专题09 幂函数与二次函数-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）解析版

2/2专题09幂函数与二次函数（新高考专用）目录目录【知识梳理】 2【真题自测】 3【考点突破】 6【考点1】幂函数的图象和性质 6【考点2】求二次函数的解析式 9【考点3】二次函数的图象与性质 13【分层检测】 18【基础篇】 18【能力篇】 25【培优篇】 27考试要求：1.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq\f(1,2)，y＝eq\f(1,x)的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.知识梳理知识梳理1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)定义域R值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))对称轴x＝－eq\f(b,2a)顶点坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))奇偶性当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数单调性在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是减函数；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是增函数在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是增函数；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是减函数1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0))时，恒有f(x)>0；当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0))时，恒有f(x)<0.3.(1)幂函数y＝xα中，α的取值影响幂函数的定义域、图象及性质；(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限.真题自测真题自测1．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（2021·全国·高考真题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（

）A． B．C． D．4．（2022·天津·高考真题）已知，，，则（

）A． B． C． D．二、填空题5．（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，，则f(-8)的值是.三、解答题6．（23-24高一下·上海·期中）已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数.(1)求函数的表达式；(2)对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围.参考答案：1．D【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以的取值范围是.故选：D2．C【分析】设，由，根据两点间的距离公式表示出，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设，由，因为，，所以，因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即；当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立．故选：C．【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．3．D【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.【详解】由在R上递增，则，由在上递增，则.所以.故选：D4．C【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.【详解】因为，故.故答案为：C.5．【分析】先求，再根据奇函数求【详解】，因为为奇函数，所以故答案为：【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.6．(1)(2)．【分析】（1）根据在区间上是严格减函数可得，解不等式可得整数的值，检验是否符合奇函数即可；（2）对任意实数，不等式恒成立，而在上为减函数，由此可得解．【详解】（1）依题意为奇函数，在区间上是严格减函数，可得，解得，由于,故，1，2，当和时，，此时为奇函数，符合要求，当时，，此时为偶函数，不符合要求，；（2）不等式，即，又在上是减函数，在上为增函数，则在上为减函数，所以，则，所以实数的取值范围为．考点突破考点突破【考点1】幂函数的图象和性质一、单选题1．（2024·四川成都·模拟预测）设命题，使是幂函数，且在上单调递减；命题，则下列命题为真的是（

）A． B． C． D．2．（2022·上海黄浦·模拟预测）下列函数定义域为的是（

）A． B． C． D．二、多选题3．（20-21高三上·辽宁辽阳·期末）下列函数中是奇函数，且值域为的有（

）A． B．C． D．4．（23-24高一上·贵州·阶段练习）现有4个幂函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（

）A．，，，B．，，，C．，，，D．，，，三、填空题5．（2024·北京延庆·一模）已知函数在区间上单调递减，则的一个取值为．6．（2022·全国·模拟预测）若幂函数的图像关于y轴对称，则实数．参考答案：1．A【分析】根据特称命题与全称命题判断命题的真假，从而可得“或”、“且”、“非”命题的真假得结论.【详解】对于命题，当时，函数，是幂函数，且在上单调递减，故命题为真命题；对于命题，当时，，不满足，故命题为假命题．所以“”为真命题，“”为假命题，“”为假命题，“”为假命题．故选：A．2．C【分析】根据反比例函数、对数函数、幂函数、正切函数的定义域逐一判断即可得解.【详解】解：对于A，函数的定义域为，对于B，函数的定义域为，对于C，函数的定义域为，对于D，函数的定义域为.故选：C.3．AC【分析】根据奇函数的定义判断四个函数的奇偶性，并求出值域可得答案.【详解】对于A，因为，所以是奇函数，且值域为，故A正确；对于B，因为，所以为奇函数，但值域为，故B不正确；对于C，因为，所以为奇函数，且且值域为，故C正确；对于D，因为，所以为奇函数，但是值域为．故D不正确.故选：AC4．AB【分析】根据幂函数的图象和性质结合已知图象分析判断即可.【详解】对于幂函数，若函数在上单调递增，则，若函数在上单调递减，则，所以，D选项错误；当时，若的图象在的上方，则，若的图象在的下方，则，所以，C选项错误；因为当时，指数越大，图象越高，所以，综上，，AB选项正确.故选：AB5．（不唯一）【分析】根据幂函数的单调性奇偶性即可得解.【详解】因为在上单调递增，又在区间上单调递减，所以可以为偶函数，不妨取，此时，函数定义域为，且，故为偶函数，满足在区间上单调递减.故答案为：（不唯一）6．【分析】根据幂函数的概念和性质计算即可【详解】由幂函数可得，解得或，又因为函数图像关于y轴对称，则a为偶数，所以．故答案为：反思提升：(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式.(2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.【考点2】求二次函数的解析式一、单选题1．（2024·陕西·模拟预测）设函数的定义域为，且，当时，，则（

）A． B． C．1 D．2．（2024·全国·模拟预测）已知二次函数满足对于任意的，，且.若，则的最大值与最小值之和是（

）A． B． C．4 D．二、多选题3．（2023·河北沧州·三模）已知二次函数满足，；当时，.函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，为自然对数的底数，则（

）A．函数的最小值为B．C．D．函数的导函数的最小值为4．（2023·全国·模拟预测）已知二次函数满足对于任意的且．若，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题5．（21-22高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数（）的图象关于轴对称，且与直线相切，写出满足上述条件的一个函数．参考答案：1．D【分析】根据题意，通过赋值法求得，即可联立方程解出.【详解】由题意可得①；②．令，由①得：，令，由②得，因为，所以，即.令，由①得，解得，所以．故选：D．2．C【分析】设，根据题意求得，由得到，设，，即，，利用三角函数的性质求最大值最小值即可.【详解】设，因为，令，得，故，所以，令，得，故，即，又，即，故，，所以，由，得，设，，即，，则，所以的最大值与最小值之和为，故选：C3．ACD【分析】设，根据已知条件求出、、的值，可得出函数的解析式，利用二次函数的基本性质可判断A选项；利用函数奇偶性的定义可得出关于、的等式组，求出的解析式，求出的值，可判断B选项；利用函数的最值与导数的关系可判断C选项；利用基本不等式求出的最小值，可判断D选项.【详解】设，由知函数的图象关于直线对称，即，解得.因为，由题意可得，当时，，则，所以，故，即，所以.又恒成立，即恒成立，于是，整理可得，解得，所以，，则，因此，函数的最小值为，A正确；因为函数为奇函数，则，①又因为函数为偶函数，则，②联立①②可得，于是，，B错误；于是，，即在上单调递增.注意到，从而，C正确；由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，故函数的最小值为，D正确，故选：ACD.4．BD【分析】设，根据题意，求得，由，得到，设，得到，结合三角函数的性质，逐项计算，即可求解.【详解】设二次函数，因为，令，可得，故，所以，令，得，故，即；又因为，即，解得，所以，由，可得，设，即，从而，故A错误，B正确；又由，所以C错误、D正确．故选：BD．5．（答案不唯一）【分析】由已知得到函数的对称轴方程，从而得到，由与联立方程消去整理成的一元二次方程，由得到的关系，分别取值写出函数即可.【详解】已知，∵的图象关于y轴对称，∴对称轴，∴，∴，联立，整理得，即，∵的图象与直线相切，∴，∴，当时，.∴满足条件的二次函数可以为．故答案为：.反思提升：求二次函数解析式的方法【考点3】二次函数的图象与性质一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（2023·广东韶关·模拟预测）已知方程和的解分别是和，则函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2023·湖南株洲·一模）已知是函数的零点，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．4．（2024·河南信阳·模拟预测）若函数在上单调，则实数的值可以为（

）A． B． C． D．3三、填空题5．（23-24高三下·福建·开学考试）已知函数的值域为，则实数a的取值范围为．6．（23-24高三下·青海西宁·开学考试）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围为．参考答案：1．B【分析】根据开口向上，故需在区间上有最小值，且，从而得到不等式，求出答案.【详解】要使函数在区间上有最大值或最小值，由于开口向上，故需函数在区间上有最小值，且．该函数图像的对称轴为直线，所以，解得，所以，且，即实数的取值范围为．故选：B．2．A【分析】根据给定条件，利用互为反函数的函数图象特征求出即可作答.【详解】方程和依次化为：和，因此和分别是直线与曲线和的交点横坐标，而函数和互为反函数，它们的图象关于直线对称，又直线垂直于直线，因此直线与曲线和的交点关于直线对称，于是，函数，所以函数的单调递减区间是.故选：A3．ABC【分析】设，由可得，再根据选项依次判断正误即可.【详解】设，，，，即，所以要使为系数都是整数的整式方程的根，则方程必须包含因式.由中的最高次数为4，是它的一个零点，因此，即.对选项，，是正确的；对选项，，是正确的；对选项，，是正确的；对选项，，当时，最小值为，当时，无最小值，因此选项是错误的.故选：.【点睛】关键点睛：本题解题关键在于将含有无理数的平方根式通过两次平方化成有理数，得到含有无理数解的有理数整式方程，从而得解.4．BD【分析】分别讨论和两种情况，结合二次函数的图像分析，即可得到答案.【详解】①当，即时，，所以的对称轴为，则的图象如下：结合图象可知，要使函数在上单调，则或，解得：或，即或；②当，即或，令，则的对称轴为，则的图象如下：结合图象可知，要使函数在上单调，则，或，或，或解得：，或，综上：或；故选：BD5．【分析】利用分段函数的值域是各段值域的并集，结合二次函数的单调性列不等式求解即可.【详解】当时，若，可得；若，，函数的值域不可能为；②当时，，所以函数在，上单调递增，若函数的值域为，只需，可得．由上知，实数a的取值范围为．故答案为：6．【分析】将可看作由复合而成，根据复合函数的单调性，列出不等式，即可求得答案.【详解】设，则可看作由复合而成，由于在上单调递增，故要使得函数在区间上单调递减，需满足在区间上恒成立，且在区间上单调递减，故，解得，故a的取值范围为，故答案为：反思提升：1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.3.闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.4不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，直接借助于函数图象求最值.这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题.分层检测分层检测【基础篇】一、单选题1．（2011·辽宁沈阳·一模）已知函数，若且，则它的图象可能是（）A．B． C． D．2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（

）A． B． C．3 D．13．（2024·全国·模拟预测）若函数在上单调，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．4．（2023·全国·模拟预测）已知集合，，则的子集的个数为（

）A．1 B．2 C．4 D．8二、多选题5．（2021·辽宁·模拟预测）已知函数(即，)则（

）A．当时，是偶函数 B．在区间上是增函数C．设最小值为，则 D．方程可能有2个解6．（23-24高一上·浙江·期中）若实数，，满足，则下列不等关系可能成立的是（

）A． B． C． D．7．（2024·全国·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的减函数的是（

）A． B．C． D．三、填空题8．（2023·上海闵行·一模）已知二次函数的值域为，则函数的值域为．9．（2023·广东珠海·模拟预测）已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是.10．（2020·安徽蚌埠·三模）已知命题，使得，若命题p是假命题，则实数m的取值范围是.四、解答题11．（2023·山东·一模）已知二次函数满足，顶点为.(1)求函数的解析式；(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.12．（21-22高一上·辽宁·阶段练习）已知幂函数（）的定义域为，且在上单调递增．(1)求m的值；(2)，不等式恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：1．D【分析】根据条件确定，从而抛物线开口向上，，通过排除法得出选项.【详解】由且，得，所以函数是二次函数，图象开口向上，排除A，C；又，所以排除B；只有D符合.故选：D.2．A【分析】根据幂函数的定义，求得或，结合幂函数的单调性，即可求解.【详解】由函数为幂函数，可得，即，解得或，当时，函数在上单调递减，符合题意；当时，函数在上单调递增，不符合题意.故选：A.3．C【分析】由题意，根据二次函数的图象与性质建立不等式组，解之即可求解.【详解】令，则或或或解得或，即实数m得取值范围为.故选：C．4．B【分析】化简集合，求，再确定其子集个数.【详解】因为，，所以，所以有2个子集．故选：B．5．ABD【分析】结合奇偶函数的定义和二次函数的性质逐一判断选项即可.【详解】：当时，，即，所以，所以是偶函数，故正确；：当时，，的对称轴为，开口向上，此时在上是增函数，当时，，的对称轴为，开口向上，此时在上是增函数，综上，在上是增函数，故正确；：当时，，当时，，因为不能确定的大小，所以最小值无法判断，故错误；：令，当时，，有2个解，故正确.故选：ABD6．ABC【分析】将条件转化为，在同一平面直角坐标系中作出函数，，的函数图象，判断他们与有交点时横坐标的大小情况.【详解】实数，，满足，∴，，如图在同一平面直角坐标系中作出函数，，的函数图象，再作直线，变换的值发现，，，的大小关系可能为，，，，，，，故、、正确，错误．故选：．7．AD【分析】由解析式直接判断函数的奇偶性与单调性即可得解.【详解】对于A，是奇函数，在其定义域上单调递减，故A正确；对于B，是在其定义域上单调递增的指数函数，故B错误；对于C，，故在其定义域上不单调递减，故C错误；对于D，是奇函数，在其定义域上单调递减，故D错误.故选：AD.8．【分析】由二次函数的值域为，分析求出参数，然后代入中求出值域即可【详解】由二次函数的值域为得：解得：或（舍去）所以因为所以函数的值域为：故答案为：.9．【分析】利用二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，因为函数在区间上是增函数，则，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.10．【分析】将问题转化为对，恒成立，进一步转化为不等式右边的最大值，再构造函数，利用二次函数可求得最大值，从而可得结果.【详解】因为命题p是假命题，所以非：对，恒成立为真命题，设，则，因为，且，所以当时，取得最大值，所以.故答案为：【点睛】本题考查了命题的真假，考查了不等式恒成立问题，考查了二次函数求最大值，考查了同角公式，属于基础题.11．(1)(2)【分析】（1）由二次函数顶点为可设，由即可求出a，则求出的解析式.（2）根据二次函数的开口和对称轴即可求得实数的取值范围.【详解】（1）设，则由得：，，.（2）由（1）知，开口向上，对称轴为，则若函数在区间上单调递增，需满足，，∴实数a的取值范围为.12．(1)或(2)【分析】（1）根据幂函数的性质求解即可.（2）首先根据题意转化为，恒成立．再利用换元法求解即可.【详解】（1）或，又因为函数在上单调递增，，（舍），，.（2），恒成立，，恒成立．令，，则在区间上单调递增，在区间上单调递减，，故．【能力篇】一、单选题1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．若，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题2．（2023·河南·模拟预测）已知，则（

）A． B．C． D．三、填空题3．（2023·辽宁葫芦岛·二模）已知函数，则关于x的不等式的解集为．四、解答题4．（2022·黑龙江鸡西·二模）已知幂函数在上为减函数.(1)试求函数解析式；(2)判断函数的奇偶性并写出其单调区间.参考答案：1．D【分析】令，，结合基本不等式可得，化简可得，转化为求关于的二次函数在区间上的最小值即可.【详解】不妨设，，则，，所以，当且仅当时取等号，即，当且仅当时取等号，所以，（）所以当时，取得最小值，故选：D．2．AC【分析】根据对数函数的单调性可判断A；根据余弦函数的单调性可判断B；根据幂函数的单调性可判断C；根据指数函数的单调性可判断D.【详解】对于A，由，得，又单调递增，所以，故A正确；对于B，由于在上不单调，所以与的大小关系无法确定，故B错误；对于C，由，得，又单调递增，所以，故C正确；对于D，由，得，又单调递增，所以，故D错误．故选：AC．3．【分析】分析函数的性质，借助函数单调性和代入求解不等式作答.【详解】当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，是增函数，且，因此函数在上单调递减，在上单调递增，而，则当，即时，恒有成立，则，当时，，不等式化为，解得，则，所以不等式的解集为.故答案为：4．(1)(2)奇函数，其单调减区间为，【分析】（1）根据幂函数的定义，令，求解即可；（2）根据幂函数的性质判断函数的单调性，继而可得其单调区间.【详解】（1）由题意得，，解得或，经检验当时，函数在区间上无意义，所以，则.（2），要使函数有意义，则，即定义域为，其关于原点对称.，该幂函数为奇函数.当时，根据幂函数的性质可知在上为减函数，函数是奇函数，在上也为减函数，故其单调减区间为，.【培优篇】一、单选题1．（2023·陕西商洛·模拟预测）已知函数，，记函数，若函数恰有三个不同的零点，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题2．（2024·浙江·模拟预测）二次