专题21 同角三角函数的基本关系及诱导公式-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）原卷版VIP

2/2专题21同角三角函数的基本关系及诱导公式（新高考专用）目录目录【知识梳理】 2【真题自测】 2【考点突破】 3【考点1】同角三角函数基本关系式的应用 3【考点2】诱导公式的应用 4【考点3】同角关系式和诱导公式的综合应用 6【分层检测】 7【基础篇】 7【能力篇】 8【培优篇】 9考试要求：1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，eq\f(sinx,cosx)＝tanx.2.能利用单位圆中的对称性推导出eq\f(π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.知识梳理知识梳理1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sin__α－sin__αsin__αcos__αcos__α余弦cosα－cos__αcos__α－cos__αsin__α－sin__α正切tanαtan__α－tan__α－tan__α口诀奇变偶不变，符号看象限1.同角三角函数关系式的常用变形(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα.2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指eq\f(π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.真题自测真题自测一、单选题1．（2023·全国·高考真题）设甲：，乙：，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件2．（2021·全国·高考真题）若，则（

）A． B． C． D．3．（2021·全国·高考真题）若，则（

）A． B． C． D．4．（2021·全国·高考真题）（

）A． B． C． D．二、填空题5．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则．三、解答题6．（2023·全国·高考真题）在中，已知，，.(1)求；(2)若D为BC上一点，且，求的面积.考点突破考点突破【考点1】同角三角函数基本关系式的应用一、单选题1．（2024·四川眉山·三模）已知，则（

）A． B． C． D．2．（2024·河南三门峡·模拟预测）若，则的值为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·全国·模拟预测）已知角的终边过点，则（

）A． B．C． D．4．（2024·全国·模拟预测）美国数学史家、穆伦堡学院名誉数学教授威廉・邓纳姆在1994年出版的TheMathematicalUniverse一书中写道：“相比之下，数学家达到的终极优雅是所谓的‘无言的证明’，在这样的证明中一个极好的令人信服的图示就传达了证明，甚至不需要任何解释．很难比它更优雅了．”如图所示正是数学家所达到的“终极优雅”，该图（为矩形）完美地展示并证明了正弦和余弦的二倍角公式，则可推导出的正确选项为（

）A． B． C． D．三、填空题5．（2024·陕西商洛·模拟预测）若，则.6．（2024·广东广州·二模）已知复数的实部为0，则．反思提升：1.(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以实现角α的弦切互化.(2)形如eq\f(asinx＋bcosx,csinx＋dcosx)，asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x等类型可进行弦化切.2.注意公式的逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.3.应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.【考点2】诱导公式的应用一、单选题1．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知，则（

）A．3 B． C． D．22．（16-17高三上·广西梧州·阶段练习）若，则（

）A． B． C． D．二、多选题3．（23-24高一上·陕西咸阳·期末）下列选项中，与的值相等的是（

）A． B．C． D．4．（2024·海南海口·二模）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（

）A．B．的图象关于点中心对称C．D．在上的值域为三、填空题5．（2024·河北邯郸·二模）正五角星是一个非常优美的几何图形，其与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的五角星中，以为顶点的多边形为正边边形，设，则，．

6．（2024·湖南长沙·一模）已知O为坐标原点，过作x轴的垂线交直线于点B，C满足，过B作x轴的平行线交E：于点P（P在B的右侧），若，则.反思提升：(1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.(2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.【考点3】同角关系式和诱导公式的综合应用一、单选题1．（2024·福建南平·二模）已知，则（

）A． B． C． D．2．（2024·福建厦门·三模）已知，，则（

）A． B． C． D．二、多选题3．（23-24高一上·河南三门峡·期末）下列等式正确的有（

）A． B．C． D．4．（2023·黑龙江·模拟预测）关于函数的图象和性质，下列说法正确的是（

）A．是函数的一条对称轴B．是函数的一个对称中心C．将曲线向左平移个单位可得到曲线D．函数在的值域为三、填空题5．（2024·福建厦门·一模）若，则．6．（2023·河南郑州·模拟预测）已知，则.反思提升：1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.2.用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有eq\f(π,3)－α与eq\f(π,6)＋α，eq\f(π,3)＋α与eq\f(π,6)－α，eq\f(π,4)＋α与eq\f(π,4)－α等，常见的互补关系有eq\f(π,6)－θ与eq\f(5π,6)＋θ，eq\f(π,3)＋θ与eq\f(2π,3)－θ，eq\f(π,4)＋θ与eq\f(3π,4)－θ等.分层检测分层检测【基础篇】一、单选题1．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知正方体的外接球的球心为，则（

）A． B． C． D．2．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知，则（

）A． B．0 C． D．3．（2024·浙江绍兴·二模）若，则（

）A． B． C． D．4．（2024·山东聊城·三模）已知，且，则（

）A． B． C． D．二、多选题5．（2022·重庆涪陵·模拟预测）已知向量，且，则下列说法正确的是（

）A． B． C．的值为2 D．6．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）计算下列各式的值，其结果为2的有（

）A． B．C． D．7．（2020·全国·模拟预测）已知，则下列说法正确的是（

）A．的最小值为 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最大值为三、填空题8．（2024·北京顺义·二模）在中，，，，则的面积为.9．（2024·河北承德·二模）已知，则.10．（2024·安徽池州·模拟预测）筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为米的筒车按逆时针方向做每分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，分钟时，该盛水筒距水面距离为，则.四、解答题11．（21-22高二下·吉林·阶段练习）已知，(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．12．（22-23高一上·安徽黄山·阶段练习）（1）已知角终边上一点，求的值；（2）化简求值：【能力篇】一、单选题1．（2024·湖南常德·一模）已知，则（

）A． B． C． D．二、多选题2．（2024·浙江温州·二模）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，为其终边上一点，若角的终边与角的终边关于直线对称，则（

）A． B．C． D．角的终边在第一象限三、填空题3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知，是方程的两个根，则．四、解答题4．（2023·贵州·模拟预测）已知中，内角，，的对边分别为，，，.(1)求；(2)若，，在上，且，求的长.【培优篇】一、单选题1．（2024·河南南阳·一模）已知三个锐角满足，则的最大值是（

）A