高一数学必修第一册第二章全部学案

新版高一数学必修第一册第二章全部学案

第二章一元二次函数、方程和不等式

2.1等式性质与不等式性质（共2课时）

（第1课时）

学习目标

1.会用不等式（组）表示不等关系；

2.能够运用作差法比较两个数或式的大小.

重点难点

1.用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，用不等式（组）研究含有不等关系的问题;

2.运用作差法比较代数式大小，对学生数学运算的要求较高

知识梳理

1.我们用数学符号“尹"N"、连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含

有这些符号的式子，叫做.

2.不等式中文字语言与数学符号之间的转换

大于小于大于等于小于等于至多至少不少于不多于

3.比较两实数大小基本方法:

（1）两个实数大小的比较原理

①差值比较原理：设a、bSR,贝ija>boa-b>0,

a=b=a—b=0,a〈b=a—b<0.

②商值比较原理：设a、bWR+,则如l=a>b,

aa

H=l=a=b,g<l=a<b.

（2）两个实数大小比较的一般步骤

①作差比较法其一般步骤是：

作差T变形T判断符号一确定大小.

注：作差比较大小的关键是作差后的变形，作差变形中，可采用配方、因式分解、通分、有理化等

手段进行恒等变形（常数、几个平方和的形式或几个因式积的形式）.变形的过程是至关重要的，无

论施以什么方法，最终要变到能够判断符号为止.注意变形过程中要保持等价性及正确性.

学习过程

（一）、情境导学

1.购买火车票有一项规定：随同成人旅行，身高超过1.1m（含1.1m）而不超过1.5m的儿童，享受半

价客票、加快票和空调票（简称儿童票），超1.5m时应买全价票.每一成人旅客可免费携带一名身高

不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票.从数学的角度，应如何理解和表示“不超

过”“超过”呢?

2.展示新闻报道：明天白天广州的最低温度为18℃,白天最高温度为30℃。

（二）、探索新知

探究一用不等式表示不等关系

例1.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm

两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍.试写出满足上述所有不

等关系的不等式.

归纳总结;

跟踪训练：

1.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.根据市场调查，若单价每提高0.1元，销

售量就可能相应减少2000本，若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍

不低于20万元？

2.某工厂在招标会上，购得甲材料xt,乙材料yt,若维持工厂正常生产，甲、乙两种材料总量至

少需要1203则x、y应满足的不等关系是（）

A.x+y>120B.x+y<120

C.x+y>120D.x+><120

探究二比较数或式子的大小

我们学习了关于实数大小比较的•个基本事实：

（1）数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数.

根据这个公理，我们可用什么方法来比较实数的大小？

步骤是什么？第一步，第二步，第三步，第四步

例2.已知x<y<0,比较（f+V）（x-y）与（f一V）（x+y）的大小.

归纳总结；

跟踪训练

1.设M=W,N=-x—l,则M与N的大小关系是（）

A.M>NB.M=NC.M<ND.与x有关

2.比较/+）2+1与2（x+y-l）的大小；

3.设“GR且a知，比较a与5的大小.

达标检涮

1.完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元,请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预算20

000元,设木工x（xX））人，瓦工.丫。20）人，则关于工资满足的不等关系是（）

A.5x+4y<200B.5x+4y>200C.5x+4y=200D.5x+4乃200

2.若A吟+3与B=：+2,则A与B的大小关系是（）

A.A>BB.A<BC.A>BD.不确定

3.已知甲、乙两种食物的维生素A,B含量如下表：

食物甲乙

维生素A/（单位4g）600700

维生素B/（单位/kg）800400

设用xkg的甲种食物与ykg的乙种食物配成混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位的维生

素A和63000单位的维生素B.试用不等式组表示所满足的不等关系.

4.将一个三边长度分别为5,12,13的三角形的各边都缩短X,构成一个钝角三角形，试用不等式（组）表示

x应满足的不等关系.

5.比较下列各组中的两个实数或代数式的大小：

（1）2X2+3与x+2,xGR;（2）a+2与3,.GR,且«#1.

课堂小结

1.用不等式（组）表示不等关系时,应遵循“一找（不等关系）;二析（涉及的量）;三设（设出合理的未知数）;

四列（不等式（组））”.

2..作差法比较两个实数的大小时，关键是作差后变形，一般变形越彻底越有利于下一步的判断.

'因式分解

配方

'通分

.分类讨论

3.本节课的学习过程中，重点渗透了数学建模思想和函数思想.

参考答案：

探究一例1.［解析］设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根,

'500x+600)W4000G+6)W40

3胃，即,3x>y

依题意，可得不等式组：<

x>0x>0

<y>0<y>0

归纳总结;用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤:

①审题.通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量.找出体现不等关系的关键词：“至少”“至

多,，”不少于,，“不多于,，“超过,，”不超过,，等.②列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约

束条件，将各约束条件用不等式表示.

跟踪训练：

X—25

1,解析］提价后杂志的定价为x元，则销售的总收入为(8——5『xo.2)x万元，那么不等关系“销售

的收入不低于20万元”用不等式可以表示为：

x—25

(8疗-x0.2)於20.

2.［解析］由题意可得x+yN120,故选C.

探究二例2.［解析］Vx<j<0,孙>0,

x~y<0,(x2+y2)^—y)—(x2—j^Xx+y)=­2xy(x-y)>0,

(x2y)>(x2—}^)(x+y).

归纳总结：比较两个实数(或代数式)大小的步骤

(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；

(2)变形：对差进行变形(因式分解、通分、配方等)；

(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；(4)作出结论.这种比较大小的方法通

常称为作差比较法.其思维过程：作差T变形T判断符号T结论，其中变形是判断符号的前提.

跟踪训练

13

1.［解析］M—N=x2+x+1=。+］)2+1>0,:・M>N,故选A.

2.［解析］W+丁+1-2(x+y-1)=W-2x+1+/-2y+2=(x-l)2+(y-1)2+1>0,

.•・/+)2+1>2(x+y—1).

当a=±l时，4=(；

当一1V4Vo或。>1时，〃>>；当〃v—1或ov〃v1时，

达标检测

1.【答案】D

2.【解析】由于A-B吟+3・(：+2)=d)+江：>0,

所以4>8,故选A.【答案】A

3.【解析】由题意知xkg的甲种食物中含有维生素A600r单位，含有维生素B800x单位,ykg的乙种

食物中含有维牛.素A700y单位，含有维生素B400y单位，则xkg的甲种食物与ykg的乙种食物配成的

混合食物总共含有维牛.素A(60(k+700.v)单位，含有维生素B(800x+400.v)单位，

<600%+700y>56000,(6x4-7y>560,

।川彳J800%+400y>63000,即4x4-2y>315,

x>0,x>0,

.y>0,<y>0.

故当a>l时,a+2>二；当a<\吐a+2〈二.

1-a1-a

4.【解析】各边都缩短x后，长度仍然为正数，只要最短边大于零即可，因此5-x>0.而要构成三角形，还

要满足(5-x)+(12-x)>13-x.当三角形是钝角三角形时，应使最大角是钝角，此时只需最长边所对的角是

钝角即可，因此(5-X)2+(12-X)2<(13-X)2,

'5-x>0,

故x应满足的不等关系为](5。)+(12-x)>13-x,

(5-x)2+(12-x)2<(13-x)2.

5.【解析】⑴因为(2x2+3)-(x+2)=2x2-x+l=2(x])2+念(>0,

所以2r+3>x+2.

I3(a+2)(l-a)-3-a2-a-la2+a+l

(2)(〃+2)--=-------------=--------=---------.

1-a1-a1-aa-1

2

由于a2+a+l=(a+工)+->->0,

屐

所以当«>1时，+a+!>0即a+2>—；

a-11-a

当a<\时，吐％<0,即a+2<—.

a-11-a

2.1等式性质与不等式性质（第2课时）

学习目标

1.掌握常用不等式的基本性质；

2.会将一些基本性质结合起来应用。

重点难点

1.将不等关系用不等式表示出来，理解并证明不等式的性质;

2.并能用不等式.的性质证明一些简单的不等式；

知识梳理

一、设计问题，温故知新

问题1:等式的性质有哪些?请大家用符号表示出来.

问题2:根据等式的这些性质，你能猜想不等式的类似性质吗?请大家加以探究.

性质别名性质内容注意

1对称性a>b=___=

2传递性a>b,b>c=>____n

3可加性a>b<=>a+c__b+c可逆

a>b\

八(=>ac__be

OOJ——c的

4可乘性

a>h\符号

八r=>tzc__be

c<0J——

同向a>b]

5=>a+cb+d同向

可加性c>dJ]―

同向同正同向

6,八bd

可乘性c>d>Q\—

7可乘方性eN*,H>2)

同正

8可开方性a>b>0=>yf[a>fy[b(n£N”,n>2)

学习过程

二、新知探究

试证明下列不等式的性质

⑴对称性

不等式两边互换后,再将不等号改变方向，所得不等式与原不等式等

文字语言

价

符号语言a>bo______

作用写出与原不等式等价且异向的不等式

跟踪训练.1.与论(〃-2)2等价的是().

A./n<(rt-2)2B.(«-2)2>/HC.(n-2)2</nD.(M-2)2<W

(2)传递性

如果第一个量大于第二个量，第二个量大于第三个量，

文字语言

那么第一个量大于第三个量

符号语言a>b,b>c=_________

变形a>b,b>c=>a>c;a<b,b<c=>a<c;a<b,b<c=>a<c

作用比较大小或证明不等式

你能证明吗？

(3)加法法则

不等式的两边都加上同一个实数,所得的不等式

文字语言

与原不等式_________.

符号语言a>b=^>a+c>___________

变形a<b=>a^-c<b+c；a>b^a+c>b+c

作用不等式的移项，等价变形

(4)乘法法则

不等式的两边都乘同一个正数时,不等号的方向丕变；

文字语言

都乘同一个负数时,不等号的方向一定要改变.

符号语言a>b9c>0=>____________；a>b,c<0=>____________

a>b,c>O=^ac>bc；a>b,c<O=>ac<bc；a<b,c>O^>ac<bc；a<b,c<O=>ac>bc

变形

a<h,c>O=>ac<bc；a<h,c<O=>ac>hc

作用不等式的同解变形

(5)加法单调性

文字语言两个同向不等式相加，所得不等式与原不等式_________.

符号语言a>h9c>d=>a-^c>h+d

变形a<b,c〈dna+c〈b+d；a>b,c>d=^a+c>b^-d；ci<b,c<d^a+c<b+d

作用由已知同向不等式推出其他不等式

(6)乘法单调性

文字语言两边都是正数的两个同向不等式相乘，所得的不等式与原不等式—.

符号语言a>b>O,c>d>O=^ac>bd

作用两个不等式相乘的变形

(7)正值不等式可乘方

当不等式的两边都是_______时，不等式两边同时

文字语言

乘方所得的不等式与原不等式_________.

符号语言a>b>g______（〃CN,且〃21）

作用不等式两边的乘方变形

跟踪ill练2.给出下列结论：

①若ac>bc,则a>b；②若a<b,贝Uac2<b(r；③若十弓则〃④若a>b,c>d,贝Ua-c>b~d\

⑤若a>b,c>d,则ac>bd.

其中正确结论的序号是,

典例解析：用不等式的性质证明不等式

例1已知a>b>0,c〈d<0,e<0,求证：

a-cb-a

跟踪训练1：若bc-*O,bd>0,求证：

典例解析：利用不等式的性质求取值范围

例2已知一行<我多，求气心的范围.

跟踪训练2：已知l<a<2,3<6<4,求下列各式的取值范围：

(l)2a+h；(2)a—b；(3)p

达标检涮

1.已知。<板0,c<d<0,那么下列判断中正确的是（）

A.a—c<b-dB.ac>bdC.^<~D.ad>bc

2.若〃、b、c£R,且〃>/?,则下列不等式中一定成立的是（）

A.a+b>b—cB.ac>bcC.P*0D.（a~b）c2>0

a-b

3.设2<a<3,-2<b<-l,则2&b的范围是.

4.己知c<d<0.求证:W

课堂小结

一、不等式的性质

性质别名性质内容注意

1对称性a>b=____<=>

2传递性a>b,b>c=>_____=>

3可加性a>boa+c___b+c可逆

a>b\

八（=>cicbe

c>Oj——c的

4可乘性

a>b\符号

n（=^acbe

c<0\——

同向a>b]

5j=〃+c_b+d同向

可加性c>d]―

同向同正a>b>0同向

60QC___hd

可乘性0d>0

7可乘方性a>b>^a,l>b\neN*,论2)

同正

8可开方性a>b>0=>y[a>y[b(n£N*,n>2)

二、运用不等式解决的基本问题由那些？

参考答案:

新知探究

(1)证明：：b>瓦.：a-b>0,由正数的相反数是负数，得-(a-b)vO.

即b-a<(),.：b<a,同理可证，如果从小那么a>h.

跟踪训练1.答案:C

(3)iiEBJh"."(a+c)-(b+c)=a-b>0,.'.a+c>b+c.

(4)证明:ac-Z>c=(a-Z?)c..根据同号相乘得正，异号相乘得负，

得当c>0时,(a-〃)c>0,即“c>bc;当c<0时,(a»)c<0,即ac<bc.

(5)证明严>】="c>：+Bna+c»+d

c>dnb+c>b+dJ

(6)证明:丁4泌>0,c>0,,：ac>/?c,'/c>d>0,b>0,/.bc>bd./.ac>bd.

跟踪训I练2.解析①当c>0时'由ac>bc=〃>b,当。<0时，由〃c>0c=>〃v。，故①错.②当H0时,

由。vbnadcbd,当c=0时，由。<匕势〃/〈历2,故②错.

(3)V^<^<0,/.tz<0,b<0,ab>Q,；・：ab</ab,即b<cu:,a>b,故③正确.

④：c>d,.■・一(,<—d,又a>b,两不等式不等号的方向不同，不能相加，...a-c>b—d错误.

…a>b>0]a>b>00><7>/?]

⑤…(=^ac>hd八\^>ac<bd,但*ac>hdj令ac>bd.

c>d>0)f0>c>d.c>d>^\

典例解析例1.Vc<J<0,・・・一0—於0,

XVa>b>Ofc)>6+(—")>0,

BUa-c>b-d>0,.-.0<—

又・・Z<0,.17r7Tz

跟踪训练.解析：":be一(也0,:.adWbc,/.ad+bd<bc+bd,

ad+hdhc+bda+hc+d

<bd>3,----------<----------•———<------

,*bd~bd，,•6-d•

例2解析：一行〈啰，工一睛寸，一抬两式相加,

2<^<2-7-4<254,•一冬一招，•一冬丫与

▽々,a-.ita~

又.a<p9•・一,y0...一五_2V0，

跟踪训练(l)・・・lv〃<2,・・・2<2。<4,</3<Z?<4,：,5<2a+h<S；

(2)3<b<4,，-4<-b<-3>X>•<1<a<2,/.—3<a—b<—1

(3)*.,3<Z?<4,X\<a<2,

达标检测

1.解析：根据不等式的同向同正的可乘性知，B正确.答案：B

2.解析：Va>h,6>0.选项A中，当c=0时，(a-\-b)—(h—c)=a+c,由于“ER,则选项A不

成立；选项B中，ac-bc=c{a~b),由于cGR,则选项B不成立；选项C中，由于c《R,则/对，

c2

丁宝0,则选项C不成立；选项D中，a-b>0,/川，.•.(a—6)c合0,则选项D成立.

答案：D

3.解析：4<2a<6,-2<b<-l,Al<-b<2,由同向不等式相加得到5<2a-b<8

答案:5<2a-b<8

4.解析：c<d<0，，-c>—6/>0..•.()<一：<一［a>b>0,

两边同乘以一1,得

【新教材】2.1等式关系与不等式关系(人

教A版)

学习目标

1、知识目标

i.掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题.

2.进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小.

3.通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。

2、核心素养

1.数学抽象：不等式的基本性质；

2.逻辑推理：不等式的证明；

3.数学运算：比较多项式的大小及重要不等式的应用；

4.数据分析：多项式的取值范围，许将单项式的范围之一求出，然后相加或相乘.(将减法转化

为加法，将除法转化为乘法)；

5.数学建模：运用类比的思想有等式的基本性质猜测不等式的基本性质。

重点难点

重点：掌握不等式性质及其应用.

难点：不等式性质的应用.

学习过程

一、预习导入

阅读课本37-42页，填写。

1.两个实数比较大小的方法

a-b>0<=>ab

作差法■a-b=Q<^>ab(a,beR);

a-b<0ab

b

b

作商法，—b(a£R,b>0).

b

2、不等式的基本性质

：<1=〃—b

[b

①、对；

②、一

③、a>

④、a>

⑤、a>l

⑥、a；

3.重要不等式

.殷的，Ya,bwR,有a2+b2>2ab

当且仅当a=6时，等号成立.

a2+12

一般的，7a,beR,/iab<——-——

当且仅当a=6时，等号成立.

小试牛刀

1.完成一项装修工程,请木工共需付工资每人400元,请瓦工共需付工资每人500元,现有工人工资预

算不超过20000元,设木工x人，瓦工y人,x,yeN*,则工人满足的关系式是（）

A.4x+5yW200B.4x+5y<200

C.5x+4y<200D.5x+4y<200

2.若a>b,x>y,则下列不等式正确的是（）

A.a+x>b+yB.a-x>b-y

C.ax>byD.->

ab

3.用不等号填空：

(1)若a>b,贝!Jac2______be2.

(2)若a+b>0,b<0,则ba.

(3)若a>b,c<d,贝!]a-c_______b-d.

自主探究

L_________________________________4

题型一不等式性质应用

例1判断下列命题是否正确：

⑴a>b,c>b=>a>c()(2)a〉b=>ac'>be2()

,.ab，/、

⑶a>b,c>dnac>bd()(4)—>—=>a>b()

cc

(5)a>b^>a2>b2()(6)a>\t\=>«2>b2()

(7)a>b>O,c>d>Q=>—>—()

cd

跟踪训练一

1、用不等号”>”或"〈”填空：

(1)如果a>b,c<d,那么a-cb-d；

(2)如果a>b>0,c<d<0,那么acbd；

(3)如果a>b〉O,那么吃言

a2b2

(4)如果a>b>c>0,那么工：

ab

题型二比较大小

例2(1).比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小

(2).已知a>b>0,c>0,求£>

ab

跟踪训练二

1.比较(x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小.

2.已知a>b,证明a>>b.

题型三综合应用

例3(1)已知2<a<3,-2<b<-1,求2a+b的取值范围.

(2)对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四弦五”勾股定理的特例，

而西方直到公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理.如果一个直角三角形的斜

边长等于5,那么这个直角三角形面积的最大值等于.

跟踪训练三

1.某学习小组，调查鲜花市场价格得知,购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元,而购买4

只玫瑰与5只康乃馨所需费用之和小于22元.设购买2只玫瑰花所需费用为A元，购买3只康乃馨所

需费用为B元，则A,B的大小关系是()

A.A>B

B.A<B

C.A=B

D.A,B的大小关系不确定

当堂检涮

1.设〃>0,且l<b"</，则（）

A.0<h<a<\B.0<«<£><1C.\<b<aD.\<a<b

2.若a<b<3则下列不等式错误的是（）

22

A.-<-B.---->-C.Itzl>\b\D.a>b

aba-ba

3.已知a=l,b=6-y[^,c=a-加,则a,b,c的大小关系是

A.a>b>cB.a>c>hC.h>c>aD.c>h>a

4.已知12<a<60,15<h<36,则/的取值范围为________.

b

5.若awR,且。<0,则a,/,一。，一片从小到大的排列顺序是一

6.已知％,求证：X24-2y2>2xy4-2y—1.

7.已知a,b,x,y都是正数，且x>y,求证」—

abx+ay+b

答案

小试牛刀

1.A

2.A

3.⑴》(2)<⑶)

自主探究

例1【答案】(1)X(2)X(3)X(4)V(5)X(6)V(7)X

跟踪训练一

【答案】(1)>(2)<(3)<(4)<

例2【答案】(1)见解析(2)见证明

【解析】(1)因为(x+2)(x+3)-(x+D(x+4)

=x2+5x+6-(x2+5x+4)

=2>0,

所以(x+1)(x+2)>(x+l)(x+4)

(2)证明：因为a>b>0,所以ab>0,々>0,

ab

于是即]>2

ababba

由c>o,得£>[

ab

跟踪训练二【答案】(1)见解析(2)见证明

【解析】⑴解:(x+3)(x+7)-(x+4)(x+6)

=x2+10x+21-(x2+10x+24)o

=-3<0

所以(x+3)(x+7)V(x+4)(x+6)

(2)证明

aa+b_2a-(a+b)_a-b)0a+ba+b-2ba-b

；b=>0

2222

所以a>手〉b.

例3【答案】(1)见解析⑵弓

【解析】：(1)4<2a<6,-2<b<-l,2<2a+b<5.

22

(2)设直角三角形的斜边长为c,直角边长分别为a,b,由题意知c=5,则a+b=25,则三角形的面积

22

Sfb,：25=a+b22ab,...abW^则三角形的面积S=；abW；x个=字,即这个直角三角形面积的最

222224

大值等于日.

4

跟踪训练三【答案】A

【解析】由题意得，*2X=A,3y=B,

l—x*1oy乙乙,

A+g>8,

整理得x=^,y=|,

2A+y<22,

将A+|>8乘-2与2A+|B<22相加,解得B<6,将B<6代入A>8-g中,解得A>6,故A>B.

当堂检测

1-3.CBA

1a.

4.-<—<4

3b

22

5.-a<—a<a<a

6.【答案】见解析

【解析】由题意x2+2y2-(2xy+2y-1)=x2-2xy+y2+y2-2y+1=(x-y)2+(y-l)2>0

x2+2y2>2xy+2y-1成立.

7.【答案】见解析

【解析】•；a,b,x,y都是正数，且沁,x>y,

x、yajb■/a...b,4口nc-x+a_y+b

・二>»<<▼故V'+l，EPO<-<^.

•一>去

x+ay+b

第二章一元二次函数、方程和不等式

2.2基本不等式（共2课时）

（第1课时）

学习目标

1.推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号2”取等号的

条件是：当且仅当两个数相等；

2.通过实例探究抽象基本不等式；通过多媒体体会基本不等式把＜痴等号成立条件,

2

掌握运用基本不等式求最值；

重点难点

1.从不同角度探索不等式J拓2的证明过程，会用此不等式求某些简单函数的最值;

2

2.基本不等式字44ab等号成立条件；

2

知识梳理

一、情境导学

（1）如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵

爽的弦图设计的，赵爽是为了证明勾股定理而绘制了弦图。

弦图既标志着中国古代的数学成就，又象一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们。

思考1：这图案中含有怎样的几何图形？

思考2：你能发现图案中的相等关系或不等关系吗？

（2）探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形A.BCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角

形的两条直角边长为a,b（a/?），那么正方形的边长为万寿.这样，4个直角三角形

的面积的和是2ab,正方形的面积为

由于4个直角三角形的面积之和小于正方形的面积,

我们就得到了一个不等式：a2+b2>2ab.

问题1.思考证明：你能给出它的证明吗？

学习过程

二、新知探究

基本不等式：如果a>0,b>0,我们用及、斯分别代替a、b,可得a+bN2而，通常我们把上式

写作：基本不等式之J茄（a>0,b>0）（当且仅当“学时，取等号）

（1）在数学中，我们称孚为心。的算术平均数，称J益为小。的几何平均.数.本节定理还可

2

叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的儿何平均数.此不等式又叫均值不等式。

探究1.从不等式的性质推导基本不等式

如果学生类比重要不等式的证明给出证明，再介绍书上的分析法。

分析法证明：证明不等式j茄（。>0/>0）

探究2.理解基本不等式空22的几何意义

2

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连

接AD、BD.

你能利用这个图形得出基本不等式J茄4二2的几何解释吗？

2

（1）AB表示什么？（2）巴笠表示哪个线段？（3）J茄对应哪个线段呢?

（4）0D与CD的大小关系如何？

典例解析：

利用基本不等式求最值

例1.（1）已知”>0/>0,〃/?=36,求〃+阴勺最小值。

（2）已知Q>O,b>O,a+Z?=18,求必的最大值。

基本不等式的使用条件

例2、1.⑴已知xvO,求函婀=的最小值

x

⑶若0<x<g,求函数y=x（l-2x）的最大值。

3

跟踪训练L设OvxV],求函数y=4x（3-2幻的最大值。

2.函数/Xx）=4r3+-7人能否用基本不等式求最小值？

Jf+2

达商检涮

1.下列不等式中，正确的是（）

A.。+今4B,a2+/;2>4rz/?C.yfab^-^D.*+区2小

2.若。>1,则。+占的最小值是（）

A.2B.aC.刎^D.3

a—1

3.若a,b都是正数，则（1+匀（1+与）的最小值为（）

A.7B.8C.9D.10

4.已知£>0,）>0,且则x+y的最小值为.

课堂4,结

我们学习了重要不等式合+序》而：基本不等式；两正数4、6的算术平均数（二2）,几何平均

2

数（J茄）及它们的关系（州产2/茄）.它们成立的条件不同，前者只要求〃、人都是实数，而

后者要求4、6都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具（下一节我们

将学习它们的应用）.

参考答案：

问题1.证明：因为a2+b2-2ab=[a-b^

­：（«-/>）2>0,:.a2+b2>2ab,当且仅当a=b时等号成立

探究1：证明：要证”之而

2

只要证a+bN2j法只要证a+b—2J益20只要证储一方120,显然,

是成立的.当且仅当a=b时，（3）中的等号成立.

探究2：易证RtZkACDsRtaDCB,那么CD?=CA-CB即CD=疝.

这个圆的半径为字，显然，它大于或等于CD即冬NJ法，

22

其中当且仅当点C与圆心重合.，即时，等号成立.

一因此：基本不等式J拓4皇几何意义是“半径不小于半弦”

例1(1)解析：Qg3而

\a+b?2y[ab=12(当且仅当〃=〃二6时取等)

(2)解析：Q而等，述？(卓)2(y)2=81

(当且仅当a=人=9时取等)故"的最大值为81

例2.(1)解：/(X)=JC+L=-[(-X)+G，)]?2.(-%)?(-)=-2

xxVx

当且仅当-x=-•即x=-1时有最小值-2

X

(2)Qx>3,\y=x+—=(x-3)+—+3?2J(x3)?—3=5

x-3x-3vx-3

当且仅当X-3=」一，即x=4时，函数有最小值，最小值为5。

x-3

(3).解：***0<x<—,Q1-2x>0,

2

.八c、八八、口/括x+(l-2%)~1

\y=x(l-2x)=(I-2x)W-jg--------=—

当且仅当2x=(L2x),即1=,时，取“=”号..•.当X=L时，函数y=x(L2x)的最大值是.

44

跟踪训练(1)W：QO<x<-\3-2%>0

2

⑵由基本不等式知+2+-1.?2bx22?-^^=2

dx2+2\J厂+2

当且仅当J%2+2=即f+2=1时取等,而这是不可

\Jx2+2

能的，故此函数不能用基本不等式求最小值。

达标检测

1.解析：选D.aVO,则。+卜4不成立，故A错;a=1,h=1,a2+b2<4ah,故B错，a=4,h=l6,

则我〈审，故C错；由基本不等式可知D项正确.

2.解析：选所以“一1>0,

所以。+，7=。一l+」~7+G2'/(a-1)■—[-7+1=3.当且仅当a—即。=2时取等号.

a-1a—\\ja-1a~1

3.解析：选C.因为“，人都是正数，所以(1+^)0+与)=5+(+咨5+2\J^^=9,

当且仅当h=2a>0时取等号.

4.解析：x+)，=(x+y).g+3=10+；+备10+^=10+6=16.

2.2基本不等式(第2课时)

学习目标

1.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题；

2.围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心，发展数学抽象和数学建

模的核心素养。

重点难点

重点：在实际问题中建立不等关系，并能正确运用基本不等式求最值;

难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件

知识梳理

一、小试牛刀

1.判断正误.（正确的打7”，错误的打"x”）

⑴对任意的“，h&R,若a与6的和为定值，则仍有最大值.（）

（2）若冲=4,则x+y的最小值为4.（）

（3）函数次x）=f+zrj'的最小值为2陋一1.（）

2.已知x+y=l且x>0,y>0,则:+；的最小值是（）

xy

A.2B.3C.4D.6

学习过程

二、新知探究

问题1.用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最

短。最短的篱笆是多少？

//////////

结论1:____________

问题2.用段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积

最大，最大面积是多少？

结论2：____________

（三）典例解析

均值不等式在实际问题中的应用

例1、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800根③，深为3m。如果池底每平方米的造

价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低造价为多少元？

跟踪训练1.某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场,

其总面积为3000n?,其中场地四周（阴影部分）为通道，通道宽度均为2\

m,中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地

形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米./

（1）分别写出用x表示y和S的函数关系式（写出函数定义域）；

（2）怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？

2.某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格为每件x（50人80）元时，每天销售的件数为

若想每天获得的利润最多，则销售价应定为多少元？

X—4（r

【归纳总结】

利用基本不等式证明简单的不等式

例2已知a,b都是正数，且a+b=\,

求证：（1+3（1+汜9,

跟踪训练3.已知：a,b,c^R,求证：与+詈+'Na+b+c.

达标检涮

1.已知正数。、6满足"=10,则a+b的最小值是（）

A.10B.25C.5D.2股

2.小王从甲地到乙地和从乙地到甲地的时速分别为a和伙a。），其全程的平均时速为V,则（）

A.a<v<y[abB.v—y[ab

I-a+ba+b

C.\ab<v<~~2—D.v=~—

3.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4