老高考新教材适用2025版高考数学二轮复习送分考点专项练2复数平面向量

.复数、平面对量一、选择题1.(2024·广东梅州二模)复数z满意(1-3i)z=|2i|,i为虚数单位,则复数z的虚部为()A.-33 B.3C.-32 D.2.(2024·全国乙·理2)已知z=1-2i,且z+az+b=0,其中a,b为实数,则()A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-23.(2024·河北石家庄一模)若复数z=(1+2i)(a-i)在复平面内对应的点位于第四象限,则实数a的取值范围是()A.-1B.-C.1D.(-∞,-2)∪14.(2024·新高考Ⅱ·4)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>,则实数t=()A.-6 B.-5C.5 D.65.(2024·山东枣庄一模)设z1,z2是方程x2+x+1=0在复数范围内的两个不同解,则()A.|z1-z2|=2 B.|z1|=2C.z1+z2=1 D.z1z2=16.(2024·新高考Ⅰ·3)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记CA=m,CD=n,则CB=()A.3m-2n B.-2m+3nC.3m+2n D.2m+3n7.(2024·福建漳州二模)复数z满意|z-(5+5i)|=2,则z在复平面内对应的点所在的象限为()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限8.(2024·北京·10)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点,且PC=1,则PA·PB的取值范围是(A.[-5,3] B.[-3,5]C.[-6,4] D.[-4,6]9.(2024·广东广州三模)已知向量a=(3,-1),b=(1,-2),则下列结论错误的是()A.a·b=5 B.|a-b|=5C.<a,b>=π4 D.a∥10.(2024·山东滨州二模)欧拉公式eix=cosx+isinx(e为自然对数的底数,i为虚数单位)是由瑞士闻名数学家欧拉创立,该公式建立了三角函数与指数函数的关系,在复变函数论中占有特别重要的地位,被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式,下列结论错误的是()A.复数eiB.复数ei2在复平面内对应的点位于其次象限C.复数eiπ3D.复数eiθ(θ∈R)在复平面内对应的点的轨迹是圆11.已知正八边形ABCDEFGH,其中OA=2,则下列结论不正确的是()A.2OB+B.OA·OD=-C.|AH+EHD.|AH+GH|=4+12.(2024·广东三模)“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理,它包含三个结论,其中一个是相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.如图,已知圆O的半径为2,P是圆O内的定点,且OP=2,弦AC,BD均过点P,则下列说法错误的是()A.(OD+OB)·DBB.PA·C.OA·OC的取值范围是[D.当AC⊥BD时,AB·二、填空题13.写出一个同时满意下列条件的复数z=.

①|z|=5②复数z在复平面内对应的点在第四象限14.(2024·全国甲·理13)设向量a,b的夹角的余弦值为13,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b=.15.(2024·山东济宁三模)在边长为4的等边三角形ABC中,已知AD=23AB,点P在线段CD上,且AP=mAC+1216.(2024·天津滨海模拟)在北京冬奥会开幕式上,贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴,象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向将来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界(如图1),顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形ABCDEF(如图2).已知正六边形的边长为1,点M满意AM=12(AB+AF),则|AM|=;若P是线段图1图2

2.复数、平面对量1.D解析:因为(1-3i)z=|2i|,所以(1-3i)z=2,所以z=21-3i=22.A解析:∵z=1-2i,∴z=1+2i,∴z+az+b=1-2i+a(1+2i)+b=a+b+1+(2a-2)i=0,∴a+b+1=0,3.B解析:由题得z=(1+2i)(a-i)=a+2+(2a-1)i在复平面内对应的点(a+2,2a-1)在第四象限,所以a+2>0,2a-4.C解析:由题意得c=(3+t,4),cos<a,c>=cos<b,c>,故9+3t+16|c|×5.D解析:由方程x2+x+1=0,得Δ=1-4=-3<0,由求根公式得-1±不妨设z1=-12+32i,z2|z1-z2|=|3i|=3,故A错误;|z1|=-12z1+z2=-1,故C错误;z1z2=-12+32i-12-32i=6.B解析:如图.∵BD=2DA,∴AB=3AD,∴CB=CA+AB=CA+3AD=CA+3(CD又CA=m,CD=n,所以CB=-2m+3n.故选B.7.A解析:设复数z=x+yi(x,y∈R),因为|z-(5+5i)|=2,所以(x-5)2+(y-5)2=4,即复数z在复平面内对应的点在以(5,5)为圆心,以2为半径的圆上,所以z在复平面内对应的点所在的象限为第一象限.8.D解析:如图所示,以点C为坐标原点,CA,CB分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则C(0,0),A(3,0),B(0,4).∵PC=1,∴可设P(cosθ,sinθ),0°≤θ≤360°,∴PA·PB=(3-cosθ,-sinθ)·(-cosθ,4-sinθ)=-3cosθ-4sinθ+sin2θ+cos2θ=1-5sin(θ+φ),其中tanφ=34,∵-1≤sin(θ+φ)≤1,∴-4≤PA·9.D解析:a·b=3×1+(-1)×(-2)=5,故A正确;a-b=(2,1),|a-b|=22|a|=32+(-1)2=10,|b|=12+(-2)2=3×(-2)≠(-1)×1,故D错误.10.C解析:复数eiπ2=cosπ2+复数ei2=cos2+isin2,因为cos2<0,sin2>0,所以复数ei2在复平面内对应的点(cos2,sin2)位于其次象限,故B正确;复数eiπ3=cosπ3+isin复数eiθ=cosθ+isinθ(θ∈R)在复平面内对应的点为(cosθ,sinθ),因为cos2θ+sin2θ=1,所以复数eiθ(θ∈R)在复平面内对应的点的轨迹是圆,故D正确.11.D解析:由题意,分别以HD,BF所在的直线为x轴和y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,易知∠AOH=∠HOG=∠AOB=∠EOF=∠FOG=∠DOE=∠COB=∠COD=360°8=45°,作AM⊥HD,则因为OA=2,所以OM=AM=2,所以A(-2,-2).同理可得其余各点坐标,B(0,-2),E(2,2),G(-2,2),D(2,0),H2OB+OE+OG=(0+2-2,OA·OD=(-2)×2+(-2)×0=-2AH=(-2+2,2),EH=(-2-2,-2),AH+EH=(-4,0),所以|AHAH=(-2+2,2),GH=(-2+2,-2),AH+GH=(-4+22,0),|AH+GH|=(-4+212.C解析:连接OA,OB,OC,OD,OP,设弦DB的中点为S,连接OS,则OS⊥BD.故(OD+OB)·DB=2OS设直线PO与圆O交于点E,F,则PA·PC=-|PA||PC|=-EP·PF=-(OE-PO)·(OE+PO)=PO2-EO2取AC的中点M,连接OM,则OA·OC=(OM+MA)·(OM+MC)=OM2-MC2=OM2-(4-OM2)=当AC⊥BD时,AB·CD=(AP+PB)·(CP+PD)=AP·CP+PB·PD=-|AP||13.3-4i(答案不唯一)解析:不妨令z=3-4i,则|z|=32+(-4)2=5,复数z在复平面内对应的点(3,-4)位于第四象限,满意①②14.11解析:由题得,a·b=1×3cos<a,b>=1×3×13则(2a+b)·b=2a·b+|b|2=2+9=11.15.7解析:因为AD=23所以AP=mAC+12因为点P在线段CD上,所以P,C,D三点共线,m+34=1,即m=1所以AP=又△ABC是边长为4的等边三角形,所以|AP|2=14AC+12AB2=116|AC|2+14|AC||AB|cos60°+14|AB|16.12-34解析:由题可知|AB|=|AF|=1,<AB,则AM2=14(AB+AF)2=14(AB2+2AB·AF+设EP=λEC=λ(ED+DC)(0