高三数学简易教学立体几何小学案23 垂直证明3：涉等腰三角形

《立体几何》专题23-1垂直证明3：涉等腰三角形

（7套7页）

知识点：

等腰三角形:（注意：以下题目只需要做垂直证明部分，二面角等内容不做。）

等腰三角形三线合一，底边上的中线，垂直于底边。

典型例题：_

1.已知如下左图正四面体SABC的侧面积为486，0为底面正三角形ABC的中心.（1）

求证：SA±BC；。）

2.（2021年江苏G04南京六校联考）如下右图，在四棱锥P—ABC。中，已知PC,底面

ABCD,AB±AD,

AB//CD,AB=2„AD=CD=\,BC=PC,E是尸B的中点.

（1）求证:尸平面EAC（"）

（2）求二面角尸一AC—E的大小.

随堂练习：

1.如下左图，A,B,C,D为空间四点，在△ABC中，AB=2,AC=BC=V2,等边三角形

ADB以AB为轴运动。当平面ADB_L平面ABC时，求CD；（而）

2.如下右图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD,底面ABCD,侧棱PA=PD=0,底

面ABCD为直角梯形，

其中BC〃AD,AB±AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点，求证：PO_L平面ABCD；

《立体几何》专题23-2垂直证明3：涉等腰三角形

1.如下左图，已知四棱锥P—A5CD的底面ABCD是菱形，ZBAD^60°,PA^PD,0

为边的中点.

证明：平面P05_L平面*

2.(2021年江苏G12盐城)如下右图，在三棱锥尸一4BC中，APAC为等腰直角三角形,

NAPC=90°,AABC为正三角形，AC=2.

(1)证明：PB±AC；(vi)

(2)若平面PAC,平面ABC,求二面角ATC—2的余弦值.

3.（2021年江苏G13泰州）（本小题满分12分）如下左图，在三棱柱ABC-4B1C1中，底

面是边长为石的等边三角形ABC,AAi=2,点4在底面上的射影是△ABC的中心O.

（1）求证：平面平面BCG®；（疝）

（2）求二面角G-AB-C的余弦值.

4.（2021年新高考模拟5）如下右图，在直三棱柱ABC-A4G中，A5i=ACi=21

CC1=2A/3,ZBAC=120°,。为线段与G的中点，尸为线段CG上一动点（异于

点、C、G），。为线段3c上一动点，且QPLOP.

（1）求证：平面4PQ，平面A0P；

⑵若BO〃PQ,求直线OP与平面4PQ所成角的正弦值.（viii）

《立体几何》专题23-3垂直证明3：涉等腰三角形

1.如图，三棱柱ABC—45G中，CA=CB,AB^AAi,ZBAAi=60°,证明：AB±AiC；

cc

2.（2021年新高考模拟12）（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形,

PA，底面ABCD,PA=AB,£为线段PB的中点.

（1）证明：点户在线段BC上移动时，4AEF为直角三角形；

（2）若尸为线段BC的中点，求二面角A-EF-D的余弦值.C）

3.在三棱锥S-ABC中，AABC是边长为4的正三角形,平面SAC_L平面ABC,SA=SC=2百,

M、N分别为AB,SB的中点.证明：ACXSB；

《立体几何》专题23-4垂直证明3：涉等腰三角形

1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA_L平面ABCD,PA=AB=AD=2,四边形ABCD满

足AB_LAD,

BC〃AD且BC=4,点M为PC中点.求证：平面ADMJ_平面PBC；（xi）

2.（2021年河北G06沧州G09唐山）（12分）如图，在四棱锥PABC。中，底面ABCD

是边长为2的正方形，ZADP=90°,PD=AD,二面角尸—A。—3为60。，E为

尸。的中点.

（1）证明：CE1.平面BID（西）

（2）求平面ADE与平面ABE所成锐二面角的余弦值.

3.（2021年江苏002）（本小题满分12分）如图，三棱锥S—ABC的底面ABC和侧面SBC

都是等边三角形，且平面SBC_L平面ABC,点P在侧棱SA上.

（1）当P为侧棱SA的中点时，求证：SAL平面PBC；

PA

（2）若二面角P—BC—A的大小为60。，求一的值.（xiii）

SA

B

《立体几何》专题23-5垂直证明3：涉等腰三角形

1.（2020年湖南G301理）（本小题满分12分）如下左图，在四棱锥P-ABCD中，PA，底

面ABCD,AD1AB,AB//CD,AD=DC=AP=2,AB=1.点E为棱PC的中点。

（1）证明：PDlffiABE；GV）

（2）若F为棱PC上一点，满足BFLAC,求二面角F-AB-D的余弦值。

2.（2021年广东G14汕头）（本小题满分12分）如下右图，在四棱锥P—ABCD中，

丛，底面ABC。，AD±AB,AB//CD,AD=DC^AP^2,AB=1.点、E

为棱PC的中点.

（1）证明：PD,平面ABE；（xv）

（2）若尸为棱PC上一点，满足面_LAC,求二面角尸—A5—。的余弦值.

3.（2021年山东G01济南）（12分）如图1,在等腰梯形ABCD中，E为CD的中点，

AB=BC=CE,将AADE,ABCE分另ij沿AE,BE折起，使平面ADEJ_平面ABE,平面

BCEJ_平面ABE,得到图2.

（1）证明：AB//CD；（x，）

(2)记平面ADE与平面BCE的交线为I,求二面角D/C的大小。

《立体几何》专题23-6垂直证明3：涉等腰三角形

1.如下左图，在几何体ABCDE中，AB=AD=2,AB±AD,AE_L平面ABD,M为线段

BD的中点，_

MC〃AE,且AE=MC=〈I求证：平面BDC_L平面CDE；(xvii)

2.(2021年广东G02普宁)如下右图，在三棱柱一□/口/口/中，□□/_L平面ABC,

D,E,F,G分别为口口，AC,□□/的中点，□口=□□=V5>□□==2.

(1)求证：平面BEF；0颌)

(2)求二面角口一口□一口/的余弦值.

3.(2021年新高考模拟4)(12分)如下左图，在三棱锥尸—ABC中，平面PAC,平面

ABC,2\上4c为等边三角形，AB±AC,。是3C的中点.

(1)证明：AC±PD；

(2)若=求二面角£)—平面角的余弦值.。加)

4.（2021年湖南G09郴州）（本小题满分12分）如下右图2,四棱锥P-ABCD中，PAB

是边长为2的

正三角形，底面ABCD为菱形，且平面以如平面ABCD,48俏60°,£为"上

一占

八、、,

uur1uim

满足PE=—ED.（I）证明：AB1PC;（立）（H）求二面角P-AC-E的余弦值

2

BC

图2

《立体几何》专题23-7垂直证明3：涉等腰三角形

1.如下左图，已知平面AC。，£>EJ_平面ACO,△AC。为等边三角形，

AD=DE=2AB,歹为CD的中点.

(1)求证：AF〃平面3CE；

(2)求证：平面3CE，平面CDE；(")

2.(2021年湖南G08长郡中学)(本小题满分12分)如下右图，在四棱锥P-ABCD中，底

面ABCD是边长为20的正方形，平面以C_L底面ABC。，PA=PC=2y/2.

(1)求证：PB=PD；Oxii)

(2)点M,N分别在棱R4,PC,PM=AM,PN=CN,求直线PB与平面QMN所成

角的正弦值.

C

3.(2021年湖南G09郴州)(本小题满分12分)如下图2,四棱锥P-ABCD中，山小是

边长为2的

正三角形，底面ABCD为菱形，且平面为跳平面ABCD,ZABO^a，石为如上

—八占、、,

ULT1uum

满足PE=—ED.

2

⑴证明：ABLPC;(双")

(n)求二面角产的余弦值

图2

i答案：解：(1)证明：取的中点。，连结AO,SD

•••AA6C是等边三角形。是的中点,AD，BC

•••AS8C是等边三角形。是的中点SDL5c

,.­ADC\SD=D,AD,SD<=平面SAD：.BCJ_平面SAD

SAu平面SADSA_LBC

(2)解法一：由(1)可知5C_L平面SAD

•.•5Cu平面SBC,.•.平面SA£>J_平面SBC

•.•平面SADA平面S3C=SD,过点。作OELSO,则OEL平面SBC

0E就是点。到侧面SBC的距离.

由题意可知点。在AO上，设正四面体SABC的棱长为a

1八

5惭=万S3•SC•sin60°=宁/

•.•正四面体S4BC的侧面积为48百，；.3SASBC=3X曰/=48vL.•

.a=8

在等边三角形ABC中，D是BC的中点

;.AD=AC-sinC=—a<同理可得SD=3a

22

为底面正三角形ABC的中心

AO=—AD=——a>OD=—AD=a

3336

.,.在HfAsA。中，SO=7SA2-AO2=—a

13

由LO»SO」SD.OE

22

得.1V3V61V3八万

26322

.OE=^a=巫，即点。到侧面SBC的距离为还.

-999

解法二：连结SO,则SO，平面ABC,由题意可知点。在AD上，

设正四面体S45C的棱长为a,，SASBc=gsRSCsin60°=4/

•••正四面体S45c的侧面积为486

2

3SASBC=3x^-a=48V3，'a=8

在等边三角形ABC中，。是的中点

AD=AC-sinC=—«=4^/3

2

•••0为底面正三角形ABC的中心

AO^-AD^—a,OD=-AD=—a=—

33363

.•.在R/ASAO中，SO=」S尺-AO?=£=处

33

q_1।ncsn1Q46_16A/3

-=—-II-IOD1=-X8X

_116百8A/6_128V2

•v•匕—OBcC=］，|SO|=-X-=---

•1•SASBC=gX48百=16A/3,设点。到侧面SBC的距离为h,

由Vs-OBC=^O-SBC得，-S^BC-h

128128亚

:.h=3一==巫,即点。到侧面SBC的距离为强.

S诩c16V399

"19.【解】方法一：（1）PC，平面ABCD,ACu平面ABC。,得ACJLPC

又AT）=CD=1,在处AADC中，得AC=拒，

设AB中点为G,连接CG,

则四边形AOCG为边长为1的正方形，所以CGLA6,且BC=也，

因为=筋2,所以ACI.BC,........................3分

又因为6CcPC=C,所以AC,平面PBC,

又PBu平面尸BC,所以AC_LPB,.......................5分

因为3C=PC,E是QB的中点，

所以Pfi_LEC,因为ACcEC=C，又AC,ECu平面MC,

直线平面AEC.........................7分

（2）由（1）知AC,平面PBC,所以NPCE是二面角尸—AC—石的平面角，............

9分

因为AP3C是等腰直角三角形，且E是的中点，

所以NPCE=45。

所以二面角P—AC—£的大小是45°........................12分

方法二：（1）以C为坐标原点，分别以射线CD、射线CP为》轴和z轴的正方向，建立如

图空间直角坐标系，

则C(0,0,0),4(1,1,0),B(l,-l,o).2分

又AT>=CD=1,在HZAADC中，得AC=拒，

设AB中点为G,连接CG,

则四边形ADCG为边长为1的正方形，所以CG，,且8C=0，所以5C=PC=后,

所以P(0,0,VI),........................4分

因为E是P3的中点，所以£(；,_}#),

所以五=(1,10),无=(1,-1,—),PB=(1-1-V2),

222

—►--11V211

C4CE=(1,1,0)•(-,——二)=lx—+lx(——)+0xJ=0,

222222

PB-CE=^-A-(1-1-V2)=1X1+(-1)X(-1)+X(-V2)=0,

222222

所以AC_LP8,PB_LEC,因为ACcEC=C，又AC,ECu平面AEC,

直线尸8_L平面AEC........................7分

(2)PCJ_平面ABCD,3Cu平面ASCO，得PC_L3c.

因为4。2+台。2=筋2,所以ACLBC,又&ccPC=C，

所以直线3C-L平面aC,所以而是平面24c一个法向量，...........9分

由(1)可知而是平面AEC一个法向量,

PB=(1-1,-V2),CB=(1-1,0),

PBCB[x]+(-l)x(-D+(-VI>0_VI

所以PB,CB>=

cos<H分

PB\\CB2V22

所以二面角P—AC—£的大小是45°..............12分

山(文)解：(1)取AB的中点E,连结DE,CE,

因为AD3是等边三角形，所以DELA3.

当平面ADB±平面ABC时，

因为平面AZMCI平面ABC=AB,

所以DEL平面ABC,_

可知DELCE.由已知可得=EC=1,

在Rt/YDEC中，CD=^DEr+EC2=2.

(2)当AADB以AB为轴转动时，总有AB±CD.

证明：①当。在平面ABC内时，因为AC=3C,AD=BD,

所以C,。都在线段A3的垂直平分线上，即

②当。不在平面A3C内时，由(1)知A3LQE.

又因AC=3C,所以A3_LCE.

又DE,CE为相交直线，所以A3,平面CDE,

由CDu平面CDE,得ABLCD.

综上所述，总有ABLCD.

iv(I)面PAD_L底面ABCD,又尸O_LAD,所以「。，面人台。。

v答案：(1)证明：连接30,因为底面A3CD是菱形，ZBAD=6Q0,

所以A4BD是正三角形，所以因为。为A。的中点，PA=PD,

所以ADLP0,且R?n3O=O,所以ADJ_平面P0B,

又ADu平面QAD,所以平面P0B_1_平面。，4。；

(2)因为AB=26,AAB。是正三角形，所以08=3,

在RtAZ4O中，P4=J7,AO=G，所以P0=2,又尸5=而，所以OB2+PO2=PB2,

所以NPO3=90°,即PO_LOB,又ADLP0,且03nAe>=O,所以P0,平面

ABCD,

1/2

因为s"8=2x—x(2百)~xsin60°=6用，所以四棱锥P—ABCD的体积为

口/"LOLAy\J

V」x64x2=4技

3

s(1)证：取AC的中点D,连结PD,BD

QAPAC为等腰直角三角形，。为中点，.•.PZ)LAC,

又•••AA3C为正三角形，。为中点，.•.3DLAC,

又PDcBD=D,平面pg。，

AC_L平面PBD,又：P5u平面P3D,.,.P3_LAC

⑵解：

平面PAC±平面ABC,平面PACn平面ABC=AC,PD＜=平面PAC,尸。±AC

平面ABC,由(1)知BD'AC

以。为坐标原点，建立空间直角坐标系。一孙z,

则4(1,0,0),8(0,j3,0),C(-l,0,0),P(0,0,1),

)

.•.加=(o,G,o),CP=(i,o,i),CB=(I,43,0,

CP-n=0x+z—0

设［=(%,yz)为平面尸3c的一个法向量，则＜——，即Vr，

CB-n=0[x+j3y=0

A/3(A、

令％=i,得＜丫3,「.〃=i,---,-i

Z=~11

-DB-nV7

又丽是平面PAC的一个法向量，；.cos(丽

网PT7，

由图可知二面角A—PC—8的平面角为锐角，；.二面角A—PC—5的余弦值为

7

vii

解：（1）证明：在下底面上的射影是A48C的中心O

4。J_底面

:.A,OLBC,为A43c的中心，8c

A}Or\AO=O,.•.8C_L平面4/0

,/BCu平面3CC1A,，平面A}AO_L平面BCC\B「

（2）取AB的中点为点E,连结OE,如图所示建立空间直角坐标系O-xyz

'1'A—-^-,0,B—,-^-,0,C(—1,0,0)

4(0,0,V3),.-.c,-1,y,>/3，不=(2,-AM),而=(0,30)

设平面QAB的一个法向量为I=（x,y,z）

r—«一，.一・

lx.—>/3r—>/3z=0一

nxCXA=0r

_____=>l=>%=(6,0,2)

〃i•AB-0y[3y=0

且平面ABC的一个法向量生=（0,0,1）

设二面角G-55-C平面角为。，或，元所成角为°,显然。为锐角

22手

cos3=|cos(p\=尸卜任

™答案：（1）证明见解析；（2）2叵；

19

【解析】（1）证明：因为A4=AG=2,。为线段BC1的中点,

所以A。，4G，

在直三棱柱ABC—4与£中，易知cq，平面44G，

而CGnBC=G，平面。班6，.•.QPJ.A。，

又因为QP^OP,AlOC[OP=O,所以QP，平面4。2，

又QPu平面4PQ,所以平面A。。，平面.

(2)由(1)可建立如图空间直角坐标系。一孙z,

因为NR4c=12。。，所以。4=oq=百，

则0(0,0,0),G(0,6,0),4(o,—G,o),B(O,-A2A/3),A(T0,0)，

设尸(o,6a),Q仅仇2⑹，

所以行=(0,6—仇”一26)，砺=(0,—6,2石)，

因为QPLOP,BO//PQ,所以切・加=0,OB//QP,

C-b\#>+a(a-2#))=06用

：・'厂/二、'-，l、，解得a=^，8=^(P异于点CG)，

2—(6—0)=—6(4—2@24

、/

...仍jl,6当，QP=[o,3733面，吁一。，后「勿卜

42

77k7

A尸=0

设平面AQP的法向量为n=(x,y,z),则，

n•QP=0

x+6y+^-z=0

即《l%,可取〃=(—5g,4,2),

3V33V3'

-----y--------z=0M

L42

设直线OP与平面AQP所成角为e,

\n-OP\4舟62M

则sind=

»OP\19

直线OP与平面AQP所成角的正弦值为2叵.

19

（1）证明：取AB的中点O,连结OC,OAi,A\B.

因为CA=CB,所以OCULAR

由于AB=AAi,ZBAAi=6Q°,

故△AAiB为等边三角形，

所以OA]_L4B.

因为OCnO4=O,所以■平面。41c.

又AiCu平面OAiC,故AB_LAiC

（2）解：由（1）知OC_LAB,OAi-LAB.

又平面ABCJ■平面AAiBB,交线为AB,

所以OCJ■平面AAiBB,

故。4,OAr,OC两两相互垂直.

以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|。4|为单位长，建立如图所示的空间

直角坐标系O-xyz.

由题设知41,0,0),4(0,0),C(0,0,5,B(-1,0,0).

则5。=(1,0,y/3),BB[=Ai4j=(-1,y/3,0),A1C=(0,—A/3,y/3).

设〃=(尤，y,z)是平面BBiGC的法向量，

n-BC=0,+由z=0,r

则〈一.即《可取”=(J3,1,-1).

n-BBX=0,-x+=0.

A/10

所以AC与平面BBiGC所成角的正弦值为

X答案：（1）证明见解析；（2）叵;

7

【解析】（1）证明：因为E4=AB，E为线段的中点，所以AELQB，

因为上4,底面ABCD,BCu平面ABCD,所以

又因为底面ABCD为正方形，所以

又上=所以平面已钻，

,..4石匚平面^45,；.3。，4£,

因为P5IBC=B,所以平面PBC,

因为EEu平面PBC，所以人石工历，

所以点尸在线段5C上移动时，AAEF为直角三角形.

（2）由题意，以A3,AD,AP所在直线分别为x，y，2轴建立空间直角坐标系,

令PA=2,

则4（0,0,0）,5（2,0,0）,£（1,0,1）,-2,1,0）,£＞（0,2,0）,

设平面DEF的法向量为%zj,贝•DE=n-DF=0,

可得%-2%+Z[=0,2%-y=0,

取”=(1,2,3)；

设平面AEF的法向量为m=(%2,y2,z2),则加.无声=加.屈=0,

可得2%+>2=0，x2+z2-Q,

取zw=(1,—2,—1),

\n-m\_|1-4-3|_721

所以cos(肛=

n\-\m\y/14-y]67

由图可知：二面角A-即-£＞的平面角为锐角，因此余弦值为匕.

「答案：解：(1)取PB中点N,连结MN、AN,则

：M是PC中点，MNIIBC,MN=yBC=2，

又：BC〃AD,；.MN〃AD,MN=AD,

.••四边形ADMN为平行四边形，

VAPXAD,AB±AD,，AD_L平面PAB,

AAD±AN,AAN±MN,

VAP=AB,AANXPB,AN_L平面PBC,

VANc平面ADM,

平面ADM_L平面PBC.

R

(2)由(1)知，PN±AN,PN±AD,

；.PN_L平面ADM,即点P到平面ADM的距离为PN,

在RtZkPAB中，由PA=AB=2,得PB=2/，

江20.(1)证明：•.•四边形ABCD为正方形，」.AD，CD.

•.•ZADP=90。，CDcDP=D,

平面PCD.

•.•。石(=平面尸。，..4£>_16£.

•.•二面角尸-AZXB为60°,.•.NPDC=60°.

:PD=AD,CD=AD,:.APCD为等边三角形.

•.•E为PD的中点，.•.CELDP.

ADcDP=£>,;.CE平面RID

(2)解：过尸作POLCD,垂足为。，易知。为CD的中点.

1.■平面PCD_L平面ABCD,

平面PCDc平面ABCD=CD,POu平面尸DC,

；.PO_L平面A2CD

设AB的中点为Q,连接OQ,

则。。〃4。，0。，平面PDC.

以O为坐标原点，丽的方向为x轴正方向，就的方向为y轴正方向，0P

的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.

•：正方形ABCD的边长为2,

.­.4(2,-1,0),8(2,1,0),C(0,l,0),D(0,-l,0),P(0,0,6)

E\一事

I22J

.-.AB=(0,2,0),AE=|-2,-,—ICE=|0,--,—I

I22JI22J

•.♦CE，平面PAD,

：.CE为平面ADE的一个法向量.

设法二(匹y,z)是平面ABE的法向量，

n-AB=2y=0

则一173

n•AE=-2x+—yH-----z=0

I22

令z=4,得元=(6,0,4).

K在,五2G2M

\CE\\n\gxM19

2J19

平面ADE与平面ABE所成锐二面角的余弦值为.

20.（1）证明：因为△48C为等边三角形，所以48=.4C=8C.

因为ASBC为等边三角形，所以SB=SC=BC,所以AB=SB.AC=SC.……I分

在等腰△8，IS和等腰aTS中,因为。为54的中点，所以SA_LBf\

又因为8PCCP=P.HP.CPU平面PBC,所以SA1平面PBC...........4分

（2）解：方法1（几何法）：如图.取8c的中点。，连接S".A〃.。〃，

则在等边△48C和等边△S8C中，有8dL4。.H（：±S（）.

所以乙AOS为二面角S-BC-A的平面角.

因为平面S8c，平面.48（；.所以Z.AOS=90。.

在等边△48C■和等边△S8CFI,50=§8c=40.

所以△.40S为等腰在角三角形.

设SA=a,Jill]SO=AO—~^a-.....................................7分

因为8C_LA〃.8C_LS0..4〃nSO=O.AO.S。仁平面£40.所以8C_L平面$4。

因为U平面S.W,所以8C_LPO.

又因为8C_L40,所以£AOP为二面角P-8c-4的平面角...............9分

在△4〃。中.Z.AOP=60°,Z.PAO=45°,A()=^fa,

J2

由正弦定理，得焉=而湍：4打解得/=¥，，♦

所以号=^^.....................................................12分

Z

方法2（向量法）：如图.取8c.的中点。.连接SO.AO,则在等边△A8C和等边

△S8c中，有8cL4。，BC1SO,所以乙4OS为二面角S-8cx的平面角.

因为平面SSC_L平面ABC,所以Z.AOS=90。，即AO±SO.................4分

所以0A,0H,小两两垂直.

以点”为坐标原点，（出,AO,0S所在直线分别为x轴、y轴、：轴建立如图所示

的空间直角坐标系.

p

设,48=。，

则4(0,-乎",0),0.0).C(0,0),S(0.0.冬).…6分

因为夕在SA上，设AP=AAS(0<A<1),P(0.y,z),

则.40=仅，y+£",z),45=1)，W<i,李")，解得z=gha.

即可0,A-1)a,-Xa^-

显然平面"(：的一个法向量"=(0,0,1).......................................................8分

设平面08c的一个法向量为帆=(X,.2,).

因为面=(―；“，A—1)a,~^A").C8=(a,0,0)

m■m=0,即户=0

m-CB=0,1(A-1)y,+AZ1=

令>i=A,WJ2i=1-A,所以iw=(0,A.I-A).10分

因为二面角PBC-A的大小为60。,

n•m_____11-A|_____

所以|cos(n,

I"IIm।-、/T+(1-A)「

所以2A2-6A+3=0.又0<A〈l.解得人亘，即会=上把......12分

"V19.⑴证明见解析.(2)哈

详解：依题意，以点A为原点，以48、AD、AP为轴建立空间直角坐标系如图，

可得B(l,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2)

由E为棱PC的中点，得E(l,l,l)

(1)向量就=(0,1,1),丽=(0,2,-2)

故荏,丽=O,BE1PD，又ABJ_面PAD.所以ABJ_面PD。故PDJ■面ABE

(2)BC=(1,2,0),CP=(-2,-2,2),AC=(2,2,0),屈=(1,0,0)

由点F在棱PC上，设CF=2CP,0W4W1

故而=BC+CF=JC+ACP=(1-2A,2-2A,2A)

由BF14C,得乔,前=0

因此，2(1-24)+2(2-24)=0,4=(

即而=（-步）

设/=（x,y,z）为平面FAB的法向量，则但."=0,即+=

,BF=0I2、十2y十2"

不妨令z=1,可得/=（0,3,-1）为平面FAB的一个法向量

取平面ABD的法向量/=（0,0,1）1则8s体为=系=忘=嘿

所以二面角F-AB-D的余弦值为噜

点睛：本题主要考查利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般

步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直

线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法

向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.

20.xv【解析】解：依题意，以点A为原点，以A3、AD.AP为轴建立空间直角坐标系

如图，

可得5(1,0,0),C(2,2,0),£>(0,2,0),尸(0,0,2)

由E为棱PC的中点，得E(LLl)，

(1)向量丽=(0,1,1),7^=(0,2,-2)

UULUUUI

故BEPD=0,:.BE±PD，又AB,面ELD,PDu面所以ABLPZ).

又因为ABi面ME,BEu面ABE,AB[}BE=B,

所以。D,面ME.............................5分

(2)BC=(1,2,0),CP=(-2,-2,2),AC=(2,2,0),AB=(1,0,0)

由点R在棱尸C上，设酝=2丽,OW2W1

故而=前+丽=前+2方=(1_2尢2_242/1)

由得丽.衣=0

因此2(1—24)+2(2—22)=0,.-.2=^..............7分

即3尸=1—g,g'lj.............8分

r-.-Y—()

_n.•AB=0

设％=(苍y,z)为平面E43的法向量，贝6二—.，即〈113八

n,■BF-0—x+—y+—z=0

I”L222

不妨令z=l，可得点=(0,3,—1)为平面E钻的一个法向量，.......10分

%-n21y/10

取平面的法向量后=(0,0,1),则以)5〈&,%〉=

1nli•I%IA/1010

因为二面角尸-AB-D的平面角为锐角

所以二面角尸—AB—。的余弦值为典.......12分

10

XVI

19.【解析】

（1）证明：由题意可知，均为全等的等边三角形:

分别过点C,。作CM18E,£W_L/E,连接C0,M?V,

则M,N分别为8EME的中点，所以CM=DN.

因为平面8C£_L平面/8£，平面8CEPI平面,48E=8E，

所以CWJ"平面/8E：

同理DN1平面ABE：所以CMHDN-

所以四边形CDVM为平行四边形，

所以CD//MNx

又因为时，、分别为的中点，

所以MNHAB：

所以AB!/CD.

（2）连接8N，则8N_L/£.由（•>可知ZWJ•平面48£，所以DNLBN；

以N为坐标原点，MLNB,ND分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，

设/8=2,则M0,0,0）,/4（1,0,0）,5（0,73,0）,M（--,—,0）;

22

因为BN1AE-DNLBN，DN?\AE=N，

所以8N_L平面仞£,

所以八:8=（0,有,0）为平面/£>£的法向量:

同理^^二-立^为平面如^的法向量：

22

设二面用O-/-C的平面角为6,由图可知，该角为锐角,

3

咐”A\NB-MA\2।

所以cos"=-------------L=-z-=-.

\NB^MA\岳62

所以二面角0-/-C的大小为三

3

"v"（文）解：（1）：AB=AD=2,AB±AD,M为线段3。的中点,

：.AM=^BD=yf2,AM±BD,

\'AE=MC=y[2,；.AE=MC=；BD=巾,

：.BC-LCD,BD-LCM.

平面ABO,MC//AE,；.AfC_L平面ABO,

：.MC-LAM,平面CBD

又MC〃AE,AE=MC=y[2,

四边形AMCE为平行四边形，：.EC//AM,

:.ECL平面CBD,：.BC-LEC,

,：ECClCD=C,.•.2C_L平面CDE,

二平面平面CDE.

⑵为8。的中点，N为DE的中点、,

：.MN//BE.

由(1)佚口EC〃AM且AMCMN=M,

又BECEC=E,

平面AMN〃平面BEC.

xviii【答案】解：(/)证明：在三棱柱□□□一□/口/口中,

•••口」_1平面ABC,

••・四边形为矩形.

又E,E分别为AC,□/」的中点，

•­•□□1

□□n□口=□

平面BEF.

(2)由(1)知口□1口口，□□1□□//□□；.

又□，平面ABC,□□，平面ABC.

■：□□u平面ABC,n□1nn.

如图建立空间直角坐称系口一口口口,

由题意得口(0,2,0),口(—1,0,0),口。,0,1),0(0,0,2),口(0,2,1).

H=(2,0,/),35=(1,2,0),

设平面BCD的法向量为==(□,□,□),

.m-nn=o.四+口=。

"(□,□D=0，--ID+2D=0'

令口=2,则口=-1,□=-4,

.••平面BCD的法向量可=(2,-1,-4),

又•.・平面□□□/的法向量为而=(0,2,0),

甘・比'V27

cos<□□>=

回•画

由图可得二面角口一口□一口/为钝角，所以二面角口一口口一口/的余弦值为一号.

【解析】本题主要考查的是线面垂直的判定和性质，平面的法向量，二面角，线线垂直的判

定和性质等有关知识.

(1)先判定出四边形□/□口□/为矩形.根据£,歹分别为AC,」口［的中点，得到

根据□口=□］，得到□□，口□,进而解出此题；

(2)建立空间直角坐称系□一口□□.由题意得口(0,2,0),□(-7,0,0),0(7,0,1),0(0,0,2),

□(0,2,1).设平面BCD的法向量为寸=(口，口口)，

令口=2,则□=—/,□=-4,得到平面的法向量可=(2,-1,一4),然后求出cos<

可，而>=二,=一经

I'l-innl21

X加答案：(1)证明见解析；(2)2互；

7

【解析】(1)如图,

取AC的中点E