2024中考数学复习 重难题型分类练 题型七 二次函数与几何图形综合题 (含答案)

2024中考数学复习重难题型分类练题型七二次函数与几何图形综合题类型一与线段有关的问题1.(2023武汉)抛物线y＝x2－2x－3交x轴于A，B两点(A在B的左边)，C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P.(1)直接写出A，B两点的坐标；(2)如图①，当OP＝OA时，在抛物线上存在点D(异于点B)，使B，D两点到AC的距离相等，求出所有满足条件的点D的横坐标；(3)如图②，直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为m.求eq\f(FP,OP)的值(用含m的式子表示).第1题图2.(2023山西)综合与探究如图，二次函数y＝－eq\f(1,4)x2＋eq\f(3,2)x＋4的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m.过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线BC交PD于点E.(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；(2)当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；(3)连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF.试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得CE＝FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．第2题图3.(2023包头)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点，点B的坐标是(2，0)，顶点C的坐标是(0，4)，M是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线AM与y轴交于点G.(1)求该抛物线的解析式；(2)如图①，N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接OM，记△AOG，△MOG的面积分别为S1，S2.当S1＝2S2，且直线CN∥AM时，求证：点N与点M关于y轴对称；(3)如图②，直线BM与y轴交于点H，是否存在点M，使得2OH－OG＝7.若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．第3题图类型二与图形面积有关的问题4.(2023贺州)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线对称轴上一动点，当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；(3)在(2)条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得S△BCM＝S△BCP？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．第4题图5.(2023内江)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(－4，0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，2).(1)求这条抛物线所对应的函数的表达式；(2)若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；(3)点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1∶5两部分，求点P的坐标．6.(2023福建)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx经过A(4，0)，B(1，4)两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．(1)求抛物线的解析式；(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；(3)如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D.记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3.判断eq\f(S1,S2)＋eq\f(S2,S3)是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．第6题图类型三角度问题7.(2023无锡)已知二次函数y＝－eq\f(1,4)x2＋bx＋c图象的对称轴与x轴交于点A(1，0)，图象与y轴交于点B(0，3)，C，D为该二次函数图象上的两个动点(点C在点D的左侧)，且∠CAD＝90°.(1)求该二次函数的表达式；(2)若点C与点B重合，求tan∠CDA的值；(3)点C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值与(2)中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．第7题图8.(2023呼和浩特)如图，抛物线y＝－eq\f(1,2)x2＋bx＋c经过点B(4，0)和点C(0，2)，与x轴的另一个交点为A，连接AC，BC.(1)求抛物线的解析式及点A的坐标；(2)如图①，若点D是线段AC的中点，连接BD，在y轴上是否存在点E，使得△BDE是以BD为斜边的直角三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图②，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴，分别交BC，x轴于点M，N，当△PMC中有某个角的度数等于∠OBC度数的2倍时，请求出满足条件的点P的横坐标．第8题图类型四与特殊三角形判定有关的问题考向1等腰三角形判定问题9.(2023百色)已知抛物线经过A(－1，0)，B(0，3)，C(3，0)三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F.(1)求抛物线的表达式；(2)求证：∠BOF＝∠BDF；(3)是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．10.(2023遂宁)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为(－1，0)，点C的坐标为(0，－3).(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为(0，－2)，求△DEF周长的最小值；(3)如图②，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M，N均在第一象限内，B，N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标．第10题图考向2直角三角形判定问题11.(2023抚顺本溪辽阳)如图，抛物线y＝ax2－3x＋c与x轴交于A(－4，0)，B两点，与y轴交于点C(0，4)，点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF.(1)求抛物线的解析式；(2)当点D在第二象限且eq\f(DE,EO)＝eq\f(3,4)时，求点D的坐标；(3)当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．12.(2023柳州)已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(m，0)两点，与y轴交于点C(0，5).(1)求b，c，m的值；(2)如图①，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；(3)如图②，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．第12题图考向3等腰直角三角形判定问题13.(2023吉林省卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c(b，c是常数)经过点A(1，0)，点B(0，3).点P在此抛物线上，其横坐标为m.(1)求此抛物线的解析式；(2)当点P在x轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围；(3)若此抛物线在点P左侧部分(包括点P)的最低点的纵坐标为2－m.①求m的值；②以PA为边作等腰直角三角形PAQ，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q的坐标．第13题图考向4等边三角形判定问题14.(2022朝阳)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴分别交于点A(－1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3).(1)求抛物线的解析式及对称轴；(2)如图，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标；(3)点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当△BMN为等边三角形时，请直接写出点M的横坐标．类型五与特殊四边形判定有关的问题考向1平行四边形判定问题15.(2023重庆A卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝eq\f(1,2)x2＋bx＋c与直线AB交于点A(0，－4)，B(4，0).(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PC＋PD的最大值及此时点P的坐标；(3)在(2)中PC＋PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴的一点，在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．考向2矩形判定问题16.(2023黔东南州)如图，抛物线y＝ax2＋2x＋c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B(3，0)，与y轴交于点C，连接AC.(1)求此抛物线的解析式；(2)已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，DM交直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；(3)已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．考向3菱形判定问题17.(2023烟台)如图，已知直线y＝eq\f(4,3)x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝－1.(1)求抛物线的表达式；(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．第17题图考向4正方形判定问题18.(2023海南)如图①，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A(－1，0)，C(0，3)，并交x轴于另一点B，点P(x，y)在第一象限的抛物线上，AP交直线BC于点D.(1)求该抛物线的函数表达式；(2)当点P的坐标为(1，4)时，求四边形BOCP的面积；(3)点Q在抛物线上，当eq\f(PD,AD)的值最大且△APQ是直角三角形时，求点Q的横坐标；(4)如图②，作CG⊥CP，CG交x轴于点G(n，0)，点H在射线CP上，且CH＝CG，过GH的中点K作KI∥y轴，交抛物线于点I，连接IH，以IH为边作出如图所示正方形HIMN，当顶点M恰好落在y轴上时，请直接写出点G的坐标．第18题图类型六与三角形全等、相似有关的问题考向1全等三角形判定19.(2021陕西)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(3，12)和(－2，－3)，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l.(1)求该抛物线的表达式；(2)点P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为点D，点E是l上的点．要使以点P，D，E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．第19题图考向2相似三角形判定20.(2023衡阳)如图，已知抛物线y＝x2－x－2交x轴于A，B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C.(1)写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；(2)若直线y＝－x＋b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；(3)P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．第20题图类型七与圆有关的问题21.(2022张家界)如图，已如二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点C(2，－3).且与x轴交于原点及点B(8，0).(1)求二次函数的表达式；(2)求顶点A的坐标及直线AB的表达式；(3)判断△ABO的形状，试说明理由；(4)若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为2eq\r(2)，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求动点E的运动时间t的最小值．第21题图参考答案与解析1.解：(1)A(－1，0)，B(3，0)；(2)∵OP＝OA＝1，∴P(0，1)，∴直线AC的解析式为y＝x＋1.①当点D在AC下方时，如解图，过点B作AC的平行线与抛物线的交点即为D1.∵B(3，0)，BD1∥AC，∴直线BD1的解析式为y＝x－3.联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x－3，,y＝x2－2x－3.))解得x1＝0，x2＝3(舍去).∴点D1的横坐标为0；第1题解图②当点D在AC上方时，如解图，点D1(0，－3)关于点P的对称点为G(0，5).过点G作AC的平行线l，则l与抛物线的交点即为符合条件的点D.∴直线l的解析式为y＝x＋5.联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋5，,y＝x2－2x－3.))解得x1＝eq\f(3－\r(41),2)，x2＝eq\f(3＋\r(41),2).∴点D2，D3的横坐标分别为eq\f(3－\r(41),2)，eq\f(3＋\r(41),2).∴符合条件的点D的横坐标为0或eq\f(3－\r(41),2)或eq\f(3＋\r(41),2)；(3)设点E的横坐标为n，过点P的直线解析式为y＝kx＋b(k≠0).联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,y＝x2－2x－3.))∴x2－(2＋k)x－3－b＝0.设x1，x2是方程x2－(2＋k)x－3－b＝0的两根，则x1x2＝－3－b①.∴xAxC＝xBxE＝－3－b.∵xA＝－1，∴xC＝3＋b，∴m＝3＋b.∵xB＝3，∴xE＝－1－eq\f(b,3)，∴n＝－1－eq\f(b,3).设直线CE的解析式为y＝px＋q(p≠0)，同①得，mn＝－3－q，∴q＝－mn－3.∴q＝－(3＋b)(－1－eq\f(b,3))－3＝eq\f(1,3)b2＋2b.∴OF＝eq\f(1,3)b2＋2b.∵OP＝b，∴FP＝eq\f(1,3)b2＋b.∴eq\f(FP,OP)＝eq\f(1,3)b＋1＝eq\f(1,3)(m－3)＋1＝eq\f(1,3)m.2.解：(1)由y＝－eq\f(1,4)x2＋eq\f(3,2)x＋4得，当x＝0时，y＝4，∴点C的坐标为(0，4)；当y＝0时，－eq\f(1,4)x2＋eq\f(3,2)x＋4＝0，解得x1＝－2，x2＝8.∵点A在点B的左侧，∴点A，B的坐标分别为A(－2，0)，B(8，0)，∴直线BC的函数表达式为y＝－eq\f(1,2)x＋4；(2)∵点P在第一象限抛物线上，横坐标为m，且PD⊥x轴于点D，∴点P的坐标为(m，－eq\f(1,4)m2＋eq\f(3,2)m＋4)，OD＝m.∴PD＝－eq\f(1,4)m2＋eq\f(3,2)m＋4.∵点B的坐标为(8，0)，点C的坐标为(0，4)，∴OB＝8，OC＝4.如解图，过点C作CG⊥PD于点G，则∠CGD＝90°.∵∠PDO＝∠COD＝90°，∴四边形CODG是矩形，∴CG∥OB，DG＝OC＝4，CG＝OD＝m，∴∠GCE＝∠DBE.∵∠CGE＝∠BOC＝90°，∴△CGE∽△BOC，∴eq\f(EG,CO)＝eq\f(CG,BO)，即eq\f(EG,4)＝eq\f(m,8)，∴EG＝eq\f(1,2)m，在△CPE中，∵CP＝CE，CG⊥PE，∴PG＝EG＝eq\f(1,2)m，∴PD＝PG＋DG＝eq\f(1,2)m＋4，∴－eq\f(1,4)m2＋eq\f(3,2)m＋4＝eq\f(1,2)m＋4，解得m1＝4，m2＝0(舍去)，∴m＝4.当m＝4时，y＝－eq\f(1,4)m2＋eq\f(3,2)m＋4＝6，∴点P的坐标为(4，6)；(3)存在，m的值为4或2eq\r(5)－2.第2题解图【解法提示】如解图，过点F作FH⊥PD于点H，设PF交x轴于点I，由(1)可知，A(－2，0)，B(8，0)，C(0，4)，∴AC＝2eq\r(5)，BC＝4eq\r(5)，AB＝10，∵AC2＋BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴tan∠CAB＝eq\f(BC,AC)＝2，∵PF∥AC，PD⊥x轴，∴∠PFH＝∠PID＝∠CAB，∴tan∠PFH＝2.由(2)可知，P(m，－eq\f(1,4)m2＋eq\f(3,2)m＋4)，CG＝m，GE＝eq\f(1,2)m，∵CG⊥PD，FH⊥PH，∴CG＝FH＝m，∴在Rt△PFH中，PH＝2FH＝2m，∴点H的纵坐标为－eq\f(1,4)m2＋eq\f(3,2)m＋4－2m＝－eq\f(1,4)m2－eq\f(1,2)m＋4，∴HD＝|－eq\f(1,4)m2－eq\f(1,2)m＋4|，∵CE＝FD，CG＝FH，∠CGE＝∠FHD＝90°，∴Rt△CGE≌Rt△FHD，∴GE＝HD.∵点P在第一象限，∴0＜m＜8，∴eq\f(1,2)m＝|－eq\f(1,4)m2－eq\f(1,2)m＋4|.①当eq\f(1,2)m＝－eq\f(1,4)m2－eq\f(1,2)m＋4时，解得m1＝2eq\r(5)－2，m2＝－2eq\r(5)－2(舍去)；②当eq\f(1,2)m＝eq\f(1,4)m2＋eq\f(1,2)m－4时，解得m3＝4，m4＝－4(舍去).综上所述，m值为4或2eq\r(5)－2.3.(1)解：∵抛物线与x轴交于点B(2，0)，顶点坐标为(0，4)，∴将(2，0)，(0，4)代入y＝ax2＋c中得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＋c＝0,c＝4))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1,c＝4))，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4；(2)证明：如解图①，过点M作MD⊥y轴，垂足为D.当△AOG与△MOG都以OG为底时，∵S1＝2S2，∴OA＝2DM.当y＝0时，则－x2＋4＝0，解得x1＝－2，x2＝2.∵B(2，0)，∴A(－2，0)，∴OA＝2，DM＝1.设点M的坐标为(m，－m2＋4)，∵点M在第一象限，∴m＝1，∴－m2＋4＝3，∴M(1，3).设直线AM的解析式为y＝k1x＋b1，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2k1＋b1＝0,k1＋b1＝3))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝1,b1＝2))，∴直线AM的解析式为y＝x＋2.设直线CN的解析式为y＝k2x＋b2，∵直线CN∥AM，∴k2＝k1＝1，∴y＝x＋b2，∵C(0，4)，∴b2＝4，∴直线CN的解析式为y＝x＋4，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋4,y＝－x2－4))，解得x1＝0，x2＝－1.∵点N在第二象限，∴点N的横坐标为－1，∴y＝3，∴N(－1，3).∵M(1，3)，∴点N与点M关于y轴对称；第3题解图①(3)解：存在点M，使得2OH－OG＝7.如解图②，过点M作ME⊥x轴，垂足为E.∵M(m，－m2＋4)，∴OE＝m，ME＝－m2＋4，∵B(2，0)，∴OB＝2，∴BE＝2－m.在Rt△BEM和Rt△BOH中，∵tan∠MBE＝tan∠HBO，∴eq\f(EM,BE)＝eq\f(OH,BO)，∴OH＝eq\f(EM·BO,BE)＝eq\f(2（－m2＋4）,2－m)＝2(2＋m)＝2m＋4.在Rt△AOG和Rt△AEM中，∵tan∠GAO＝tan∠MAE，OA＝2，AE＝m＋2，∴eq\f(OG,AO)＝eq\f(EM,AE)，∴OG＝eq\f(EM·AO,AE)＝eq\f(2（－m2＋4）,m＋2)＝2(2－m)＝4－2m.∵2OH－OG＝7，∴2(2m＋4)－(4－2m)＝7，∴m＝eq\f(1,2).当m＝eq\f(1,2)时，－m2＋4＝eq\f(15,4)，∴M(eq\f(1,2)，eq\f(15,4)).∴存在点M(eq\f(1,2)，eq\f(15,4))，使得2OH－OG＝7.第3题解图②4.解：(1)根据题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＝－（－1）2－b＋c,0＝－32＋3b＋c))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝2,c＝3))，∴抛物线的解析式是y＝－x2＋2x＋3；(2)由(1)得y＝－x2＋2x＋3，∴点C(0，3)，且点B(3，0)，∴OC＝OB.即P点在∠COB的平分线y＝x上，如解图∵抛物线的对称轴为直线x＝－eq\f(2,2×（－1）)＝1，∴y＝1.∴点P的坐标为(1，1)；(3)存在．如解图，过点M作ME∥y轴，交BC于点E，交x轴于点F.第4题解图设M(m，－m2＋2m＋3)，则F(m，0)，设直线BC的解析式为y＝kx＋a(k≠0)，依题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＝3k＋a,3＝a))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1,a＝3))，∴直线BC的解析式为y＝－x＋3.当x＝m时，y＝－m＋3，∴点E的坐标为(m，－m＋3).∵点M在第一象限内，且在BC的上方，∴ME＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m.∴S△BCM＝S△MEC＋S△MEB＝eq\f(1,2)ME·OF＋eq\f(1,2)ME·FB＝eq\f(1,2)ME·OB＝eq\f(3,2)(－m2＋3m)，S△BCP＝S△BOC－S△COP－S△BOP＝eq\f(1,2)×3×3－eq\f(1,2)×1×3－eq\f(1,2)×1×3＝eq\f(3,2).∵S△BCM＝S△BCP，∴eq\f(3,2)(－m2＋3m)＝eq\f(3,2)，解得m1＝eq\f(3＋\r(5),2)，m2＝eq\f(3－\r(5),2).即点M的横坐标为eq\f(3＋\r(5),2)或eq\f(3－\r(5),2).5.解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交于点C(0，2)，∴c＝2，将点A(－4，0)，B(2，0)代入y＝ax2＋bx＋2中，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(16a－4b＋c＝0,4a＋2b＋c＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,4),b＝－\f(1,2)))，∴抛物线的函数表达式为y＝－eq\f(1,4)x2－eq\f(1,2)x＋2；(2)∵设直线AC的表达式为y＝kx＋b1，将A(－4，0)，C(0，2)，代入可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＝－4k＋b1,2＝b1))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,2),b1＝2))，∴直线AC的表达式为y＝eq\f(1,2)x＋2，易知OA＝4，OC＝2，∴AC＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，∴sin∠ACO＝eq\f(AO,AC)＝eq\f(4,2\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)，设直线AC向上平移m个单位，如解图①，则平移后函数表达式为y＝eq\f(1,2)x＋2＋m，与y轴交于点F，第5题解图①联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)x＋2＋m,y＝－\f(1,4)x2－\f(1,2)x＋2))，整理得eq\f(1,4)x2＋x＋m＝0，∵当直线y＝eq\f(1,2)x＋2＋m与抛物线只有一个交点时，点D到直线AC距离最大，∴Δ＝1－4×eq\f(1,4)m＝0，解得m＝1，∴D(－2，2)，CF＝1，如解图①，过点F作FE⊥直线AC于点E，∵sin∠FCE＝sin∠ACO＝eq\f(EF,CF)，∴eq\f(EF,1)＝eq\f(2\r(5),5)，∴EF＝eq\f(2\r(5),5)，即点D到直线AC的最大距离为eq\f(2\r(5),5)，此时点D的坐标为(－2，2)；(3)由题知点P应在x轴下方，设P(n，－eq\f(1,4)n2－eq\f(1,2)n＋2)，∵C(0，2)，∴易求直线CP的表达式为y＝(－eq\f(1,4)n－eq\f(1,2))x＋2，∴直线CP与x轴交点Q(eq\f(8,n＋2)，0)，∴S△ACP＝S△ACQ＋S△APQ＝eq\f(1,2)AQ·yC＋eq\f(1,2)AQ·|yP|＝eq\f(1,2)AQ·(yC－yP)，同理S△BCP＝eq\f(1,2)BQ·(yC－yP).∴eq\f(S△ACP,S△BCP)＝eq\f(AQ,BQ).当点P在对称轴右边抛物线上时，如解图②，则eq\f(S△ACP,S△BCP)＝eq\f(AQ,BQ)＝5，∴eq\f(\f(8,n＋2)＋4,2－\f(8,n＋2))＝5，解得n＝6，∴P(6，－10)；第5题解图②当点P在对称轴左边抛物线上时，如解图③，则eq\f(S△ACP,S△BCP)＝eq\f(AQ,BQ)＝eq\f(1,5)，∴eq\f(\f(8,n＋2)＋4,2－\f(8,n＋2))＝eq\f(1,5)，解得n＝－eq\f(14,3)，∴P(－eq\f(14,3)，－eq\f(10,9)).综上所述，点P的坐标为(6，－10)或(－eq\f(14,3)，－eq\f(10,9)).第5题解图③6.解：(1)将A(4，0)，B(1，4)分别代入y＝ax2＋bx，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(16a＋4b＝0，,a＋b＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(4,3)，,b＝\f(16,3)．))∴抛物线的解析式为y＝－eq\f(4,3)x2＋eq\f(16,3)x；(2)设直线AB的解析式为y＝kx＋t(k≠0)，将A(4，0)，B(1，4)分别代入y＝kx＋t，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4k＋t＝0，,k＋t＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(4,3)，,t＝\f(16,3)．))∴直线AB的解析式为y＝－eq\f(4,3)x＋eq\f(16,3).如解图①，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N，过点B作BE⊥PM，垂足为E，第6题解图①∴S△PAB＝S△PNB＋S△PNA＝eq\f(1,2)PN·BE＋eq\f(1,2)PN·AM＝eq\f(1,2)PN·(BE＋AM)＝eq\f(3,2)PN.∵A(4，0)，B(1，4)，∴S△OAB＝eq\f(1,2)×4×4＝8.∵△OAB的面积是△PAB面积的2倍，∴2×eq\f(3,2)PN＝8，∴PN＝eq\f(8,3).设P(m，－eq\f(4,3)m2＋eq\f(16,3)m)(1<m<4)，则N(m，－eq\f(4,3)m＋eq\f(16,3))，∴PN＝(－eq\f(4,3)m2＋eq\f(16,3)m)－(－eq\f(4,3)m＋eq\f(16,3))＝eq\f(8,3)，即－eq\f(4,3)m2＋eq\f(20,3)m－eq\f(16,3)＝eq\f(8,3)，解得m1＝2，m2＝3.∴点P的坐标为(2，eq\f(16,3))或(3，4)；(3)存在．∵PD∥OB，∴∠DPC＝∠BOC，∠PDC＝∠OBC，∴△DPC∽△BOC，∴eq\f(CP,CO)＝eq\f(CD,CB)＝eq\f(PD,OB).∵eq\f(S1,S2)＝eq\f(CD,CB)，eq\f(S2,S3)＝eq\f(CP,CO)，∴eq\f(S1,S2)＋eq\f(S2,S3)＝eq\f(2PD,OB).如解图②，延长AB交y轴于点F，则F(0，eq\f(16,3)).∴OF＝eq\f(16,3)，过点P作PH⊥x轴，垂足为点H，PH交AB于点G.∵∠PDC＝∠OBC，∴∠PDG＝∠OBF，∵PG∥OF，∴∠PGD＝∠OFB，∴△PDG∽△OBF，∴eq\f(PD,OB)＝eq\f(PG,OF).设P(n，－eq\f(4,3)n2＋eq\f(16,3)n)(1＜n＜4).由(2)可得PG＝－eq\f(4,3)n2＋eq\f(20,3)n－eq\f(16,3)，∴eq\f(S1,S2)＋eq\f(S2,S3)＝eq\f(2PG,OF)＝eq\f(3,8)PG＝eq\f(3,8)×(－eq\f(4,3)n2＋eq\f(20,3)n－eq\f(16,3))＝－eq\f(1,2)(n－eq\f(5,2))2＋eq\f(9,8).又∵1＜n＜4，－eq\f(1,2)<0，∴当n＝eq\f(5,2)时，eq\f(S1,S2)＋eq\f(S2,S3)存在最大值，最大值为eq\f(9,8).第6题解图②7.解：(1)根据题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2×（－\f(1,4)）)＝1,c＝3))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝\f(1,2),c＝3))，∴二次函数的表达式为y＝－eq\f(1,4)x2＋eq\f(1,2)x＋3；(2)如解图，过点D作DE⊥x轴于点E，则∠AED＝90°，设点D的坐标为(n，－eq\f(1,4)n2＋eq\f(1,2)n＋3)，∴OE＝n，DE＝－eq\f(1,4)n2＋eq\f(1,2)n＋3，∵A(1，0)，∴OA＝1，AE＝n－1，∵∠CAD＝90°，∠AOB＝90°，∴∠OAB＋∠DAE＝90°，∠OAB＋∠OBA＝90°，∴∠DAE＝∠OBA，∵∠AOB＝∠AED＝90°，∴△DEA∽△AOB，∵B(0，3)，∴OB＝3，AC＝eq\r(10)，∴eq\f(AE,BO)＝eq\f(DE,AO)＝eq\f(AD,BA)，即eq\f(n－1,3)＝eq\f(－\f(1,4)n2＋\f(1,2)n＋3,1)＝eq\f(AD,\r(10))，∴n－1＝3(－eq\f(1,4)n2＋eq\f(1,2)n＋3)，解得n1＝4，n2＝－eq\f(10,3)(不符合题意，舍去)，∴eq\f(4－1,3)＝eq\f(AD,\r(10))，解得AD＝eq\r(10)，∴tan∠CDA＝eq\f(AC,AD)＝eq\f(\r(10),\r(10))＝1；第7题解图①(3)存在，①如解图②，与(2)中Rt△BAD关于对称轴对称时，tan∠C′D′A＝1，第7题解图②∵点D的坐标为(4，1)，∴此时，点C′的坐标为(－2，1)，∴当点C′，D关于对称轴对称时，此时AC′与AD长度相等，即tan∠C′D′A＝1；②当点C在x轴上方时，如解图③，过点C作CE⊥x轴于点E，第7题解图③∵∠CAD＝90°，点C，D关于对称轴对称，∴∠CAE＝45°，∴△CAE为等腰直角三角形，∴CE＝AE，设点C的坐标为(m，－eq\f(1,4)m2＋eq\f(1,2)m＋3)，∴CE＝－eq\f(1,4)m2＋eq\f(1,2)m＋3，AE＝1－m，∴－eq\f(1,4)m2＋eq\f(1,2)m＋3＝1－m，解得m＝3＋eq\r(17)(舍去)或m＝3－eq\r(17)，此时点C的坐标为(3－eq\r(17)，eq\r(17)－2)；③当点C在x轴下方时，如解图④，过点C作CF⊥x轴于点F，第7题解图④∵∠CAD＝90°，点C，D关于对称轴对称，∴∠CAF＝45°，∴△CAF为等腰直角三角形，∴CF＝AF，设点C的坐标为(m，－eq\f(1,4)m2＋eq\f(1,2)m＋3)，∴CF＝eq\f(1,4)m2－eq\f(1,2)m－3，AF＝1－m，∴eq\f(1,4)m2－eq\f(1,2)m－3＝1－m，解得m＝－1＋eq\r(17)(舍去)或m＝－1－eq\r(17)，此时点C的坐标为(－1－eq\r(17)，－eq\r(17)－2).综上所述，点C的坐标为(－2，1)或(3－eq\r(17)，eq\r(17)－2)或(－1－eq\r(17)，－eq\r(17)－2).8.解：(1)∵抛物线过点B(4，0)，C(0，2)，∴将B(4，0)，C(0，2)代入y＝－eq\f(1,2)x2＋bx＋c中，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－8＋4b＋c＝0,c＝2))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝\f(3,2),c＝2))，∴抛物线的解析式为y＝－eq\f(1,2)x2＋eq\f(3,2)x＋2，当y＝0时，－eq\f(1,2)x2＋eq\f(3,2)x＋2＝0，解得x1＝4，x2＝－1，∵B(4，0)，∴点A的坐标为(－1，0)；(2)存在．理由如下：∵C(0，2)，A(－1，0)，点D是AC的中点，∴点D的坐标为(－eq\f(1,2)，1).设点E的坐标为(0，m)，∵B(4，0)，∴DE2＝(eq\f(1,2))2＋(m－1)2，BE2＝42＋m2，BD2＝(4＋eq\f(1,2))2＋12，∴当BD为斜边时，DE2＋BE2＝BD2，即(eq\f(1,2))2＋(m－1)2＋42＋m2＝(4＋eq\f(1,2))2＋12，解得m1＝2，m2＝－1，∴点E的坐标为(0，2)或(0，－1)；(3)在Rt△OBC中，∵OC＝2，OB＝4，∴BC＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5).①若∠CMP＝2∠OBC，则∠NMB＝2∠OBC.∵PQ∥y轴，∴∠MNB＝90°，∴∠NMB＋∠OBC＝90°，∴∠OBC＝30°，∴BC＝2OC＝4，这与BC＝2eq\r(5)相矛盾，∴∠CMP≠2∠OBC；②若∠MCP＝2∠OBC，如解图①，取BC的中点H，连接OH，第8题解图①∴H(2，1)，OH＝CH＝BH＝eq\r(5)，∠HOB＝∠OBC，∴∠CHO＝2∠OBC，∴∠MCP＝∠CHO，∴OH∥CP.∵H(2，1)，∴直线OH的函数解析式为y＝eq\f(1,2)x.∵C(0，2)，∴直线CP的函数解析式为y＝eq\f(1,2)x＋2.联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)x＋2,y＝－\f(1,2)x2＋\f(3,2)x＋2))，解得x1＝0(舍)，x2＝2，∴点P的横坐标为2；③若∠CPM＝2∠OBC，由②得∠CPM＝∠OHC，如解图②，过点O作OE⊥BC，垂足为E，则OE＝eq\f(OC·OB,BC)＝eq\f(4\r(5),5).在Rt△OHE中，根据勾股定理，得HE＝eq\r(（\r(5)）2－（\f(4\r(5),5)）2)＝eq\f(3\r(5),5)，∴tan∠OHE＝eq\f(OE,HE)＝eq\f(4,3).过点C作CF⊥PQ，垂足为F.在Rt△CPF中，∵∠CPM＝∠OHE，∴eq\f(CF,PF)＝eq\f(4,3).设点P的横坐标为a，则CF＝a，PN＝－eq\f(1,2)a2＋eq\f(3,2)a＋2，∵C(0，2)，∴PF＝－eq\f(1,2)a2＋eq\f(3,2)a，∴eq\f(a,－\f(1,2)a2＋\f(3,2)a)＝eq\f(4,3)，解得a1＝eq\f(3,2)，a2＝0(舍去)，∴点P的横坐标为eq\f(3,2).综上所述，点P的横坐标为2或eq\f(3,2).第8题解图9.(1)解：设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将A(－1，0)，B(0，3)，C(3，0)代入抛物线表达式中，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＝a－b＋c,3＝0＋0＋c,0＝9a＋3b＋c))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝2,c＝3))，∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3；(2)证明：∵四边形OBDC是正方形，∴OB＝BD，∠OBF＝∠DBF＝45°，在△OBF和△DBF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OB＝DB,∠OBF＝∠DBF,BF＝BF))，∴△OBF≌△DBF(SAS)，∴∠BOF＝∠BDF；(3)解：存在，此时ME的长为3eq\r(3)－2或2－eq\r(3).理由如下：令y＝3，则－x2＋2x＋3＝3，解得x1＝0，x2＝2，∵B(0，3)，∴点E(2，3).∵四边形OBDC是正方形，∴OB＝BD＝OC＝3.①当点M在线段BD的延长线上时，如解图①，则∠MDF＞90°，即∠MDF是钝角，∴要使△MDF为等腰三角形，只有MD＝DF，设点M的坐标为(m，3)(m＞3)，∴MB＝m，MD＝m－3，OM＝eq\r(m2＋9).由(2)知△OBF≌△DBF，∴OF＝DF＝DM＝m－3，∴MF＝OM－OF＝eq\r(m2＋9)－(m－3)，∵BM∥x轴，∴△BMF∽△COF，∴eq\f(MB,OC)＝eq\f(MF,OF)，即eq\f(m,3)＝eq\f(\r(m2＋9)－（m－3）,m－3)，整理得m2(m2－27)＝0，∵m≠0，∴m2－27＝0，解得m1＝3eq\r(3)，m2＝－3eq\r(3)(不合题意，舍去)，∴点M的坐标为(3eq\r(3)，3)，∴ME＝3eq\r(3)－2；第9题解图①②当点M在线段BD上时，如解图②，则∠DMF＞90°，即∠DMF是钝角，∴要使△MDF为等腰三角形，只有MF＝MD，设点M的坐标为(m，3)(0<m<3)，∴MB＝m，MF＝MD＝3－m，OM＝eq\r(m2＋9)，∴OF＝OM－MF＝eq\r(m2＋9)－(3－m)，∵BM∥x轴，∴△BMF∽△COF，∴eq\f(MB,OC)＝eq\f(MF,OF)，即eq\f(m,3)＝eq\f(3－m,\r(m2＋9)－（3－m）)，整理得m2－3＝0，解得m1＝eq\r(3)，m2＝－eq\r(3)(不合题意，舍去)，∴点M的坐标为(eq\r(3)，3)，∴ME＝2－eq\r(3).第9题解图②综上所述，存在点M使得△MDF是等腰三角形，此时ME的长为3eq\r(3)－2或2－eq\r(3).10.解：(1)∵A(－1，0)，C(0，－3)在抛物线y＝x2＋bx＋c上，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＝1－b＋c,－3＝c))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－2,c＝－3)).∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3；(2)如解图①，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2，DD2，由对称的性质可得DE＝D1E，DF＝D2F，∴△DEF的周长为D1E＋EF＋D2F.∴当D1，E，F，D2在同一直线上时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长度．令y＝0，则x2－2x－3＝0，解得x1＝3，x2＝－1，∴点B的坐标为(3，0)，∴OB＝OC＝3，△BOC为等腰直角三角形．∵BC垂直平分DD2，且点D的坐标为(0，－2)，∴D2(1，－3).又∵D，D1关于x轴对称，∴D1(0，2)，∴D1D2＝eq\r(（0－1）2＋（2＋3）2)＝eq\r(26).∴△DEF周长的最小值为eq\r(26)；第10题解图①(3)如解图②，连接BM，∵M到x轴的距离为d，AB＝4，∴S△ABM＝2d.又∵S△AMN＝2d，∴S△ABM＝S△AMN，∴B，N到AM的距离相等．又∵B，N在AM的同侧，∴AM∥BN.设直线BC的解析式为y＝kx＋m(k≠0)，将点B，C的坐标代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3＝m,0＝3k＋m))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝1,m＝－3))，∴直线BC的解析式为y＝x－3.设直线AM的解析式为y＝x＋n.∵A(－1，0)，∴直线AM的解析式为y＝x＋1.联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋1,y＝x2－2x－3))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝－1,y1＝0))，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝4,y2＝5))，∴点M的坐标为(4，5).∵点N在射线CB上，∴设N的坐标为(t，t－3).∵A(－1，0)，M(4，5)，N(t，t－3)，如解图②，过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q，∴AM＝5eq\r(2)，AN＝eq\r(AP2＋PN2)＝eq\r(（t＋1）2＋（t－3）2)，MN＝eq\r(MQ2＋QN2)＝eq\r(（t－4）2＋（t－8）2)，∵△AMN为等腰三角形，∴分3种情况讨论：①当AM＝AN时，则5eq\r(2)＝eq\r(（t＋1）2＋（t－3）2)，解得t1＝1＋eq\r(21)，t2＝1－eq\r(21)；②当AM＝MN时，则5eq\r(2)＝eq\r(（t－4）2＋（t－8）2)，解得t1＝6＋eq\r(21)，t2＝6－eq\r(21)；③当AN＝MN时，则eq\r(（t＋1）2＋（t－3）2)＝eq\r(（t－4）2＋（t－8）2)，解得t＝eq\f(7,2).∵点N在第一象限，∴t>3，∴t的取值为eq\f(7,2)，1＋eq\r(21)，6＋eq\r(21).综上所述，点N的坐标为(eq\f(7,2)，eq\f(1,2))或(1＋eq\r(21)，－2＋eq\r(21))或(6＋eq\r(21)，3＋eq\r(21)).第10题解图②11.解：(1)将A(－4，0)，C(0，4)代入y＝ax2－3x＋c，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(16a＋12＋c＝0,c＝4))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1,c＝4))，∴抛物线的解析式为y＝－x2－3x＋4；(2)设直线AC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将A(－4，0)，C(0，4)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4k＋b＝0,b＝4))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝1,b＝4))，∴直线AC的解析式为y＝x＋4.如解图①，过点D作DM∥y轴，交AC于点M.设点D的坐标为(m，－m2－3m＋4)，则点M的坐标为(m，m＋4)，∴DM＝－m2－4m.∵∠DEM＝∠OEC，∠EDM＝∠EOC，∴△DEM∽△OEC，∴eq\f(DM,OC)＝eq\f(DE,OE)＝eq\f(3,4)，即eq\f(－m2－4m,4)＝eq\f(3,4)，解得m1＝－1，m2＝－3，∴点D的坐标为(－1，6)或(－3，4)；第11题解图①(3)点D的坐标为(0，4)或(－3，4)或(eq\f(－3＋\r(17),2)，2)或(eq\f(－3－\r(17),2)，2).【解法提示】①当∠OFD＝90°时，∵∠DOF＝45°，∴∠ODF＝45°，∴DF＝OF，如解图②，过点F作FH⊥x轴于点H，过点D作DQ⊥FH交HF的延长线于点Q，则易证△OHF≌△FQD，设点F的坐标为(n，n＋4)，则FH＝DQ＝n＋4，OH＝FQ＝－n，∴D(2n＋4，4)，当y＝4时，－x2－3x＋4＝4，解得x1＝0，x2＝－3，∴D(0，4)或(－3，4)；②当∠ODF＝90°时，∵∠DOF＝45°，∴∠DFO＝45°，∴DF＝DO，如解图③，过点D作DR⊥x轴于点R，过点F作FW⊥DR交RD的延长线于点W，则易证△FWD≌△DRO，设点D的坐标为(n，－n2－3n＋4)，则点F的坐标为(n2＋4n－4，－n2－2n＋4)，又∵点F在直线AC上，∴n2＋4n－4＋4＝－n2－2n＋4，解得n＝eq\f(－3±\r(17),2)，∴D(eq\f(－3＋\r(17),2)，2)或(eq\f(－3－\r(17),2)，2)，综上所述，点D的坐标为(0，4)或(－3，4)或(eq\f(－3＋\r(17),2)，2)或(eq\f(－3－\r(17),2)，2).第11题解图12.解：(1)把A(－1，0)，C(0，5)代入抛物线y＝－x2＋bx＋c中，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1－b＋c＝0,c＝5))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝4,c＝5))，∴y＝－x2＋4x＋5＝(－x－1)(x－5)，∴B(5，0)，即m＝5；(2)设点D的坐标为(n，－n2＋4n＋5)，则点G的坐标为(n，0)，∴DG＝－n2＋4n＋5，∵DE∥x轴，∴点D与点E关于对称轴对称，由(1)知抛物线的对称轴为直线x＝2，∴DE＝2(n－2)＝2n－4，由题意知四边形DEFG为矩形，∴周长为2(DE＋DG)＝2(2n－4－n2＋4n＋5)＝－2n2＋12n＋2＝－2(n－3)2＋20，∵－2<0，2<n<5，∴当n＝3时，四边形DEFG的周长最大，此时点D的坐标为(3，8)；(3)∵抛物线y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，∴M(2，9)，如解图，记抛物线的对称轴直线x＝2与BC交于点T，连接NT，由B(5，0)，C(0，5)得BC所在直线的解析式为y＝－x＋5，∴点T的坐标为(2，3)，∵OB＝OC，∴∠OCB＝45°，∴∠MTC＝45°，∵△MBC沿BC翻折得到△NBC，∴MT与NT关于直线BC对称，∴∠MTN＝2×45°＝90°且NT＝MT＝6，∴NT∥x轴，∴N(－4，3)，∴BN所在直线的解析式为y＝－eq\f(1,3)x＋eq\f(5,3)，∴Q(0，eq\f(5,3))，设P(2，a)，则PQ2＝22＋(a－eq\f(5,3))2，QB2＝52＋(eq\f(5,3))2，PB2＝32＋a2，∵△PQB是以QB为直角边的直角三角形，∴分以下两种情况：①当PQ⊥QB时，PQ2＋QB2＝PB2，即22＋(a－eq\f(5,3))2＋52＋(eq\f(5,3))2＝32＋a2，解得a＝eq\f(23,3)，∴P(2，eq\f(23,3))；②当PB⊥QB时，PB2＋QB2＝PQ2，即32＋a2＋52＋(eq\f(5,3))2＝22＋(a－eq\f(5,3))2，解得a＝－9，∴P(2，－9).综上所述，所有符合条件的点P的坐标为(2，eq\f(23,3))或(2，－9).第12题解图13.解：(1)将A(1，0)，B(0，3)代入y＝x2＋bx＋c中，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋b＋c＝0,c＝3))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－4,c＝3)).∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3；(2)m＜1或m＞3；【解法提示】当y＝0时，x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴当P在x轴上方时，m＜1或m＞3；(3)①抛物线对称轴为直线x＝－eq\f(b,2a)＝2，顶点坐标为(2，－1).当m＜2时，点P在对称轴左侧，最低点坐标为(m，2－m).即m2－4m＋3＝2－m.解得m1＝eq\f(3－\r(5),2)，m2＝eq\f(3＋\r(5),2)(舍去).当m≥2时，点P在对称轴上或对称轴右侧，最低点坐标为(2，－1).即2－m＝－1，解得m＝3，∴m的值为eq\f(3－\r(5),2)或3；②点Q的坐标为(2，1)或(2，－1)或(2，eq\r(5)).【解法提示】当m＝3时，P(3，0)，∴AP＝2，设对称轴直线x＝2与x轴交于点H.∴AH＝PH＝1.当QH＝1时，△APQ是等腰直角三角形．此时Q1(2，1)，Q2(2，－1)；当m＝eq\f(3－\r(5),2)时，∵△PAQ为等腰直角三角形，∴PA＝PQ，∠APQ＝90°，如解图，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥抛物线对称轴于点N，易证△PMA≌△PNQ，∴AM＝QN.当m＝eq\f(3－\r(5),2)时，P(eq\f(3－\r(5),2)，eq\f(1＋\r(5),2))，∴AM＝1－eq\f(3－\r(5),2)＝eq\f(\r(5)－1,2)，∴QN＝eq\f(\r(5)－1,2)，∴Q(2，eq\r(5)).综上所述，点Q的坐标为(2，1)或(2，－1)或(2，eq\r(5)).第13题解图14.解：(1)把A(－1，0)，C(0，3)代入y＝－x2＋bx＋c中，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1－b＋c＝0,c＝3))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝2,c＝3))，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.∴抛物线对称轴为直线x＝－eq\f(b,2a)＝1；(2)∵抛物线对称轴为直线x＝1，C(0，3)，点D与点C关于对称轴对称，∴点D的坐标是(2，3)，如解图①，过点D作DL⊥直线x＝1于点L，记抛物线对称轴与x轴交于H，第14题解图①∴∠DLP＝90°，∴∠LPD＋∠LDP＝90°，∵∠BPD＝90°，∴∠LPD＋∠BPH＝90°，∴∠LDP＝∠HPB，∵∠PHB＝90°，∴△DLP∽△PHB，∴eq\f(DL,PH)＝eq\f(LP,HB)，∵y＝－x2＋2x＋3，∴当y＝0时，解得x1＝－1，x2＝3，∴点B的坐标是(3，0).设P(1，m)，∵HL＝3，PH＝m，∴PL＝3－m，又∵DL＝1，BH＝3－1＝2，∴eq\f(1,m)＝eq\f(3－m,2)，∴m＝1或2，∴P的坐标为(1，1)或(1，2)；(3)点M的横坐标为3＋eq\f(\r(3),3)或3－eq\f(\r(3),3).【解法提示】设对称轴交x轴于点H，以A为圆心，AB的长为半径画弧，交对称轴于点E，则AE＝AB，由题意知AH＝2，AB＝AE＝4，∴∠BAE＝60°，∴△ABE是等边三角形．当△BMN为等边三角形时，分类讨论如下：①当点M在x轴的下方时，点N在x轴下方，如解图②，连接AN，ME，∵△BMN，△ABE为等边三角形，∴BN＝BM，AB＝BE，∠MBN＝∠ABE＝60°，∴∠ABN＝∠MBE，∴△ABN≌△EBM(SAS)，∴AN＝ME，∵点N在抛物线的对称轴上，∴AN＝BN，∴BN＝ME＝BM，又∵AB＝AE，∴AM垂直平分BE，设直线AM交对称轴于点F，∴∠FAH＝eq\f(1,2)∠BAE＝30°，∴FH＝AH·tan30°＝2×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(2\r(3),3)，∴点F的坐标为(1，－eq\f(2\r(3),3))，设直线AM的解析式为y＝k1x＋b1，将点A、F的坐标代入得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－k1＋b1＝0,k1＋b1＝－\f(2\r(3),3)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝－\f(\r(3),3),b1＝－\f(\r(3),3)))，∴直线AM的解析式为y＝－eq\f(\r(3),3)x－eq\f(\r(3),3)，联立直线AM和抛物线的解析式eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(\r(3),3)x－\f(\r(3),3),y＝－x2＋2x＋3))，解得x1＝－1(舍去)，x2＝3＋eq\f(\r(3),3)，此时点M的横坐标为3＋eq\f(\r(3),3)；第14题解图②如解图③，当点M在x轴的上方时，点N在x轴上方，连接AM，BE，∵△BMN，△ABE为等边三角形，∴BN＝BM，AB＝BE，∠MBN＝∠ABE＝60°，∴∠ABM＝∠NBE，∴△ABM≌△EBN(SAS)，∴∠MAB＝∠BEN，又∵AB＝AE，EH⊥AB，∴∠BEH＝eq\f(1,2)∠AEB＝30°，∴∠MAB＝30°，设直线AM交对称轴于点G，∵AH＝2，∴GH＝AH·tan30°＝2×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(2\r(3),3)，∴点G的坐标为(1，eq\f(2\r(3),3))，设直线AG的解析式为y＝k2x＋b2，将点A、G的坐标代入得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－k2＋b2＝0,k2＋b2＝\f(2\r(3),3)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2＝\f(\r(3),3),b2＝\f(\r(3),3)))，∴直线AG的解析式为y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\f(\r(3),3)，联立直线AG和抛物线的解析式eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(\r(3),3)x＋\f(\r(3),3),y＝－x2＋2x＋3))，解得x3＝－1(舍去)，x4＝3－eq\f(\r(3),3)，此时点M的横坐标为3－eq\f(\r(3),3).综上所述，满足条件的点M的横坐标为3＋eq\f(\r(3),3)或3－eq\f(\r(3),3).15.解：(1)把A(0，－4)，B(4，0)代入y＝eq\f(1,2)x2＋bx＋c中，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝－4,8＋4b＋c＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－1,c＝－4))，∴该抛物线的函数表达式为y＝eq\f(1,2)x2－x－4；(2)如解图，设PD交直线AB于点H.第15题解图易得△PCH是等腰直角三角形，∴PC＝PH.∴PC＋PD＝PH＋PD，∵A(0，－4)，B(4，0)，∴直线AB的函数表达式为y＝x－4，设点P(m，eq\f(1,2)m2－m－4)，则点D(m，0)，点H(m，m－4)，∴PH＋PD＝[(m－4)－(eq\f(1,2)m2－m－4)]－(eq\f(1,2)m2－m－4)＝－m2＋3m＋4＝－(m－eq\f(3,2))2＋eq\f(25,4)，∵－1＜0，∴当m＝eq\f(3,2)时，PH＋PD的最大值为eq\f(25,4).当m＝eq\f(3,2)时，eq\f(1,2)m2－m－4＝－eq\f(35,8)，∴PC＋PD的最大值为eq\f(25,4)，此时点P(eq\f(3,2)，－eq\f(35,8))；(3)符合条件的点N坐标为(－eq\f(1,2)，eq\f(13,8))，(－eq\f(15,2)，eq\f(13,8))，(eq\f(1,2)，eq\f(45,8)).由题意得，平移后的抛物线函数表达式为y＝eq\f(1,2)x2＋4x＋eq\f(7,2)，点E(－eq\f(7,2)，－eq\f(35,8))，∴对称轴为直线x＝－4，点F(0，eq\f(7,2)).设N(n，eq\f(1,2)n2＋4n＋eq\f(7,2))，①若四边形是以MF为对角线，则当EN与MF互相平分时，四边形MNFE为平行四边形．∴n＋(－eq\f(7,2))＝0＋(－4)，∴n＝－eq\f(1,2)，∴N(－eq\f(1,2)，eq\f(13,8))；②若四边形是以ME为对角线，则当FN与ME互相平分时，四边形MFEN为平行四边形．∴n＋0＝－eq\f(7,2)＋(－4)，∴n＝－eq\f(15,2)，∴N(－eq\f(15,2)，eq\f(13,8))；③若四边形是以EF为对角线，则当MN与EF互相平分时，四边形MFNE为平行四边形．∴n＋(－4)＝0＋(－eq\f(7,2))，∴n＝eq\f(1,2)，∴N(eq\f(1,2)，eq\f(45,8)).(①②③只需写出其中一种情况即可)16.解：(1)∵抛物线y＝ax2＋2x＋c的对称轴是直线x＝1，∴－eq\f(2,2a)＝1，解得a＝－1，∵抛物线过点B(3，0)，∴－9＋6＋c＝0，解得c＝3，∴抛物线解析式为y＝－x2＋2x＋3；(2)存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．令y＝0，则－x2＋2x＋3＝0，解得：x1＝3，x2＝－1，∴点A的坐标为(－1，0)，∴OA＝1，当x＝0时，y＝3，∴点C的坐标为(0，3)，即OC＝3，∴AC2＝OA2＋OC2＝10，设直线BC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，把点B(3，0)，C(0，3)代入得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3k＋b＝0,b＝3))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1,b＝3))，∴直线BC的解析式为y＝－x＋3，设点N(m，－m＋3)，∴MN＝－m＋3，AM＝m＋1，∴AN2＝(－m＋3)2＋(m＋1)2＝2m2－4m＋10，CN2＝m2＋(－m＋3－3)2＝2m2，分三种情况讨论：①当AC＝AN时，AC2＝AN2，10＝2m2－4m＋10，解得m＝2或0(舍去)，∴此时点N(2，1)；②当AC＝CN时，AC2＝CN2，10＝2m2，解得m＝eq\r(5)或－eq\r(5)(舍去)，∴此时点N(eq\r(5)，－eq\r(5)＋3)；③当AN＝CN时，AN2＝CN2，2m2－4m＋10＝2m2，解得m＝eq\f(5,2)，∴此时点N(eq\f(5,2)，eq\f(1,2)).综上所述，存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形，点N的坐标为(2，1)或(eq\r(5)，－eq\r(5)＋3)或(eq\f(5,2)，eq\f(1,2))；(3)存在，点F的坐标为(4，1)或(－2，1)或(2，eq\f(3＋\r(17),2))或(2，eq\f(3－\r(17),2)).【解法提示】∵点B(3，0)，C(0，3)，∴OB＝OC，∴BC＝3eq\r(2).设点E(1，n)，点F(s，t)，如解图①，当BC为边时，若点E在BC的上方，点C向右平移3个单位，向下平移3个单位得到点B，同样点E向右平移3个单位，向下平移3个单位得到点F，且BE＝CF；或点B向左平移3个单位，向上平移3个单位得到C，同样点E′向左平移3个单位，向上平移3个单位得到F′，且CE′＝BF′.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋3＝s,n＝t＋3,（1－3）2＋n2＝s2＋（t－3）2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(s＋3＝1,t＝n＋3,（1－0）2＋（n－3）2＝（s－3）2＋（t－0）2))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＝4,s＝4,t＝1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＝－2,s＝－2,t＝1))，∴此时点F的坐标为(4，1)或(－2，1)；当BC为对角线时，BC＝EF，且EF与BC的中点重合，如解图②，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1＋s,2)＝\f(3,2),\f(n＋t,2)＝\f(3,2),\r(（1－s）2＋（n－t）2)＝3\r(2)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＝\f(3＋\r(17),2),s＝2,t＝\f(3－\r(17),2)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＝\f(3－\r(17),2),s＝2,t＝\f(3＋\r(17),2)))，∴此时点F的坐标为(2，eq\f(3＋\r(17),2))或(2，eq\f(3－\r(17),2)).综上所述，存在点F，点F的坐标为(4，1)或(－2，1)或(2，eq\f(3＋\r(17),2))或(2，eq\f(3－\r(17),2)).第16题解图17.解：(1)∵直线y＝eq\f(4,3)x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点C，令x＝0，则y＝4，∴C(0，4).令y＝0，则x＝－3，∴A(－3，0).∵抛物线对称轴为直线x＝－1，∴x＝－eq\f(b,2a)＝－1，∴b＝2a.∴抛物线的表达式为y＝ax2＋2ax＋c.把点A(－3，0)，C(0，4)代入y＝ax2＋2ax＋c中，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9a－6a＋c＝0,c＝4))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(4,3),c＝4))，∴b＝2a＝－eq\f(8,3)，∴抛物线的表达式为y＝－eq\f(4,3)x2－eq\f(8,3)x＋4；(2)如解图①，过点D作DF⊥x轴，分别交AC，x轴于点E，F，∵A(－3，0)，C(0，4)，抛物线的对称轴为直线x＝－1，∴B(1，0)，∴OC＝4，AB＝4，OA＝3，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·OC＝eq\f(1,2)×4×4＝8.设D(m，－eq\f(4,3)m2－eq\f(8,3)m＋4)，则E(m，eq\f(4,3)m＋4)，∴DE＝(－eq\f(4,3)m2－eq\f(8,3)m＋4)－(eq\f(4,3)m＋4)＝－eq\f(4,3)m2－4m，∴S△ACD＝eq\f(1,2)×OA·DE＝eq\f(1,2)×3×(－eq\f(4,3)m2－4m)＝－2(m＋eq\f(3,2))2＋eq\f(9,2)(－3<m<0)，∵S四边形ABCD＝S△ACD＋S△ABC且S△ABC为定值，∴要使四边形ABCD面积最大，只要S△ACD的面积最大即可．∵－2＜0，∴当m＝－eq\f(3,2)时，S△ACD最大，最大值为eq\f(9,2)，∴S四边形ABCD最大＝S△ACD最大＋S△ABC＝eq\f(9,2)＋8＝eq\f(25,2).当x＝－eq\f(3,2)时，y＝5，∴点D的坐标为(－eq\f(3,2)，5)；第17题解图(3)存在点P，Q使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形．理由如下