清华微积分高等数学课件第一讲函数

课程简介本课程是高等数学的基础，主要介绍函数的概念、性质、图像及其应用。课程内容丰富，涵盖了微积分的基本概念、方法和应用，例如函数的极限、导数、积分以及它们的应用。dsbydrfthgfthsdfgvd集合与函数的基本概念集合集合是数学中最基本的概念之一。它是指具有某种共同属性的事物的总体。元素集合中的每个事物称为集合的元素，元素之间没有重复。集合的表示集合通常用花括号表示，例如{1,2,3}表示包含元素1,2,3的集合。函数函数是将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素的对应关系。函数的表示函数通常用符号f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是因变量。定义域函数的定义域是指自变量x能够取值的范围。值域函数的值域是指因变量f(x)能够取值的范围。函数的性质1单调性函数的单调性指的是函数值随自变量变化的趋势。单调递增函数的函数值随着自变量的增大而增大，单调递减函数的函数值随着自变量的增大而减小。2奇偶性奇偶性指的是函数关于原点的对称性。奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称。3周期性周期性指的是函数图像在一定范围内重复出现的现象。周期函数的图像在一定范围内重复出现，周期是指图像重复出现一次的长度。4有界性有界性指的是函数的值在一定范围内变化。有界函数的值不会无限增大或无限减小，它有一个确定的上界和下界。函数的分类按定义域和值域函数可以根据其定义域和值域进行分类。例如，实值函数的定义域和值域都是实数集，而复值函数的定义域和值域则是复数集。按表达式函数还可以根据其表达式进行分类。例如，多项式函数、指数函数、对数函数和三角函数等。按性质此外，函数还可以根据其性质进行分类。例如，单调函数、周期函数、奇函数和偶函数等。常见函数的性质线性函数线性函数具有单调性，其图像为一条直线。二次函数二次函数具有对称性，其图像为一个抛物线。指数函数指数函数具有单调性，其图像可以是单调递增或单调递减。对数函数对数函数是指数函数的反函数，也具有单调性，其图像与指数函数关于直线y=x对称。反函数的概念与性质定义若函数f(x)在定义域D上单调，则它的反函数f-1(x)存在。反函数的定义域是f(x)的值域，值域是f(x)的定义域。f(x)和f-1(x)关于直线y=x对称。性质反函数是唯一的。反函数的图形是原函数图形关于直线y=x的对称图形。反函数的导数可以用原函数的导数来表示。应用反函数在数学和物理学中有着广泛的应用。例如，可以用来求解一些方程，可以用来描述一些物理现象，比如光线通过透镜的路径。复合函数的概念与性质复合函数的定义设函数$y=f(u)$的定义域为$D_f$，函数$u=g(x)$的定义域为$D_g$，且$g(x)$的值域$R_g$是$f(u)$的定义域$D_f$的子集，则称函数y=f(g(x))为由$u=g(x)$和$y=f(u)$复合而成的复合函数。复合函数的性质复合函数的定义域是满足$x\inD_g$且$g(x)\inD_f$的所有$x$的集合。复合函数的值域是$f(g(x))$当$x$取遍定义域时所取值的集合。复合函数的图像可以通过对$u=g(x)$和$y=f(u)$的图像进行变换得到。初等函数1定义初等函数是指由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算得到的函数。2基本初等函数基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数函数。3性质初等函数具有许多重要的性质，例如连续性、可微性、可积性等，这些性质在数学分析和应用领域中非常重要。4应用初等函数在自然科学、工程技术、经济管理等领域都有广泛的应用，例如描述物理现象、建立数学模型等。指数函数定义指数函数是指以常数为底，以自变量为指数的函数。图像指数函数的图像通常是一条单调递增的曲线，曲线的位置取决于底数的大小。应用指数函数在许多领域都有应用，包括人口增长、利率计算、放射性衰变等。对数函数定义对数函数是指数函数的反函数，用来表示一个数的底数。性质对数函数具有重要的性质，例如单调性、对称性和无穷大值。应用对数函数广泛应用于物理学、化学、工程学等领域。三角函数定义三角函数是描述直角三角形边角关系的函数。三角函数通常定义为直角三角形中，某个角的对边、邻边和斜边之间的比例关系。常见三角函数正弦函数(sin)余弦函数(cos)正切函数(tan)余切函数(cot)正割函数(sec)余割函数(csc)反三角函数定义与性质反三角函数是三角函数的反函数。它们用于求出角度值，已知其三角函数值。例如，arcsin(1/2)等于30度，因为sin(30度)等于1/2。常见反三角函数常见的反三角函数包括反正弦函数arcsin(x)、反余弦函数arccos(x)、反正切函数arctan(x)和反余切函数arccot(x)。图像与性质反三角函数的图像通常是曲线，它们的性质与三角函数密切相关。例如，arcsin(x)的图像是一条关于x轴对称的曲线，它在区间[-1,1]上单调递增。应用反三角函数广泛应用于数学、物理、工程学和计算机科学等领域，例如，用于求解三角方程、计算向量夹角、分析电路等。双曲函数定义双曲函数是类似于三角函数的函数，但它们的定义基于双曲线，而不是圆。这些函数包括双曲正弦(sinh)，双曲余弦(cosh)，双曲正切(tanh)，双曲余切(coth)，双曲正割(sech)和双曲余割(csch).性质双曲函数具有与三角函数相似的性质，例如奇偶性、周期性、导数和积分公式。它们还具有一些独特的性质，例如它们在某些情况下可以表示为指数函数的组合，并且它们在物理学、工程学和计算机科学等领域中有很多应用。双曲反函数反双曲正弦函数反双曲正弦函数，也称双曲反正弦函数，是双曲正弦函数的反函数。反双曲余弦函数反双曲余弦函数，也称双曲反正弦函数，是双曲余弦函数的反函数。反双曲正切函数反双曲正切函数，也称双曲反正切函数，是双曲正切函数的反函数。反双曲余切函数反双曲余切函数，也称双曲反正切函数，是双曲余切函数的反函数。函数的图像函数的图像是在平面直角坐标系中，以自变量为横坐标，因变量为纵坐标，描绘函数关系的图形。图像可以直观地展现函数的性质，例如单调性、奇偶性、周期性等。函数的图像可以帮助我们理解函数的性质，并进行函数的运算和求解。函数的平移、伸缩和对称平移函数图像沿着横轴或纵轴移动，通过改变自变量或因变量的值实现。伸缩函数图像沿着横轴或纵轴拉伸或压缩，通过改变自变量或因变量的值实现。对称函数图像关于横轴、纵轴或原点进行翻转，通过改变自变量或因变量的值实现。函数的极限概念1无限接近当自变量趋于某个值时，函数值无限接近某个常数，则称该常数为函数的极限。2不存在极限当自变量趋于某个值时，函数值无限接近不同的常数，或函数值无限增大或减小，则函数极限不存在。3极限的应用函数的极限是微积分的基础概念，用于研究函数的性质，例如连续性、导数、积分等。函数的连续性定义函数在某一点连续是指该点处的函数值等于该点处的极限值。如果一个函数在某一点不满足连续性定义，则称为该点不连续。重要性连续性是微积分中重要的概念之一。连续函数是可微的，这意味着可以求出其导数。连续函数在物理学、工程学和经济学中有很多应用。分类函数的连续性可以分为多种类型，例如，在某一点连续、在区间上连续、一致连续等。不同类型的连续性反映了函数在不同情况下的性质。间断点的分类可去间断点函数在该点存在极限，但函数值不存在或不等于极限值。图像上表现为一个空心点。跳跃间断点函数在该点左右极限存在但不相等。图像上表现为一个跳跃。无穷间断点函数在该点左右极限至少有一个为无穷大。图像上表现为一条垂直渐近线。函数的单调性单调递增函数在定义域内，随着自变量的增大，函数值也随之增大，则称该函数为单调递增函数。单调递减函数在定义域内，随着自变量的增大，函数值随之减小，则称该函数为单调递减函数。判断方法通过函数导数的符号来判断函数的单调性，导数大于零表示函数单调递增，导数小于零表示函数单调递减。应用单调性是研究函数的重要性质之一，可以帮助我们确定函数的极值、最值、拐点等。函数的最大值和最小值1定义函数在定义域内取得的最大值和最小值分别称为函数的最大值和最小值。2求法可以通过求导数、闭区间上的最值定理等方法求解函数的最大值和最小值。3应用函数的最大值和最小值在实际应用中有着广泛的应用，例如优化问题、极值问题等。4重要性函数的最大值和最小值是函数的重要性质，可以帮助我们理解函数的性质和变化规律。函数的周期性周期函数函数的周期性指的是函数在一定区间内重复出现相同形状的现象。周期函数的周期是指函数重复出现的最小区间长度。周期性与周期周期函数通常可以用三角函数来表示，而三角函数本身就是周期函数。函数的奇偶性奇函数对于定义域内任意x，都有f(-x)=-f(x)的函数称为奇函数。奇函数关于原点对称。偶函数对于定义域内任意x，都有f(-x)=f(x)的函数称为偶函数。偶函数关于y轴对称。函数的对称性轴对称函数图像关于某条直线对称，这条直线称为对称轴。例如，y=x^2的图像关于y轴对称。中心对称函数图像关于某一点对称，这个点称为对称中心。例如，y=sin(x)的图像关于原点对称。周期性函数图像在一定范围内重复出现，这个范围称为周期。例如，y=sin(x)的周期为2π。函数的渐近线水平渐近线当自变量趋于正负无穷时，函数值无限接近于一个常数，该常数即为水平渐近线的方程。垂直渐近线当自变量趋近于某个值时，函数值无限增大或无限减小，该值为垂直渐近线的方程。斜渐近线当自变量趋于正负无穷时，函数值与一个一次函数的差值无限接近于零，该一次函数即为斜渐近线的方程。函数的微分导数的概念导数是函数变化率的度量，表示函数在某一点处的斜率。导数的应用导数在物理学、工程学和经济学中有很多应用，例如求解速度、加速度和利润最大化问题。微分公式微分公式提供了计算导数的规则，例如求多项式函数、指数函数和三角函数的导数。微分的应用微分可以用来近似计算函数的值，求解函数的极值，以及研究函数的图形。函数的积分1积分的概念积分是微分的逆运算，用来求函数的原函数，表示函数曲线与坐标轴之间所围成的面积。积分是一个累加的过程，是对无穷多个微小量进行求和。2积分的分类积分分为定积分和不定积分。不定积分是指求一个函数的所有原函数，而定积分是指求函数在某一区间上的积分值，代表函数曲线与坐标轴之间所围成的面积。3积分的应用积分在科学和工程领域有着广泛的应用，例如计算面积、体积、质量、重心等。积分也是理解和解决微分方程的关键工具。4积分的性质积分具有线性性质，即积分的和等于各部分积分之和。积分也具有可加性，即在两个区间上的积分等于分别在两个区间上的积分之和。基本积分公式常见基本积分公式基本积分公式是微积分中最重要的公式之一，它可以帮助我们求解各种积分问题。它定义了某些基本函数的积分形式，可以通过简单的代换来进行计算。常数函数的积分：∫Cdx=Cx+C幂函数的积分：∫x^ndx=(x^(n+1))/(n+1)+C(n≠-1)指数函数的积分：∫e^xdx=e^x+C三角函数的积分三角函数的积分公式可以通过三角函数的导数关系进行推导，例如，正弦函数的积分公式：∫sinxdx=-cosx+C∫sinxdx=-cosx+C∫cosxdx=sinx+C∫tanxdx=ln|secx|+C不定积分的性质线性性不定积分运算满足线性性质，即常数倍和加减运算可以分别作用于被积函数。积分常数不定积分运算结果中包含一个任意常数，称为积分常数，体现了导数的唯一性。微积分基本定理不定积分与导数运算互为逆运算，体现了微积分的统一性与联系。重要公式一些基本函数的不定积分有相应的公式，例如常见函数的积分公式。定积分的概念与性质1定义定积分是用来计算函数曲线下方区域的面积的。2性质定