高考数学二轮复习 第1部分 重点强化 5 解析几何 第13讲 圆锥曲线中的综合问题教学案 理-人教版高三全册数学教学案

第13讲圆锥曲线中的综合问题

考纲要求真题统计命题规律锁定题型

分析近五年全国卷发现高考命题

2017年I卷T；2017年D卷T”；1.圆维曲线中的定值

a有以下规律：

问题

了解曲线与方程的2016年1卷勺,2016年D卷T”；直线与圆锥曲线的位置关系、定

2.圆锥曲线中的最值、

对应关系，了解圆锥2016年IH卷T.；2015年I卷T”；点、定值、最值、范围以及存在性问

范围问题

出线的简单应用.2015年II卷J；2014年I卷T8；题都是高考命题的热点，难度较

3.圆锥曲线中的探索性

2013年I卷以高，突出了函数与方程、转化与化

问题

归及分类讨论思想的应用.

题型1圆锥曲线中的定值问题

（对应学生用书第43页）

■核心知识储备.........................................................

解析儿何中的定值问题是指某些几何量（线段的长度、图形的面积、角的度数、直线

的斜率等）的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而

变化，而始终是一个确定的值.

■典题试解寻法.........................................................

【典题】已知椭圆G2+¥=l（a>»0）的离心率为乎，点（2,艰）在。上.

ab2V

（D求。的方程；

（2）直线/不过原点。且不平行于坐标轴，/与C有两个交点4B,线段月6的中点为

M.证明：直线的斜率与直线1的斜率的乘积为定值.

［解］（1）由题意有""”=乎,4+4=1,

alab

解得3=8,Z/=4.

所以。的方程为不+?=L

o4

（2）证明：设直线/：y=kx+b（k^O,6W0）,A（x>,力），B（xi,㈤，欣x“，y》.

将y=kx+b代入不+7=1,得

o4

（2如+1）f+4处x+2〃-8=0.

X\+x2~2kbb

故Xv=y尸k•x.u+b—

2=2k2+l92/+T

于是直线〃川的斜率kmf=^=—

即km.k—

所以直线。〃的斜率与直线1的斜率的乘积为定值.

［类题通法］定值问题的常见方法

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

■对点即时训练........................................................

已知椭圆C：当+£=l（a>6>0）的左焦点为人（一道，0）,e=乎.

5uZ

（1）求椭圆。的方程；

⑵如图13-1,设/?（扬，㈤是椭圆C上一动点，由原点。向圆5—8）2+5—%）2=4

引两条切线，分别交椭圆于点只Q,若直线。。的斜率存在，并记为L,k2,求

证：左也为定值；

⑶在⑵的条件下，试问制「是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说

明理由.

［解］⑴由题意得，c=#,e=乎，解得a=2小,

•••椭圆C的方程为杳+《=1.

⑵由已知，直线研y=k\x,OQ：y=k2x,且与圆7?相切,

.4刘一.加

=2,化简得（应—4）居一2xyok\+苏一4=0,

71+居Q

同理，可得（岔一4）居-2加次&+/-4=0,

・,・看,人是方程（京一4）发一2照刘4+点-4=0的两个不相等的实数根,

2Jb-4

・•・髭-4H0,J>0,4也=L「.

Ab—4

・•・点小，㈤在椭圆C上，,喘+卷=1,

即yo=6—

12

2-*i

⑶是定值18.

y=k\x

22

设P（X1,为），0（X2,㈤，联立得12+i=i

212

M=TT正

解得，

212后

"TT点

2,212i+/

..^+y,=1+2A，

同理，可得.+4=12］；：£.

121+居,121+后

由kxkz——得|+I制『=x；+y；+抬+贯=

1+2必十~1+2居

2

12

1+

121+后18+36必

1+2后1+2后18.

1+2

综上：|CP|2+|W|2=18.

■题型强化集训

（见专题限时集训T3）

题型2圆锥曲线中的最值、范围问题

（对应学生用书第44页）

■核心知识储备

1.解决圆、圆锥曲线范围问题的方法

（1）圆、圆锥曲线自身范围的应用，运用圆锥曲线上点的坐标的取值范围.

（2）参数转化：利用引入参数法转化为三角函数来解决.

(3)构造函数法：运用求函数的值域、最值以及二次方程实根的分布等知识.

2.求最值的方法

(D代数法：设变量、建立目标函数、转化为求函数的最值.注意灵活运用配方法、

导数法、基本不等式法等.

(2)几何法：若题中的条件与结论有明显的几何特征和意义，则考虑利用图形的几何

性质来解决.

■典题试解寻法.........................................................

?1

【典题】如图13-2,已知椭圆万+/=1上两个不同的点6关于直线了=帆+万对称.

图13-2

(1)求实数0的取值范围；

(2)求△/如面积的最大值(0为坐标原点).

【导学号:07804094)

［解］(1)由题意知“W0,可设直线46的方程为

ni

2'(\i\2b

由〈1消去必得,+7M-----x+Z/—l=0.

1mJm

y=—x+b

Im

1V2

因为直线y=-—x+b与椭圆w+y=l有两个不同的交点，

mL

4

所以J=-262+2+->0.①

m

、门、一

设材r为的,,中,点，则ri“/滔2m哀b，了m哀b\)

代入直线方程尸侬+<,解得仁一空.②

LAm

由①②得m<一幸或勿>幸.

⑵令t=¥邛

7

—2tA+2t2+-

则!AB\=yjr+1•

且。到直线48的距离d=

设△/(/的面积为S(t),所以51)=g/冽•

当且仅当时，等号成立.

故△/缈面积的最大值为当.

［类题通法］

在研究直线与圆锥曲线位置关系时，常涉及弦长、中点、面积等问题.一般是先联立

方程，再根据根与系数的关系，用设而不求，整体代入的技巧进行求解.

易错警示：在设直线方程时，若要设成/=履+0的形式，注意先讨论斜率是否存在；

若要设成的形式，注意先讨论斜率是否为0.

■对点即时训练.........................................................

如图13-3,点£为圆5+1)2+/=16的圆心，N为圆月上一动点，且“(1,0),机P

分别是线段AM上的点，且满足加5♦国V=0,FiN=2F£

图13-3

(1)求动点〃的轨迹£的方程；

(2)过点K的直线/(与“轴不重合)与轨迹£交于4C两点，线段4C的中点为C,

连接例并延长交轨迹E于点以。为坐标原点)，求四边形力纪的面积S的最小值.

［解］(1)由题意，知劭0垂直平分“小

所以I,如I+I磔I=4.

所以动点M的轨迹是以A（—1,0）,"（1,0）为焦点的椭圆,

且长轴长为2a=4,焦距2c=2,

所以a=2,c—1,6=3.

轨迹£的方程为■+曰=1.

⑵设力（汨，yi）,。（如%）,G（xo,yo）.

设直线〃'的方程为x="+L与椭圆方程联立，

可得（4+3/）/+6my—9=0,

g”।6.9

所以必+再=一屋亩'7,72=-4+3^-

由弦长公式可得|"1=护力"一切J"：

乂%=一1面’所以小奇，-4+37

直线外的方程为y^~~x,与椭圆方程联立得V=所以

43/27、、4+3〃孑-1

通.点8到直线〃的距离"产

“4+3病y/l+zn'

点0到直线的距离d=^=j=।「

所以Snwaisc=^AC\（d+4）=6A卬2—23,当且仅当勿=0时取得最小

值3.

■题型强化集训.................................................

（见专题限时集训THT,）

题型3圆锥曲线中的探索性问题（答题模板）

（对应学生用书第45页）

圆锥曲线中的存在性（探索性）问题主要体现在以下几个方面：（1）探索点是否存在；

（2）探索曲线是否存在；（3）探索命题是否存在.涉及这类命题的求解主要是研究直线

与圆锥曲线的位置关系问题.（2015•全国I卷T20、2015•全国H卷T20）

■典题试解寻法.................................................

【典题】（本小题满分12分）（2015•全国I卷）在直角坐标系X。中,

殳

曲线C：尸今与直线/：y=kx+aa>0交于必A两点.①

(1)当k=0时，分别求C在点廨口A处的切线方程

(2)y轴上是否存在点只使得当女变动时，总有|曲如QNO/N③?说明理由.

［审题指导］

题眼挖掘关键信息

看到直线与曲线C相交，

①

想到设点、联立方程、消元，表示z+用，为型的值.

看到曲线上某点处的切线，

②

想到利用导数法求切线斜率；

看到两角相等，

③

想到把角的相等转化为直线斜率的关系.

［规范解答］(1)由题设可得〃(25，a),N(—2至a),

或以一2，^,a),a).2分

C在点、(2y/h,a)处的切线方程为y—a=/^(x—2y［^),

即y—a=0.4分

2

尸作在=-2—处的导数值为一,，

C在点(一2，^,a)处的切线方程为y—a=~ypt(x+2y［a),即q^x+y+a=O.

故所求切线方程为Fx-y一a=。或Fx+y+a=0・6分

⑵存在符合题意的点.证明如下：

设P(0,〃为符合题意的点，做为，必)，以如㈤，直线掰7W的斜率分别为左,

人将尸4才+a代入。的方程，得V—4Ax—4a=0.8分

故小+数=4A,小尼=一42

从而⑥

X\X2

2kx\Xi+a—b汨+尼ka+b

X\X2a

当b=—a时，有4+左=0.则直线制/的倾斜角与直,线RV的倾斜角互补，故

=4OPN,®

所以点尸(0,一而符合题意.12分

［阅卷者说］

易错点防范措施

④忽视导数法求切

明确求切线斜率的方法，导数法求曲线上某点

线斜率导致思路不

处的导数就等于该点处切线的斜率.

清.

⑤忽视直线的形式表示直线方程时无特殊要求一般采用直线的

及解答题的得分点一般式，结论性、总结性的语句是得分点，一

失分.定不能省.

当式子中未知数较多时要注意消元，如此处把

⑥忽视化简、消元致

力，必代换为为，X2,再利用根与系数的关系

错.

求解.

⑦忽视转化致思路把条件转化为熟知的知识，进而利用根与系数

不清.的关系，知/羽片/用V转化为“网+限=0.

［类题通法］

1.定点问题的解法：

(1)直线过定点：化为y—yo=A(x—8)，

当X—XD=0时与A'无关.

(2)曲线过定点：利用方程/"(X,力=0对任意参数恒成立得出关于x,y的方程组，

进而求出定点.

2.存在性问题的解题步骤：

一设：设满足条件的元素(点、直线等)存在；

二列：用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组；

三解：解方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线等)存在；否则，元素(点、

直线等)不存在.

■对点即时训练.........................................................

已知椭圆G2+S=l(a>6>0)的离心率为以原点。为圆心，椭圆C的长半轴

3b0

长为半径的圆与直线2%-72/+6=0相切.

（1）求椭圆。的标准方程；

（2）已知点46为动直线尸％（x-2）GtrO）与椭圆「的两个交点，问：在x轴上是

否存在定点反使得面+£4•/妫定值？若存在，试求出点月的坐标和定值；若不存

在，请说明理由.

【导学号：07804095）

[解]（1）由e=*，得£=*，即c=^a,①

3a33

又以原点。为圆心，椭圆。的长半轴长为半径的圆为/+/=/，且该圆与直线2%一

*y+6=0相切，

|6|I-

所以a=/『=乖,代入①得c=2,

所以I）=a—c=2,

22

所以椭圆。的标准方程为1+^=1.

得（1+3好）/一121—+12必一6=0.

12—12^—6

设力（汨，yi）,8（x2,度），所以XI+E=]+31,才1质=]+3。.

根据题意，假设X轴上存在定点£（外0）,

使得画+必•AB=（EA+A吩•EA=EA•"为定值,

则£4•EB—（x\-m,珀•（XLm,y2）=（为一必）（热―4+几丹=（妙+1）小矛2—（2/+

3^-12勿+102+着一6

勿）（为+就+（4尸+/»）—,__

07

要使上式为定值，即与A无关，只需3加2-12勿+10=3（布-6）,解得勿=可,

fff5

此时，EA+EA•AB=m-6=--,

所以在x轴上存在定点石，0）使得欧+口•/我定值，且定值为一方

■题型强化集训

（见专题限时集训L）

三年真题I验收复习效果

(对应学生用书第46页)

22

1.(2017•全国I卷)已知椭圆G当+£=l(a>6>0)四点A(l,1),8(0,1),

ab

月(一1,平，当中恰有三点在椭圆C上.

(1)求。的方程.

(2)设直线/不经过2点且与C相交于4B两点.若直线与直线28的斜率的和

为一1,证明：/过定点.

[解](1)由于月，月两点关于y轴对称，故由题设知椭圆。经过月，月两点.

1113

又由知，椭圆。不经过点A,

aba4b

所以点乌在椭圆。上.

苗=4,e2

因此1]3解得炉=]故椭圆c的方程为7+/=1.

匕十诵j

.•.动圆圆心M的轨迹，的方程为/=4x.

(2)证明：设直线为4与直线88的斜率分别为人,左.

如果/与“轴垂直，设/：x=t,由题设知t#0,且|力<2,可得/,8的坐标分别

为。，卜，则二-1,得t=2,

不符合题设.

从而可设/：y=kx+m5印1).

v2

将_/=履+加代入彳+/=1得(4分+1)刀2+84磔+4君一4=0.

由题设可知4=16(4建一/+1)>0.

设力(由，/1),8(及，%)，则为+旭

4/»—4

yi—1।J^—1

而k\+k2—

X\X2

kxi+m-1।4尼+历―1

X\x2

2kx\Xi+in-1X]+x2

xix2

由题设左+々2=—1,

故(24+DM热+(/〃-1)(小+及)=0.

4/-4./-8km

即(iX

24+1)•^rr+(f•IT+T=01

£+1

解得k=~2~,

当且仅