高中数学北师大版（2019）必修第一册第七章概率综合强化3

高中数学北师大版（2019）必修第一册第七章概率综合强化3

第I卷（选择题）

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一、单选题

1.青春因奉献而美丽，为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展，高度

重视农村义务教育”精神，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙

三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配去甲学校的概

率为

23-2

A.—B."C.-D.—

55515

2.袋中有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从

中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为（）

rio2

e4OCr4O

点一Cl0dl0do

3.在体育选修课排球模块基本功（发球）测试中，计分规则如下（满分为10分）：①每

人可发球7次，每成功一次记1分；②若连续两次发球成功加0.5分，连续三次发球成

功加1分，连续四次发球成功加1.5分，以此类推，…，连续七次发球成功加3分•假设

某同学每次发球成功的概率为|■，且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好得

5分的概率是（）

A2，25262、

35353636

4.已知%,{1,2,3,4},N（4，%，4,4）为q，%，4，%中不同数字的种类，如

N（l,1,2,3）=3,N（l,2,2,l）=2,求所有的256个（q,%,%,%）的排列所得的"（"，出吗吗）

的平均值为

A.巴B.11C.@D.运

3246464

5.某地一重点高中为让学生提高遵守交通的意识，每天都派出多名学生参加与交通相

关的各类活动.现有包括甲、乙两人在内的6名中学生，自愿参加交通志愿者的服务工

作这6名中学生中2人被分配到学校附近路口执勤，2人被分配到医院附近路口执勤,

2人被分配到中心市场附近路口执勤，如果分配去向是随机的，则甲、乙两人被分配到

同一路口的概率是（）

A.1B.2C.3D.i

5555

6.连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为〃7，〃，记/=，〃+〃，则下列说法

正确的是

A.事件“f=I2”的概率为AB.事件“，是奇数”与“m=〃”互为对立事

件

C.事件，"=2”与“f*3”互为互斥事件D.事件“，＞8且加＜32”的概率为!

二、多选题

7.4支足球队进行单循环比赛（任两支球队恰进行一场比赛），任两支球队之间胜率都

是g.单循环比赛结束，以获胜的场次数作为该队的成绩,成绩按从大到小排名次顺序，

成绩相同则名次相同.下列结论中正确的是（）

A.恰有四支球队并列第一名为不可能事件B.有可能出现恰有三支球队并列第一名

C.恰有两支球队并列第一名的概率为：D.只有一支球队名列第一名的概率为:

第H卷（非选择题）

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三、填空题

8.某人有两盒火柴，每盒都有〃根火柴,每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一

根，求他发现用完一盒时另一盒还有，•根（14厂＜〃）的概率.

9.甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球.先

从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A，&和Aj表示由甲罐取出的球是红球，白球

和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以8表示由乙罐取出的球是红球的事件，则

下列结论中正确的是（写出所有正确结论的编号）.

①外8）=|；

②P（8IA）=（；

③事件B与事件4相互独立；

④A，&,4是两两互斥的事件；

⑤P（B）的值不能确定，因为它与A，4,4中哪一个发生有关

10.将给定的15个互不相同的实数，排成五行，第一行1个数，第二行2个数，第三

试卷第2页，共6页

行3个数，第四行4个数，第五行5个数，则每一行中的最大的数都小于后一行中最大

的数的概率是.

11.对于函数“X）,其定义域为。，若对任意的西,々。，当士气时都有〃不）4“马），

则称函数“X）为”不严格单调增函数”，若函数"X）定义域为。={1,2,3,4,5,6},值域为

A={7,8,9},则函数f（x）是“不严格单调增函数”的概率是

四、解答题

12.某游戏公司对今年新开发的一些游戏进行评测，为了了解玩家对游戏的体验感，研

究人员随机调查了300名玩家，对他们的游戏体验感进行测评，并将所得数据统计如图

所示，其中q-/?=0.016.

（1）求这300名玩家测评分数的平均数；

（2）由于该公司近年来生产的游戏体验感较差，公司计划聘请3位游戏专家对游戏进

行初测，如果3人中有2人或3人认为游戏需要改进,则公司将回收该款游戏进行改进；

若3人中仅1人认为游戏需要改进，则公司将另外聘请2位专家二测，二测时，2人中

至少有1人认为游戏需要改进的话，公司则将对该款游戏进行回收改进.已知该公司每

款游戏被每位专家认为需要改进的概率为P（0<p<l）,且每款游戏之间改进与否相互

独立.

（i）对该公司的任意一款游戏进行检测，求该款游戏需要改进的概率；

（ii）每款游戏聘请专家测试的费用均为300元/人，今年所有游戏的研发总费用为50

万元，现对该公司今年研发的600款游戏都进行检测，假设公司的预算为110万元，判

断这600款游戏所需的最高费用是否超过预算，并通过计算说明.

13.某省采用的“3+1+2”模式新高考方案中，对化学、生物、地理和政治等四门选考科

目，制定了计算转换T分（即记入高考总分的分数）的“等级转换赋分规则”（详见附1

和附2）,具体的转换步骤为：①原始分y等级转换；②原始分等级内等比例转换赋分。

某校的一次年级统考中，政治、化学两选考科目的原始分分布如下表：

等级ABCDE

比例约15%约35%约35%约13%约2%

政治学科

[81,98][72,80][66,71][63,65][60,62]

各等级对应的原始分区间

化学学科

[90,100][77,89][69,76][66,68][63,65]

各等级对应的原始分区间

现从政治、化学两学科中分别随机抽取了20个原始分成绩数据如下：

政治：647266927866826576677480706984756871

6079

化学：727986758389649873677984779471817469

9170

并根据上述数据制作了如下的茎叶图:

政治化学

98766540①

4210②479

2012345799

40。

9865

2④13460

14©

(1)茎叶图中各序号位置应填写的数字分别是：

①应填,②应填,③应填,④应填,⑤应填,⑥应填

(2)该校的甲同学选考政治学科，其原始分为82分，乙同学选考化学学科，其原始分

为91分.基于高考实测的转换赋分模拟，试分别探究这①6;②7;③8;④9;⑤8;⑥9.,并从

公平性的角度谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法.

(3)若从该校政治、化学学科等级为A的学生中，随机挑选2人次(两科都选，且两

科成绩都为A等的学生，可有两次被选机会)，试估计这2人次挑选，其转换分都不少

于91分的概率.

附1：等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间.

等级ABCDE

试卷第4页，共6页

原始分从高到低排序的等级人数占比约15%约35%约35%约13%约2%

转换分T的赋分区间[86,1001[71,85][56,70][41,55][30,401

Y-YT-T

附2：计算转换分T的等比例转换赋分公式：之彳=亢了（其中：X，匕，分别表示

原始分y对应等级的原始分区间下限和上限；刀，刀分别表示原始分对应等级的转换分

赋分区间下限和上限.T的计算结果按四舍五入取整）

14.为科学合理地做好小区管理工作，结合复工复产复市的实际需要，某小区物业提供

了A,B两种小区管理方案，为了决定选取哪种方案为小区的最终管理方案，随机选取

了4名物业人员进行投票，物业人员投票的规则如下：①单独投给A方案，则A方案

得1分，B方案得-1分；②单独投给B方案，则B方案得1分，A方案得-1分；③弃权

或同时投票给A，8方案，则两种方案均得。分.当前一名物业人员的投票结束，再安排

下一名物业人员投票,当其中一种方案比另一种方案多4分或4名物业人员均已投票时，

就停止投票，最后选取得分多的方案为小区的最终管理方案.假设A,8两种方案获得每

一名物业人员投票的概率分别为|■和号.

（1）在第一名物业人员投票结束后，4方案的得分记为3求4的分布列；

（2）求最终选取A方案为小区管理方案的概率.

15.某省开展“精准脱贫，携手同行”的主题活动，某贫困县统计了100名基层干部走访

贫困户的数量，并将走访数量分成5组，统计结果见下表.

走访数量区间频数频率

[5,15)b

[15,25)10

[25,35)38

[35,45)a0.27

[45,55]9

总计1001.00

（1）求a与〃的值；

（2）根据表中数据，估计这100名基层干部走访数量的中位数（精确到个位）；

（3）如果把走访贫困户不少于35户视为“工作出色”，按照分层抽样，从“工作出色''的

基层干部中抽取4人，再从这4人中随机抽取2人，求其中有1人走访贫困户不少于

45户的概率.

试卷第6页，共6页

参考答案

1.A

【分析】

计算所有情况共有150种，满足条件的共有60种，得到答案.

【详解】

所有情况共有可=150种.

满足条件的共有&=60种，故〃=既=:.

故选：A.

【点睛】

本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.

2.A

【分析】

根据分层抽样的方法计算出每种颜色所抽取的数量，在根据分步计数原理和古典概型概率计

算公式，计算出所求的概率.

【详解】

根据分层抽样的知识可知，抽样比为4:3:2:1,即红球4个，蓝球3个，白球2个，黄球1个，

c：c；c；&

根据分步计数原理和古典概型概率计算公式得所求概率为，故选A.

C40

【点睛】

本小题主要考查分层抽样抽样比的计算，考查分步计数原理，考查古典概型概率计算，考查

组合数的计算，属于基础题.

3.B

【分析】

明确恰好得5分的所有情况：发球四次得分，有两个连续得分和发球四次得分，有三个连续

得分，分别求解可得.

【详解】

该同学在测试中恰好得5分有两种情况：四次发球成功，有两个连续得分，此时概率

[=C：(|)4(；)3=，；四次发球成功，有三个连续得分，分为连续得分在首尾和不在首尾两

答案第1页，共11页

类，此时概率£=（C；C；+C；G）令（）3=捺,所求概率p=耳+月=]+[=].；故选B.

【点睛】

本题主要考查相互独立事件的概率，题目稍有难度，侧重考查数学建模和数学运算的核心素

养.

4.D

【分析】

本题首先可以确定N（a”叼,%，4）的所有可能取值分别为1、2、3、4,然后分别计算出每一种取

值所对应的概率，最后根据每一种取值所对应的概率即可计算出N（q,a2,4，q）的平均值.

【详解】

由题意可知：

当M%%,%4）=1时，6=4X*=G；

当N（4S，/M4）=2时，"丝％”,J=裴亮;

4>3（6+3+3）_144_9

当N（q,O2，q,%）=3时，《=

-256-16：

当/7（4,42,4,4）=4时，6=言=云^=我

综上所述，所有的256个（4，%,生吗）的排列所得的N（q,生/，4）的平均值为:

,1c21c9，3175

lx-----1-2x-----1-3x-----1-4x—=-----故选D.

6464163264

【点睛】

本题考查了平均值的计算，能否通过题意得出NR,%,4,%）的所有可能情况并计算出每一

种可能情况所对应的概率是解决本题的关键，考查推理能力与计算能力，是难题.

5.A

【分析】

结合排列、组合求得把6名同学平均分配到三个不同的路口分配种数，再求得甲、乙两人被

分配到同一路口种数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.

【详解】

C：c：c；

由题意，把6名同学平均分配到三个不同的路口，共有A；父=90种分配方案,

答案第2页，共11页

其中甲、乙两人被分配到同一路口有C；c：=18种可能，

1Q1

所以甲、乙两人被分配到同一路口的概率为某=w.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及排列组合的应用，着重考查分析问题和解答

问题的能力，属于中档试题.

6.D

【详解】

对于A,r=12=6+6,则概率为’，选项错误；

6636

对于B,“f是奇数”即向上的点数为奇数与偶数之和，其对立事件为都是奇数或都是偶数，选项

错误；

对于C,事件）=2”包含在）*3"中,不为互斥事件，选项错误；

对于D,事件。＞8月.加32”的点数有：

（3,6）,（4,5）,（4,6）,（5,4）,（5,5）,（5,6）,（6,3）,（6,4）,（6,5）,共9种，故概率为上=；，选项正确；

综上可得，选D.

点睛:事件A和B的交集为空,A与B就是互斥事件，也可以描述为:不可能同时发生的事件，

则事件A与事件B互斥，从集合的角度即=若A交B为不可能事件,A并B为必然

事件，那么事件A与事件B互为对立事件，即事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发

生，其定义为:其中必有一个发生的两个互斥事件为对立事件.

7.ABD

【分析】

4支足球队进行单循环比赛总的比赛共有=6场比赛，比赛的所有结果共有2$=64种；

选项A,这6场比赛中不满足4支球队得分相同的的情况；

选项B,举特例说明即可；

选项C,在6场比赛中，从中选2支球队并列第一名有=6种可能，再分类计数相互获胜

的可能数，最后由古典概型计算概率；

选项D,只有一支球队名列第一名，则该球队应赢了其他三支球队，由古典概型问题计算即

可.

答案第3页，共11页

【详解】

4支足球队进行单循环比赛总的比赛共有C：=6场比赛，比赛的所有结果共有2$=64种；

选项A,这6场比赛中若4支球队优先各赢一场，则还有2场必然有2支或1支队伍获胜，

那么所得分值不可能都一样，故是不可能事件，正确；

选项8,其中（46）,（仇。）,（0/）,（4,4）,（4。）,（乩6）6场比赛中，依次获胜的可以是。,匕,。,℃匕,

此时3队都获得2分，并列第一名，正确；

选项C,在（。,6），9，。）,（。,4），3，«）,（4©,（4力）6场比赛中，从中选2支球队并列第一名有

C：=6种可能，若选中a,b,其中第一类a赢6,有a,b,c,4,“力和”力,d,c,a,b两种情况，同理

6x43

第二类。赢m也有两种，故恰有两支球队并列第一名的概率为k=错误；

648

选项从4支球队中选一支为第一名有4种可能；这一支球队比赛的3场应都赢，则另外

Q1

3场的可能有23=8种，故只有一支球队名列第一名的概率为二x4=:，正确.

故选：ABD

【点睛】

本题考查利用计数原理解决实际问题的概率问题，还考查了事件成立与否的判定，属于较难

题.

【分析】

根据题意，记两个火柴盒分别为A,B,一共抽了2n-z•根，不妨令这么多次抽取动作中，

有〃次都是操作在A盒上,〃-厂次操作在B盒上，则最后一次一定操作在A盒，所有的抽法

共有22i种，用完一盒时另一盒还有厂根的抽法有2G二1利由古典概型的概率公式，即

答案第4页，共11页

可求出概率.

【详解】

解:根据题意，记两个火柴盒分别为A,B,一共抽了2〃-/•根，

不妨令这么多次抽取动作中，有〃次都是操作在A盒上，次操作在B盒上，

则最后一次一定操作在A盒，

因此所有的抽法共有2?…种，

用完一盒时另一盒还有，根的抽法有2c黑一种，

由古典概型的概率公式得，

他发现用完一盒时另一盒还有，•根的概率为2x^3.

22n'r

故答案为：2x导L.

22"'r

【点睛】

本题主要考查古典概型的概率问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型.

9.②④

【分析】

根据互斥事件的定义即可判断④；根据条件概率的计算公式分别得出事件发生的条

件下B事件发生的概率，即可判断②；然后由P(8)=P(A8)+P(4B)+P(A/),判断①和

⑤；再比较P(AB)，P(A)P(3)的大小即可判断③.

【详解】

由题意可知事件A，4,4不可能同时发生，则A，A2，A3是两两互斥的事件，则④正确;

由题意得尸(8IA)=5t，尸(B4)=斤4P(8I4)=石4,故②正确;

P(b)=尸(AB)+P(43)+P(A5)=尸(A)P(8|A)+P(4)P(5I4)+P(A)P(5|4)

5524349

=—X—+—XF—X—=一，①⑤错;

10111011101122

因为P(AB)=gP(A)P(8)=木5乂9最=翥9，所以事件B与事件A1不独立，③错；综上选

②④

故答案为：②④

【点睛】

答案第5页，共11页

本题主要考查了判断互斥事件，计算条件概率以及事件的独立性，属于中档题.

【分析】

通过分析最大数在第〃行的概率，得到规律，从而可求得结果

【详解】

解：设4是从上往下数第&行的最大数，设为＜当＜…〈毛的概率为p.，最大数在第“行的

n_2〃_2

概率为n(n+1)〃(九+1)n+\，

2

在任意排好第〃行后余下的约个数排在前行符合要求的排列的概率为P.T，

2

所以P〃=3P,I，以此类推，

72+1

2222”

Pn=-----；.....TP1=；......-»

n+1n3(n+l)!

?5?

所以当〃=5时，p=—=—,

56!45

故答案为：w2

45

【点睛】

关键点点睛：此题考查古典概型的概率的求法，考查推理能力和计算能力，解题的关键是求

n_2/?_2

出最大数要第”行的概率为2二前亘=又市=商，通过分析得到化,=」70,一|,以

—2-〃+

此类推，222丁2彳";，从而可求得结果，属于较难题

n+ln3(〃+1)!

11.±

54

【分析】

考虑有4个函数值相同，有3个函数值相同，各有2个函数值相同三种情况，计算概率得到

答案.

【详解】

当有4个函数值相同时：共有C0A；=90,满足条件的有C；=3种；

当有3个函数值相同，另外有2个函数值相同时，共有耳=360,满足条件的有

答案第6页，共11页

2+1+1+2=6种；

当各有2个函数值相同时，共有C>C：=90,满足条件的有1种.

从3+6+11

故P=-----------=—.

90+360+9054

故答案为：—•

54

【点睛】

本题考查了概率的计算，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.

12.(1)76；(2)(i)-3p5+12/-17p3+9p2；(ii)所需的最高费用将超过预算.计算见解

析

【分析】

(I)利用矩形面积和等于1列式可得“+人=0.032,结合a-〃=0.016,可解得的值,再用各

区间的中点值与该矩形的面积相乘后再相加,即得平均值.

(2)⑺利用互斥事件的概率的加法公式可得；

5)利用期望公式求出这600款游戏所需的最高费用的平均值后，再利用导数求出最大值即可.

【详解】

(1)依题意，(0.005+4+0+0.035+().028)x10=1,

故“+6=0.032；

而4-6=0.016,

联立两式解得，。=0.024力=0.008；

所求平均数为55x0.05+65*0.24+75x0.35+85x0.28+95x0.08

=2.75+15.6+26.25+23.8+7.6=76；

(2)(/)因为一款游戏初测被认定需要改进的概率为C；p2(l-p)+C；p3,

一款游戏二测被认定需要改进的概率为C；p(l-/[1-(1-p)2],

所以某款游戏被认定需要改进的概率为：

C；p2(1-p)+C；p3+C；p(l-p)2[1-(1-p)2]

=3P2(1-p)+p3+3p(l-p)2[1-a-p)2]

=-3p5+12p4-17p3+9p2；

(ii)设每款游戏的评测费用为X元，则X的可能取值为900,1500；

答案第7页，共11页

P(X=1500)=C',p(l-/?)2,

产(X=900)=1-C；p(l—p)2,

222

i%£(X)=900x[l-C>(l-/?)]+1500xC!!/?(l-p)=900+1800p(l-p)；

令g(P)=P(l-P)2，pe(0,D

g'(P)=(1-P)2-2P(1-p)=(3p-l)(p-1).

当pe(0,j时，g'(p)>0,g(p)在、,1)上单调递增，

当peg,1)时，g<p)<0,g(p)在上单调递减，

所以g(P)的最大值为g(£|=£

所以实施此方案，最高费用为50+600*b00+1800、5)乂10~=50+54+16=120>110

故所需的最高费用将超过预算.

【点睛】

本题考查了频率分布直方图，互斥事件的概率，随机变量的期望的应用，考查了利用导数解决

最值问题的方法，属难题.

13.(1)①6;②7;③8;④9;⑤8;⑥9；(2)甲乙转换分都是87分，公平性评述见解析；(3)

【分析】

(1)根据已知数据与茎叶图的关系得出答案.

(2)根据高考实测的转换赋分模拟公式及结果得出答案.

(3)列举法写出所有基本事件，然后按概率公式计算.

【详解】

(1)由题意知①6;②7;③8;④9;⑤8;⑥9.

92—291(V)_T

(2)甲同学选考政治学科可以的等级A,根据等比例转换赋分公式：=M=得

82—811—86

T=87

乙同学选考化学学科可以的等级A,根据等比例转换赋分公式：绊普=当空得T=

91—90T—86

87

故甲乙两位同学的转换分都为87分.

从公平性的角度谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法:

答案第8页，共11页

一，从茎叶图可得甲乙同学原始分都排第三，转换后都是87分，因此高考这种“等级转

换赋分法”具有公平性与合理性.

二，甲同学与乙同学原始分差9分，但转换后都是87分，高考这种“等级转换赋分法''对

尖子生不利.

(3)该校政治学科等级为A的学生中82,84,92根据等比例转换赋分公式：87,88,

95

该校化学学科等级为A的学生中91,94,98根据等比例转换赋分公式：87,92,97

设“转换分都不少于91分”为事件M

所有基本事件：(82,84)(82,92)(82,91)(82,94))(82,98)(84,92)(84,91)

(84,94)(84,98)(92,91)(92,94)(92,98)(91,94)

(91,98)(94,98)共15个基本事件，时间M包含3个基本事件

所以尸(M)=]3=y1.

【点睛】

此题是概率统计综合题，需要理清题目信息，正确理解相关概念.

1Q1

14.(1)分布列见解析(2)缶

【分析】

(1)由题意知，所有可能取值为-1,0,1,然后，列出的分布列即可；

(2记组表示事件“前2名物业人员进行了投票，且最终选取4方案为小区管理方案”，记

表示事件”前3名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，记表示事

件“共有4名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，记选取A方案为

小区管理方案的概率为P,然后分别求出尸(〃1),2加力，尸(M3)的值，则选取A方案为

小区管理方案的概率为：P=P(弧)+P(M2)+p(M3),然后计算求解即可.

【详解】

由题意知，4所有可能取值为-1，0,1,

1]_

X—=

23

二•J的分布列为:

答案第9页，共11页

⑴知，P(M)=34=l)f=|jJ=g

记加2表示事件”前3名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”,

尸(%)=C[[P^=1)]2.P(^=0)=2XWxl=1)

记M3表示事件“共有4