新教材人教A版选择性必修第二册 5 .1 .2 导数的概念及其几何意义 作业

20202021学年新教材人教A版选择性必修其次册5.1.2导数的

概念及其几何意义作业

一、选择题

1、实数a，b满意2a2-5lna-b=0,ceR,那么J(a-c/+(b+的最小值为()

13^9

A.2B.2C,2D,2

2、假设质点P的运动方程为S(t)=2t?+t(S的单位为米，t的单位为秒)，那么当

t=l时的瞬时速度为()

A.2米/秒B.3米/秒C.4米/秒D.5米/秒

3、点F在曲线r=Nr.5上移动，设曲线在点尸处的切线斜率为的那么之的取值

范围是()

A.(COL-1]B.[-L+oo)C.D.(―1.+8)

4、曲线y=-2%+1在点(1,0)处的切线方程为()

A.y=x-1B.y=-x+\C.y=2x-2D.y=-2x+2

5、函数f(x)=e'在点(0,f(0))处的切线为I,动点(a,b)在直线I上，那么2a+2^的最小值是

()

A.4B.2C.2企D.企

6、点P是曲线/一)，-lnx=0上的点，那么点P到直线y=x—2的最小距离为

()

A.1B.—C.—D.72

22

7、在函数y=-6x的图象上，其切线的倾斜角小于(的点中，坐标为整数的

点的个数是()

A.5B.4C.3D.0

8、如图，函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=x+8,那么够)+：(5)=()

1

A.2B.1C.2D.0

7

9、直线'=入+力与曲线y="+2Tnx相切于点P(l,4),那么b的值为()

A.3B.-3c.-1D.1

10、假设函数y=/(x)在区间(a,b)内可导，且xos(«,b)那么

Hm/(/+〃)­/5一〃)

〜。h

的值为()

A八/)B2/(x0)C-2/,(x0)D0

11、曲线丫=X3-3X-+1在点(7,-3)处的切线方程为()

A.V=-3x+2B.v=5x+2C.V=-4x-7D.y=9x+6

12、质点运动的速度v(单位:m/s)是时间t(单位:s)的函数，且v=v速)，那么v'(1)

表示()

A.t=ls时的速度B.t=ls时的加速度

C.t=ls时的位移D.t=ls时的平均速度

二、填空题

13、函数y=2x'+4x在x=3处的导数为.

11

f(x)=lnx-------------二二

14、曲线x在点(l,f(l))处的切线的倾斜角为a,那么sinacosa-cosa

15、直线y=gx+b是曲线y=lnx(x>0)的一条切线，那么实数。=.

16、曲线y=e、+2在P(0,3)处的切线方程是

三、解答题

17、(本小题总分值10分)函数=的图像在点网一处的切线

方程为x+2y+5=0,求函数的解析式。

18、(本小题总分值12分)a>0,f(x)=ax22x+l+ln(x+l),1是曲线y=f(x)在点

P(0,f(0))处的切线,求切线1的方程.

19、(本小题总分值分分)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a#0),定义：

设f"(x)是函数y=f(x)的导函数丫=#(x)的导数，假设f"(x)=0有实数解x0,

那么称点(xO,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.现f(x)=x3-3x2+2x-2.请解

答以下问题：

(1)求函数f(x)的“拐点”A的坐标；

(2)求证：f(x)的图像关于“拐点”A对称.

20、(本小题总分值12分)设点P是曲线y=d—岳+|上的任意一点,P点处切

线倾斜角a的取值范围

参考答案

1、答案C

解析由题意，得，、代换。，】代换5,那么工）满意：物,-乳出5.学=叫即

y=2r-5lnx（x>0）,

以Y代换c,可得点（X.F,满意X+>=°,因此求J（a-c）2+（b+c产的最小值即为求曲

线J=入--01n门、>°）上的点到直线丫+）=0的距离的最小值，设直线x+J+"；=0

5

与曲线--一7hHx>0）相切于点""））‘（力=4'・鼠那么广5）=-1,解

d_、・

得三=1,所以切点为P1>,所以点尸到直线二°的距离“—一丁，那么

J（a-c）2+（b+c产的最小值为三,综上所述，选c.

考点L利用导数讨论曲线的切线性质；2.点到直线距离公式.

方法点睛此题主要考查的是利用导数讨论曲线的切线性质，点到直线的距离公式，推理

力量与计算力量，属于难题，通过换元法可转化成函数间的问题，通过变形发觉变成求

J（a-£+（b+c产的最小值即为求曲线J=二'--5历中.>01上的点到直线二°的距

离的最小值，因此在曲线上找到一个和'+）=°平行的直线与'+=°之间的距离最

小，因此将点到直线距离最小值转化成直线与直线距离最小值，因此此类题目将条件合

理转换是解决问题的关键.

2、答案D

解析详解：由题设求函数$⑺=2〃+f在r=1处的导数值，因S⑺=4f+l,故瞬时速

度v=4xl+l=5,应选答案D.

3、答案B

解析点P在函数图像上移动即表示函数P为函数图像上任意一点，所以直接对函数求导,

然后找到导数的取值范围即为切线斜率的取值范围。

详解

由于y=*，-x+5,所以广=3产恒成立，故切线斜率kN—1，应选B。

点睛

此题考查导数定义：函数在某一点的导数即为函数图像在该点切线的斜率。

4、答案A

解析

5、答案D

解析依据题意，由函数的解析式以及导数的几何意义计算可得切线1的方程，将动点(a,

1

b)的坐标代入切线的方程可得b=a+l,进而可得2"+2F=2,+2-("“=2，+2-2,结合根本不

等式的性质分析可得答案.

详解

依据题意，函数f(x)=「有f(0)=e°=l,即切点的坐标为(0,1),

f(x)=e\那么f'(x)=e、，有f'(0)=e°=l,即切线的斜率为1,

那么函数f(x)=e，在点(0,f(0))处的切线为y-l=x,即y=x+l,

假设动点(a,b)在直线1上，那么b=a+l,

32乱」—

2a+22=2'+2n=2'+2,2&2x2,

即2*2f的最小值是亚，

应选:D.

点睛

此题考查曲线的切线方程以及根本不等式的性质，关键是分析a、b的关系；在利用根

本不等式求最值时，要特殊留意“拆、拼、凑〃等技巧，使其满意根本不等式中“正〃

(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必需为定值)、“等"(等号取得的

条件)的条件才能应用，否那么会消失错误.

6、答案D

解析点P是曲线X?-y-hix=O上的点，当点尸的切线和直线y=x-2平行时，点产

到直线y=x-2的距离最小，又直线y=x-2的斜率为1,令

y=x2-lnx=>y'=2x-—,令y'=l,即2x-'=l,解得％=1或1=-工(舍去)，

xx2

故曲线,=犬-Inx上和直线y=x-2平行的切线经过切点坐标为(1,1)，点(1,1)到直

线y=x-2的距离为即点点P到直线y=x-2的最小距离为0,应选A.

考点：利用导数讨论曲线的切线方程及其应用.

7、答案D

1TT

解析y=§丁-6x,y'=-6,又由于0Wa<tana<1,由O<x?-6<1得

6<X2<7,不存在这样的整数X,应选D.

考点：1.导数的几何意义；2.直线的倾斜角与斜率.

名师点睛此题考查.导数的几何意义、直线的倾斜角与斜率，中档题；导数的几何意义

是：函数在点X。处的导数值/'(%)是函数在该点处切线的斜率，那么导函数的取值范围

就是该函数切线斜率的取值范围，此题利用这一性质，将直线的倾斜角范围转化为斜率

的取值范围，进一步转化为导数值的取值范围求解，表达了化归转化的根本数学思想.

8、答案C

解析函数y=f(x)的图象在点p处的切线方程是y=-x+8,所以，在P处的导数值为切线的

斜率，f⑸+f(5)=-5+8-1=2,应选C。

考点：此题主要考查导数的几何意义。

9、答案D

解析把切点P的坐标代入y=ax421nx求出a,再求函数导数求出k,再把P(1,4)代

入y=kx+b求b.

详解

•.•点p[1)4)在曲线y=ax，21nx上，

，a+2=4,解得a=2,

.11

y=2ax—=4x—

xx,

二在点P[1,4)处的切线斜率k=3,

把P(1,4)代入y=kx+b,得b=l,

应选：D.

点睛

此题考查了导数的几何意义，熟记某点处的切线的斜率是该点处的导数值，娴熟运用切

点在曲线上和切线上是关键,是根底题

10、答案B

二＜二

解析

11＞答案D

解析对函数求导，将-1代入，得切线的斜率，写出切线点斜式方程

详解

V=3x-6x,将-1代入，得切线斜率k=9,切线方程y+3=9(x+1),即y=9x+6

点睛

切点求切线方程，对函数求导，将切点横坐标代入，得切线的斜率，再写出切线的点斜

式方程

12、答案B

解析由导数的物理意义可知，导数即为瞬时变化率，从而对速度求导即为加速度.

详解

v(t)的导数V，(t)表示t时刻的加速度.

答案：B

点睛

此题主考查了导数的物理意义，属于根底题.

13、答案16

△y

解析由于Ay=2(3+AX)2+4(3+△X)-(2X32+4X3)=2(AX)2+16AX,△X=2AX

+16.

从而当AxfO时，2Ax+16-16.

所以函数f(x)在x=3处的导数为16.

14、答案5

1

f(x)=Inx--

详解：由于x,

11

f'(x)=-.

所以xx,fQ)=2〃[]tana=2,

1

所以sinacosa・cos2a

2

tana+14+1

---5

tana-l2-1,故答案为5.

点睛：此题主要考查导数的几何意义，同角三角函数之间的关系的应用，属于中档题.同

角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转

换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.

15、答案答2-1

解析

16、答案x—y+3=0

解析y=e*+2y=e"=0时y=1A:=1,所以直线方程为y=x+3r.x—y+3=0

考点：导数的几何意义及直线方程

17、答案〃刈=等|

试题解析：由题意得/(一1)=一2,/'(-1)=一3

,T〃_6=2

,加(》2+〃)-2x(/"x-6)1+n

/("=+〃『"，(1+〃)―2(_+6)=_]_'

(1+n)2--2

解得'或｛加=(由〃+]x0舍去“==/心

n=3.n=—l.x+3

解析

18、答案x+y-l=0

详解

Vf(x)=ax22x+l+ln(x+l),

,1

f(x)=2ax-2+------