第2章 直线和圆的方程（基础、典型、新文化、压轴）分类专项训练-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）

第2章直线和圆的方程（基础、典型、新文化、压轴）

分类专项训练

【基础】

一、单选题

1.（2022•江苏•高二）美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻

底，鼻底至下频的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的g,五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位,

把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度

为2cm,五眼中一眼的宽度为1cm,若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位

于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（）

A.述B.建

44

r972n11V2

44

【答案】B

【分析】建立平面直角坐标系，求出直线AB的方程，利用点到直线距离公式进行求解.

【详解】如图，以鼻尖所在位置为原点O,中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标

系，则呜,4）,81|,2）,

1

Ax—7

直线AB:三整理为x-y+L，

2-4_3_]_2

~2~2

原点0到直线距离为I』70,

故选：B

2.（2021・全国•高二课时练习）下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是（）

A.x=3B.尸一5

C.2y=xD.x=4y—1

【答案】B

（分析】根据直线的斜截式方程的知识确定正确选项.

【详解】直线的斜截式方程为

所以B选项k-5是斜截式方程，ACD选项不是斜截式方程.

故选：B

3.（2022.福建厦门.高二期末）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具

代表性的便是园林中的门洞.如图，某园林中的圆弧形挪动高为2.5m,底面宽为1m,则该门洞的半径为（）

A.1.2mB.1.3mC.1.4mD.1.5m

【答案】B

【分析】设半径为R，根据垂径定理可以列方程求解即可.

【详解】设半径为R,（2.5-R）2+[g]=R2,解得苗+；=5仁化简得R=1.3.

故选：B.

4.（2022.全国•高二课时练习）如图，奥运五环由5个奥林匹克环套接组成，环从左到右互相套接，上面是

蓝、黑、红环，下面是黄，绿环，整个造形为一个底部小的规则梯形.为迎接北京冬奥会召开，某机构定

制一批奥运五环旗，已知该五环旗的5个奥林匹克环的内圈半径为1,外圈半径为1.2,相邻圆环圆心水平

距离为2.6,两排圆环圆心垂直距离为1.1,则相邻两个相交的圆的圆心之间的距离为（）

A.72JB.2.8C.7^9D.2.9

【答案】C

【分析】根据题意作出辅助线直接求解即可.

【详解】如图所示，山题意可知|AB|=2.6,在.ABC中，取至的中点。，连接C。,

所以|阳=1.3,=

又因为AC=8C,所以ABLCD,

所以忸q=Ji??n于=回•

即相邻两个相交的圆的圆心之间的距离为回.

故选：C

二、多选题

5.（2022・浙江•诸暨市教育研究中心高二期末）下列直线方程中斜率的有（）

A.x+y=lB.x-y=\

71

C.y=tanlxD.y=—x

-4

【答案】ACD

【分析】把所给直线方程化成斜截式直线方程，直接读取斜率3与1进行比较即可.

【详解】选项A：x+y=l可化为y=-x+l,斜率％=—1,则有心1.判断正确；

选项B：x-y=l可化为y=x-i,斜率&=1.判断错误；

jr

选项C：>,=tanl-x,斜率k=tanl>tan—=1,则有Zrl.判断正确;

4

选项D：y=-?x,斜率A=£<1,则有.判断正确.

44

故选：ACD

三、概念填空

6.（2022.全国•高二课时练习）设两条直线乙，4的斜率分别为占，k2＞则对应关系如下:

2rk

-----c-----

图示

-0-------------5

4与4的斜率都存在，分别为人,网，4与12中的一条斜率不存在（倾斜角为90°）,另一条斜率

对应

关系则4-L/2=_________为零（倾斜角为0°）,则4与4的位置关系是_________

【答案】kjk?-1Z,l/2

7.（2022•全国•高二课时练习）设两条不重合的直线4，12,斜率若存在且分别为公，k2,倾斜角分别为%,

%则对应关系如下:

条件%%工90°a\=«2=90°

沙

图示北

对应关系/]〃40_________O两直线斜率都不存在

【答案】kt=k2/,///2

8.（2022•全国•高二课时练习）直线在y轴上的截距

定义：直线/与y轴的交点（0向的叫做直线/在y轴上的截距.

符号：可正，可负，也可为零.

【答案】b

9.（2022•全国•高二课时练习）直线的一般式方程

（1）定义：关于x,），的二元一次方程（其中A,2不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一

般式.

（2）适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示.

【答案】Ar+By+C=O

10.（2022•全国•高二课时练习）点到直线的距离与两条平行直线间的距离

点到直线的距离两条平行直线间的距离

定

点到直线的垂线段的长度夹在两条平行直线间公垂线段的长度

义

两条平行直线4：+为,+G=0与

公点4（X。，%）到直线/：Ax+的+C=。

式的距离d=_________4:4+By+G=°（GwG）之间的距离d=_________

—大VA2+B2

11.（2022.全国•高二课时练习）两直线的位置关系

Jqx+gy+G=0,

方程组i^x+与y+G=0的解一组无数组无解

直线4与,2的公共点个数一个零个

直线4与4的位置关系重合

【答案】无数个相交平行

12.（2022・全国•高二课时练习）两直线的交点坐标

几何元素及关系代数表示

点AA（a,8）

直线//:Ax+By+C=G

点A在直线/上—

jAx+gy+G=0,

直线4与4的交点是4方程组id'+gy+G=0的解是_________

x=a

【答案】Aa+劭+C=0

y=b

13.(2022•全国•高二课时练习)平面上的两点《(4,*),£(孙必)间的距离公式归身=

［答案］J(W-X|丫+(%-%『

14.(2022•全国•高二课时练习)圆的标准方程

(1)圆的定义：平面上到的距离等于的点的集合叫做圆，定点称为,定长

称为圆的.

(2)确定圆的要素是和,如图所示.

(3)圆的标准方程：圆心为A(“/),半径长为/•的圆的标准方程是.当。=6=0时，方程为工2+丁=’,

表示以为圆心、半径为，•的圆.

【答案】定点定长圆心半径圆心半径(x-a)2+。功原点O

15.(2022・全国•高二课时练习)直线Ar+8y+C=0与圆+(),_"=，的位置关系及判断

位置关系相交相切相离

公共点个数一个一个一个

,IAa+Bb+C\

a=J----------d____/•d____/­d____/•

几何法：设圆心到直线的距离

判定方

(

法Ax+By+C=Q,

代数法：由i(x-“)2+(y-勿2=尸消元得到一元二次方程的判

A____0A____0A____0

别式△

【答案】210<=>>=<

16.(2022・全国•高二课时练习)圆与圆位置关系的判定

(1)几何法：若两圆的半径分别为4,4,两圆连心线的长为止则两圆的位置关系的判断方法如下:

位置关系外离外切相交内切内含

图示电

d与“，"的关系—————

（2）代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断.

△>0n

圆G方程'

消元，一元二次方程△=0n

圆C?方程

A<0=>

4=|4一目一目,相交，内切或外切,

【答案】d>r]+r2d=rt+r2\rx-r^<d<rx+r2

外离或内含

四、解答题

17.（2022.全国•高二课时练习）已知直线/：Ar+8），+C=0（其中A,B不全为0）.

（1）写出直线/的一个法向量的坐标;

（2）若直线/经过原点，则A,B,C满足的条件是什么？

（3）若直线/与x轴平行或重合，则A,B,C满足的条件是什么？

（4）若直线/与x轴和y轴都相交且不经过原点，则A,B,C满足的条件是什么？

【答案】（1）（A,B）；（2）C=0,A,B不全为零；（3）A=0,BH0,CeR；（4）AWO,8HO,CWO

【分析】（1）根据直线的方向向量，即可容易求得法向量;

（2）根据点（0,0）不满足直线方程，即可求得结果;

（3）根据直线斜率为零，即可求得结果;

（4）根据点（0,0）不满足直线方程，以及直线斜率存在且不为零，即可求得结果.

⑴因为直线小+By+C=0的一个方向向量为（B,-A）,

故该直线的一个法向量可以为（AB）,也可是亏其平行且非零的其它向量.

（2）若11线Ax+By+C=0经过原点，即（0,0）满足直线方程,

故只需C=0，AB不全为零即可.

（3）若直线/与x轴平行或重合，则其斜率为零,

故只需A=O,8wO,CeR.

(4)若直线/与x轴和y轴都相交且不经过原点，

故只需ANO,8NO,CWO.

18.(2022・湖南•高二课时练习)在函数/(x)=2/-x-5的图象上取两点A(aJ(〃))、8仅J修))，求直线A8

的斜率.

22

【答案】kAB=2a+2ah+2h-\

【分析】利用斜率公式可求得直线AB的斜率.

【详解】解：由题意可知出/>,

f⑷-/(b)(2a3q5)(2/?3/75)

由斜率公式可得直线AB的斜率为kAH=

a-ba-b

2(/切(4叫

=2a-+2ab+lb2-

a-b

19.(2022・全国•高二课时练习)根据图中提供的信息，按从大到小的顺序排列图中各条直线/；(i=l,2,3,4,5)

的斜率并写出各条直线的斜率.

【分析】利用斜率公式可求得各直线的斜率，由此可得出这五条直线斜率的大小关系.

【详解】解：由已知可得匕.=匚5-1==23，质=5-碧1=4,&=6-=0=-3；，

~+I。2—1—4—02

,3-52

所以，k2>k、>k5>k4>k3.

20.(2022•全国•高二课时练习)分别写出点尸(七,几)到x=。与y=〃的距离.

【答案】到x=。的距离为|为一同，至U=b的距离为|%-4

【分析】根据点到直线的距离公式即可得解.

【详解】解：点尸伍，几）到x="的距离为区刊=k-3，

点P（%，儿）至U尸匕的距离为坪4=|%-斗

21.（2022・江苏•高二课时练习）某人上午8时从山下大本营出发登山，下午4时到达山顶.次日上午8时

从山顶沿原路返回，下午4时回到山下大本营.如果该人以同样的速度匀速上山、下山，那么两天中他可

能在同一时刻经过途中同一地点吗？如果他在上山、下山过程中不是匀速行进，他还可能在同一时刻经过

途中同一地点吗？

【分析】速度匀速上山、下山时，会同一时刻经过途中同一地点，若不匀速也可能在同一时刻经过途中同

一地点.

【详解】因为上山与下山路程相同，时间相同，

若以同样的速度匀速上山、下山，则在中午12点会经过途中同一地点；

若他在上山、下山过程中不是匀速行进，也可能在同一时刻经过途中同一地点.

因为是同一个路线同一个时间在两头出发必然有交叉点，交叉点即为同时刻经过的同一点.

22.（2022・江苏•高二课时练习）已知A,B两点都在直线y=x-l上，且A,8两点横坐标之差为血,求A,

8两点之间的距离.

【答案】2

【分析】结合直线的斜率和倾斜角求得正确答案.

【详解】直线y=x-i的斜率为1,倾斜角为:，

A，8两点横坐标之差为亚，

23.（2022・江苏•高二课时练习）设直线/的方程为y-3=k（x+2）,当k取任意实数时，这样的直线具有什

么共同的特点？

【答案】当左取任意实数时，直线/恒过定点（-2,3）,但不能与直线x=_2重合.

fx+2=0

【分析】联立方程｛。八，求得x=-2,y=3,结合直线的方程，即可得到结论.

（y-3=o

/、[x+2=0

【详解】由直线/的方程y—3=Z（x+2）,联立方程组1_3=0,解得x=-2,y=3,

所以当％取任意实数时，直线/恒过定点(-2,3),但不能与直线x=-2重合.

24.(2022♦江苏•高二课时练习)任一条直线都可以用点斜式方程表示吗？斜截式方程可以改写成点斜式方

程吗？

【答案】不可以，可以.

【分析】关于直线方程的概念必须要很清楚，就是什么形式的方程在那种情况下可以使用.

【详解】点斜式直线方程的使用必须是已知一个点的坐标，以及这条直线的斜率，但不包括斜率不存在，

就是倾斜角为90°时，此时必须使用一般方程：斜截式直线方程本质上也是点斜式直线方程，只是己知点

是在y轴上，横坐标为0,所以可以.

25.(2022•江苏•高二课时练习)已知点A与点的距离为5,且到y轴的距离等于4,求A点的坐标.

【答案】(4,3)或(4,-5)或

【分析】设y),根据题意列出方程组求解即可.

【详解】设A为(x,y),

由题得，

7(x-l)2+(y+l)2=5

故A的坐标为(4,3)或(4,-5)或(T,-1).

26.(2022•全国•高二课时练习)已知A(-l,3),B(3,3),C(l,2G+3),证明.A3C是等边三角形.

【分析】利用两点间的距离公式求解三边长度，叮得证.

【详解】因为4(-1,3),B(3,3),C(l,26+3),所以恒用=布二炉荐了'=4,

\AC\=7(-1-1)2+(3-2A/3-3)2=J4+12=4,忸C|=J(3-l)2+(3-26-3)2=J4+12=4，

所以［4同=卜［=忸。，所以..ABC是等边.三角形.

【典型】

一、单选题

1.(2022・吉林•抚松县第一中学高二阶段练习)已知点只。分别为圆G：(x-2『+(>+4)2=1与圆

G：(x+2)2+(y+3>=4的任意一点，则|PQ|的取值范围是()

A.[717-4,717+4]B.[717-3,717+3]

C.即-2,如+2]D.[717-1,717+1]

【答案】B

【分析】先判定两圆的位置关系为相离的关系，然后利用几何方法得到|P0的取值范围.

【详解】G：(x-2p+(y+4)2=l的圆心为G(2,-4)泮径彳=1,

G:(x+2)2+(y+3)2=4的圆心为C2(-2,-3)，半径4=2,

圆心距d=J(2+2)2+(-4+3)2=如＞1+2=4+4，

二两圆相离，

二|叫e[d-/;一+4++[而-3,M+3],

故选：B.

2.(2022•江苏连云港•高二期末)直线x-^y+2y/3=0被圆x2+y2=4截得的弦长为()

A.1B.6

C.2D.3

【答案】C

(分析】利用直线和圆相交所得的弦长公式2二层直接计算即可.

【详解】由题意可得圆的圆心为0(0,()),半径r=2,则圆心到直线的距离d=!2士上01=6,所以由直

4+3

线和圆相交所得的弦长公式可得弦长为：2产彳=2亚==2.

故选：C.

3.(2022♦河北唐山•高二期末)圆£：/+/-4》+2丫-4=0与圆6：/+丁+4、-4)，+4=0的位置关系为

()

A.内切B.相交C.外切D.外离

【答案】C

【分析】将两圆的一般方程化为标准方程得到圆心坐标和半径的长，然后利用圆与圆的位置关系判定.

2222

[详解】将两圆的一般方程化为标准方程得G:(x-2)+(y+l)=9;C2:(X+2)+(y-2)=4.

可知圆心G(2,-1).C2(-2,2)，半径4=3,4=2,

|GG卜^(2+2)2+(-1-2)2=5=4+/p

故两圆外切,

故选：c

二、填空题

4.（2022•全国•高二专题练习）已知的顶点/。，2）,A8边上的中线CM所在的直线方程为

x+2y-l=0,NABC的平分线所在直线方程为丫=£则直线BC的方程为

【答案】2x-3y-l=0

【分析】由题意可知，点8在角平分线丁=尢上，可设点8的坐标是（加m）,利用AB的中点在立线CM上,

可解出点B的坐标，再求出A关于y=x的对称点为A，，且4在直线BC上，利用两点式方程可得答案.

【详解】由题意可知，点B在角平分线丁=*匕可设点B的坐标是（加m）.

则AB的中点（《一，三一）在直线CM上，，k-+2下——1=0,

解得：加=-1,故点5（—

=

%-1x0=2

设A关于丫=%的对称点为4（却%）,则有，

%+2%+1%=1

2~2

即4（2,1）

则由A，在直线8C匕可得8C的方程为言=言

即3（y+l）=2（x+l）,gp2x-3y-l=0,

故答案为：2x-3y-1=0.

5.（2022•吉林・吉化第一高级中学校高二期末）已知点"（3,1）在圆C：（x-l）2+（y+l）2=r2（r＞0）内，过

点”的直线被圆C截得的弦长最小值为8,则厂=

【答案】2瓜

【分析】根据点与圆的位置关系，可求得r的取值范围，再利用过圆内一点最短的弦，结合弦长公式可得到

关于/•的方程，求解即可.

【详解】由点M（3,l）在圆C：（工一球+（丫+1）2=/内，且

所以（3-iy+（3+l）2＜，，又「＞（）,解得厂＞2收

过圆内一点最短的弦，应垂直于该定点与圆心的连线，即圆心到直线的距离为|CM|

又c(l,—l),;.|CM=2及

所以8=2新二jZ/F=2护二i，解得r=2#

故答案为：2瓜

6.(2022•吉林白山•高二期末)直线/：，nx—y-3机+1=0与圆O:*2+y2=]6相交于A,B两点，贝犷人却的最

小值为•

【答案】2瓜

【分析】直线/过定点尸(3,1),圆心0(0,0),当PO_LAB时，|AB|取得最小值，再由勾股定理即可求解.

【详解】由/：/nr-y-3〃?+l=0,得机(x—3)—y+l=0,

由「「x一3：0Z得直线/过定点尸(3,1),且P在圆°：f+y2=i6的内部，

[_y+l=0

由圆O:f+y2=i6可得圆心0(0,0),半径r=4,

当PO_LAB时，取得最小值，

圆心0(0,0)与定点P(3,l)的距离为d=屈手=回，

则IAB|的最小值为2,产一储=2V16-10=2A/6.

故答案为：2忌.

三、解答题

7.(2022•全国•高二课时练习)回答下列问题：

(1)任意一条直线的方程都可以用直线的截距式表示吗？

(2)经过点(1,2),且在x轴和y轴上的截距相等的直线有几条？请写出这些直线的方程.

【答案】(1)见解析；

(2)有2条，直线方程为：y=2x或x+y-3=0

【分析】(1)利用截距式的定义分析；

(2)分类讨论当直线过原点和直线不过原点，分析直线的方程进而求解；

(1)不可以,

因为截距式方程2+密=1,a片0,6工0,所以当直线与x轴或和y轴平行，或直线过原点时，就不能用截距

ab

式方程来表示.

(2)(1)当直线过原点时、符合题意，此时宜线方程为y=2x；

(2)当直线不过原点时，可是直线的方程为2+2=1

aa

又直线过点(1,2),则，+2=1,解得0=3,故所求直线为：+告=1,即x+y-3=o

aa33

所以符合题意的直线有2条，直线方程为：y=2x或x+y-3=0

8.(2022・河北唐山•高二期末)已知圆C的圆心在x轴上，且经过A(-U)和8(1,3)两点.

(1)求圆C的方程;

(2)过点23,2)的直线/被圆C截得的弦长为6,求直线/的方程.

【答案】(1)。-2)2+〉2=10

⑵x=3或3x-4y-l=0

【分析】(1)设圆c的方程为d+y+o无+切+/=0,根据已知条件列出方程组求解即得;

(2)分斜率存在与否，利用直线与圆相切的条件求解.

(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,

--=0,

2D=-4,

则-D+E+F+2=0,解得，E=0,

D+3E+F+10=0,F=-6.

所以圆C的方程为Y+y2-4x-6=0,即(x-2y+y2=10.

(2)因为直线/被圆C截得的弦长为6,

所以圆心到直线/的距离d==3=1.

当/的斜率不存在时，直线/方程为x=3,符合题意.

当/的斜率存在时，设直线/方程为y—2=%(x-3),即日-y-3Z+2=0

\2k-3k+2\3

贝i]d==1.解得

y/k2+\

7

此时直线/方程为y-2=：(x-3),g|J3x-4y-l=O.

综上所述，直线/的方程为x=3或3x-4y-l=0.

9.(2021•全国•高二课时练习)已知直线/：%-尸3=0,一束光线从点A(l,2)处射向x轴上一点B,又从点B

反射至h上的一点C,最后从点C反射回点A.

（1）试判断由此得到的.MC的个数；

（2）求直线8c的方程.

【答案】⑴符合题意的A8C只有1个；（2）3x+y—1=0.

【分析】（1）设W机0）,利用对称求解4,*的坐标，再结合点C既在直线上，又在直线上，可得

解；

（2）直线BC的方程，即为直线A8的方程，结合（1）即得解

【详解】（1）如图，设8（皿0）,点A关于x轴的对称点为A（l,-2）,

设点B关于直线X-y+3=0的对称点为3'(%,%)

「T

.xn-m

'3一比+3=0

[22

B'(—3,7W+3).

2

根据光学知识'知点C在直线上'点C又在直线5幺上,则直线"5的方程为），=行（，-机）.

2/、

y=-3-5/77

由,m-i，得x=--

「八加一3

x-y+3=0

又直线48的方程为'-2=节°@-1）,

_-m-1/八

y-2=---(x-1)m-3

由，4'得工=----

个八%+5

x-y+3=0

所以±0'=—,即3,"2+8加一3=0,

机一3m+5

解得机=：或-3.

当时，符合题意;

当〃?=-3H寸，点3在宜线x-y+3=。上，不能构成三角形.

综上，符合题意的ABC只有1个.

（2）由（1）得机=；,

则直线48的方程为3x+y-1=0,

即直线BC的方程为3x+y-\=0.

10.（2022・全国•高二专题练习）已知A（l,2）,3（5,0）,C（3,4）.

（1）若A,B,C,。可以构成平行四边形，求点。的坐标；

（2）在（1）的条件下，判断A,B,C,。构成的平行四边形是否为菱形.

【答案】（1）（-1,6）或（7,2）或（3,-2）；（2）平行四边形ABCO为菱形，平行四边形AB3CACB。不

是菱形.

【分析】（1）分四边形ABC。、ABDC,AC8O是平行四边形三种情况讨论，分别利用对边的斜率相等求

解，即可；

（2）分别验证对角线是否垂直，即对角线斜率乘积是否为-1,即可.

【详解】⑴由题意得怎8=丁0-2=一]1,

k.c=w—r=1,kpc=7―7=-2,设D[^a,b）.

若四边形A8CO是平行四边形，则28=左相，k—kec，

b-4_1

〃一32d二一1,、

即：：，解得（（，即。（T6）.

b-2,\h=6'/

----=-2i

若四边形是平行四边形，

则小=&A8,^BD=&AC,

b-41

-------=——

即广:2,解得：=：,即0(7,2).

。-01b=2

-------=1

、〃-5

若四边形AC80是平行四边形，

则%=^AB,^BD="AC，

b-O_1

即::，解得八c，即。3,—2.

匕=-2-2

a-1

综上，点。的坐标为（-1,6）或（7,2）或（3,・2）.

（2）若。的坐标为（-1,6）,

6-0

因为々AC=1，kBD=~~~-=一1,

-1—□

所以砥L凝。=-1，所以AC_LBQ,

所以平行四边形A8CD为菱形.

若。的坐标为（7,2）,

2-2

因为怎c=-2,k=――=0,

AD7-1

所以怎C'•砥"=0w-l，所以平行四边形力80c不是菱形.

若。的坐标为（3,-2）,因为直线CD的斜率不存在，所以平行四边形AC8O不是菱形.

因此，平行四边形488为菱形，平行四边形ABAC.4CBD不是菱形.

【新文化】

一、单选题

1.（2022•全国•高二专题练习）古希腊数学家阿波罗尼斯（约前262—前190年）的著作《圆锥曲线论》是

古代光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数%（%＞0且Zwl）的点的轨

迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知。（（）,（）），＞4（3,0）,圆。:（》-2）2+丫2=/（厂＞0）上有且仅有

一个点P满足|以|=2|尸。，贝。的取值为（）

A.1B.5C.1或5D.不存在

【答案】C

【分析】直接设点尸（x,y）,根据|用=2-。可以求得点;＞的轨迹为圆，根据题意两圆有且仅有一个公共点,

则两圆外切或内切，可得|c。=r+/;或\CCt\=\r-r;\.

【详解】设点尸（x,y）

•.•照=2|叫即^（x-3）2+y2=2c

整理得：（x+l）2+y=4

...点P的轨迹为以G（-1,0）为圆心，半径4=2的圆，

•.•圆C:（x-2）2+y2=厂2的c（2,0）为圆心，半径『的圆

由题意可得：3=|CG|=r+.或3=阳|=>-石|

，/■=1或r=5

故选：C.

2.（2022•广东茂各高二期末）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线

论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数MQ0且上1）

PA

的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知0（0,0）,A（3,0）,动点P（x,y）满而=2,则动点

P轨迹与圆a-2尸+丁=2的位置关系是（）

A.相交B.相离C.内切D.外切

【答案】A

【分析】苜先求得点尸的轨迹，再利用圆心距与半径的关系，即可判断两圆的位置关系.

【详解】由条件可知，=2,

4^7

化简为：（X+1丫+/=4,

动点尸的轨迹是以（」,（））为圆心，2为半径的圆，

圆。-2）2+丁=2是以（2,0）为圆心，0为半径的圆，两圆圆心间的距离d=3<2+JL

所以两圆相交.

故选：A

3.（2022•安徽蚌埠•高二期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到

两个定点A,B的距离之比42*1）为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿

波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系X。），中，4-2,0）,8（4,0）,点P满足号二，设点P的轨迹

为C,下列结论正确的是（）

A.C的方程为（x-4/+y2=]6

B.当A,B,P三点不共线时，AABP面积的最大值为24

C.当A,B,P三点不共线时，射线尸。是44P3的角平分线

D.在C上存在点M,使得|〃O|=2|M4|

【答案】C

【分析】根据题意可求出C的方程为(X+4)2+V=I6,即可根据题意判断各选项的真假.

【详解】对A,由霭=；可得2,(x+2y+y2=J(x_4>+y2,化简得/+/+8x=0,

I厂力I乙

即(x+4)2+y2=16,A错误；

对B,当A,8/三点不共线时，点尸到直线A8的最大距离为4,所以&WP面积的最大值为:创46=12,

B错误；

IPAIOA1

对C,当A,B,尸三点不共线时，因为第=右=彳，所以射线尸。是N4P8的角平分线，C正确；

IriiI(JoZ

对D,设M(x,y),由|MO|=2|MA|可得点M的轨迹方程为卜+|；+>2=与，而圆*+4了+炉=16与圆

+的圆心距为4—?<4-《，两圆内含，所以这样的点〃不存在，D错误.

I3；933

故选：C.

4.(2022・江苏•高二专题练习)唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马

傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马''问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,

先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为A(l,l),

若将军从山脚下的点3(4,4)处出发，河岸线所在直线/的方程为x-y+1=0,则“将军饮马”的最短总路程是

()

A.3x/6B.y/34C.>/5D.2石

【答案】D

【分析】先求点B(4,4)关于直线x-y+l=0对称的点C3㈤，再根据两点之间线段最短，即可得解.

【详解】如图，设B(4,4)关于直线x-y+l=0对称的点为以S),

依题意可得“将军饮马”的最短总路程为|4C|,

此时|AC|=J(l-3)2+(1-5)2=2右,

故选：D.

二、多选题

5.（2022・全国•高二）古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A,

3的距离之比为定值〃？（〃洋1）的点的轨迹是圆后来，人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简

称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，A（-2,0）,B（4,0）,点「满簿=1.设点尸的轨迹为C,则下列结论正确

的是（）

A.C的方程为（x+4>+y2=i2

B.当A,B,P三点不共线时，射线尸。是/4PB的平分线

C.在C上存在K使得|KO|=2|K4|

PD1

D.在x轴上存在异于A,B的两个定点E,使得出二万

【答案】BD

【分析】设点尸（x,y），根据题意可求出C的方程可判断A,根据三角形内角平分线的性质可判断B,求出

点K的轨迹方程与C的方程联立可判断C,设RE.的坐标结合C的方程可判断D.

/、IM1J(x+2)2+y21

【详解】设点P,则由局=3可得2=3,

\PB\2。/2

化简可得(犬+4丫+丁=16,故A错误；

当A,B,P三点不共线时，因为谒=5，|。4卜2,|。叫=4,

所以扁=5'所以耐二扇’射线是“有的平分线’故B正确；

设存在K(%,%),则(%+4『+%2=16,即玉)2+8々+%2=0,

因为|叫=2］必所以斤?=2卮不/，

所以X；+巾=4［(x。+2『+%］，所以片++g+为2=0,

又因为与2+8%+为2=0,所以4=2,又因为4=2不满足C:(x+4『+y2=16,

所以不存在K满足条件，故C错误：

假设x轴上存在异于AB的两定点D,E,使得忸=:，

\PE2

可设。(祖,0),£■(",0),可得J(x-4+y2=2^x-m)2+y2,

由P的轨迹方程为x2+y2+8%=0,可得8/〃-2〃=-24,4m2-n2=0,

解得〃?=-6,"=-12或》7=—2,〃=4(舍去),即存在D(-6,0),E(-12,0),故D正确.

故选：BD.

【点睛】本题考查阿波罗尼斯圆的定义及应用，属于新定义问题；证明角平分线除了可以通过线段的长度

比来证明，还可以通过点到线段两边的距离相等来证明；和圆有关的线段长度问题，可以利用坐标法来解

决问题.

三、填空题

6.(2021・全国•高二单元测试)舒腾尺是荷兰数学家舒腾(1615-1660)设计的一种作图工具，如图，。是滑槽

A8的中点，短杆ON可绕。转动，长杆MN通过N处的较链与QV连接，MN上的栓子。可沿滑槽4B滑动.

当点。在滑槽A8内作往复移动时，带动点N绕。转动，点M也随之而运动.记点N的运动轨迹为G，点M

的运动轨迹为Q.若ON=£W=1,MN=3,过G上的点P向C1作切线，则切线长的最大值为.

DB

【答案】Vl5

【分析】以滑槽他所在的直线为X轴，。为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，分别求出曲线G和G

的方程，进而可求得结果.

【详解】以滑槽A3所在的直线为x轴，。为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示.

因为|ON|=1,所以点N的运动轨迹C1是以。为圆心，半径为1的圆，其方程为x?+y2=L

设点N的坐标为(cosasin。)，由于[ON]TDM=1，易得DQCOS，,。)，

由|MV|=3可得NM=3N£>，设”(x,y),

贝ij(x-cosay-sin。)=3(cosa-sin6),解得A/(4cose,-2sin。),

所以点M的运动轨迹C,是椭圆，其方程为寸+$=1.

164

设上的点P(4cosa,2sina),则|O叶=16cos2a+4sin2a=4+12cos2a<16,

则切线长为耐W74Ji不斤=J声，即切线长的最大值为厉.

故答案为：V15.

【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：通过建立直角坐标系分别求出曲线G和G的方程，将实际问题转

化为数学问题.

7.（2022•江苏•高二专题练习）瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：

任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知「ABC的顶点A（T,0）,

3（0,4）,C（2,0）,则欧拉线的方程为.

【答案】x-y+2=0

【分析】根据给定信息，利用三角形重心坐标公式求出A3C的重心，再结合对称性求出A3C的外心，然

后求出欧拉线的方程作答.

7A

【详解】因一ABC的顶点A（-4,0）,8（0,4）,C（2,0）,则,ABC的重心,

显然43c的外心M在线段4c中垂线x=-l上，设

由例得：历/=Jl+d）2,解得：。=1,即点〃（7」），

1-1

直线MG:y-l=V—（x+1）,化简整理得：x-y+2=0,

--+1

3

所以ABC欧拉线的方程为x-y+2=o.

故答案为：x-y+2=0

四、解答题

\PA\

8.（2021•江苏•高二专题练习）平面上两点A、B,则所有满足谒