2024中考数学新定义及探究题专题 《圆与新定义》 （含解析）

《圆与新定义》中考数学新定义及探究题专题2024中考数学新定义及探究题专题《圆与新定义》（学生版）通用的解题思路：①对于圆中角度之间的等量关系，主要是两个方面：一是同弧或者等弧所对的圆周角相等，同弧或者等弧所对的圆心角是圆周角的两倍，二是圆内接四边形中外角等于内角的对角。②对于求圆中的线段长度，主要从两个方向着手，首先看是否可以用垂径定理构建直角三角形，用勾股定理来求线段的长度；如果勾股定理行不通，则尝试着去找相似三角形，用相似三角形的对应线段成比例来求线段的长度。1．（长沙中考）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；①=；②=；③“十字形”ABCD的周长为12．

2．（一中）定义:三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”.如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连结AD，若，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”.（1）如图2，△ABC的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“好点”.（2）△ABC中，BC=9，，，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长.（3）如图3，△ABC是的内接三角形，OH⊥AB于点H，连结CH并延长交于点D．①求证：点H是△BCD中CD边上的“好点”.②若的半径为9，∠ABD=90°，OH=6，请直接写出的值.

3．（青竹湖）我们不妨定义：有两边之比为1：的三角形叫敬“勤业三角形”．(1)下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是________；（填序号）①等边三角形；②等腰直角三角形；③含角的直角三角形；④含角的等腰三角形．(2)如图1，△是⊙O的内接三角形，为直径，为上一点，且，作，交线段于点，交⊙O于点，连接交于点．试判断△和△是否是“勤业三角形”？如果是，请给出证明，并求出的值；如果不是，请说明理由；(3)如图2，在（2）的条件下，当AF：FG＝2：3时，求的余弦值．

4．（华益）约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角”．例如，如图1，在中，为边上的中线，与相似，那么称为关于边的“华益美三角”．

(1)如图2，在中，，求证：为关于边的“华益美三角”；(2)如图3，已知为关于边的“华益美三角”，点是边的中点，以为直径的⊙恰好经过点．①求证：直线与相切；②若的直径为，求线段的长；已知为关于边的“华益美三角”，，，求的面积．

5．（华益）约定：三角形的一条中线将三角形分成两个小三角形，如果其中的一个小三角形与原三角形相似，那么称原三角形为“华益三角”，这条中线叫做原三角形的“华益中线”，这条中线所在的边叫做“华益边”，原三角形与小三角形的相似比叫做“华益比”．(1)如图1，已知是边上的中线，若，那么就是“华益三角”，中线是的“华益中线”，边就是的“华益边”．爱思考的你们一定能发现：“华益三角”的“华益比”总是一个定值，以图1为例，求出“华益比”；(2)如图2，已知在中，，求证：是“华益三角”；(3)如图3，已知是“华益三角”，边是的“华益边”，的外接圆的半径是2．①若是一个锐角，求的值；②记，若，求的值．

6．（北雅）如图1，⊙O的半径为r（），若点在射线OP上，满足，则称点是点P关于⊙O的“反演点”．(1)若点A关于⊙O的“反演点”是本身，那么点A与⊙O的位置关系为（

）A．点A在⊙O内

B．点A在⊙O上

C．点A在⊙O外(2)如图1，若⊙O的半径为4，点是点关于⊙O的“反演点”，且，过点P的直线与⊙O相切于点Q，求PQ长．(3)如图2，若⊙O的半径为4，点Q在⊙O上，点A在⊙O内，且，点、分别是点Q、A关于⊙O的“反演点”，过点作且，连接，，求的最小值．

7．（青竹湖）定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做“青竹三角形”．如图1，在△和中，若，且，则△和是“青竹三角形”．（1）以下四边形中，一定能被一条对角线分成两个“青竹三角形”的是；（填序号）①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．（2）如图2，△，，，点是上任意一点（不与点、重合），设AD、BD、CD的长分别为a、b、c，请写出图中的一对“青竹三角形”，并用含a、b的式子来表示；（3）如图3，⊙O的半径为4，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且△ABC和△ADC是“青竹三角形”．①求的值；②若，，求△ABC和△ADC的周长之差．

8．（中雅）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“雅近值”，记为d（M，N），特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）＝0．(1)如图1，⊙O的半径为2，①点A（1，0），B（3，4），则d（A，⊙O）＝______，d（B，⊙O）＝______．②已知直线l：y＝x+4与⊙O，求直线l与⊙O的雅近值d（l，⊙O）．(2)如图2，C为x轴正半轴上的一点，⊙C的半径为1，直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交于点D，与y轴交于点E．①若a＝﹣，b＝，线段DE与⊙C的“雅近值”d（DE，⊙O）＜，请直接写出圆心C的横坐标m的取值范围；②若b＝，圆心C的横坐标m＝，直线DE与⊙C的“雅近值”d（DE，⊙C）＝0，求a的取值范围．

9．（广益）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”．（1）若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是．（填序号）①矩形；②菱形；③正方形（2）如图1，RtABC中，∠BAC=90°，以AB为弦的⊙O交AC于D，交BC于E，连接DE、AE、BD，AB=6，，若四边形ABED是“婆氏四边形”，求DE的长．（3）如图2，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC，BD，OA，OB，OC，OD，已知∠BOC+∠AOD=180°．①求证：四边形ABCD是“婆氏四边形”；②当AD+BC=4时，求⊙O半径的最小值．

10．（雅礼）圆内各几何要素之间存在一定的数量关系和位置关系，这也是国内外数学家感兴趣的研究对象，其中就有对角线互相垂直的圆内接四边形．我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“雅系四边形”．(1)若平行四边形是“雅系四边形”，则四边形是______（填序号）；①矩形；②菱形；③正方形(2)如图，四边形内接于圆，为圆内一点，，且，求证：四边形为“雅系四边形”；(3)在（2）的条件下，，且．①当时，求的长度；②当的长度最小时，请直接写出的值．

11．（青竹湖）定义：有一组对角互补且一组邻边相等的四边形叫做“完美四边形”．(1)如图1，四边形是的内接四边形，且对角线平分，四边形_______（填“是”或者“不是”）“完美四边形”，若，且，则的直径为；(2)如图2，四边形中，平分，于，．求证：四边形为“完美四边形”；(3)如图3，在“完美四边形”中，，，，对角线与相交于点，设，，求与的函数关系式，并求的最大值．

12．（师大附中）若凸四边形的两条对角线所夹锐角为，我们称这样的凸四边形为“美丽四边形”．(1)①在“平行四边形、梯形、菱形、正方形”中，一定不是“美丽四边形”的有；②若矩形是“美丽四边形”，且，则；(2)如图1，“美丽四边形”内接于⊙O，与相交于点P，且对角线为直径，，求另一条对角线的长；(3)如图2，平面直角坐标系中，已知“美丽四边形”的四个顶点，B在第三象限，D在第一象限，与交于点O，且四边形的面积为，若二次函数（a、b、c为常数，且）的图象同时经过这四个顶点，求a的值．2024中考数学新定义及探究题专题《圆与新定义》（解析版）通用的解题思路：①对于圆中角度之间的等量关系，主要是两个方面：一是同弧或者等弧所对的圆周角相等，同弧或者等弧所对的圆心角是圆周角的两倍，二是圆内接四边形中外角等于内角的对角。②对于求圆中的线段长度，主要从两个方向着手，首先看是否可以用垂径定理构建直角三角形，用勾股定理来求线段的长度；如果勾股定理行不通，则尝试着去找相似三角形，用相似三角形的对应线段成比例来求线段的长度。1．（长沙中考）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；①=；②=；③“十字形”ABCD的周长为12．【详解】解：（1）①∵菱形，正方形的对角线互相垂直，∴菱形，正方形是：“十字形”，∵平行四边形，矩形的对角线不一定垂直，∴平行四边形，矩形不是“十字形”，故答案为菱形，正方形；②如图，当CB=CD时，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC，∵AB=AD，∴AC⊥BD，∴当CB≠CD时，四边形ABCD不是“十字形”，故答案为不是；（2）∵∠ADB+∠CBD=∠ABD+∠CDB，∠CBD=∠CAD,∠CDB=∠CAB，∴∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB，∴180°﹣∠AED=180°﹣∠AEB，∴∠AED=∠AEB=90°，∴AC⊥BD，过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA，OD，∴OA=OD=1，OM2=OA2﹣AM2，ON2=OD2﹣DN2，AM=AC，DN=BD，四边形OMEN是矩形，∴ON=ME，OE2=OM2+ME2，∴OE2=OM2+ON2=2﹣（AC2+BD2），∵6≤AC2+BD2≤7，∴2﹣≤OE2≤2﹣，∴≤OE2≤，∴≤OE≤；（3）由题意得，A（，0），B（0，c），C（，0），D（0，﹣ac），∵a＞0，c＜0，∴OA=，OB=﹣c，OC=，OD=﹣ac，AC=，BD=﹣ac﹣c，∴S=AC•BD=﹣（ac+c）×，S1=OA•OB=﹣，S2=OC•OD=﹣，S3=OA×OD=﹣，S4=OB×OC=﹣，∵，，∴，∴=2，∴a=1，∴S=﹣c，S1=﹣，S4=﹣，∵，∴S=S1+S2+2，∴﹣c=﹣，∴∴∴b=0，∴A（，0），B（0，c），C（，0），d（0，﹣c），∴四边形ABCD是菱形，∴4AD=12，∴AD=3，即：AD2=90，∵AD2=c2﹣c，∴c2﹣c=90，∴c=﹣9或c=10（舍），即：y=x2﹣9．2．（一中）定义:三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”.如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连结AD，若，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”.（1）如图2，△ABC的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“好点”.（2）△ABC中，BC=9，，，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长.（3）如图3，△ABC是的内接三角形，OH⊥AB于点H，连结CH并延长交于点D．①求证：点H是△BCD中CD边上的“好点”.②若的半径为9，∠ABD=90°，OH=6，请直接写出的值.【详解】（1）如图所示：D点及为AB边上的“好点”（2）作AE⊥BC于点E，由，可设AE=4x，则BE=3x，CE=6x，∴BC=9x=9，∴，∴BE=3，CE=6，AE=4，设DE=a，①若点D在点E左侧，由点D是BC边上的“好点”知，，∴，即，解得，（舍去），∴.②若点D在点E右侧，由点D是BC边上的“好点”知，，∴，即，解得，（舍去），∴.∴或5.（3）①∵∠CHA=∠BHD，∠ACH=∠DBH，∴△AHC∽△DHB，∴，即，∵OH⊥AB，∴AH=BH，∴，∴点H是△BCD中CD边上的“好点”.②连接AD.∵∠ABD=90°，∴AD为直径，∵OH⊥AB，OH=6，∴，BD=2OH=12，∴BH=AH=，∴，由①得：，即，∴CH=，∴.3．（青竹湖）我们不妨定义：有两边之比为1：的三角形叫敬“勤业三角形”．(1)下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是________；（填序号）①等边三角形；②等腰直角三角形；③含角的直角三角形；④含角的等腰三角形．(2)如图1，△是⊙O的内接三角形，为直径，为上一点，且，作，交线段于点，交⊙O于点，连接交于点．试判断△和△是否是“勤业三角形”？如果是，请给出证明，并求出的值；如果不是，请说明理由；(3)如图2，在（2）的条件下，当AF：FG＝2：3时，求的余弦值．【详解】（1）解：①等边三角形各边的比值为1，故等边三角形不是“勤业三角形”；②等腰直角三角形两直角边的比值为1，直角边与斜边的比为，故等腰直角三角形不是“勤业三角形”；③设含角的直角三角形的最短边长为a，则斜边长为2a，另一条直角边长为，，故含角的直角三角形是“勤业三角形”；④如图：中，AB=AC，，过点A作于点D，，设AD=a，则AB=AC=2a，，，，含角的等腰三角形是“勤业三角形”；故答案为：③④；（2）解：△和△都是“勤业三角形”，证明如下：如图：连接OE，设，，，，又，，即，，又，，，，，，，，，，△和△都是“勤业三角形”，；（3）解：如图：过点G作交DE于点I，，，，，，，，，设EG=3a，EB=4a，由(2)知，，，，，，，在中，，即．4．（华益）约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角”．例如，如图1，在中，为边上的中线，与相似，那么称为关于边的“华益美三角”．

(1)如图2，在中，，求证：为关于边的“华益美三角”；(2)如图3，已知为关于边的“华益美三角”，点是边的中点，以为直径的⊙恰好经过点．①求证：直线与相切；②若的直径为，求线段的长；已知为关于边的“华益美三角”，，，求的面积．【详解】（1）∵为的中线，∴，即，∵，∴，又∵，，∴，又∵，∴；∴为关于边的“华益美三角”；（2）①证明：连接，如图，

由题意可知，∴，又∵为的直径，∴，又∵，∴，∴，∴，又∵为的半径，∴为的切线；②∵由题意可知，，∴，，∴，∵的直径为，∴，，∴，∵，∴，∴，∵在中，，∴，解得：（负值舍去）；（3）分类讨论：当时，过A点作于点E，如图，

∵为关于边的“华益美三角”，，，∴，，∴，即，∴，∵，，∴，∴；当时，过A点作于点，如图，

∵为关于边的“华益美三角”，，，∴，，∴，即，∴，根据还有：，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，且，∴，∴，∴，∴；综上：的面积为或或．5．（华益）约定：三角形的一条中线将三角形分成两个小三角形，如果其中的一个小三角形与原三角形相似，那么称原三角形为“华益三角”，这条中线叫做原三角形的“华益中线”，这条中线所在的边叫做“华益边”，原三角形与小三角形的相似比叫做“华益比”．(1)如图1，已知是边上的中线，若，那么就是“华益三角”，中线是的“华益中线”，边就是的“华益边”．爱思考的你们一定能发现：“华益三角”的“华益比”总是一个定值，以图1为例，求出“华益比”；(2)如图2，已知在中，，求证：是“华益三角”；(3)如图3，已知是“华益三角”，边是的“华益边”，的外接圆的半径是2．①若是一个锐角，求的值；②记，若，求的值．【详解】（1）如图，

∵为的中线，∴，设，即，设，∵∴，∴，∴，∴（负值舍去），即“华益比”为；（2）解：如图所示，过点作于点，取的中点，连接，∵，∴，则，∴，∵，∴，又，∴，且相似比为，∴是“华益三角”；（3）解：如图所示，连接，过点作于点，∵，∴，又∵，∴，，∴，∴；②如图所示，取的中点，连接，过点作于点，∵是“华益三角”，边是的“华益边”，∴，，∵，，则，∴，，∵∴∴，则，在中，，∴，解得：或（舍去）．6．（北雅）如图1，⊙O的半径为r（），若点在射线OP上，满足，则称点是点P关于⊙O的“反演点”．(1)若点A关于⊙O的“反演点”是本身，那么点A与⊙O的位置关系为（

）A．点A在⊙O内

B．点A在⊙O上

C．点A在⊙O外(2)如图1，若⊙O的半径为4，点是点关于⊙O的“反演点”，且，过点P的直线与⊙O相切于点Q，求PQ长．(3)如图2，若⊙O的半径为4，点Q在⊙O上，点A在⊙O内，且，点、分别是点Q、A关于⊙O的“反演点”，过点作且，连接，，求的最小值．【详解】（1）∵点A关于⊙O的“反演点”是本身，∴，∴OA=r，∴点A在⊙O上，故选：B；（2）如图：过P做PQ与⊙O相切于Q，连接OQ，∵PQ与⊙O相切于Q，∴，，由新定义可得：，∴，∴，在中，；（3）连接AQ，AB，由题意可得：，又∵，∴，∴，∴，∴，∵，，OA＝2，∴，，在Rt△中，，∴．7．（青竹湖）定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做“青竹三角形”．如图1，在△和中，若，且，则△和是“青竹三角形”．（1）以下四边形中，一定能被一条对角线分成两个“青竹三角形”的是；（填序号）①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．（2）如图2，△，，，点是上任意一点（不与点、重合），设AD、BD、CD的长分别为a、b、c，请写出图中的一对“青竹三角形”，并用含a、b的式子来表示；（3）如图3，⊙O的半径为4，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且△ABC和△ADC是“青竹三角形”．①求的值；②若，，求△ABC和△ADC的周长之差．【详解】解：（1）矩形与正方形的每个内角都为90°，它们的一条对角线可以将矩形、正方形分成两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形，②④符合题意，①③不符合题意，故答案为：②④；（2）中，，，△ACD和△BCD是“青竹三角形”，过点D作，，四边形是矩形，，与都是等腰直角三角形，，中，，；（3）①连接DO并延长交⊙O于E，连接AE、CE，如图：∵△ABC和△ADC是“青竹三角形”，∴∠ACD+∠BAC=90°，∵DE是⊙O直径，∴∠ECD=90°，∴∠ACE+∠ACD=90°，∴∠BAC=∠ACE，又∵，∴∠AEC=∠ABC，在△AEC与△CBA中，∴△AEC≌△CBA（AAS），∴AE=BC，∴在Rt△EAD中，AD2+AE2=AD2+BC2=DE2=82=64，∴AD2+BC2的值为64；②∵△ABC和△ADC是“青竹三角形”∴∠ACD+∠BAC=90°，，，，，，，四边形ABCD是圆的内接四边形，，，，中，，∵△ABC和△ADC的周长之差=AB+BC-AD-CD，AE=BC,EC=BA，∴AB+BC-AD-CD=EC+AE-AD-CD=EC-DC=，∴△ABC和△ADC的周长之差为．8．（中雅）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“雅近值”，记为d（M，N），特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）＝0．(1)如图1，⊙O的半径为2，①点A（1，0），B（3，4），则d（A，⊙O）＝______，d（B，⊙O）＝______．②已知直线l：y＝x+4与⊙O，求直线l与⊙O的雅近值d（l，⊙O）．(2)如图2，C为x轴正半轴上的一点，⊙C的半径为1，直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交于点D，与y轴交于点E．①若a＝﹣，b＝，线段DE与⊙C的“雅近值”d（DE，⊙O）＜，请直接写出圆心C的横坐标m的取值范围；②若b＝，圆心C的横坐标m＝，直线DE与⊙C的“雅近值”d（DE，⊙C）＝0，求a的取值范围．【详解】（1）①如图1，连接OB，过点B作BH⊥x轴于点H，∵⊙O的半径为2，点A（1，0），∴d（A，⊙O）＝2﹣1＝1；∵B（3，4），∴OB＝＝5，∴d（B，⊙O）＝5﹣2＝3．故答案为：1，3．②如图1，过点O作OT⊥l于点T，设直线l：y＝x+4与x轴交于P，与y轴交于Q，令y＝0，则x+4＝0，解得：x＝﹣3，∴P（﹣3，0），令x＝0，得y＝4，∴Q（0，4），在Rt△POQ中，OP＝3，OQ＝4，∠POQ＝90°，∴PQ＝＝＝5，∵PQ•OT＝OP•OQ，∴OT＝＝,∴d（l，⊙O）＝．（2）①过点C作CN⊥DE于N，如图2，∵直线y＝﹣x+与x轴交于点D，与y轴交于点E，∴D（5，0），E（0，），∴OD＝5，OE＝，∴tan∠ODE＝＝＝，∴∠ODE＝30°，a）当点C在点D左边时，∵C（m，0），∴OC＝m，∴CD＝5﹣m，∴CN＝CD•sin∠CDN＝（5﹣m）•sin30°＝，∵线段DE与⊙C的“雅近值”d（DE，⊙C）＜，∴0＜＜+1，∴2＜m＜5，b）当点C与点D重合时，m＝5．此时d（DE，⊙C）＝0．c）当点C在点D的右边时，m＞5．∵线段DE与⊙C的“雅近值”d（DE，⊙C）＜，可得m＝5+1.5＝6.5∴5＜m＜6.5．综上所述：2＜m＜6.5．②如图3，DM、DN与x轴交轴于E1、E2，连接CD，过点C作CM⊥DF于M，CN⊥DE于N，在Rt△CDO中，CD＝＝＝，∵直线DE与⊙C的“雅近值”d（DE，⊙C）＝0，∴直线DE与⊙C有公共点，当直线DE与⊙C相切时，CM＝CN＝1，设CE1＝x，则OE1＝x+，∵∠CNE1＝∠DOE1＝90°，∠CE1N＝∠DE1O，∴△CE1N∽△DE1O，∴＝，即＝，∴E1N＝＝，在Rt△CDN中，DN＝＝＝3，∴DM＝DN＝3，DE1＝+3＝，∵△CE1N∽△DE1O，∴＝，即＝，解得：x＝，∴CE1＝，∴E1（，0），将E1（，0）代入y＝ax+，得：a+＝0，解得：a＝﹣1，设OE2＝m，则CE2＝﹣m，∵∠CME2＝∠DOE2＝90°，∠CE2M＝∠DE2O，∴△CE2M∽△DE2O，∴＝＝，即＝＝，∴E2M＝m，DE2＝4﹣m，∵DE2+E2M＝3，∴4﹣m+m＝3，解得：m＝，∴E2（，0），将E2（，0）代入y＝ax+，得：a+＝0，解得：a＝﹣7，综上，a的取值范围为﹣7≤a≤﹣1．9．（广益）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”．（1）若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是．（填序号）①矩形；②菱形；③正方形（2）如图1，RtABC中，∠BAC=90°，以AB为弦的⊙O交AC于D，交BC于E，连接DE、AE、BD，AB=6，，若四边形ABED是“婆氏四边形”，求DE的长．（3）如图2，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC，BD，OA，OB，OC，OD，已知∠BOC+∠AOD=180°．①求证：四边形ABCD是“婆氏四边形”；②当AD+BC=4时，求⊙O半径的最小值．【详解】解：（1）如下图，∵平行四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ABC=∠ADC，∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴平行四边形ABCD为矩形，∵四边形ABCD是“婆氏四边形”，∴AC⊥BD，∴矩形ABCD为正方形，故答案为：③；（2）∵∠BAC=90°，AB=6，，∴，,BD为直径，∴∠BED=∠DEC=90°，∵四边形ABED是“婆氏四边形”，∴AE⊥BD，∴AD=DE，AB=BE=6，设AD=DE=m，则DC=8-m，EC=10-6=4，在Rt△EDC中，根据勾股定理,,即，解得，即DE=3；（3）①设AC，BD相交于点E如图所示∵，，∠BOC+∠AOD=180°∴，∴∠CED=90°，即AC⊥BD，又∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴四边形ABCD是“婆氏四边形”；②如下图，作OM，ON分别垂直与AD，BC，∴，，∠AMO=∠BNO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°，∵OA=OB=OC=OD，∴,，∵∠BOC+∠AOD=180°，∴，∴，在△OAM和△BON中∵∴△OAM≌△BON（AAS），∴，∵AD+BC=4，设，则，，，在Rt△BON中，，当时，取得最小值，即⊙O半径的最小值为．10．（雅礼）圆内各几何要素之间存在一定的数量关系和位置关系，这也是国内外数学家感兴趣的研究对象，其中就有对角线互相垂直的圆内接四边形．我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“雅系四边形”．(1)若平行四边形是“雅系四边形”，则四边形是______（填序号）；①矩形；②菱形；③正方形(2)如图，四边形内接于圆，为圆内一点，，且，求证：四边形为“雅系四边形”；(3)在（2）的条件下，，且．①当时，求的长度；②当的长度最小时，请直接写出的值．【详解】（1）解：若平行四边形是“雅系四边形”，则四边形是