|PF1|+|PR|)=12(|P8.已知点(x,y)在圆（1）求x+y[答案]解：设t=x+y，则y=-x+t，t为直线y=-x+t在y由|2+(-3)-t|2=1，解得t=所以x+y的最大值为2-1（2）求yx[答案]yx可视为点(x,y)设过原点的直线的方程为y=kx，由|2k+3|k2+1=1所以yx的最大值为-2+233（3）求x2+y[答案]x2+y2+2x-4y+5=(x+1)2+(y-2)2所以x2+y2+2x-4【综合运用】9.已知圆C:x2+y2+2x-2A.5 B.6 C.5-1 D.[解析]解：圆C的标准方程为(x+1)2+(y-m)2=m2+4m+5.圆C的面积最小,则半径r=m2+4m+5最小,10.【多选题】已知点P(cosθ,sinθ)(θA.l恒过定点(4,0)B.|OP|=1（OC.P到直线l的距离有最小值，最小值为3D.P到直线l的距离有最大值，最大值为5[解析]解：直线l:x+my-4=0，当y=0|OP|=cos2点P的轨迹是以(0,0)为圆心，半径为1的圆，直线l过定点(4,0)，位置如图，由图可知，点P到直线l的距离最小值为0，故C错误；当直线l与x轴垂直时，圆心到直线的距离最大，最大值为4，所以P到直线l的距离有最大值，最大值为5，故D正确.故选ABD.11.与直线x-y-4=0和圆x2A.(x+1)2C.(x-1)[解析]解：圆x2+y2+2x-2y=0的圆心坐标为(-1,1)，半径为2又圆心(-1,1)到直线x-y-4=0的距离为62设所求圆的圆心为(a,b)，且圆心在直线x-y-4=0的左上方，则|a-b-4|2故所求圆的方程为(x-1)12.已知A(0,2)，点P在直线x+y+2=0上，点Q在圆C:x2[解析]解：因为圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=5，所以圆C是以C(2,1)为圆心，r=5为半径的圆.易知点A在圆C上，直线x+y+2=0与圆相离，设点所以|A'C|=(2+4)2+(1+2)2=35.连接A'C13.按照要求求动点轨迹：（1）（教材习题改编）已知动点M与两个定点A(-2,0)，B(4,0)的距离的比为12，求动点M[答案]解：设P(x,y),则2|所以4[(x+2化简得x2+y2+8x=0,（2）△ABC的两个顶点为A(0,0)，B(6,0)，顶点C在曲线y=x2+3上运动，求[答案]设△ABC的重心G(x,y则3x=0+6+m，由n=m2+3化为y=3(x则△ABC的重心G的轨迹方程为y=3(【拓广探索】14.【多选题】已知a>0，圆C:(x-aA.存在3个不同的a，使得圆C与x轴或y轴相切B.存在2个不同的a，使得圆C在x轴和y轴上截得的线段相等C.存在2个不同的a，使得圆C过坐标原点D.存在唯一的a，使得圆C的面积被直线y=x[解析]解：由条件可知，圆C的半径为1，圆心坐标为C(a,lna)，即圆心C对于A，当a=1时，圆C与y轴相切，当lna=±1，即a=e或1e时，圆C与x轴相切，所以满足要求的a对于B，若圆C在x轴和y轴上截得的线段相等，则圆心C到x轴和y轴的距离相等，故圆心C在y=±x上.又圆心C在y=lnx上，作图可知曲线y=lnx与y=x对于C，若圆C过坐标原点，则a2+(lna)2=1.如图可知，曲线y=lnx与圆x对于D，若圆C的面积被直线y=xe平分，则直线y=xe过圆心C(a,lna).则lna=ae，即需判断曲线y=lnx与直线y故选ACD.8.4直线与圆、圆与圆的位置关系1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆，圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题.【教材梳理】1.直线与圆的位置关系设圆的半径为r(r>0),圆心到直线的距离为d位置关系图示公共点个数几何特征直线、圆的方程组成的方程组的解相离0d>无实数解相切1d=两组相同实数解相交2d<两组不同实数解2.圆与圆的位置关系位置关系图示(R公共点个数几何特征(O两个圆的方程组成的方程组的解外离0d>无实数解外切1d=两组相同实数解相交2R-d<两组不同实数解内切1d=两组相同实数解内含0d<无实数解【常用结论】3.与切线、切点弦有关结论（1）已知⊙O1⊙O2⊙O①若点M(x0,yx0x(x-x0②若点M(x0,y0)在圆外，过点Mx0x(x-x0（2）圆x2+y2=y=（3）过圆x2+y2+Dx+Ey+F1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.（1）“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2（2）如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.(×)（3）如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.(×)（4）从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.(×)（5）如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切.(√)2.（教材例题改编）圆(x+2)2+y2=4A.内切 B.相交 C.外切 D.相离[解析]解：两圆圆心分别为(-2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d=42+1=17.因为3.已知圆x2+y2+2x-2y+a=0A.-2 B.-4 C.-6[解析]解：圆的标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a，圆心(-1,1)到直线x+y+2=0的距离d=|-1+1+2|12+4.[2020年浙江卷]已知直线y=kx+b(k>0)与圆x2+y2=1和圆[解析]解：由题意，C1,C2到直线y=kx+b的距离都等于半径，即|b|k2+12=|4k+b|k2+12考点一直线与圆的位置关系命题角度1位置关系判断例1（1）已知点M(a,b)在圆O:x2+y2A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定[解析]解：因为M(a,b)在圆O:x2+y2=1外，所以a2+（2）直线l:kx-y+1+2k=0(kA.0 B.1 C.2 D.1或2[解析]解：将直线l的方程变形为k(x+2)+1-y=0，x+2=0,1-y=0,可得x=-2,y=1,所以直线l过定点P(-2,1)，因为(-2)2+1【点拨】判断直线与圆的位置关系常见的方法：①几何法：利用d与r的关系.②代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断.③点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交；若点在圆上，直线与圆可能相切，也可能相交.上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法更适用于动直线问题.变式1.（1）若直线l:y=kx+1(k<0)与圆C:x2+4A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定[解析]解：因为圆C的标准方程为(x+2)2+(y-1)2=2，所以其圆心坐标为(-2,1)，半径为2.因为直线l与圆C相切，所以|-2k-1+1|k2+1=2，解得k=±1，因为k<0，所以k=-1，所以直线l的方程为（2）“a≥-3”是“直线y=x+1与圆(x-aA.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件[解析]解：圆心(a,0)到直线x-y+1=0的距离d=|a+1|2，r=2，直线与圆有公共点，则有d≤r，即|a+1|2≤2，解得-3≤a≤1，且命题角度2已知位置关系求参数值（范围）例2【多选题】若圆C:x2+y2-2x+4y-20=0A.-13 B.13 C.15 D.18[解析]解：圆C:x2+y2-2x+4y若圆C:x2+y2-2x+4y-20=0上有四个不同的点到直线l如图，即|4×1+3×(-2)+c|所以-13<c<17【点拨】已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时,可根据数形结合思想转化为直线与圆的位置关系问题，由此建立方程或不等式（组）求解.变式2.若对圆(x-1)2+(y-1)2=1上任意一点P(x,y)，A.(-∞,-4] B.[-4,6]C.(-∞,-4]∪[6,+∞) D.[6,+∞)[解析]解：依题意,|3x-4y+a|5+|3x-4y-9|5表示P(x,y)故圆心(1,1)到直线3x-4y+a=0的距离d=|3-4+a|命题角度3求圆的切线方程例3已知圆C:(x-（1）与直线l:x[答案]解：设切线方程为2x+则|2-2+m|5=10所以切线方程为2x+（2）过点A(4,-1)[答案]可知点A(4,-1)在圆上，故其为切点因为kAC=所以过切点A(4,-1)的切线斜率为-3所以切线方程为y+1=-3(x即3x+【点拨】求过定点的圆的切线方程时，首先要判断定点在圆上还是在圆外，若在圆上，则该点为切点，切线仅有一条；若在圆外，切线应该有两条.变式3.过点P(2,4)引圆(x-1)2+([解析]解：易知点P在圆外.当直线的斜率不存在时，直线方程为x=2当直线的斜率存在时，设直线方程为y-4=k(x-2)，即kx-y+4-2k=0，因为直线与圆相切，所以圆心(1,1)到直线的距离综上，切线方程为x=2或4x-3y+4=0.故填命题角度4求圆的弦长例4[2022年天津卷]若直线x-y+m=0(m>0)与圆(x-1[解析]解：圆(x-1)2+(y-1)2=3的圆心坐标为(1,1)，半径为3，圆心到直线x-【点拨】①一般来说，直线与圆相交，应首先考虑圆心到直线的距离、弦长的一半、圆的半径构成的直角三角形，由此入手求解；②圆O内过点A的最长弦即为过该点的直径，最短弦为过该点且垂直于直径的弦；③圆锥曲线的弦长公式为1+k2⋅变式4.已知圆x2+y2-6x=0A.1 B.2 C.3 D.4[解析]解：由x2+y2-6x=0可得(x-3)2+y2=9，则圆心C(3,0)，半径r考点二圆与圆的位置关系命题角度1位置关系判断例5（1）当实数k为何值时，两圆C1:x2+[答案]解：将两圆的一般方程化为标准方程，得C1:(x+2)则圆C1的圆心为C1(-2,3)，半径圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2=从而|C1当|50-k-1|<5<50-即14<k<34当1+50-k=5，即当|50-k-1|=5所以当k=14或k=34当50-k+1<5，即34<k（2）【多选题】已知圆C:x2+y2-2ax+aA.-3 B.3 C.2 D.-[解析]解：圆C的标准方程为(x-a)2+y2=1，圆心为(a,0)，半径r1依题意,两圆的圆心距d满足|r1-r2|<d<|r1故选CD.【点拨】与判断直线与圆的位置关系一样，利用几何方法判定两圆的位置关系比用代数方法要简捷些.其具体方法是：利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆的半径R和r，再根据d与R+r，d与R-变式5.（1）已知圆C:x2+y2-2x+m=0内切于圆(x+3)2+(A.2 B.3 C.4 D.5[解析]解：圆C的标准方程为(x-1)2+y2=1-m.由题意知，6-1-m=(-3-1)2+(-3-0)2=5，且1-m>0,解得m=0，圆C的标准方程为(x-（2）已知原点到直线l的距离为1,圆(x-2)2+(y-5)2=4A.1条 B.2条 C.3条 D.4条[解析]解：原点到直线l的距离为1,则直线l与圆x2+y2=1相切.又直线l与圆(x-2又两圆的圆心距d=(2-0)2+(5-0)2命题角度2两圆的公共弦例6求两圆x2+y2-2[答案]解：联立两圆的方程得x2+y2-2x+10y-（方法一）设两圆相交于点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则A，B两点的坐标满足方程组x-（方法二）由x2+y2-2x+10y-24=0，得(x-1设公共弦长为2l，由勾股定理得r2=d2+l2，即50=(3【点拨】求两圆公共弦，一般联立两圆方程消去x2与y2变式6.若圆x2+y2=a2与圆x2+y2A.2 B.±2 C.1 D.±1[解析]解：两圆的方程作差，可得公共弦所在的直线方程为a2+ay-6=0，原点O到直线a2+ay-6=0的距离为|学科素养·直曲联立中的数学运算典例已知圆C:x2+(（1）求证：对m∈R，直线l与圆C[答案]解：（证法一）圆C:x2+(y-1)所以圆心C到直线l:mx-y+1-所以直线l与圆C相交，即直线l与圆C总有两个不同交点.（证法二）因为直线l:mx-y+1-m=0过定点P（1,1），而点P(1,1)在圆C:x2+(y-1（2）设l与圆C交于不同两点A，B，若定点P(1,1)分弦AB为APPB=12[答案]设A(x1,y1),​​所以1-x1=12(x又由mx-y+1-m=0(1+m2)x2所以x1+x2由①②解得x1=3+m21+m2所以直线l的方程为x-y=0或【点拨】①数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等.②除了直线与圆的综合问题外，直线与椭圆、抛物线、双曲线等的综合问题也是高考考查数学运算核心素养的主要题型.变式.如图，已知圆O的方程为x2+y2=4，过点P(0,1)的直线l与圆O交于点A,B，与x轴交于点Q，设QA=λ[答案]证明：当AB与x轴垂直时，此时点Q与点O重合，从而λ=2，μ=23当点Q与点O不重合时，直线AB的斜率存在.设直线AB的方程为y=kx+1，A(x则Q(-1k,0).因为QA=λPA,QB=μ所以x1+1k=λx1,x所以λ+μ将y=kx+1代入得(1+k2显然Δ>0，则x1+x所以λ+μ综上，λ+μ为定值8【巩固强化】1.圆(x-1)2+(y+2A.相切 B.相交但直线不过圆心C.相交过圆心 D.相离[解析]解：由题意知圆心(1,-2)到直线2x+y-5=0的距离d=|2×1-2-5|22.已知直线l过点(2,-1)，则“直线l的斜率为34”是“直线l被圆C:(x-1)2+(yA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件[解析]解：直线l被圆C:(x-1)2+(y+3)2=4当直线斜率存在时，设斜率为k，则l:kx-y-2k-1=0，由|k+3-2k-1|k3.若两圆x2+y2=m和x2+A.(-∞,1) B.(121,+∞) C.[1,121] D.(1,121)[解析]解：x2+y2+6圆心距为d=(0+3)2+(0-4)2=5，若两圆有公共点，则4.【多选题】若圆x2+y2=r2(r>0)上恰有相异两点到直线4A.92 B.5 C.112 D.[解析]解：圆心(0,0)到直线4x-3y+25=0的距离d若圆上恰有一个点到直线4x-3y+25=0则r=4，若恰有三个点，则r=6故当圆x2+y2=r2(r>0)上恰有相异两点到直线5.[2020年全国Ⅱ卷]若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x-y-3=0A.55 B.255 C.35[解析]解：由于圆上的点(2,1)在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆至少与一条坐标轴相交，不合题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为(a,a)，则圆的半径为a，圆的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=a2.由题意可得圆心(1,1)到直线2x-y-3=0圆心(5,5)到直线2x-y-3=0所以，圆心到直线2x-y-3=0的距离为6.若直线y=mx+1与圆C:x2+y2+2x+2y=0A.-1 B.-12 C.34[解析]解：圆C:(x+1)2+(y+1)2=2,因为AC⊥BC,所以圆心C到直线y7.[2021年新高考Ⅰ卷]【多选题】已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2C.当∠PBA最小时,|PB|=32 D.当∠PBA[解析]解：lAB:x4+y2=1，即x+2y-4=0又圆的半径为4,则点P到直线AB的距离小于10,A正确;点P到直线AB的距离最小为115-4<2,B错误;点B故∠PBA最小（或最大）时,P为切点,PB=34-16=32,C,D8.已知过点P(3,4)作圆O:x2+y2=5的两条切线，切点分别为A，[解析]解：由PA,PB与圆O相切，可知P,A,O,B四点共圆，且该圆的半径为r=|PO|2=52，圆心为PO的中点(32,2)，所以该圆的方程为(x-32)2+(【综合运用】9.从点P(m,3)向圆(x+2A.26 B.5 C.26 D.23[解析]解：圆心为A(-2,-2)，半径r=2.由(m+2)因为|AP|=所以切线长l=|AP|10.【多选题】已知点A(2,0)，圆C:(x-a-1)2+(y-3aA.1 B.-1 C.12 D.[解析]解：设P(x,y)，由|PA|2圆C上存在点P，满足|PA|2+|PO|2=10，即圆(x-1)2+y211.已知圆C:(x-3)2+(y-1)2=1和两点A(-t,0)，B[解析]解：由题意可得点P的轨迹是以AB为直径的圆，当两圆外切时,有(3)2+12=t12.如图所示，一座圆拱桥，当水面在某位置时，拱顶离水面2m，水面宽12m，当水面下降1m[解析]解：以圆拱桥拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示.设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知得A(6,-2)设圆的半径为r，则C(0,-r)，即圆的方程为x2将点A(6,-2)代入方程①36+(r-2)2所以圆的方程为x2+(y+10当水面下降1m后，可设点A'的坐标为(x0,-3)(x0>0)，将A'所以水面下降1m后，水面宽为2x0=25113.已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y（1）求k的取值范围；[答案]解：由题设，可知直线l的方程为y=kx因为直线l与圆C交于两点，所以|2k-解得4-73所以k的取值范围为(4-7（2）若OM⋅ON=12，其中O[答案]设M(x1,y将y=kx+1代入圆C的方程(x-所以x1+x2=OM⋅ON由题设可得4k(1+k)1+k2+8=12，解得k因为圆C的圆心(2,3)在直线l上，所以|MN|=2【拓广探索】14.[2020年全国Ⅰ卷]已知⊙M:x2+y2-2x-2y-2=0，直线l:2x+y+2=0，P为l上的动点，过点P作⊙MA.2x-y-1=0 B.2x+[解析]解：⊙M的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=4，点依圆的知识可知，A,P,B,M四点共圆，且AB⊥MP，所以|PM|⋅|AB当直线MP⊥l时，|MP|min=5，所以直线MP:y-1=12(x-1)所以以MP为直径的圆的方程为(x-1)(x+1)+两圆的方程相减可得,2x+y+1=0，即为直线AB阶段集训6范围：8.1直线的倾斜角、斜率与方程∼8.4直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线3x-3y+4=0A.5π6 B.2π3 C.π[解析]解：设直线的倾斜角为θ，则tanθ=33，而θ∈[0,π)2.若直线x-y-m=0与直线mxA.22 B.522 C.32