第九章 多元函数微分法及其应用教案(同济大学版高数)

第九章多元函数微分法及其应用

【教学目标与要求】

1、理解多元函数得概念与二元函数得几何意义。

2、了解二元函数得极限与连续性得概念，以及有界闭区域上得连续函数得性质。

3、理解多元函数偏导数与全微分得概念，会求全微分，了解全微分存在得必要条件与充分条

件，了解全微分形式得不变性。

4、理解方向导数与梯度得概念并掌握其计算方法。

5、掌握多元复合函数偏导数得求法。

6、会求隐函数（包括由方程组确定得隐函数）得偏导数。

7、了解曲线得切线与法平面及曲面得切平面与法线得概念，会求它们得方程。

8、了解二元函数得二阶泰勒公式。

9、理解多元函数极值与条件极值得概念,掌握多元函数极值存在得必要条件，了解二元函数极

值存在得充分条件,会求二元函数得极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数得最大

值与最小值，并会解决一些简单得应用问题。

【教学重点】

1、二元函数得极限与连续性；

2、函数得偏导数与全微分；

3、方向导数与梯度得概念及其计算；

4、多元复合函数偏导数；

5、隐函数得偏导数;多元函数极值与条件极值得求法；

6、曲线得切线与法平面及曲面得切平面与法线；

【教学难点】

1、二元函数得极限与连续性得概念；

2、全微分形式得不变性；

3、复合函数偏导数得求法；

4、二元函数得二阶泰勒公式；

5、隐函数（包括由方程组确定得隐函数）得偏导数；

6、拉格郎日乘数法，多元函数得最大值与最小值。

§9、1多元函数得基本概念

一、平面点集〃维空间

1.区域

由平面解析几何知道，当在平面上引入了一个直角坐标系后，平面上得点尸与有序二元

实数组（无,y）之间就建立了一一对应、于就是，我们常把有序实数组（元,y）与平面上得点P视

作就是等同得、这种建立了坐标系得平面称为坐标平面、

二元得序实数组（尤,y）得全体，即R2=RxR=｛（;c,y）|x,yeR｝就表示坐标平面、

坐标平面上具有某种性质P得点得集合，称为平面点集，记作

£1=｛（尤,列6回具有性质尸｝、

例如，平面上以原点为中心、厂为半径得圆内所有点得集合就是

C=｛（x,j）|x2+/<r｝^

如果我们以点P表示（x,y）,以|OP|表示点P到原点0得距离，那么集合C可表成

C=｛P||。尸|<小

邻域：

设Po(xo,州)就是xOy平面上得一个点，僦是某一正数、与点Po(xo,州)距离小于掰导点P

(x,y)得全体，称为点Po得於口域，记为U(Po,力，即

或、

邻域得几何意义：U(P0,⑦表示尤0y平面上以点Po(xo,加为中心、5>0为半径得圆得内部得

点P(x,y)得全体、

点Po得去心灵K域，记作，即

、

注：如果不需要强调邻域得半径a则用u(尸0)表示点尸0得某个邻域，点尸0得去心邻域

记作、

点与点集之间得关系：

任意一点PeR2与任意一个点集EUR2之间必有以下三种关系中得一种：

(1)内点：如果存在点P得某一邻域U(P),使得U(P)uE,则称尸为£得内点；

(2)外点：如果存在点P得某个邻域U(P),使得U(P)cE=0,则称尸为E得外点；

(3)边界点：如果点尸得任一邻域内既有属于E得点，也有不属于E得点，则称尸点为E

得边点、

E得边界点得全体，称为E得边界，记作HE.

E得内点必属于E；E得外点必定不属于£；而E得边界点可能属于£也可能不属于E.

聚点：如果对于任意给定得的0,点尸得去心邻域内总有E中得点，则称P就是E得聚点.

由聚点得定义可知，点集E得聚点尸本身，可以属于£也可能不属于E.

例如，设平面点集

E=｛(x,y)|l<^+Vw2｝.

满足1<?+V<2得一切点(x,y)都就是E得内点；满足f+9=1得一切点(X,y)都就是E得边界

点，它们都不属于"满足/+V=2得一切点(x,y)也就是E得边界点，它们都属于E；点集E

以及它得界边HE上得一切点都就是E得聚点.

开集：如果点集E得点都就是内点，则称E为开集、

闭集：如果点集得余集为开集，则称E为闭集.

开集得例子:£=｛(%,

闭集得例子:£,=｛(%,

集合｛(%,)0|1<%2+丁<2｝既非开集，也非闭集.

连通性：如果点集E内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上得点都属于E,则称E

为连通集.

区域(或开区域)：连通得开集称为区域或开区域、例如氏｛(XQTK^+VVZ｝、

闭区域：开区域连同它得边界一起所构成得点集称为闭区域、例如E=｛(x,y)|lg+y2«2｝、

有界集：对于平面点集E,如果存在某一正数％使得

EuU(O,r),

其中。就是坐标原点，则称E为有界点集.

无界集：一个集合如果不就是有界集，就称这集合为无界集.

例如，集合｛(x,y)|l4+y2v2｝就是有界闭区域；集合｛Q,y)|x+y>l｝就是无界开区域；

集合｛(尤,y)|x+yNl｝就是无界闭区域.

2、n维空间

设n为取定得一个自然数，我们用R"表示n元有序数组(尤i,尤2,•一，X.)得全体所构成得

集合，即

/7

R=RxRx---XR={(XI,X2,•••,xn)|i=l,2,•一，几}、

R"中得元素(Xl,X2,•••,X")有时也用单个字母X来表示，即X=(X1,尤2,•…，尤”)、当所有得Xi

(z=l,2,•••,〃)都为零时，称这样得元素为R中得零元，记为0或。、在解析几何中，通过

直角坐标，R2(或R3)中得元素分别与平面(或空间)中得点或向量建立一一对应，因而R"中得

元素X=(X1,尤2,--，X")也称为R"中得一个点或一个n维向量,所称为点x得第z个坐标或n维

向量x得第i个分量、特别地,R"中得零元0称为R1中得坐标原点或n维零向量、

二、多元函数概念

例1圆柱体得体积V与它得底半径八高〃之间具有关系

V=m2h>

这里，当八/I在集合｛(r,〃)|r>0,/z>0｝内取定一对值(r,/i)时,V对应得值就随之确定、

例2一定量得理想气体得压强p、体积V与绝对温度T之间具有关系

其中R为常数、这里，当V、T在集合｛(V/OI论0,40｝内取定一对值(V,7)时,p得对应值

就随之确定、

定义1设。就是R2得一个非空子集，称映射/:R为定义在D上得二元函数，通常记

为

z=fi,x,y),(x,y)&D(或z$P),PeD)

其中点集。称为该函数得定义域,x,y称为自变量,z称为因变量.

上述定义中，与自变量％、y得一对值(无,y)相对应得因变量z得值，也称为了在点(无,y)处

得函数值，记作/(x,y),BPz=f(x,y).

值域:/(£>)=｛z|z=J(x,y),(x,y)w。｝.

函数得其它符号:z=z(尤,y),z=g(x,y)等、

类似地可定义三元函数u=f(x,y,z),(x,y,z)&D以及三元以上得函数.

一般地，把定义1中得平面点集D换成〃维空间R"内得点集D,映射f:R就称为

定义在。上得“元函数，通常记为

U=fix\,X2,'­­,Xn),(XI,尤2,•••,Xn)eD,

或简记为

U=ft,x),X=(X1,X2,•••,X„)e£),

也可记为

u=ft.P),P(X1,x2,•••,Xn)eD.

关于函数定义域得约定：在一般地讨论用算式表达得多元函数"=Ax)时，就以使这个算

式有意义得变元X得值所组成得点集为这个多元函数得自然定义域.因而，对这类函数，它

得定义域不再特别标出.例如，

函数z=ln(x+y)得定义域为｛(x,y)仇+y>0｝(无界开区域)；

函数zuarcsinH+V)得定义域为｛(x,^)|^+/<1｝(有界闭区域)、

二元函数得图形：点集｛(x,y,z)\z=j｛x,y),(x,y)e£>｝称为二元函数z=£x,y)得图形，二元函

数得图形就是一张曲面、

与一元函数得极限概念类似，如果在P(x,y)fPo(尤o,yo)得过程中，对应得函数值无

限接近于一个确定得常数A,则称A就是函数小,y)当(x,(沏,加)时得极限、

定义2:设二元函数八尸)=/",y)得定义域为D,PoUo,泗)就是D得聚点、如果存在常数

A,对于任意给定得正数£总存在正数a使得当时，都有

成立，则称常数A为函数当(x,y)f(xo,yo)时得极限，记为

,或五尤,y)fl((尤,y)->(xo,yo)),

也记作或人P)-A(PfPo).

上述定义得极限也称为二重极限、

例4、设，求证、

证因为

|/(x,y)-。目⑴+外也占-0川之+外而出\<x1+y2,

可见V£>0,取，则当，即时，总有

段,y)-0|<£,

因此、

必须注意：

(1)二重极限存在，就是指P以任何方式趋于B时，函数都无限接近于A、

(2)如果当尸以两种不同方式趋于Po时，函数趋于不同得值，则函数得极限不存在、

讨论：

函数在点(0,0)有无极限？

提示：当点P{x,y)沿x轴趋于点(0,0)时，

当点P{x,y)沿y轴趋于点(0,0)时,

当点尸(x,y)沿直线y=kx有

因此，函数八匕y)在(0,0)处无极限、

极限概念得推广：多元函数得极限、

多元函数得极限运算法则：与一元函数得情况类似、

例5求、

解：=1x2=2、

四、多元函数得连续性

定义3设二元函数/(P)寸(x,y)得定义域为D,P0(x0,%)为D得聚点，且P°eD、如果

>

则称函数/(x,y)在点Po(xo,yo)连续、

如果函数在。得每一点都连续，那么就称函数/(尤,y)在。上连续，或者称/(x,y)

就是。上得连续函数、

二元函数得连续性概念可相应地推广到n元函数八P)上去、

例6设兀r,y)=sinx,证明艮x,y)就是R2上得连续函数.

证设尸o(xo,yo)eR2.Vfi>0,由于sin尤在刈处连续，故三<5>0,当|x-尤o|<加t,有

|sinx-sinxo|<^.

以上述出乍Po得於K域U(Po,",则当P(x,y)eU(P0,力时，显然

\f[x,y)-j[xo,jo)l=|sinx-sinxo|<£,

2

即f(x,y)=sinx在点P0(x0,yo)连续.由Po得任意性知,sinx作为尤,y得二元函数在R上连续

类似得讨论可知，一元基本初等函数瞧成二元函数或二元以上得多元函数时，它们在各

自得定义域内都就是连续得.

定义4设函数小,y)得定义域为D,Po(xo,师)就是D得聚点.如果函数八距y)在点P0(x0,Jo)

不连续，则称尸0（尤0,刃）为函数yuy）得间断点.

例如

函数，

其定义域n=R2,0（0,0）就是D得聚点.段,y）当（尤,y）f（0,0）时得极限不存在，所以点0（0,0）

就是该函数得一个间断点.

又如，函数，其定义域为。=｛（尤,历旧+y2#1｝,圆周C=｛（x,训炉+/曰｝上得点都就是。得

聚点，而式x,y）在C上没有定义，当然4v,y）在C上各点都不连续，所以圆周C上各点都就是

该函数得间断点、

注：间断点可能就是孤立点也可能就是曲线上得点、

可以证明，多元连续函数得与、差、积仍为连续函数；连续函数得商在分母不为零处仍

连续；多元连续函数得复合函数也就是连续函数.

多元初等函数：与一元初等函数类似，多元初等函数就是指可用一个式子所表示得多元

函数，这个式子就是由常数及具有不同自变量得一元基本初等函数经过有限次得四则运算

与复合运算而得到得、

例如,sin（x+y）,都就是多元初等函数、

一切多元初等函数在其定义区域内就是连续得、所谓定义区域就是指包含在定义域内

得区域或闭区域.

例7求、

一般地，求时，如果黄P）就是初等函数，且Po就是八P）得定义域得内点，则犬尸）在点Po

处连续，于就是

例8求、

五、多元连续函数得性质：

性质1（有界性与最大值最小值定理）在有界闭区域。上得多元连续函数，必定在D上有

界，且能取得它得最大值与最小值、

性质1就就是说，若五P）在有界闭区域D上连续，则必定存在常数M>0,使得对一切

PeD,有次2）区昭且存在尸卜尸20。使得

KPi）=max伏P）|Pe。｝,/（P2）=min伏P）|Pe0,

性质2（介值定理）在有界闭区域。上得多元连续函数必取得介于最大值与最小值之间

得任何值、

小结

1、区域得概念；

2、多元函数得定义；

3、多元函数得极限及其求解；

4、多元函数得连续性。

教学方式及教学过程中应注意得问题

在教学过程中要注意区域得定义与多元函数得定义，多元函数得极限与连续性得理解

就是本节得重点,要结合实例,反复讲解。

师生活动设计

课后习题：7,8,9

讲课提纲'板书设计

作业P63:5⑵⑷（6）,6⑵⑶⑸（6）

§9、2偏导数

一、偏导数得定义及其计算法

对于二元函数z=/a,y）,如果只有自变量X变化，而自变量y固定，这时它就就是X得一

元函数，这函数对x得导数，就称为二元函数z=/（x,y）对于x得偏导数、

定义设函数z=fix,y）在点（沏,州）得某一邻域内有定义，当y固定在刃而x在xo处有增

量Ax时，相应地函数有增量

/（xo+Ax,yo）-f（xo,州）、

如果极限

存在，则称此极限为函数z=/（x,y）在点（项,州）处对尤得偏导数，记作

，，，或、

例如

、

类似地，函数z/x,y）在点（xo,刃）处对y得偏导数定义为

?

记作，，，或苏（砧加）、

偏导函数：如果函数z=/a,y）在区域。内每一点（x,y）处对X得偏导数都存在，那么这个

偏导数就就是x、y得函数，它就称为函数z=Ax,y）对自变量得偏导函数，记作

，，，或、

偏导函数得定义式：、

类似地，可定义函数z=/（x,y）对y得偏导函数，记为

,,Zy,或.

偏导函数得定义式：、

讨论：下列求偏导数得方法就是否正确？

偏导数得概念还可推广到二元以上得函数.例如三元函数〃=/6y,z）在点（x,y,z）处对x

得偏导数定义为

其中（x,/z）就是函数u=fix,y,z）得定义域得内点.它们得求法也仍旧就是一元函数得微分法

问题.

例1求z=/+3冲+产在点（1,2）处得偏导数、

例2求z=fsin2y得偏导数.

例3设，求证：、

例4求得偏导数、

例5已知理想气体得状态方程为pV=RT（R为常数），

求证：、

证因为,；

所以、

例5说明得问题：偏导数得记号就是一个整体记号，不能瞧作分子分母之商、

二元函数z=fix,y)在点(xo,州)得偏导数得几何意义：

△Qo,yo)=\fi,x,州加就是截线z=fi,x,刃)在点Mo处切线Tx对x轴得斜率、

%(xo,yo)=[/(xo,就是截线z=A%0,y)在点Mo处切线Ty对y轴得斜率、

偏导数与连续性：对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在

该点连续、例如

在点(0,0)有，力(0,0)=0,^(0,0)=0,但函数在点(0,0)并不连续、

提示:

当点P(x,y)沿x轴趋于点(0,0)时，有

当点P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0)时，有

因此，不存在，故函数兀r,y)在(0,0)处不连续、

类似地，可定义函数z=/(x,y)对y得偏导函数，记为

,,Zy,或.

偏导函数得定义式：、

二'高阶偏导数

设函数z=/(x,y)在区域。内具有偏导数

，，

那么在D内力(x,y)、fy(x,y)都就是x,y得函数、如果这两个函数得偏导数也存在，则称它

们就是函数z=/(x,y)得二偏导数、按照对变量求导次序得为同有下列四个二阶偏导数

如果函数z=J[x,y)在区域D内得偏导数fx(x,y)、fy(x,y)也具有偏导数，

则它们得偏导数称为函数z=f(x,y)得二阶偏导数、按照对变量求导次序得

不同有下列四个二阶偏导数

其中，称为混合偏导数、

，，，、

同样可得三阶、四阶、以及〃阶偏导数、

二阶及二阶以上得偏导数统称为高阶偏导数、

例6设z=x3V-3孙3_孙+1,求、、与.

由例6观察到得问题：

定理如果函数z=J1x,y)得两个二阶混合偏导数及在区域D内连续，那么在该区域内这

两个二阶混合偏导数必相等、

类似地可定义二元以上函数得高阶偏导数、

例7验证函数满足方程、

证因为，所以

因此、

例8.证明函数满足方程，

其中、

证:，

、

同理，、

因此

、

提示：、

小结

1、偏导数得概念及有关结论:定义,记号,几何意义,偏导数得存在与连续性；

2、偏导数得计算方法:求导得先后顺序。

教学方式及教学过程中应注意得问题

在教学过程中要注意偏导数得定义以及偏导数得求法，特别就是求导先后顺序问题就

是本节得重点,要结合实例,反复讲解。

师生活动设计

1、设,方程确定就是得函数，其中可微，连续，且，求。

2、课后习题:5,6

讲课提纲'板书设计

作业P69:1(4)(6)(8),4,6(3),8

§9、3全微分

一、全微分得定义

根据一元函数微分学中增量与微分得关系,有

偏增量与偏微分：

Ax+Ax,y)f(x,y)咙(x,y)Ax,

/(x+Ax,y)fix,y)为函数对x得偏增量,A(x,y)Ar为函数对尤得偏微分；

f(x,y+\y)f(x,y)^fy(x,y)Ay,

>,y+^f(x,y)为函数)对y得偏增量y)Ay为函数对y得偏微分、

全增量：Az=兀计Ax,y+Ay)fix,y)、

计算全增量比较复杂，我们希望用Ax、Ay得线性函数来近似代替之、

定义如果函数z4(x,y)在点(x,y)得全增量

\z=fix+\x,y+\y)j[x,y)

可表示为

9

其中A、B不依赖于Ar、Ay而仅与x、y有关，则称函数z=fix,y)在点(无，y)可微分，而称

AAv+BAy为函数z=/(x,y)在点(x,y)得全微分，记作dz,即

dz=AAx+BAy>

如果函数在区域D内各点处都可微分，那么称这函数在D内可微分、

可微与连续：可微必连续，但偏导数存在不一定连续、

这就是因为，如果z=f(x,y)在点(x,y)可微,则

\z=fix+\x,y+\y)j{x,y)=AAx+BAj+o(/?),

于就是，

从而、

因此函数z=fl,x,y)在点(尤,y)处连续、

定理1(必要条件)

如果函数z=/(x,y)在点(x,y)可微分，则函数在该点得偏导数、必定存在，且函数z=/(x,y)

在点(x,y)得全微分为

、

证设函数z=/(x,y)在点p(尤,y)可微分、于就是，对于点p得某个邻域内得任意一点P

\x+\x,y+\y\有Az=AAx+8Ay+o(/?)、特别当Ay=O时有

/(x+Ax,y)fix,j)=AAx+o(|Ax|)>

上式两边各除以Ax,再令Axf0而取极限，就得

从而偏导数存在，且、同理可证偏导数存在，且、所以

、

简要证明：设函数罚/(无,y)在点(x,y)可微分、于就是有Az=AAr+8Ay+o(0)、特别当Ay=O

时有

/(x+Ax,y)J[x,y)=AAx+o(|Ax|)、

上式两边各除以Ax,再令VO而取极限，就得

从而存在，且、同理存在，且、所以、

偏导数、存在就是可微分得必要条件，但不就是充分条件、

例如，

函数在点(0,0)处虽然有/式0,0)=0及/,(0,0)=0,但函数在(0,0)不可微分，即Az-[A(O,

O)Ax+^(O,O)Ay]不就是较0高阶得无穷小、

这就是因为当(Ax,Ay)沿直线y=x趋于(0,0)时,

定理2(充分条件)

如果函数z=/Hy)得偏导数、在点(x,y)连续，则函数在该点可微分、

定理1与定理2得结论可推广到三元及三元以上函数、

按着习惯,Ac、Ay分别记作dx、dy,并分别称为自变量得微分,则函数z=/(x,y)得全微分

可写作

、

二元函数得全微分等于它得两个偏微分之与这件事称为二元函数得微分符合叠加原理、

叠加原理也适用于二元以上得函数，例如函数"=f(x,y,z)得全微分为

、

例1计算函数Z=X2J+/得全微分、

例2计算函数2=产在点(2,1)处得全微分、

例3计算函数得全微分、

小结

1、全微分得定义；

2、可微、可导、连续性之间得关系。

教学方式及教学过程中应注意得问题

在教学过程中要注意全微分得定义，可微、可导、连续性之间得关系就是本节得重点，

要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

1、函数在可微得充分条件就是

在得某领域内存在；

时就是无穷小量；

时就是无穷小量

2、课后习题:5

讲课提纲'板书设计

作业P75:1⑴⑶,3

§9、4多元复合函数得求导法则

设农/(〃,v),而"如何求？

设z=f(u,v),而u=(p{x,y),y),如何求与？

1.复合函数得中间变量均为一元函数得情形

定理1如果函数蔗=在。及片/力都在点/可导，函数V)在对应点(/V)具有连续偏

导数，则复合函数24［以/),火力］在点/可导，且有

简要证明1：因为具有连续得偏导数，所以它就是可微得，即有

又因为〃=以。及v=M>)都可导，因而可微，即有

代入上式得

从而、

简要证明2:当t取得增量加时,〃、丫及z相应地也取得增量AM、AV及Az、由z=/(",小

"=凶)及v=M)得可微性，有

令zVfO,上式两边取极限，即得

注：lim皿=lim皿.g"+3)2=0心)2+也)2=0、

Xzv_0pXVatat

推广：设Z=f{u,V,w),U=(p(t),V=M。,W=CD(t),则Z=J［<p(t),打垃以。］对t得导数为：

上述称为全导数、

2.复合函数得中间变量均为多元函数得情形

定理2如果函数"=在尤,y),y)都在点(尤,y)具有对x及〉得偏导数，函数z=*/,v)在

对应点(〃，v)具有连续偏导数，则复合函数z="在尤,y),yAx,刈在点(x,y)得两个偏导数存在,

且有

J、

推广：设z=J{u,v,w),u=(p(x,y),v=MXy),y),贝！！

J、

讨论：

(1)^z^=fiu,v),u=^(x,y),v=Ky),则？？

提示:，.

⑵设z=fiu,x,y),且3运,y),则？？

提示:,、

这里与就是不同得，就是把复合函数z=/［奴x,y),尤,y］中得y瞧作不变而对x得偏导数，就是

把犬M,x,y)中得M及y瞧作不变而对x得偏导数.与也朋类似得区别.

3.复合函数得中间变量既有一元函数，又有多元函数得情形

定理3如果函数M=在x,y)在点(x,y)具有对x及对y得偏导数，函数丫=*)在点y可导，函

数zj”,v)在对应点(〃,v)具有连续偏导数，则复合函数z=/［以x,y),诲)］在点(x,y)得两个偏导

数存在，且有

例1设z=e"sinv,u=xy,v=x+y,求与、

例2设，而、求与、

例3设z=«v+sint,而u=ef,v=cos八求全导数、

例4设w^/(x+y+z,邛z)J具有二阶连续偏导数，求及、

例5设得所有二阶偏导数连续，把下列表达式转换成极坐标系中得形式:

(1)；⑵、

解由直角坐标与极坐标间得关系式得

u=fHy)=j[pcose,psin9)=F(p,O'),

其中x=pcos3,y=psind,,.

应用复合函数求导法则，得

两式平方后相加，得

、

再求二阶偏导数，得

同理可得

、

两式相加，得

、

全微分形式不变性：

设z=f(u,V)具有连续偏导数，则有全微分

、

如果v)具有连续偏导数，而2axy),y)也具有连续偏导数，贝!J

、

由此可见，无论Z就是自变量"、V得函数或中间变量M、V得函数，它得全微分形式就是

一样得、这个性质叫做全微分形式不变性、

例6设z=e"sinv,u=xy,v=x+y,利用全微分形式不变性求全微分、

角军=e"sinvdu+e"cosvdv

=e"sinv(ydx+xdy)+e"cosv{dx+dy)

=(ye"sinv+e"cosv)dx+(xe“sinv+e"cosv)dy

=e孙[ysin(x+y)+cos(x+y)]d[x+[xsin(%+y)+cos(x+y)]6fy、

小结

1、复合函数求导得链式法则“分段用乘，分叉用加，单路全导,叉路偏导”；

2、全微分形式不变性。

教学方式及教学过程中应注意得问题

在教学过程中要注意复合函数求导得链式法则''分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏

导”，全微分形式不变性,要结合实例,反复讲解。

师生活动设计

1.己知，,求

2.设函数在点处可微，且,，，

求

讲课提纲'板书设计

作业P82:2,4,6,9,10

§9、5隐函数得求导公式

一、一个方程得情形

隐函数存在定理1

设函数F(x,y)在点P(x0,加得某一邻域内具有连续偏导数，F(x0,加=0,Fy(x0,yo)M,则方

程F(x,y)=0在点(xo,泗)得某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数得函数y=flx),

它满足条件加45)),并有

、

求导公式证明：将片/⑴代入/(X,y)=0,得恒等式尸(x,X%))三0,

等式两边对x求导得

由于尸y连续，且Fy(X0,州)。0,所以存在(%0,比)得一个邻域，在这个邻域同Fy于就是得

、

例1验证方程站+产1=0在点(0,1)得某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当户0时

y=l得隐函数月U),并求这函数得一阶与二阶导数在x=0得值、

22

解设F(x,y)=x+yl,则F^2x,Fy=2y,F(0,1)=0,Fv(0,1)=2M、因此由定理1可知，方

程^+/1=0在点(0,1)得某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当尤=0时尸1得隐函数

y寸尤)、

隐函数存在定理还可以推广到多元函数、一个二元方程F[x,y)=0可以确定一个一元隐

函数，一个三元方程F(x,y,z)=0可以确定一个二元隐函数、

隐函数存在定理2

设函数F(x,y,z)在点P(xo,jo,zo)得某一邻域内具有连续得偏导数，且F(xo,jo,zo)=O,

E(尤o,州,zo)M,则方程F(x,y,z)=0在点Qo,州,z0)得某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具

有连续偏导数得函数z=/(x,y),它满足条件zo=Axo,州)，并有

>、

公式得证明：将y)代入尸(x,Mz)=0,得F(x,y,7(x,y))三0,

将上式两端分别对x与y求导，得

因为此连续且已(砧加二0)*0,所以存在点(xo,yo,zo)得一个邻域，使尸产0,于就是得

,、

例2、设/+9+22-42=0,求、

解设F(x,y,z)=则Fx=2x,Fy=2z4,

5

、

二、方程组得情形

在一定条件下，由个方程组F(x,必沈,v)=0,G(x,y,u,v)=0可以确定一对二元函数u=u(x,

y),v=v(x,y),例如方程xuyv=0与yu+xv=l可以确定两个二元函数，、

事实上，xuyv=0nnn,、

如何根据原方程组求u,v得偏导数？

隐函数存在定理3

设F(x,%"/)、G(x,%%v)在点P(x0,加劭,询得某一邻域内具有对各个变量得连续偏导

数，又F(x0,yo9wo,vo)=O,G(xo,yo,uo,vo)=O,且偏导数所组成得函数行列式：

在点P(xo,加沏,w)不等于零，则方程组F(x,y,u,v)=0,G(x,y,u,v)=0在点P(xo,加"o,咐得某

一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数得函数〃=〃(再y),v=vfcy),它们满足条件

wo=w(xo,yo),vo=v(xo,yo),并有

，，

5,

隐函数得偏导数：

设方程组F(x,y,u,v)=0,G(x,y,u,v)=0确定一对具有连续偏导数得

二元函数u=u(x,y),v=v(x,y),则

偏导数，由方程组确定；

偏导数，由方程组确定、

例3设％〃yv=O,y〃+xv=l,求，，与、

解两个方程两边分别对X求偏导，得关于与得方程组

当V+y2M时，解之得，、

两个方程两边分别对尤求偏导，得关于与得方程组

当f+y2M吐解之得，、

例4设函数v),y=y(〃,v)在点(％v)得某一领域内连续且有连续偏导数，又

、

(1)证明方程组

在点(x,y,u,v)得某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数得反函数u=u(x,y),

v=v(x,y)、

(2)求反函数u=u(x,y),v=v(x,y)对x,y得偏导数、

解(1)将方程组改写成下面得形式

则按假设

由隐函数存在定理3,即得所要证得结论、

(2)将方程组(7)所确定得反函数u=u(x,y),v=v(x,y)代入(7),即得

将上述恒等式两边分别对尤求偏导数，得

、

由于故可解得

?、

同理，可得

?、

小结

1、隐函数(组)存在定理；

2、隐函数(组)求导方法:方法(1)利用复合函数求导法则直接计算；(2)利用微分形式

不变性；(3)代公式。

教学方式及教学过程中应注意得问题

在教学过程中要注意隐函数(组)存在定理与求导方法,要结合实例,反复讲解。

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1.设函数有连续得一阶偏导数,又函数及分别由下列两式确定:，，求。

2、设，由方程与所确定得函数,求。

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作业P89:3,4,6,7,10(2)(4)

§9、6多元函数微分学得几何应用

一.一元向量值函数及其导数

空间曲线得参数方程为:，

此方程也可以写成向量形式。若记

，，

于就是

，，

这就确定了一个从实数到向量得一个映射。

定义1:设数集，则映射为一元向量值函数，记作

其中数集D称为函数得定义域,t称为自变量,称为因变量。

在中，可表示为：

或者，

下面研究向量值函数得极限，连续性,导数。

1、向量值函数极限：

定义2:设向量值函数在点得某一去心领域内有定义，若存在一个常向量，对于任意给定得

正数，总存在正数，使得当t满足时，对应得函数值都满足不等式

则称常向量为向量值函数当时得极限，记作

等价于

2、向量值函数连续：

设向量值函数在点得某一领域内有定义，若，则称向量值函数在点处连续。

等价于都在点处连续。

向量值函数,，若在D上每一点都连续，则称就是D上得连续函数。

3、向量值函数导数：

定义3:设向量值函数在点得某一领域内有定义，如果

存在，

则称此极限向量为向量值函数在点处得导数或导向量，记作或。

向量值函数,，若在D上每一点都可导，则称就是D上得导函数。

等价于:都在点处可导，即。

4、导函数得性质。

5、导函数得几何意义:向量值函数在点处得导数表示在此处得一个切向量。

例1、设，求。

例2、空间曲线得向量方程为,,求曲线在与点相应得点处得单位且向量。

二.空间曲线得切线与法平面

设空间曲线「得参数方程为

这里假定奴认都在［a,用上可导、

记:,。由向量值函数得导向量得几何意义知：

向量,于就是

曲线「在点/处得切线方程为

法平面：通过点瓶而与切线垂直得平面称为曲线「在点M)处得法平面，其法平面方

程为

e'«o)(xxo)+^(fe)(yyo)+ftX(fo)(zzo)=O、

例3求曲线x=t,y=P,z=d在点(1,1,1)处得切线及法平面方程、

解因为无/=l,y/=2y=3户，而点(1,1,1)所对应得参数U1,所以

7=(1,2,3)、

于就是，切线方程为

?

法平面方程为

(尤l)+2(yl)+3(zl)=0,即x+2y+3z=6、

讨论：

1、若曲线「得方程为

>=在尤),2=区尤)、

问其切线与法平面方程就是什么形式？

提示：曲线方程可瞧作参数方程:x=x,>=妫尤),z=Mx),切向量为7=(1,〃(尤)，〃(x))、

2、若曲线「得方程为

F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0、

问其切线与法平面方程又就是什么形式？

提示：两方程确定了两个隐函数：产在x),z=Mx),曲线得参数方程为

XX,y=(p{x),z=3>),

由方程组可解得与.

切向量为、

例4求曲线x2+y2+z2=6,x+y+z=O在点(1,2,1)处得切线及法平面方程、

解为求切向量，将所给方程得两边对x求导数，得

5

解方程组得，、在点(1,2,1)处,，.

从而7=(1,0,1)、

所求切线方程为

法平面方程为

(xl)+0-(y+2)(zl)=0,即xz=0、

三、曲面得切平面与法线

设曲面£得方程为

F(x,y,z)=0,

Mo(xo,yo,zo)就是曲面E上得一点，并设函数F(x,y,z)得偏导数在该点连续且不同时为零、

在曲面£上，通过点减任意引一条曲线「，假定曲线「得参数方程式为

t=t0对应于点Mo(xo,yo,zo),且/(而)，〃(击),〃(如)不全为零、曲线在点得切向量为

T=(-),八to),〃(砌、

考虑曲面方程p(x,yz)=o两端在仁加得全导数：

,

Fx(x0,yo,zo)<^(to)+Fy(xo,yo,zo)i//(to)+Fz(xo,yo,zo)®(fo)=O>

引入向量

n=(Fx(x0,jo,zo),Fy(xo,y0,zo),F:(x0,y0,z0)),

易见7与"就是垂直得、因为曲线「就是曲面£上通过点Mo得任意一条曲线，它们在点Mo

得切线都与同一向量”垂直，所以曲面上通过点减得一切曲线在点喊得切线都在同一个平

面上、这个平面称为曲面£在点减得切平面、这切平面得方程式就是

Fx(xo,yo,zo)(xxo)+Fy(xo,yo,zo)(yyo)+E(x(),yo,zo)(zzo)=O、

曲面得法线：通过点Mo(xo,yo,zo)而垂直于切平面得直线称为曲面在该点得法线、

法线方程为

、

曲面得法向量：垂直于曲面上切平面得向量称为曲面得法向量、向量

n=(Fx(x0,yo,zo),Fy(xo,yo,zo),Fz(xo,yo,zo))

就就是曲面£在点Mo处得一个法向量、

例5求球面x2+y2+z2=14在点(1,2,3)处得切平面及法线方程式、

解F(x,y,z)=x2+y2+z214,

Fx=2x,Fr=2y,Fz=2z,

Fx(l,2,3)=2,Fy(l,2,3)=4,Fz(l,2,3)=6、

法向量为n=(2,4,6),或w=(l,2,3)、

所求切平面方程为

2(xl)+4(y2)+6(z3)=0,即x+2y+3zl4=0、

法线方程为、

讨论：若曲面方程为z=/(x,y),问曲面得切平面及法线方程式就是什么形式？

提示：此时E(x,y,z)H>,y)z、〃=(A(xo,刃),为(冲,刃)，1)

例6、求旋转抛物面z=^+/l在点(2,1,4)处得切平面及法线方程、

小结

1、一元向量值函数得定义以及极限，连续性,导数；

2、空间曲线得切线与法平面；

3、曲面得切平面与法线。

教学方式及教学过程中应注意得问题

在教学过程中要注意一元向量值函数得定义以及极限，连续性，导数，空间曲线得切线

与法平面、曲面得切平面与法线得定义及其求解方法,要结合实例,反复讲解。

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1.证明曲面得所有切平面恒与定直线平行,其中可微。

2.求曲线在点得切线与法平面。

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作业P100：3,4,5,8,9,10

§9、7方向导数与梯度

一、方向导数

现在我们来讨论函数z=fix,y)在一点P沿某一方向得变化率问题、

设/就是尤。y平面上以Po(尤o,yo)为始点得一条射线,e/=(cosa,cos为就是与I同方向得单

位向量.射线/得参数方程为

x=xo+tcosa,y=yo+tcosf3(Z>0).

设函数z=/U,y)在点Po(xo,yo)得某一邻域U(Po)内有定义，尸5+rcosa,y0+tcos为为l上

另一点，且PeU(Po).如果函数增量_/(xo+fcosa,y0+tcos份-4x。,为)与P到尸°得距离|PPo|=t

得比值

当尸沿着/趋于尸o(即枕)时得极限存在，则称此极限为函数/U,y)在点Po沿方向I得方

向导数，记作，即

、

从方向导数得定义可知，方向导数就就是函数在点尸o(xo,%)处沿方向/得变化率.

方向导数得计算：

定理如果函数z=fi,x,y)在点Po(xo,yo)可微分，那么函数在该点沿任一方向/得方向导

数都存在，且有

其中cosa,cosP就是方向I得方向余弦、

简要证明：设Ax=/cosa,Ay=/cos以则

fixo+tcosa,yo+tcosj3)-fixo,yo)=fx(xo,yo)tcosa+fy(x(),yo»cos丹。(力.

所以

、

这就证明了方向导数得存在，且其值为

提示:.

\x=tcosa,Ay=tcos以.

讨论：函数z寸a,y)在点尸沿X轴正向与负向，沿y轴正向与负向得方向导数如何？

提示：

沿X轴正向时，cosci^l,cos/?=0,;

沿X轴负向时，cosgl,cos/?=0,、

例1求函数Z=xe2y在点尸(1,0)沿从点P(l,0)到点0(2,1)得方向得方向导数、

解这里方向/即向量得方向，与/同向得单位向量为

因为函数可微分，且,,

所以所求方向导数为

对于三元函数y,z)来说，它在空间一点Po(xo,州,zo)沿e/=(cosa,cos£,cos力得方向

导数为

、

如果函数/(X,y,Z)在点(Xo,yo,Zo)可微分，则函数在该点沿着方向e/=(cosa,cos/3,cosy)

得方向导数为

Kxo,yo,zo)coscr+^(xo,yo,zo)cos丹段(xo,yo,zo)cos/

例2求危,y,z)f+y2+zx在点(1,1,2)沿方向l得方向导数，其中I得方向角分别为60°,

45°,60°.

二、梯度

设函数z"Xy)在平面区域。内具有一阶连续偏导数，则对于每一点R)(xo,yo)£。，都可

确定一个向量

右(%o,yo)及外(M),yo)j,

这向量称为函数火无y)在点尸o(xo,yo)得梯度，记作grad/(xo,/)，即

grad/(xo,州)=力(须),yo)计以私yo)j-

梯度与方向导数：

如果函数段,y)在点尸0(的,州)可微分,e；=(cosa,cos尸)就是与方向I同方向得单位向量,

则

=grad«xo,yo)-ei

=1grad/xo,jo)|-cos(grad^o,刈)/6)、

这一关系式表明了函数在一点得梯度与函数在这点得方向导数间得关系.特别，当向量

⑨与grad/Uo,yo)得夹角a0,即沿梯度方向时，方向导数取得最大值，这个最大值就就是梯

度得模Igrad兀电刃)|.这就就是说：函数在一点得梯度就是个向量，它得方向就是函数在这

点得方向导数取得最大值得方向，它得模就等于方向导数得最大值.

讨论：得最大值；

结论：函数在某点得梯度就是这样一个向量，它得方向与取得最大方向导数得方向一致

,而它得模为方向导数得最大值、

我们知道，一般说来二元函数z=/(x,y)在几何上表示一个曲面，这曲面被平面z=c(c就是

常数)所截得得曲线L得方程为

这条曲线L在xOy面上得投影就是一条平面曲线L*,它在xOy平面上得方程为

J(x,y)=c.

对于曲线L*上得一切点，已给函数得函数值都就是c,所以我们称平面曲线L*为函数z=〃x,

y)得等值线、

若fxjy不同时为零，则等值线式无,y)=c上任一点Po(xo,刃)处得一•个单位法向量为

这表明梯度grad兀他州)得方向与等值线上这点得一个法线方向相同，而沿这个方向得方向

导数就等于|grad/(xo,jo)|,于就是

这一关系式表明了函数在一点得梯度与过这点得等值线、方向导数间得关系.这说就是

说：函数在一点得梯度方向与等值线在这点得一个法线方向相同，它得指向为从数值较低得

等值线指向数值较高得等值线，梯度得模就等于函数在这个法线方向得方向导数.

梯度概念可以推广到三元函数得情形、设函数八x,y,z)在空间区域G内具有一阶连续

偏导数，则对于每一点尸o(xo,yo,Z0)eG,都可定出一个向量

人(xo,光，zo)it/5)(xo,光，zo)/K(xo,光，zo)k,

这向量称为函数式x,y,z)在点尸o(无o,yo,zo)得梯度，记为grad/(无o,yo,zo),即

grady(尤o,yo,zo)=fx(xo,yo,zo)i+fy(xo,y0,zo)j+f:(xo,y0,z0)k.

结论：三元函数得梯度也就是这样一个向量，它得方向与取得最大方向导数得方向一致

,而它得模为方向导数得最大值、

如果引进曲面

於,y,z)=c

为函数得等量面得概念，则可得函数六x,y,z)在点Po(xo,jo,zo)得梯度得方向与过点Po得等量

面fix,y,z)=c在这点得法线得一个方向相同，且从数值较低得等量面指向数值较高得等量

面，而梯度得模等于函数在这个法线方向得方向导数、

例3求、

例4设Jlx,y,z)=x2+y2+z2,求grad/1,1,2)>

数量场与向量场：如果对于空间区域G内得任一点都有一个确定得数量人")，则称

在这空间区域G内确定了一个数量场(例如温度场、密度场等)、一个数量场可用一个数量

函数加W)来确定，如果与点“相对应得就是一个向量/(M),则称在这空间区域G内确定了

一个向量场(例如力场、速度场等)、一个向量场可用一个向量函数(M)来确定，而

F(M)=P(M)i+Q(M)j+R(M)k,

其中P(M),。(跖,R(M)就是点M得数量函数、

利用场得概念，我们可以说向量函数grad加W)确定了一个向量场一一梯度场，它就是

由数量场式陷产生得、