高中数学多选题知识归纳总结含答案

一、函数的概念与基本初等函数多选题

X2-kx+l,x<Q

1.已知函数/(x)=,,下列关于函数y=/[/(x)]+1的零点个数的说

log2x,x>0

法中，正确的是()

A.当人＞1,有1个零点B.当我=一2时，有3个零点

C.当1＞左＞0,有4个零点D.当左=T时，有7个零点

【答案】ABD

【分析】

令y=o得/[/(x)]=T，利用换元法将函数分解为“力=/和/⑺=7,作出函数

/(X)的图象，利用数形结合即可得到结论.

【详解】

令y=0,得/[〃切=一1,设/(%)=/,则方程/[/(切=-1等价为/")=—1,

函数y=f一日+1,开口向上，过点(0,1),对称轴为尤

=；,由/(x)=g可知，此时x只有一

解，即函数y=/[/(x)]+l有1个零点，故A正确；

此时方程/«)=—1有一个根「=；,由/(X)=g可知，此时x有3个

解，即函数y=f[/(x)]+l有3个零点，故B正确；

对于C,当1>4>0时，图像如A,故只有1个零点，故C错误；

•.-/(/)=-1,此时方程/⑺=—1有3个根，其中乙=；,?2e(-l,0),r3e(-4,-3)S

/,(%)=g可知，此时x有3个解，由〃x)=f2e(—l,0),此时x有3个解，由

/(x)=r3eM,-3),此时x有1个解，即函数y=/[/(x)]+l有7个零点，故D正

确；

故选：ABD.

【点睛】

方法点睛：本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结

合是解决本题的关键，已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画

出函数的图象，利用数形结合的方法求解，属于难题.

|log2(x+l)|,x>-l

2.已知函数/(x)=,若关于X的方程/(x)=，"有四个不等实根为，

2(jr+2)\x<-l

X2,匕,<%2<x3<x4),则下列结论正确的是()

A.\<m<2B.sin%]—cos*〉。

C.4X3+x4>-1D.x；+考+log,“0的最小值为10

【答案】ACD

【分析】

画出了（x）的图象，结合图象求得机,西,々，七，2的取值范围，利用特殊值确定B选项错

误，利用基本不等式确定CD选项正确.

【详解】

画出/（X）的图象如下图所示，

由于关于X的方程/（x）=加有四个不等实根引，*2，*3，彳4（X1＜马＜七＜%4），

由图可知1＜加42,故A选项正确.

由图可知X,,当关于直线X=-2对称,故后生=-2,玉+々=-4，

由2-2）2=2（尤4―1）解得x=—3或x=—l,

所以一3<玉<-2,-2<x2<—1f

37r3".^2

-3<---<-2,当％=--“时，sinx{=cosx2=---,sinXj-cosx2=0»所以B选

项错误.

令2（*+2）-m^x<_1）,iog,〃2（z）=logwm=l，（x+2『log,"2=1,

2

2（x+2）log/7:V2=1,耳,％2是此方程的解，

所以或哨③Ur

故k+考+log,,行=X；+（-4-%＞+—~~-2

2（%1+2）

=2。+2）2+^~^+屋2卜。+2）2.^_^+8=10,

2（石+2）、2（内+2）

当且仅当2（内+2）2=1c\2，F=_\时等号成立,故D选项正确.

2（玉+2），

由图象可知log2（x,+l）=—Iog2（%4+1），

log?（f+l）+lOg2（Z+1）=0,（七+1）.（七+1）=1，

由|log2（x+l）|=l（x>-l）,解得X=1或x=-g,

由|k）g2（x+l）|=2（x>-l）,解得X=3或x=

31

所以一W4%3<一］/<x4<3,

4X3+X=4X,+-----1=4(X3+1)+------5

4x,+1七+1

x+l)=!,X=-3或x=_J_,

令4(x+l)=——

x+1'422

所以①的等号不成立，即4毛+%>-1，故C选项正确.

故选：ACD

【点睛】

求解有关方程的根、函数的零点问题，可考虑结合图象来求解.求解不等式、最值有关的问

题，可考虑利用基本不等式来求解.

3.已知函数=<x：；,则()

A./(X)的值域为(T”)

B.当时，/(x)>/(x2+l)

c.当a>0时，存在非零实数%,满足/(一/)+/(%)=。

D.函数g(x)=/(x)+a可能有三个零点

【答案】BC

【分析】

A.考虑a=2时的情况，求解出各段函数值域再进行判断；B.先根据条件分析/（X）的单

调性，再根据炉+1与x的大小关系进行判断；C.作出

y=x2+ax,y=-x2+ax,y=-x2+ax的函数图象，根据图象的对称性进行分析判断；

D.根据条件先分析出a€（0,1）,再根据有三个零点确定出。满足的不等式，由此判断出

。是否有解，并判断结论是否正确.

【详解】

A.当x>0时，y=2-'-l>0-l=-l,当xWO时，y=V+办=1+£|—：,取

a=2,此时y=（x+l）2—1之一1,

所以此时的值域为［—1,+8）,故A错误；

B.当“40时，y^x2+ax^x+^一：的对称轴为x=—羡20,所以/（x）在

（YO,0］上单调递减，

又因为“X）在（0,+8）上单调递减，且（）2+0xa=2-°-1，所以“X）在R上单调递

减，

又因为J+l—x=（x—g］+|>0,所以V+I>x,所以〃力>/卜2+1）,故B正

确；

交于（不，为），

因为点(乙)，贝))在函数y=—》2+ax的图象上，所以点(一天,一%)在函数y=x?+ox的图

象上，

所以/(%)+/(一$)=%+(一％)=。,

所以当〃>0时，存在/使得/(一%)+/(%)=0,故C正确；

D.由题意知：/(x)=-a有三个根，所以了(可不是单调函数，所以a>0,

又因为>=2-*-1€(-1,0),所以-ae(-l,O),所以ae(O,l),

~2\2

且丫=/+℃€--,+oc,若方程有三个根，则有一。>—幺，所以。>4或a<0,这

L4)4

与ae(O,l)矛盾，

所以函数g(x)=/(x)+a不可能有三个零点，故D错误，

故选：BC.

【点睛】

思路点睛：函数与方程的综合问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相

互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有：

(1)确定方程根的个数；

(2)求参数范围;

(3)求不等式解集；

(4)研究函数性质.

4.设函数/(%)=加〃{,一2|,3?,卜+2|}其中加〃{x,y,z}表示x，V，z中的最小者.下列说

法正确的有()

A.函数/(X)为偶函数

B.当时，有

C.当xwR时，

D.当xe[T,4]时，|/(X-2)|N/(X)

【答案】ABC

【分析】

画出了(x)的图象然后依据图像逐个检验即可.

【详解】

解：画出“X)的图象如图所示：

对A,由图象可知：/(力的图象关于y轴对称，故/(x)为偶函数，故A正确；

对B,当时，一/(x-2)=/(2-x)W2-x=/(x)；

当2<xW3时，0<x-2Wl,/(x-2)<x-2=/(x)；

当3<x44时，l<x-242,/(x-2)=2-(x-2)=4-x<x-2=/(x)；

当x±4时，x-2>2,此时有/(x-2)</(x),故B成立；

对C,从图象上看，当xw[0,+8)时，有成立，令，=/(x),贝「20,故

/[/(*)]</(X)，故C正确；

对D,取x=|，则，[-g)=/[£)=(，/图=；//(*一2)|<〃"，故D不正

确.

故选：ABC.

【点睛】

方法点睛：一般地，若/(x)=min{S(x),T(x)}(其中min{x,y}表示x,>中的较小

者)，则/、(x)的图象是由S(x),T(x)这两个函数的图象的较低部分构成的.

5.下列结论正确的是()

A.函数y=的定义域为[1,3],则函数y=/(2x+l)的定义域为[0,1]

B.函数“X)的值域为[L2],则函数/(x+1)的值域为[2,3]

C.若函数y=-无2+依+4有两个零点，一个大于2,另一个小于-1,则。的取值范围是

(0,3)

D.已知函数/(力=,+3耳,%€氏，若方程〃力一小一1|=0恰有4个互异的实数

根，则实数。的取值范围为(0,1)。(9,+8)

【答案】ACD

【分析】

根据抽象函数定义域及代换的方法可求函数的定义域，判断A,利用函数图象的平移可判

断函数值域的变换情况，判断B,利用数形结合及零点的分布求解判断C,作出函数

〃力=卜2+3.与y=4%—1]的图象，数形结合即可判断D.

【详解】

对于A,y=/（x）的定义域为[1,3],则由1＜2X+1W3可得y=/（2x+l）定义域为

[0,1],故正确；

对于B,将函数/（X）的图象向左平移一个单位可得函数/（X+1）的图象，故其值域相

同，故错误；

对于C,函数'=8（幻=一/+以+4有两个零点，一个大于2,另一个小于-：!■只需

加⑵〉。

〈:八C，解得0＜a＜3,故正确；

[g（-1）＞0

对于D,作出函数/（力=苗+3乂与y=a|x—1]的图象，如图，

-6-5-I-3-2-11123456789x

由图可以看出，时，不可能有4个交点，找到直线与抛物线相切的特殊位置。=1或

。=9,观察图象可知，当0＜。＜1有4个交点，当9＜。时，两条射线分别有2个交点，

综上知方程/（X）-4卜一1|=0恰有4个互异的实数根时，a«0,l）U（9,+8）正确.

故选：ACD

【点睛】

关键点点睛：对于方程实根问题，可转化为函数图象交点问题，本题中，/（X）=|X2+3X|

图象确定，而y=a|x—l|是过（1,0）关于x=l对称的两条射线，参数。确定两射线张角的

大小，首先结合图形找到关键位置，即a=1时左边射线与抛物线部分相切，a=9时右边

射线与抛物线相切，然后观察图象即可得出结论.

4

6.已知函数/（幻=%"+3（。为正整数），则下列判断正确的是（）

A.函数/（X）始终为奇函数

B.当。为偶数时，函数/（x）的最小值为4

C.当n为奇数时，函数./(X)的极小值为4

D.当〃=1时，函数y=f(x)的图象关于直线y=2x对称

【答案】BC

【分析】

由已知得了(—X)=(r)"+分n为偶数和n为奇数得出函数/(X)的奇偶性，可判

(-X)

断A和：当。为偶数时，》">0,运用基本不等式可判断B：当n为奇数时，令/=/，则

4

x>07>0;x<0,Z<0,构造函数g«)=1+7,利用其单调性可判断C；当〃=1时，取函

数/(x)=x+&上点p(l,5),求出点P关于直线y=2x对称的对称点，代入可判断D.

【详解】

因为函数/(幻=%"+3m为正整数)，所以/(-X)=(r)”+-^―,

X(一X)

44

当"为偶数时，/(—x)=(-x)”+x"+7=/(x),函数f(x)是偶函数;

(f)"

4

当〃为奇数时，/(一制=一不"+:二一/(工)，函数了。)是奇函数，故A不正确;

—X

444

当“为偶数时，/>()，所以/(x)=x"+丁2•下=4,当且仅当时,

即x"=2>0取等号，所以函数/(x)的最小值为4,故B正确；

4

+-

当”为奇数时，令r=x"，则x>(),/>0;x<0/<0,函数/(x)化为g(f)f

而g«)=f+；在(F,-2),(2,+8)上单调递增，在(-2,0),(0,2)上单调递递减,

44

所以g(f)=f+—在r=2时，取得极小值g(2)=2+—=4,故C正确；

t2

当〃=1时，函数/(x)=x+：上点尸(1,5),设点P关于直线y=2x对称的对称点为

《(为为),

岳-5__117

X。-12；9,即417191719

则，解得，而将外代入

2〉＜I**。=5+%

%

I22T

4

/(幻=尤+—不满足,

x

所以函数y=/(x)的图象不关于直线y=2x对称，故D不正确,

故选：BC.

【点睛】

本题考查综合考查函数的奇偶性，单调性，对称性，以及函数的最值，属于较难题.

TT

7.设函数g(x):s/力①x(3>0)向左平移丁个单位长度得到函数/(x),已知/(x)在［0,2兀］上有

5a)

且只有5个零点，则下列结论正确的是()

TT

A./(x)的图象关于直线x对称

B./(x)在(0,2〃)上有且只有3个极大值点，/(x)在(0,2〃)上有且只有2个极小值点

C./(x)在(0,而)上单调递增

1229

D.3的取值范围是［彳,而)

【答案】CD

【分析】

利用正弦函数的对称轴可知，A不正确；由图可知/*)在(0,2万)上还可能有3个极小值

37r

点，8不正确；由％<2万解得的结果可知，。正确；根据在(0,J)上递

1069

TT3乃

增，且乙<——，可知C正确.

1010。

【详解】

依题意得/'(x)=g(x+二)=sin［G(x+二)］=sin(3x+三)，T,如图：

5a)5。5co

Lrr37r

直线》=竺+*(keZ)对称,故A不正确;

co10。

对于8,根据图象可知，XA<2TT<XB,/(x)在(0,2万)有3个极大值点，f(x)在(0,2万)

有2个或3个极小值点，故8不正确，

一二+2=452〃24万

对于。，因为4:-----F—x——=----,

5a)25a)2co5co

71-7-2%29万一一24乃八297r“口1229

An-1-，所以----<7.71<解得—<CD<——

B5co5①co5a)5a)10

所以。正确;

TT1jr12乃3437r

对于C,因为—2+—T=——+-x—,由图可知了(%)在(0,——)上递增，

5G4569469106910口

因为0〈二29<3,所以二7i•一3二4上=7一t(1一3二)<0,所以/(x)在(07,i2)上单调递增，故

101010<u10co10

。正确；

故选：CD.

【点睛】

本题考查了三角函数的相位变换，考查了正弦函数的对称轴和单调性和周期性，考查了极

值点的概念，考查了函数的零点，考查了数形结合思想，属于中档题.

8.德国著名数学家狄利克雷(。万c/?/et,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定

/、fl,XG0

义了一个“奇怪的函数"y=/(x)=〈八「八其中R为实数集,Q为有理数集.则关于函

[0,XGQ2

数“X)有如下四个命题，正确的为()

A.函数/(X)是偶函数

B.G0Q,/(5+「)=〃石)+/(七)恒成立

C.任取一个不为零的有理数T,f(x+T)=/(x)对任意的xeR恒成立

D.不存在三个点4(%,,/(与))，3(々,/(々))，。(七，/(工3))，使得儿460为等腰直角三

角形

【答案】ACD

【分析】

根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可.

【详解】

对于A,若XW。，则—xeQ,满足/(x)=/(—)；若尤eC；Q,则—xe，满足

./-(%)=/(-%)；故函数f(x)为偶函数,选项A正确；

对于B,JR%1=zre=-7ie则+/)=/(())=1,

CRQ,X2CRQ,

/(%)+/(占)=0,故选项B错误；

对于C,若XW。，则尤+TeQ,满足/(x)=/(x+T)；若无egQ,则

X+TGCRQ,满足〃X)=:(X+T),故选项C正确;

对于D,要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：

①直角顶点A在y=l上，斜边在X轴上，此时点8,点C的横坐标为无理数，则8C中

点的横坐标仍然为无理数，那么点A的横坐标也为无理数，这与点A的纵坐标为1矛盾，

故不成立；

②直角顶点A在y=l上，斜边不在X轴上，此时点5的横坐标为无理数，则点A的横坐

标也应为无理数，这与点A的纵坐标为1矛盾，故不成立；

③直角顶点A在X轴上，斜边在y=l上，止匕时点3,点C的横坐标为有理数，则8C中

点的横坐标仍然为有理数，那么点A的横坐标也应为有理数，这与点A的纵坐标为0矛

盾，故不成立；

④直角顶点A在X轴上，斜边不在y=l上，此时点A的横坐标为无理数，则点8的横坐

标也应为无理数，这与点8的纵坐标为1矛盾，故不成立.

综上，不存在三个点/(3)),/(%)),。(刍，/(七))，使得AABC为等腰

直角三角形，故选项D正确.

故选：ACD.

【点睛】

本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识的运用能力，意在考查学生运用分类讨论思

想，数形结合思想的能力以及逻辑推理能力，属于难题.

9.高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一.

高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子"之称.有这样一个函数就是以

他名字命名的：设xeR,用口]表示不超过x的最大整数，则/、(x)=[x]称为高斯函

数，又称为取整函数.如：/(2.3)=2,/(一3.3)=T.则下列正确的是()

A.函数/(x)是R上单调递增函数

B.对于任意实数。，。，都有f(a)++『)

C.函数g(x)=/(x)-O¥(%。0)有3个零点，则实数a的取值范围是

34]「43

45」|_32

D.对于任意实数X,V，则/(x)=/(y)是|x-y|<l成立的充分不必要条件

【答案】BCD

【分析】

取反例可分析A选项，设出a,b的小数部分，根据其取值范围可分析8选项，数形结合

可分析C选项，取特殊值可分析。选项.

【详解】

解：对于A选项，〃1)="12)=1，故A错误；

对于8选项，令4=[句+r，〃=[可+q(r,q分别为a,b的小数部分)，

可知0,,r=a-[a]<l,[r+^]>0,

则/(a+6)=[同+回+r+q[=同+[可+[r+q]..[a]+[可=/(a)+/(。)，故B错

误；

对于C选项，可知当无4x<k+l,左eZ时，则/(x)=[x]=左，

可得F(x)的图象，如图所示：

函数g(x)=/(x)-ar(xoO)有3个零点,

，函数“X)的图象和直线>=口有3个交点，且(0,0)为外力和直线>=依必过的

点，

f341「43、

由图可知，实数a的取值范围是,故C正确；

对于。选项，当〃x)=/(y)时，即r,q分别为x,y的小数部分，可得0W"l,

,_引=卜］+_3_4卜卜_同<|1_0|=］；

当卜一)卜1时，取x=-0.9,y=0.09,可得国=-1,3=0,此时不满足

/(x)=/(y)，

故〃x)=〃y)是卜―乂<1成立的充分不必要条件，故。正确；

故选：BCD.

【点睛】

本题考查函数新定义问题，解答的关键是理解题意，转化为分段函数问题，利用数形结合

思想；

10.下列说法中，正确的有()

A.若a>8>0,则

ab

B.若a〉0,b＞0,a+b=l,则+的最小值为4

ah

C.己知/（力=］与一:，且/（1一。）+/（1—/）＜0,则实数。的取值范围为（-2,1）

D.已知函数/（x）=log2（3x2-ax+8）在［―1,+8）上是增函数，则实数。的取值范围是

（―11,-6］

【答案】BCD

【分析】

利用不等式的基本性质可判断A选项的正误；将。+方与_1+J_相乘，展开后利用基本不

ab

等式可判断B选项的正误；判断函数/（X）的单调性与奇偶性，解不等式

/（1一。）+/（1-。2）＜0可判断c选项的正误；利用复合函数法可得出关于实数a的不等

式组，解出。的取值范围，可判断D选项的正误.

【详解】

对于A选项，：。〉〃〉。，则A选项错误；

ha

对于B选项，人＞0,a+b=\,

当且仅当a=〃=L时，等号成立，所以，的最小值为4,B选项正确;

2ab

对于C选项，函数“X）的定义域为R,

任取玉、彳2eR且不<乙，则2*2>2为>0，

所以，

____27,

v->（2''+l2）+12J2''+12'2+1（2"+1）（2、+1）

即无2），所以，函数/、（x）为R上的减函数，

..x_l__l_2-（2'+l）_1-2'

,（勺—2'+12一2（2"+1）—2（1+2,），

e，/\］一2-2V（1-2-'）21，/、

则f（-X）=—/-----r=-----7-----r=—7----r=-f（X）,

1）2（l+2-x）2-2v（l+2-x）2（2'+1）1）

所以，函数/（X）为R上的奇函数，且为减函数，

由+可得/（1_乃＜_/（1_/）=/（/_］）,

所以，a2-1<1-a，即/+4一2<0，解得一2<a<l,C选项正确；

对于D选项，对于函数/（力=1082（3》2—0¥+8）,令必=3/一公+8，

由于外层函数y=log2u为增函数，则内层函数"=3/—奴+8在［-1,+8）上为增函数，

£<_1

所以1%一,解得一U<aW-6,D选项正确.

«min=3+a+8>0

故选：BCD.

【点睛】

方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的

不等式来求解，方法是：

（1）把不等式转化为/［g（x）］>/［A（x）］；

（2）判断函数/（x）的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号脱掉，得到

具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.

二、导数及其应用多选题

11.在湖边，我们常看到成排的石柱子之间两两连以铁链，这就是悬链线（Catenary）,

其形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名.选择适当的坐标系后,

XX

悬链线的方程是一个双曲余弦函数=a.coshf_1=a•竺士丝其中。为非零常

数，在此坐标平面上，过原点的直线与悬链线相切于点T（%,/（%））,则亍的值可能

为（）（注：［可表示不大于x的最大整数）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】AC

【分析】

求出导数，表示出切线，令/=幺，可得（1一。/+（1+/）/'=0,构造函数

〃（x）=（l—x）e*+（l+x）eT,可得〃（x）是偶函数，利用导数求出单调性，结合零点存在

性定理可得-2<迎<一1或即可求出.

【详解】

XX

ea-ea

V/(%)=«­

22

马_^0

ea+e0

・••切线斜率”匕尸，.../5)=a------------

2

一出一为

则切线方程为v_〃e"+e"=e"—e"

y__2___2-

里-E项出

••・直线过原点，…乙券=三匕㈠。)

令r=中，则可得+

令〃(x)=(l-x)e'+(l+x)eT,贝也是〃(x)的零点，

-：h{-x)-[\+x)e'x+{\-x)ex-h^x),/?(x)是偶函数，

”(x)=—x{ex+e-"),

当x>0时，〃'(x)<0,旗x)单调递减，

•.•〃⑴=2e-i>0,妆2)=-/+3e-2<0,

.■/(X)在(1,2)存在零点f,由于偶函数的对称性Mx)在(—2,—1)也存在零点，

且根据单调性可得〃(x)仅有这两个零点，

.•.-2<区<-1或1<区<2,

aa

：.包]=-2或1.

a

故选：AC.

【点睛】

本题考查利用导数求切线，利用导数研究函数的零点，解题的关键是将题目转化为令

t.,(1一/)/+(1+。/=0,求/z(x)=(l—x)e'+(l+x)eT的零点问题.

12.已知/。)=/访》，g(x)=1g,/'(x)是〃x)的导函数，则下列结论正确的是

X

()

A./(幻在e”,+8上单调递增.

7

B.g(X)在(0,+8)上两个零点

3

C.当。<%<%2<0时，机(芭2—々2)</(办)一/(々)恒成立，则加之］

D.若函数A(x)=/(x)-OX只有一个极值点，则实数

【答案】ACD

【分析】

求出导函数/'(X),由/''(X)>0确定增区间，判断A,然后可得g(x),再利用导数确定

g(x)的单调性与极值，结合零点存在定理得零点个数，判断B,构造函数

(p(x)=f(x)-nvc2,由9(x)在((),e)上递减，求得加范围,判断C,利用导数研究版x)

的单调性与极值点，得。的范围，判断D.

【详解】

f'(x)=x(2Inx+l)(x>0),令f\x)>0,

八1」，“

得21n尤+1>0nlnx>—=^>x>e2,故A正确

2

21nx+1

g(x)

x

l2]nx

■.■g'(x)=~>,令g'(x)>0得lnx<」nx<%,g'。)<()得丫<[，

(2

故g(x)在Od上为减函数，在/+8上为增函数.

7k7

当Xf时，g(x)fro；当x->+oo时，85)—0且8。)>0

，g(x)的大致图象为

・•.g(x)只有一个零点，故B错.

记9(x)=f(x)-mx2,则9(x)在(0,e)上为减函数,

(p'(x)=x(21nx+1)-2mx<0对xe(0,e)恒成立

2/w221nx+1对xe(0,e)恒成立

3

2m>3m>—.

2

故C正确.

h(x)=f(x)-ax=x2\nx-ax,

•：h'(x)=x(21nx+1)-a,设“(x)=x(21nx+1),

〃(x)只有一个极值点，/7(x)=0只有一个解，即直线y=a与y=〃(x)的图象只有一个

交点.

"'(％)=2(lnx+l)+l=21nx+3,

3

•.•"'(X)在(0,E)上为增函数，令”'(x)=0,得％

当xe(O,Xo)时，〃'(x)<0；当xe(Xo，+oo)时，H'(x)>0.

二”(x)在(0,%)上为减函数，在(%,+0。)上为增函数，

”(%)=/2xf-j]+1=-2/<0，

3

xc(O,Xo)时，21nx+l<21n/i+l=-2<0,即“(幻<°，且时，

H(x)f(),又X-+8时，"(X)->+8,因此"(x)的大致图象如下(不含原点)：

直线丁=。与它只有一个交点，则420.故D正确.

故选：ACD.

【点睛】

关键点点睛：本题考查用导数研究函数的性质，解题关键是由导数确定函数的单调性，得

出函数的极值，对于零点问题，需要结合零点存在定理才能确定零点个数.注意数形结合

思想的应用.

13.设函数./'("=优7“(〃>1)的定义域为(0,+8),已知“X)有且只有一个零点，下

列结论正确的有()

A.a-eB..f(x)在区间(l,e)单调递增

C.尤=1是/(x)的极大值点D./(e)是〃力的最小值

【答案】ACD

【分析】

〃x)只有一个零点，转化为方程"-£=0在(。,+8)上只有一个根，即处=则只有

xa

Inx

一个正根.利用导数研究函数〃(x)=—的性质，可得a=e,判断A,然后用导数研究

x

函数/(幻=/-9的性质，求出了'(X),令/'(%)=(),利用新函数确定了'(X)只有两个零

点1和e,并证明出了‘(X)的正负，得/(X)的单调性，极值最值.判断BCD.

【详解】

“X)只有一个零点，即方程优_£=0在(0,+8)上只有一个根，/=£,取对数得

x\na=a\nx,即'2=四9只有一个正根.

xa

设力(幻=2，则〃*)=匕学，当0<x<e时，”(幻>0,以尢)递增，工90时，

xx

/2(x)f-oo,时，h\x)<0,〃(x)递减，此时/i(x)>0,

〃(幻max=〃(6)=一・

e

・••要使方程“竺=则只有一个正根.则胆=2或叱<0,解得a=e或。<0,又

xaaea

-：a>\,Aa=e.A正确：

/(x)=ex-xe,J"(x)=ex-ex'T,

f'(x)="一ex"-'=0,eJ=上,取对数得x-1=(e-1)Inx,

易知x=l和x=e是此方程的解.

设，(x)=(e-l)lnx-x+l,p\x)=-~--1,当0<x<e-l时，p'(x)>0,p(x)递

x

增，x>e-l时，p'(x)<0,p(x)递减，p(e-l)是极大值，

又p(X)-p(e)-0,

所以p(x)有且只有两个零点，

1ex

0cx<1或x>e时，p(x)<0,即(e-l)lnxcx-l,y-<,ex-'<e,

f(x)>0,同理l<x<e时，f'(x)<0,

所以/(x)在(0,1)和(e,+oo)上递增，在(l,e)上递减，所以极小值为/(e)=0,极大值为

/⑴，

又/(0)=1,所以/(e)是最小值.B错，CD正确.

故选：ACD.

【点睛】

关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性.解题关键是确定/(X)的零

点时，利用零点定义解方程，/'(x)=e'-ex"T=0,e*T=xi，取对数得

x-l=(e-l)Inx,

易知x=1和x=e是此方程的解.然后证明方程只有这两个解即可.

14.已知函数“疝2x，则下列说法正确的是()

A.函数y=/(x)是偶函数，且在(7,+8)上不单调

B.函数y=/'(x)是奇函数，且在(7,内)上不单调递增

C.函数y=/(x)在(一令0)上单调递增

D.对任意都有/(卜司)=/(〃?)，且/(加)20

【答案】AD

【分析】

由函数的奇偶性以及函数的单调性即可判断A、B、C、D.

【详解】

解：对A,L----+4sin2—=-~--2cosx)

八,,2靖

定义域为R,关于原点对称，

_i_1v,1

-2cos(-x)=—；---2cos。)=/(九)，

e----------------e

，y=/(x)是偶函数，其图像关于>轴对称，

，/(x)在(9,+°0)上不单调，故A正确；

对B,fr(x)=ex---+2sinx,

fr(-x)-e~x———+2sin(-x)=-(ex-----1-2sinx)=-fr(x),

e~xex

・・・ra)是奇函数，

令g(x)=---y+2sinx,

则g'(x)="+——h2cosx>2+2cosx>0,

ex

.../'(只在(7,”)上单调递增，故B错误；

对C,•/f\x)=ex---+2sinx,且/'(无)在(口,+8)上单调递增，

ex

又•."'(0)=0，

r.xe[-],0)时，f\x)<0,

...旷=/(%)在(一5,0)上单调递减，故C错误；

对D,•••y=/(x)是偶函数，且在(0,+8)上单调递增，

.,./(|m|)=/(m),且/(加)2/(0)=0,故。正确.

故选：AD.

【点睛】

用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：

⑴在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；

(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增(或递减)区间写成并集形式；

⑶利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程

中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.

15.已知函数/(x)=W，则下列结论正确的有()

A.“X)在区间(0,可上单调递减

B.若。〈玉c/W),则%小抽%>当小皿玉

C./(X)在区间(0,句上的值域为[0,1)

D.若函数g(x)=xg'(x)+cosx,且g(乃)=-1,g(x)在(0,可上单调递减

【答案】ACD

【分析】

先求出函数的导数，然后对四个选项进行逐一分析解答即可，

对于选项A：当时，可得/'(x)<0,可得/(%)在区间(0,上单调递减;

jrjr

当XG5,万，可得了'(X)<O,可得“X)在区间­,7l上单调递减，最后作出判断;

对于选项B:由/(X)在区间(0,句上单调递减可得/(石)>/(々)，可得

詈〉*进而作出判断

sinXXQinrr

对于选项C：由三角函数线可知sinx<x,所以一一<一=1,，(乃)=——=0,进而

XX71

作出判断；

qjnx

对于选项D：g'(x)=g'(x)+xg"(x)-sinx,可得g"(x)=----=/(》)，然后利用导

数研究函数g'(x)在区间(0,可上的单调性，可得g'(x)Wg'(»)=0,进而可得出函数

g(x)在(0,句上的单调性，最后作出判断.

【详解】

、xcosx-sinx/八i

f(刈=------7-----，xw(0,句，

当,寸，cosx>0,由三角函数线可知x<tanx,

sinx

所以x<---—,BPxcosx<sinx,所以xcosx-sinx<0,

cos九

所以〃x)<o,所以〃x)在区间[o《

上单调递减,

当xe—,7u,cosx<0,sinx>0,所以xcosx—sinx<0,//(x)<0,

所以/(x)在区间争上单调递减，

所以/(X)在区间(0,可上单调递减，故选项A正确；

当0<%<工24万时，/(石)>/(々)，

所以世上>任竺1,即占与11%2<%2，0缶%，故选项8错误；

X]X2

sinYxQIn7T

由三角函数线可知sinx<x,所以——<-=1./(万)=+」=(),

XX71

所以当xe(0,句时，/(x)e[0,l),故选项C正确；

对g(x)=xg'(x)+cosx进行求导可得：

所以有g'(x)=g'(x)+xg"(x)-sinx,

所以g"(x)=婴=仆),所以g"(x)在区间(0,可上的值域为［0,1),

所以g”(x)20,g'(x)在区间(0,司上单调递增，因为g'(4)=0,

从而g'(x)Wg'(»)=0,所以函数g(x)在(0,可上单调递减，故选项。正确.

故选：ACD.

【点睛】

方法点睛：本题考查导数的综合应用，对于函数/(》)=干的性质，可先求出其导数，然

后结合三角函数线的知识确定导数的符号，进而确定函数的单调性和极值，最后作出判

断，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.

16.对于定义在A上的函数〃x)和定义在&上的函数g(x),若直线

y="+6(匕beR)同时满足：①Vxe£)1,f(<x)<kx+b,(2)VxGO2,

g(x)>kx+b,则称直线y=Ax+b为/(x)与g(x)的"隔离直线".若,

g(x)=e'T,则下列为/(x)与g(X)的隔离直线的是()

1X11

A.y=xB.y=c.y=-D.y=­x——