期中模拟试题（二）（解析版）-教案课件-人教版高中数学必修第二册

2020-2021学年高一数学下学期期中

模拟试题(二)

一.选择题

1.已知向量。4=(2,3),。月=(4,-1),尸是线段AB的中点，则尸点的坐标是

A.(2,-4)B.(3,1)C.(-2,4)D.(6,2)

【答案】B

【解析】由线段的中点公式可得。尸=：(。4+。2)=(3,1),故尸点的坐标是(3,1),

故选B.

2.若复数z满足(z—1)(1+。=2—27,则|z|=

A.72B.>/3D.75

【答案】D

【解析】由(z-l)(l+i)=2-2i，

z=1-2i,

则|2|="廿+(—2)2=亚.

故选D.

3.已知复数z满足z(l+2i)=|4—3，|(其中，为虚数单位)，则复数z的虚部为

A.-2B.-2zC.1D.i

【答案】A

【解析】由z(l+2i)=|4-3/1=W+(—3『=5,

复数z的虚部为-2.

故选A.

4.复数z1=-2zy的共辗复数的虚部为

i+尸

n.—ij----u.—

222

【答案】D

l-2zl-2z(l-2z)(l+z)31.

【解析】Z-z-==-I,

1+i31-i(l-z)(l+022

,_31.

•.z=—

2

复数z=上胃的共规复数的虚部为

1+z32

故选D.

5.已知向量。，6满足|=21a|=2,\2a-b\=2,则向量a,6的夹角为

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【解析】根据题意，设向量。，6的夹角为。，

若|b|=2|a|=2,贝力方|=2,|。|=1,

若|2a-b|=2,则(2。-6)2=4a2-4a-b+b2=8-8cos6=4,

解可得cose=」，

2

又由0啜R180°,故6=60。,

故选C.

6.已知向量a=(-1,2),b=(2/77-1,1),且a_L6,则|a-2Z?|=

A.5B.4C.3D.2

【答案】A

【解析】向量。=(-1,2),6=(2利-U)，且。，6,

可得—(—2m—1)+2=0，角军得m=—，

2

所以万=(2,1),a-21=(-5,0),

所以|a-2b|=5.

故选A.

7.已知小，〃为两条不同的直线，a,月为两个不同的平面，则下列命题中正确的是

A.mua,nua,m!113,n110=a110B.all。，mcza,nu/3nmlIn

C.m.Lafm工n=nllaD.mlInyn.La=>m.La

【答案】D

【解析】加，"为两条不同的直线，a,分为两个不同的平面，

对于A,mua，nua，ml//3,〃//力=>a//6，也可能相交，所以A不正确；

对于3,a110,mua,"u/?n〃2//〃也可能异面，所以3不正确；

对于C,m±a,有可能〃utz,所以。不正确；

对于。，m!In,〃_La_Lor,满足直线与平面垂直的性质，所以。正确.

故选D.

8.四面体A—BCD中，面ABC,AB=BC=3,ZABC=120°,DC=8,则四面体A—BCD外

接球的表面积为

A.100万B.50%C.25TlD.9U

【答案】A

【解析】设AA5c外接圆的圆心为色，四面体A-BCD外接球的球心为O,半径为R,

连接O]C,。。1,OC,

由正弦定理可得———=2O,C,即O.C=—-—=3,OO,=-DC^4

sinABAC2sin30012

R=OC=JoQ+OO；=742+32=5,

即四面体A-BCD外接球的表面积为S=4万x52=100万,

故选A.

二.多选题

9.AA3C是边长为2的等边三角形，已知向量&力满足A3=2d,AC=2a+6,则下列结论正确的是

A.a是单位向量B.BC//bC.a.b=1D.BC_L(4“+b)

【答案】ABD

【解析】A.|AB|=2,.•.由AB=2a得，|a|=J~=1,二口是单位向量，该选项正确；

2

B.BC=AC-AB=2a+b-2a=b,BC//b,该选项正确；

2

一2..h

C.|AC|=2,|a|=1,.,.由AC=2a+6得，AC=4a"+4a>b+b~,BP4—4+4a^b+b2,a»b=Hl,

4

该选项错误；

D.BC=b,由上面得，BC^4a+b)=b-(4a+b)=4a-b+b2=0,BCL^a+b),该选项正确.

故选ABD.

10.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若匕=ccosA,角A的角平分线交BC于点

D,AD=1,cosA=-,以下结论正确的是

8

A.AC=-B.AB=8

4

cCD1D.AABD的面积为逆

BD84

【答案】ACD

【解析】因为〃=ccosA,

由正弦定理可得，sin6=sinCcosA=sin(A+C),

所以sinAcosC=0，

因为sinAw0,

所以cosC=0即C=」万，

2

14AC

8AB

由角平分线定理可得，—■,

ABBD8>

设AC=x,AB=8x,贝!|3C=3A/7X,CD=----x,

3

百『1,

RtAACD中，由勾股定理可得，x2+1

解可得％=—，BPAC=—,AB=6f

44

c_13,763_2777

AB。24832

所以SMBD=•

故选ACD.

D

AB

11.在正方体45CD-A4CQ中，N为底面ABCD的中心，P为线段A2上的动点（不包括两个端点），

以为线段AP的中点，则

A.CM与EV是异面直线

B.存在尸点使得PN//平面CGR。

C.平面R4N_L平面2DRA

D.过尸，A,C三点的正方体的截面一定是等腰梯形

【答案】BCD

【解析】对于A,因为C,N,A共线，又CN,尸”交于点A,即尸，M,N,C共面，因此CM与

RV共面，故选项A不正确；

对于3,当尸为A2的中点时，PN//平面CC]RD,故选项3正确；

对于C,AN±BD,AN工BB],BDBB、=B,BD,B与u平面

;.AN_L平面画，ANu平面FAN,

平面F4N_L平面耳，故选项C正确；

对于。，过尸，A,C三点的正方体的截面与GQ相交于点Q,则AC//PQ,且PQ<AC,因此一定

是等腰梯形，故选项。正确.

故选BCD.

12.在棱长为2的正方体ABCD-ABCQI中，E,尸分别为AB,AA的中点，则（）

A.BDVB.C

B.EF//平面

C.AC]_L平面BQC

D.过直线EF且与直线平行的平面截该正方体所得截面面积为应

【答案】BC

【解析】对于A,4C//A。，.,.NAD8是与gC所成角（或所成角）的补角，

\D=BD=\B,:.ZA,DB=6Q°,;.BD与四C不垂直，故A错误；

对于3,取AD中点G,连接FG,EG,则EG/ABD,FG//BB1,

EGfFG=G,BD「BB[=B,二平面EFG//平面DgB,

EFu平面£FG,.1EF//平面£>48,故3正确；

对于C，4Ci1BiDi'M-LBiDi>AGPM=A>

AG、A4,u平面441c1，

.•・42_L平面MG,AC|U平面MG，AQ±BjD,,

同理AC】_L4C,

BtDtBlC=Bl,BQ[、B]Cu平面耳AC,

;.AG_L平面BQC,故C正确；

对于。，取A4中点H,连接FH、EH,

则尸H//8Q,GF/!BBX,

FH[]GF=F,BB{=用,平面EHFG//平面BBRD,

BDtu平面BB.D.D,EPcz平面EHFG,

过直线EF且与直线BR平行的平面截该正方体所得截面为矩形EHFG,

GF=2,GE=-BD=-yj4+4=y/2,

22

过直线EF且与直线8口平行的平面截该正方体所得截面面积为S=2点，故£＞错误.

故选：BC.

三.填空题

13.已知i虚数单位，若复数z=工里(aeR)的虚部为-3,则|z|=

1+z

【答案】A/13

1—cii(1—Q，)(1—z)1—cii—i+(1—a)—(1—ci)i1—a1+tz.

【解析】1+i~(1+fXl-z)―-2—2-1

复数z=匕处(aeR)的虚部为-3,

1+i

1+"=—39解得a=5

2

了.z=-2—3z,

.'.|Z|=7(-2)2+(-3)2=713.

故答案为：A/13.

14.已知向量。=(：,-弓)，若向量6与。反向，且|6|=2,则向量b的坐标是.

【答案】(-1,真)

【解析】因为：向量a=

.1a[=1,

向量6与々反向，且|6|=2

b=-2a=(-1,\/3).

故答案为：

15.已知向量方=(肛3)»b=(1,-2),且(a+b)_L6,则“=.

【答案】1

【解析】根据题意，向量。=(S,3),b=(1,-2),则。+6=(%+1,1).

因为(a+6)_L6,所以(a+6>6=加+1-2=0,解得m=1,

故答案为：1.

16.直三棱柱ABC-ABC的各顶点都在球o的球面上，且AB=AC=1，■BC=A/5，若球O的表面积为20万,

则这个三棱柱的体积为.

【答案】A/3

【解析】设AABC和△ABC的外心分别为。?，连接002,

可得外接球的球心。为002的中点，连接。4、OB、OC,。△、。波、OXC,

AB?+AC2—BC2

AABC中,cosA=

2ABAC2

A£(0,7T),A=--f

3

根据正弦定理‘得枷c夕卜接圆半径。4盖=1

球。的表面积为20万，4万尺2=20万，R=也,

RfZ\OQA中，00=,04_。阂=2,可得002=200=4,

直三棱柱ABC-44G的底面积SMBC=|AB-ACsing=亨，

直三棱柱ABC-A耳G的体积为5AA和x002=唐.

故答案为：也.

17.已知复z=a+6i(a,6eR)满足z+3i为实数，上为纯虚数，其中i是虚数单位.

2-i

(1)求实数。，6的值;

(2)若复数4=彳+2机+(加2-5)i在复平面内对应的点在第四象限，求实数机的取值范围.

【答案】⑴<"=一5；⑵(|,A/2).

Z?=-3

【解析】(1)由z=a+罚£R),得z+3i=a+(>+3)i,

za+bi(a+bi)(2+z)2a-ba+2b.

--=---=-------=----1---1j

2-i2-i(2—i)(2+i)55

8+3=0_3

再由题意可得：<2a-b=0解得"一5

〃+26w0b=—3

4

(2)由(1)得,z=一一+3i,

2

3

贝！IZ]=5+2m+(m2—5)i=——+3i+2m+(m2—5)i

3

=(2m——)+(m2-2)i,

一3

2m—>0日3/r-

则2，即一<zn<，2.

m2-2<04

18.已知复数4=1-2,，Z2=3+43i为虚数单位.

(1)若复数z+*2在复平面上对应的点在第四象限，求实数。的取值范围;

(2)若2=五，求z的共朝复数彳.

Z2

【答案】(1)-)；(2)z=--+-i.

3255

【解析】⑴复数Z1=l-2i,z2=3+4n

所以Z]+az?=(l-2i)+(7(3+4i)=(l+3(7)+(4a—2)i；

由该复数在复平面上对应的点在第四象限,

1+3。〉0

所以

4。一2<0

解得-U

32

所以实数〃的取值范围是(-：，；)；

(2)化简z=五=g=I一「)(3-旬==：,

22

z23+4i3-(4Z)2555

z的共在复数彳=-』+乙.

55

19.(1)设,，4是正交单位向量，如果0A=2弓+m02，0B=—e?，0C=5ex-e2,若A、B、C三

点在一条直线上，且相=2〃.求机、〃的值.

3

(2)已知。4=(2,3),05=(6,—3),点尸在线段班的延长线上，且|AP|='|P5|,求点尸坐标.

4

m=1

-rm=w

【答案】(1)1或；(2)P(-10,21).

n=——〃二5

I2

【解析】(1)以。为原点，,，%的方向分别为x,y轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy,

则。4=(2,加)，0—),<9C=(5,-1),

/.AC=(3,-1-m),BC=(5-0),

又，A,B,。三点在一条直线上,

...AC//BC,

.\3x0-(-1-m)(5-n)=0，与m=2〃联立,

m=-l

m=10

解得1或

n二——n=5

2

(2)OA=(2,3),03=(6,—3),

A(2,3),B(6,-3),设尸(x,y),

丁点P在线段54的延长线上，且|AP|=3|P8|,

4

3

二.AP=——PB,

4

3

即(x-2,y-3)=-—(6-%,-3-y),

一3

x-2=—(x-6)

，＜4,解得x=-10,y=21.

3-

y-3=-(y+3)

I4

.■.P(-10,21).

20.如图，在四棱柱ABCD-A4GR中，四边形ABCD是边长等于2的菱形，ZADC=120°,A4,_L平面

ABCD,O,E分别是AC,/IB的中点，AC交DE于点”，点厂为HC的中点

(1)求证：。尸//平面4成)；

(2)若OF与平面ABCD所成的角为60。，求三棱锥A-位)片的表面积.

【解析】(1)连接由于点尸为HC的中点，。为AC的中点，所以o产//4/,

由于。尸仁平面AEG，A//U平面AED,

所以。尸//平面AED.

(2)连接BD,由于四边形ABCD为边长为2的菱形，ZADC=120°.

所以AABZ)为等边三角形.

所以4”=友，DE=V3,且

3

由于Ob与平面ABCD所成的角为60。，且Of7/A〃，

由于A4,_L平面TWCD,

则：141HA=60。，

所以A4,=2型=石，

由于朋_L平面ABCD,Z)Eu平面ABCD,

所以44,_LOE.

又DE工AB,AAX^AB=A,

A4,,ABu平面AAB4，

所以。E_L平面,

则：\EYDE,

所以三棱锥A-3的表面积为：Ix2x2+lxlx2+lx73x^+lxlx2xf=^4^

*2_：

21.已知AABC的内角A,B,C所对的边分别是〃，b,c,其面积S=^—-—-

4

(1)若Q=y/6，b=y/2，求COSB；

(2)求sin(A+3)+sin3cosB+cos(B-A)的最大值.

【答案】(1)叵;(2)9.

62

【解析】(1)s=l+°2-可得4csinA=^cos.

424

「.sinA=cosA,可得tanA=1,

AG(0,71),

,71

...A——

4

a=，b=，

二由正弦定理^=2,可得sin5=44=垃]2=，1,

sinAsinBaJ66

又，a>b,5为锐角，

/.cosB=yJl-sir^B=.

6

(2)A=-,