江苏专版2024-2025学年新教材高中数学第6章空间向量与立体几何6.3空间向量的应用6.3.2空间线面关系的判定分层作业苏教版选择性必修第二册

6.3.2空间线面关系的判定基础达标练1.设直线l1的一个方向向量为a=(2,1,-2),直线l2的一个方向向量为b=(2,2,m),若l1⊥l2,则实数m=()A.1 B.-2 C.-3 D.32.已知平面α的一个法向量为(1,2,-2),平面β的一个法向量为(-2,-4,k),若α∥β,则实数k等于()A.2 B.-4C.4 D.-23.在空间直角坐标系中,A(1,2,3),B(-2,-1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则直线AB与CD的位置关系是()A.垂直B.平行C.异面D.相交但不垂直4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线NO,AM的位置关系是()A.平行 B.相交C.异面垂直 D.异面不垂直5.(多选题)已知e为直线l的方向向量,n1,n2分别为平面α,β的法向量(α,β不重合,直线l不在平面α,β内),那么下列说法正确的有()A.n1∥n2⇔α∥βB.n1⊥n2⇔α⊥βC.e∥n1⇔l∥αD.e⊥n1⇔l⊥α6.设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n=(2,2,4),若a=(1,1,2),则直线l与平面α的位置关系为;若a=(-1,-1,1),则直线l与平面α的位置关系为

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7.在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中,E,F分别是AB,BC上的动点,且AE=BF,求证:A1F⊥C1E.实力提升练8.设α,β是不重合的两个平面,α,β的法向量分别为n1,n2,l和m是不重合的两条直线,l,m的方向向量分别为e1,e2,那么α∥β的一个充分条件是()A.l⊂α,m⊂β,且e1⊥n1,e2⊥n2B.l⊂α,m⊂β,且e1∥e2C.e1∥n1,e2∥n2,且e1∥e2D.e1⊥n1,e2⊥n2,且e1∥e29.如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,E为CD的中点,F是AD上一点,当BF⊥PE时,等于()A. B.1 C.2 D.310.(多选题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O是底面ABCD的中心,M,N分别是棱DD1,D1C1的中点,则直线OM()A.和AC垂直B.和AA1垂直C.和MN垂直D.与AC,MN都不垂直11.(多选题)在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱BB1,AD,AA1的中点,则下列说法错误的是()A.D1F⊥B1CB.FG∥D1EC.FG⊥平面AD1ED.BF∥平面AD1E12.在△ABC中,A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1).若向量n与平面ABC垂直,且|n|=,则n的坐标为.

13.已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,假如=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1),给出下列结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③是平面ABCD的一个法向量.其中全部正确的结论是.(填序号)

14.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PB与底面所成的角为45°,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC=AD=1.问:在棱PD上是否存在一点E,使得CE∥平面PAB?若存在,求出点E的位置;若不存在,请说明理由.拓展探究练15.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1的中点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点.若点Q在线段B1P上,则下列结论正确的是()A.当点Q为线段B1P的中点时,DQ⊥平面A1BDB.当点Q为线段B1P的三等分点时,DQ⊥平面A1BDC.在线段B1P的延长线上,存在一点Q,使得DQ⊥平面A1BDD.不存在DQ与平面A1BD垂直16.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=∠PAD=90°,侧面PAD⊥底面ABCD,PA=AB=BC=AD.(1)求证:CD⊥平面PAC;(2)侧棱PA上是否存在点E,使得BE∥平面PCD?若存在,求出点E的位置并证明;若不存在,请说明理由.6.3.2空间线面关系的判定1.D∵l1⊥l2,∴a⊥b,∴a·b=2×2+1×2+(-2)·m=0,∴m=3.2.C因为α∥β,所以==,所以k=4.3.B由题意,得=(-3,-3,3),=(1,1,-1),∴=-3,∴与共线.又AB与CD没有公共点,∴AB∥CD.4.C建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0),N(2,1,2),=(-1,0,-2),=(-2,0,1).因为·=0,且NO与AM异面,所以直线NO,AM的位置关系是异面垂直.5.AB∵平面α,β不重合,∴平面α,β的法向量平行(垂直)等价于平面α,β平行(垂直),∴A,B正确;直线l的方向向量平行(垂直)于平面α的法向量等价于直线l垂直(平行)于平面α,∴C,D都错误.6.l⊥αl∥α或l⊂α当a=(1,1,2)时,a=n,则l⊥α.当a=(-1,-1,1)时,a·n=(-1,-1,1)·(2,2,4)=0,则l∥α或l⊂α.7.证明以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(a,0,a),C1(0,a,a).设AE=BF=x,则E(a,x,0),F(a-x,a,0).∴=(-x,a,-a),=(a,x-a,-a).∵·=(-x,a,-a)·(a,x-a,-a)=-ax+ax-a2+a2=0,∴⊥,即A1F⊥C1E.8.C对于C,有n1∥n2,则α∥β.故选C.9.B建立如图所示的空间直角坐标系,设正方形ABCD的边长为1,PA=a,则B(1,0,0),E,1,0,P(0,0,a).设F(0,y,0),则=(-1,y,0),=,1,-a.因为BF⊥PE,所以·=-1×+y=0,解得y=,即F0,,0是AD的中点,所以=1.10.AC以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略).设正方体的棱长为2a,则M(0,0,a),A(2a,0,0),C(0,2a,0),O(a,a,0),N(0,a,2a).∴=(-a,-a,a),=(0,a,a),=(-2a,2a,0),∴·=0,·=0,∴OM⊥AC,OM⊥MN.OM和AA1明显不垂直.11.ABC以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系D-xyz(图略),设AD=2,则有关点及向量的坐标为A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(2,2,1),F(1,0,0),G(2,0,1),B1(2,2,2),D1(0,0,2),=(1,0,-2),=(-2,0,-2),=(1,0,1),=(2,2,-1),=(2,0,-2),=(-1,-2,0).·=(1,0,-2)·(-2,0,-2)=2≠0,故A不正确;因为≠,所以FG∥D1E不成立,故B不正确;·=(1,0,1)·(2,2,-1)=1≠0,故⊥平面AD1E不成立,故C不正确;设平面AD1E的法向量为n=(x,y,z),则即取x=2,则z=2,y=-1,n=(2,-1,2),·n=(-1,-2,0)·(2,-1,2)=0,又BF⊄平面AD1E,故BF∥平面AD1E,故D正确.故选ABC.12.(-2,4,1)或(2,-4,-1)依据题意,得=(-1,-1,2),=(1,0,2).设n=(x,y,z),∵n与平面ABC垂直,∴即可得∵|n|=,∴=,解得y=4或y=-4.当y=4时,x=-2,z=1;当y=-4时,x=2,z=-1.∴n的坐标为(-2,4,1)或(2,-4,-1).13.①②③·=2×(-1)+(-1)×2+(-4)×(-1)=-2-2+4=0,则⊥,即AP⊥AB.·=4×(-1)+2×2+0=0,则⊥,即AP⊥AD.∵AB∩AD=A,∴AP⊥平面ABCD,故是平面ABCD的一个法向量.14.解存在点E符合题意.以{,,}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0).假设在棱PD上存在符合题意的点E,且E(0,y,z),则=(0,y,z-1),=(0,2,-1).∵∥,∴y(-1)-2(z-1)=0.①∵=(0,2,0)是平面PAB的法向量,=(-1,y-1,z),CE∥平面PAB,∴⊥,∴(-1,y-1,z)·(0,2,0)=2(y-1)=0,∴y=1,代入①式得z=.∴E是PD的中点,即存在点E,且当E为PD的中点时,CE∥平面PAB.15.D以A1为原点,A1B1,A1C1,A1A所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),则由已知得A1(0,0,0),B1(1,0,0),D0,1,,P(0,2,0),则=(1,0,1),=0,1,,=(-1,2,0),=1,-1,-.设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则取z=-2,则x=2,y=1,所以平面A1BD的一个法向量为n=(2,1,-2).假设DQ⊥平面A1BD,且=λ=λ(-1,2,0)=(-λ,2λ,0),则=+=1-λ,-1+2λ,-.因为也是平面A1BD的法向量,所以n=(2,1,-2)与=1-λ,-1+2λ,-共线,于是有===,但此方程中的λ无解.故不存在DQ与平面A1BD垂直.16.解因为∠PAD=90°,所以PA⊥AD.又因为侧面PAD⊥底面ABCD,且侧面PAD∩底面ABCD=AD,所以PA⊥底面ABCD.又因为∠BAD=90°,所以AB,AD,AP两两垂直.分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设AD=2,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1).(1)证明:=(0,0,1),=(1,1,0),=(-1,1,0),可得·=0,·=0,所以AP⊥CD,AC⊥CD.又因为AP∩AC=