统考版2025届高考数学全程一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第一节集合的概念与运算学生用书

第一节集合的概念与运算·最新考纲·1．了解集合的含义、元素与集合的属于关系．2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的详细问题．3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．4．在详细情境中，了解全集与空集的含义．5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简洁集合的并集与交集．6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．7．能运用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．·考向预料·考情分析：集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中常常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩(Venn)图，题型以选择题为主．学科素养：通过集合间的基本关系和基本运算考查数学抽象及数学运算的核心素养．必备学问——基础落实赢得良好开端一、必记3个学问点1．元素与集合(1)集合中元素的特性：________、________、无序性．(2)元素与集合的关系：若a属于A，记作________，若b不属于A，记作________．(3)集合的表示方法：__________、__________、图示法．(4)常见数集及其符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号____________________[留意]N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.2．集合间的基本关系自然语言符号语言Venn图集合间的基本关系子集集合A中的随意一个元素都是集合B中的元素(若x∈A，则x∈B)________真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中________集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集________空集空集是________集合的子集∅____A空集是________集合的真子集∅B且B≠∅3．集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的全部元素组成的集合A∩B＝{x|x∈A且x∈B并集由全部属于集合A或属于集合B的元素组成的集合A∪B＝{x|x∈A或x∈B}补集由全集U中不属于集合A的全部元素组成的集合∁UA＝{x|x∈U且x∉A}二、必明3个常用结论1．两个常用等价关系A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B2．集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅(2)A∪A＝A，A∪∅＝A(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.3．子集个数若集合A中含有n个元素，则它的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.三、必练4类基础题(一)推断正误1．推断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1，0，1}．()(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．()(3)方程x-2018＋(y＋2019)2＝0的解集为{2018，－2019}.()(4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．()(5)对于随意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(6)若A∩B＝A∩C，则B＝C(二)教材改编2．[必修1·P12A组T5改编]若集合P＝{x∈N|x≤2021}，a＝22，则()A.a∈P B．{a}∈PC.{a}⊆P D．a∉P3．[必修1·P12A组T10改编]设全集为R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁RB)＝________．(三)易错易混4．(忽视元素的互异性)已知集合A＝{1，3，m}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝()A.1 B．0或1或3C.0或3 D．1或35．(忽视空集的情形)已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是()A.－1 B．1C.－1或1 D．0或1或－16．(忽视集合运算中端点取值)已知集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．(四)走进高考7．[2024·全国甲卷理]设集合M＝{x|0＜x＜4}，N＝{x|13≤x≤5}，则M∩NA.{x|0＜x≤13}B．{x|13≤C.{x|4≤x＜5}D．{x|0＜x≤5}关键实力——考点突破驾驭类题通法考点一集合的基本概念[基础性]1．[2024·重庆一诊]已知集合A＝{x∈Z|x2＋2x－8<0}，B＝{x2|x∈A}，则B中元素个数为()A．4B．5C．6D．72．已知集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是()A．－1∉A B．－11∈AC．3k2－1∈A D．－34∉A3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝()A．92B．984．[2024·江苏天一中学模拟]设a，b∈R，集合P＝{x|(x－1)2·(x－a)＝0}，Q＝{x|(x＋1)(x－b)2＝0}，若P＝Q，则a－b＝()A．0B．2C．－2D．15．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．反思感悟解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是依据元素的特性(满意的条件)构造关系式解决相应问题．[提示]含字母的集合问题，在求出字母的值后，须要验证集合的元素是否满意互异性．(如题5)考点二集合间的基本关系[基础性、综合性][例1](1)[2024·大同市高三测试]已知集合A满意{0，1}⊆A{0，1，2，3}，则集合A的个数为()A．1B．2C．3D．4(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．一题多变1．(变条件)在本例(2)中，若“B⊆A”变为“BA”，则函数m的取值范围为________．2．(变条件)在本例(2)中，若“B⊆A”变为“A⊆B”，则实数m的取值范围为________．反思感悟(1)推断两集合关系的3种常用方法(2)依据两集合的关系求参数的方法[提示]题目中若有条件B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种状况进行探讨．【对点训练】1．[2024·黄冈中学、华师附中联考]已知集合M＝{x|x2－5x－6≤0}，N＝{y|y＝16x，A．M⊆N B．N⊆MC．M＝N D．M⊆(∁RN)2．[2024·河北张家口阶段模拟]已知集合A＝{x|x2＋2ax－3a2＝0}，B＝{x|x2－3x>0}，若A⊆B，则实数a的取值范围为()A．{0}B．{－1，3}C．(－∞，0)∪D．(－∞，－1)∪3．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B⊆A，则实数m的取值范围是________.考点三集合的基本运算[基础性、综合性]角度1集合的运算[例2](1)[2024·全国乙卷理]已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝()A．∅B．SC．TD．Z(2)[2024·合肥市高三检测]若集合A＝{x|x(x－2)>0}，B＝{x|x－1>0}，则A∩B＝()A．{x|x>1或x<0}B．{x|1<x<2}C．{x|x>2}D．{x|x>1}(3)[2024·山西省六校高三测试]已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－4<0，x∈Z}，集合B＝{x|x2－2x－3＝0}，则图中阴影部分表示的集合是()A．{0，1，3} B．{－2，0，1，2，3}C．{0，－1，－3} D．{－1，0，1，3}反思感悟集合基本运算的求解策略角度2利用集合的运算求参数[例3](1)已知集合A＝{－1，0，m}，B＝{1，2}．若A∪B＝{－1，0，1，2}，则实数m的值为()A．－1或0 B．0或1C．－1或2 D．1或2(2)[2024·贵阳市第一学期考试]设A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|2x－a≤0}，且A∩B＝{x|－1≤x≤1}，则a的值为()A．－2 B．2C．－4 D．4一题多变(变条件，变问题)在本例(2)中，若“A∩B＝{x|－1≤x≤1}”变成“A∪B＝{x|x≤2}”，则实数a的取值范围为________．反思感悟依据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系，若集合中的元素能一一列举，则用视察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要留意端点值能否取到．(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解．(3)依据求解结果来确定参数的值或取值范围．【对点训练】1．[2024·湖北武汉质检]已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，则∁RA＝()A．{x|－1<x<2} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1或x>2} D．{x|x≤－1或x≥2}2．[2024·宁夏石嘴山模拟]已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2－1≥0}，则图中阴影部分所表示的集合为()A．{－1} B．{0}C．{－1，0} D．{－1，0，1}3．已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|x>m}，若A∪B＝{x|x>1}，则()A．m≥1 B．1≤m<3C．1<m<3 D．1≤m≤3微专题❶追踪集合中的新定义交汇创新以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发觉”为目的．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题只是以集合为依托，考查考生理解、解决创新问题的实力．[例](1)[2024·河南新乡模拟]定义集合M⊗N＝{x|x∈M且x－1∈N}，已知集合A＝{x|x2＋3x－10<0}，B＝{x|－7<x<0}，则A⊗B＝()A．{x|－5<x<－1}B．{x|－7<x<2}C．{x|－5<x<1}D．{x|－5<x<0}(2)假如集合A满意若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x，0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________．解析：(1)由x2＋3x－10＝(x－2)(x＋5)<0，解得－5<x<2，即A＝{x|－5<x<2}，又B＝{x|－7<x<0}，所以A⊗B＝{x|－5<x<2且－7<x－1<0}＝{x|－5<x<1}．(2)由题意可知－2x＝x2＋x，所以x＝0或x＝－3.而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去；当x＝－3时，A＝{－6，0，6}，所以A∩B＝{0，6}．答案：(1)C(2){0，6}名师点评解决集合中新定义问题的两个关键点(1)紧扣新定义：新定义型试题的难点就是对新定义的理解和运用，在解决问题时要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清晰，并能够应用到详细的解题过程之中．(2)用好集合的性质：集合的性质是破解集合类新定义型试题的基础，也是突破口，在解题时要擅长从试题中发觉可以运用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．[变式训练1][2024·东北三校其次次考试]定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，则集合A*B的全部元素之和为()A．16 B．18C．14 D．8[变式训练2]设U＝{1，2，3}，M，N是U的子集，若M∩N＝{1，3}，则称(M，N)为一个“志向配集”，则符合此条件的“志向配集”的个数(规定(M，N)与(N，M)不同)为________．第一章集合与常用逻辑用语第一节集合的概念与运算积累必备学问一、1．(1)确定性互异性(2)a∈Ab∉A(3)列举法描述法(4)NN*(或N＋)ZQR2．A⊆B或B⊇AAB或BAA＝B任何⊆任何非空三、1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√(6)×2．解析：因为a＝22不是自然数，而集合P是不大于2021的自然数构成的集合，所以a∉P.答案：D3．解析：因为集合B＝{x|x≥1}，所以∁RB＝{x|x<1}，所以A∩(∁RB)＝{x|0<x<1}．答案：{x|0<x<1}4．解析：由B⊆A，得m＝3或m＝m，解m＝m得m＝0或m＝1，由集合元素的互异性知m≠1，所以m＝0或m＝3.答案：C5．解析：由M∩N＝N，得N⊆M，当N＝∅时，a＝0；当N≠∅时，1a＝a，解得a＝±1，故a答案：D6．解析：因为集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，所以B⊆A，所以m≥3.答案：[3，＋∞)7．解析：M∩N＝x1答案：B提升关键实力考点一1．解析：A＝{x∈Z|x2＋2x－8<0}＝{x∈Z|－4<x<2}＝{－3，－2，－1，0，1}，B＝{x2|x∈A}＝{0，1，4，9}，故B中元素个数为4.答案：A2．解析：当k＝0时，x＝－1，－1∈A，所以A错误；令－11＝3k－1，得k＝－103∉Z.所以－11∉A，所以B错误；因为k∈Z，所以k2∈Z，则3k2－1∈A，所以C正确；令－34＝3k－1，得k＝－11，所以－34∈A答案：C3．解析：若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a＝0时，x＝23，符合题意；当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝98.所以a的值为0或答案：D4．解析：由题意得P＝1，a，a≠1，1，a=1，Q＝-1，b，b≠-1，-1，b=-1.所以当且仅当a＝－1，b＝1时，P＝答案：C5．解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－32.当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，依据集合中元素的互异性可知不满意题意；当m＝－32时，m＋2＝12，而2m2＋m＝3，符合题意，故m答案：－3考点二例1解析：(1)由题意可知A可能为{0，1}，{0，1，2}，{0，1，3}，则满意条件的集合A的个数为3.(2)∵B⊆A，∴①若B＝∅，则2m－1<m＋1，此时m<2.②若B≠∅，则2m-1≥m+1，m+1≥-2，2m-1≤5，解得2≤由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为(－∞，3].答案：(1)C(2)(－∞，3]一题多变1．解析：∵BA，∴①B＝∅，成立，此时m<2；②若B≠∅，则2m-1≥m+1，m+1≥-2，2m-1≥m+1，m+1>-2，由①②可得m的取值范围为(－∞，3].答案：(－∞，3]2．解析：若A⊆B，则m+1≤-2，2m-1≥5，即m≤-3，m≥3.明显无解，所以m的取值范围为答案：∅对点训练1．解析：由x2－5x－6≤0得－1≤x≤6，即M＝[－1，6]；由y＝16x，x≥－1得0<y≤6，即N＝(0，6]，所以N⊆答案：B2．解析：由不等式x2－3x>0，解得x<0或x>3，即B＝(－∞，0)∪由x2＋2ax－3a2＝(x＋3a)(x－a)＝0，解得x＝a或x＝－3a，当a＝0时，可得集合A＝{0}，此时不满意A⊆B；当a≠0时，可得集合A＝{a，－3a}，若a>0，要使得A⊆B，则满意-3a<0，a若a<0，要使得A⊆B，则满意a<0，-3a综上所述，实数a的取值范围是(－∞，－1)∪答案：D3．解析：∵B⊆A，①当B＝∅时，2m－1>m＋1，解得m>2，②当B≠∅时，2m-1≤m+1，解得－1≤m≤2.综上，实数m的取值范围是[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)考点三例2解析：(1)在集合T中，令n＝k(k∈Z)，则t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集合S中，s＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T⊆S，所以T∩S＝T.(2)(通解)因为A＝{x|x(x－2)>0}＝{x|x>2或x<0}，B＝{x|x－1>0}＝{x|x>1}，所以A∩B＝{x|x>2}．(优解)因为32∉A，所以32∉(A∩B)(3)由题意知A＝{－1，0，1}，B＝{－1，3}，则A∩B＝{－1}，A∪B