立体几何中体积问题-【题型·技巧培优系列】2022-2023年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第三册）（解析版）

专题07立体几何中体积问题

。常考题型目录

题型1公式法.......................................................................................1

题型2等体积法....................................................................................10

♦类型1图形内换顶点.........................................................................10

♦类型2利用平行线换顶点....................................................................20

♦类型3比例法...............................................................................27

♦类型4利用对称换顶点.......................................................................41

题型3割补法法....................................................................................43

Q知识梳理

求空间几何体的体积问题是立体几何中的一类重要题型.对于常规的简单空间几何体，我们可以直接运用公

式法进行求解；对于复杂的组合空间几何体，则需要灵活运用割补法、等体积法来求解.本文主要归纳了了

求空间几何体体积的三种常见办法：

公式法、等体积法，和割补法.

窗题型分类

题型1公式法

【方法总结】空间几何体的体积公式有很多，

^名称

表面积体积

几何体

柱体（棱柱和圆柱）s表面积=$侧+25底V=Sh

1

锥体（棱锥和圆锥）S表面积=5侧+S底V=~Sh

1

/=5($上+$下+

台体（棱台和圆台）5表面积=$侧+$上+S下

4

球S=4TT不

在求空间几何体的体积时，我们可以直接运用对应的公式进行求解.

【例题1](2023•全国•高一专题练习)如图，已知正三棱锥S-ABC的底面边长为2,正三棱锥的高SO

=1.

(1)求正三棱锥S-ABC的体积；

(2)求正三棱锥S-ABC表面积.

【答案】⑴当

(2)373

【分析】(1)由题意分别确定三棱锥的底面积和三棱锥的高即可确定其体积；

(2)连接CO延长交AB于E,连接SE,则E为AB的中点，分别求得底面积和侧面积，然后计算其表面

积即可.

【详解】(1)在正三蝇S-ABC中，4□□口=\sin60°=fx2x2xg,

所以。=g□&□□□-gx百x1=冬

(2)连接CO延长交AB于E,连接SE,则E为AB的中点，如图所示，

所以£70=V22-12=限口□屋□□=当,

在直角三角形SOE中，□口=娉）2+12=挚，

在AABS中，SA=SB,所以SE±AB,

所以么皿7=卜2、等=等，

则表面积为：3口足口口口+□△□□□=3x等+V3=3V3.

【变式1-1]1.（2023・全国•高一专题练习）如图，在正三棱锥O-.□□:□□=□□:2,

=□□=□□:V3.求□一口。木体积.

【答案】j

【分析】作出棱推的高，由勾股定理计算棱锥的高，体积公式计算体积.

【详解】过P作底面垂线，垂直为O,则。为底面三角形的中心，

连接AO并延长，交BC于N,

.'.0/7=V22-12=V3.

:・口□-□□□=gx；xgx|xV5=《.

【变式1-112.(2023・全国•高一专题练习)在四棱锥。一UULJU^,□□L平面□□□□,底面四边

形£7000为直角梯形，口口1口口，□□L□□，□□:口口=2,UD=□□=1,求四棱锥Z27-

【答案】1

【分析】根据已知条件因为0口1平面OOS,所以棱锥的高〃=口口=2,直接利用棱锥的体积公式求

值即可得解；

【详解】因为口口、平面口口□口,所以力=00=2,

因为□□L□□,口口=2,□□=□口=1,

又□口口□口—X口口+口口•□□=x(1+2)x1=|,

所以□=gDA=g□□口□□■□□-1

即四棱雉OZ7。。的体积为1.

【变式1-1]3.（2023・全国•高一专题练习）如图，在四棱锥口一口口口袋,□□工现□□□□,正

方形ooozjfi勺边长为2.□□=4,设a为侧棱口厅勺中点.求四棱锥。一口口口阖辍口;

【分析】根据给定条件，求出点E到平面£7。。中）距离，再利用锥体的体积公式计算作答.

【详解】因为在四棱锥口一DULJU^,□□工礴□□□□,正方形边长为2,□□=4,

。为侧棱。口勺中点，

所以，点平面距离方=；口口=2,

又因为匚归£7£7£7=4,

所以,四棱锥。-0005勺体积。=5□□口□口"=gx4x2=*

【变式1-1]4.（2023•陕西安康•陕西省安康中学校考模拟预测）如图，在四棱锥。-□□口袋,平面

£7ZZ7O1平面ABCD,Z7切/£7£7,Z7Z7=□□/□□□=45。，□□=2立，□□=4，口口=1，口口=

2V3.

（1）求四棱锥口一。口口。的体积；

（2）在线段PB上是否存在点M，使得口口〃平面PAD?若存在，求第勺值；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴苧

⑵存在，蝶3

4

【分析】Q)先证明平面ABCD,则PG为四棱推。-£700。的高，再应用体积公式□□-□□□□=

1

3口口，□□□口口；

(2)先过点C作□□“□性AB于点N过点N忤口□“□性PB于点M,再证平面27切/平面CMN,

最后得出比值成立即可.

【详解】(1)取AD的中点G,连接PG,GB,如图所示.

在4口口讲,口口=口口,G是AD的中点，所以口口.

又平面。平面ABCD,平面□□□0'^^□□□口=口口.ZZ7£7u平面PAD,

所以£70,平面ABCD,即PG为四棱锥。一0000的高.

又。Du平面ABCD,所以O£7_LDU.

在^□口卧,由余弦定理得

口存=口己+口已-cos/.□口口=(V2)2+42-2xV2x4xy=10,故£70=VlO.

在^,口口=2V5,□口=VW,口口1口口,所以口口=V2.

所以□□一□□口□—g□口，□□口□口=gxV5x=苧.

(2)过点C作。。〃口融AB于点N,则携=\,

过点N作口国PB于点M,连接CM,则携=\.

又因为£7O〃OO,Z7Z7u平面PAD,平面PAD,所以0々/平面PAD.

因为,OOu平面PAD,O0C平面PAD,所以口切/平面PAD.

又=口,□□,ODu平面CNM,所以平面£7。切/平面CMN.

又ODu平面CMN,所以OO//平面PAD.所以在PB上存在点M，使得。口//平面PAD,且器=

【变式1-1]5.（2023•全国•高一专题练习）如图，钙□□□□1^^口口口,/口□□=90。

直线AM与直线PC所成的角为60°,又□□=1,口口=2/70=2,乙□□口=90°.

（1）求证：，□□:

（2）求多面体口。。。。的体积.

【答案】（1）证明见解析；

磋

【分析】（1）根据题意和面面垂直的性质定理可得。口，平面0so即可得到证明；

（2）取BC的中点N,则S=；DD=1,连接MN,AN,由于直线AM与直线PC所成的角为60。，

府以4口口口=60°,根据题意，找出底面和高，并求出底面积，求出高，结合锥体的体积公式计算即可.

【详解】（1）因为平面ZZ7Z7。。！平面。平面□□□□□平面□□□=口口,

□口,OOu平面£7。。，

所以□□L平面□□□□,由口Uu平面口口口口,

得口口工

(2)取BC的中点N,则，连接MN,AN,

已知平面口口。。1平面口平面。DODc平面OZ7Z7=□□,△□□□=90°口u平面OZ7/7ZZ7,

•••□□L平面□□□,

又□□”□□,必□□”□□,且口口=□□,

•••oooa是平行四边形，奥\口口旧口.

所以N/7Z7O是直线AM与直线PC所成角的平面角，所以z□□口=60°,

在Rt&口口0^,口口=J口仃+口仃=V1+1=V2,

在RtADOB,tan60°=票=口口=—=噜=4，

口口tan60。V33

由题意知，多面体口。口。为四棱锥口一□□□□,

洪'□□□□□□=□□-□□□□=g,□□□□□=g口□+UD)-□口

1dl/CI八面乃

=-x1x-x(2+1)x-=—,

JNoO

即多面体的体积为言.

O

【变式1-1]6.(2023•四川成都统考二模)如图，三棱柱。口。-口1口[口1中,△口口口与4皿口

均是边长为2的正三角形，目□□】=V6.

（1）证明：平面O&&1平面。；

（2）求四棱锥O-勺体积.

【答案】（1）证明见解析

⑵2

【分析】（1）取&&的中点〃,连接。。，口、口,利用勾股定理证明aoi口口,易得a。，平面

口、口id,再根据面面垂直判定定理即可证明；

（2）由（1）可证明三棱柱的高，利用同底等高的椎体与柱体的关系，通过割补法即可求解.

【详解】（1）取a4的中点。,连接s,□、口.

口、口、口与△口□、&均是边长为2的正三角形，

:.□口±LJy口［,口、□!口、,□、□=□口=V3.

.•2口口口1为二面角口一口'口a的平面角.

=V6，:.口1ZJ2+□仃=口1仃「♦,□、口1口□.

因为口.L□□,□、□J_ZZZ|□、,□□n□、□、=ZZ71□□、□、u平•面□□、

所以&口-L平面□、口、口11又azz/u平面a&a,

「•平面ZZ7ZZ710rl_L平•面□、□、□、.

（2）□□□□-□、口、□、~□□-□、□、口、=2□□一

由（1）知，&DLJ,DDL・

□A□、□、=□,□、口,u平面ZZ7[□、□、i□、□u平■面□、□、□、]

；,口口_L平面□、□、.

・•・/7班三棱锥。一口口口的高.

:口、口、=；乂口△□、□、口、x£7/7=gx4x4xg=1♦

，四棱锥。一口□、□、曲体积为2.

题型2等体积法

【方法总结】等体积法是求空间几何体体积的常用方法，一般适用于求三棱锥的体积问题，就是将

三棱锥的底面和高更换,以确保三棱椎的体积不变.由于有些三棱锥的体积直接求解较为困难，我们不

妨更换其底面和高，选择一个易求出面积的底面和对应的高，这样便能快速求出三棱锥的体积.

♦类型1图形内换顶点

【例题2-1]（2023春•四川内江•高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知直棱柱。口口口-

□i口1口1口的底面ABCD为菱形，目口口=□口=口□=2,口&=V5,点％a4的中点.

Q）证明：幅□□□];

（2）求三棱锥O-。口。的体积.

【答案】（1）证明见解析

(2)1

【分析】（1）根据平行四边形的判定定理和性质，结合菱形的性质、线面平行的判定定理进行证明即可；

（2）根据菱形的性质、直棱柱的性质，结合线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式进行求解即可.

【详解】（1）连接AC交BD于点口，连接

在直四棱柱。/7叱7-&&&&中口

所以四边形。&为平行四边形，段口口旧1口1,uHUd

又因为底面ABCD为菱形，所以点孕AC的中点，

点班a4的中点，即点灰&&的中点，所以口叱口口,

即四边形口。a%平行四边形，所以口口旧1口,

因为&£7u平面平面ooa,,附以平面□□□、；

（2）在直棱柱。口。。一口［5d口中1平面&□】口,□、<=平面a□、d□、,

所以14&,

又因为上底面aaaa为麦形，所以w

因为ZZ7iZI7in□u平•面□,

所以功口、上平面Z74jD,

因为在△rJLJLJ^,口口=□□=口口=2,

目点口为BD的中点，所以。£7=旧一小或=6,即口1口=愿,

所以□□.□□口、=—g□>□□□，aO=gx；x2xV5xV5=1.

【变式2-1]1.(2022秋•湖南长沙•校考期中)如图正方体0-口1口1口1口1棱氏为1,上底面

□i□、&有一点E.

Q)经过点E在上底面上作一条直线与平面&J口。平行(直接作在图上)，并说明原因；

(2)设E为上底面&dd&的动点，求三棱锥口-口。中)体积.

【答案】Q)答案见解析

(2巳

【分析】(1)利用线面平行的性质定理找到这条线即可；

(2)利用等体积法求体积.

【详解】(1)

过E作,又因为OZ7C平面&&/7£7,u.□、口、□□，故口口\\平面口[□、口□,

如图.

(2)

由题意，1平面□□□□,

故三棱锥。一的底面为4□□□,高为,

利用等体积法得〃£7_£7£7£7=□口-口□口=口＞□□口,口口1=1x：X1=:

【变式2-1]2.（2023•全国•高一专题练习）如图，在四棱锥O-□□□为,底面。OOO是边长为2

的正方形，侧棱口。1底面OOZ7Z7,□□=□□,皿口中）中点族口□，DD^PB于点2求三棱

【分析】取OO中点。，连接易知%.目口口1底面00/7。，由此即可求出答案；

在^□□”,口、全锁为□□、£73点,

:.□为△勺中位线，

;.口口11口□,且口口=\□口,

又：口口=2,

:.□口=1

，：□□1底面Z7ZZ7OO,

:.□□1底面/7Z7L7ZZ7,

112

:=□□-□□□=§X]X2x2x1=

【变式2-1]3.(2021春・陕西西安・统考期末)如图,在四棱锥£7—□□□傥,

且底面口。。2是边长为2的正方形，口。=6,点M柱□□上,且口□；口口=2：1.

P

(1)求证：平面。。01平面£7。。；

(2)求三棱锥OOZJ0勺体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)j

【分析】(1)根据正方形对角线的性质，结合线面垂直、面面垂直的判定定理进行证明即可；

(2)根据三棱锥体积公式和等积性进行求解即可.

【详解】(1)••,底面OZ7O侬正方形，・•.OO1□口.

'：□□1底面□□口口,□□u底面□□□□,

■:UUc□□:口.£7。£7£7u平面£70/7,.1OZZ/JL平面ZZ7Z7/Z7.

又口□u平面□口□,

平面。Z7O1平面Z7OO;

(2),:口口；口口=2:1,.'.ZZ7ZZ7:口口=3：1.

又□口=6,口口1底面□□□口,

••・点M到底面OZ7Z7B]距离％=2.

:=□□-□□□=g□4□□□/=gxg（2x2）x2=g.

【变式2-1]4.（2023•河南郑州•统考二模）《九章算术》卷第五《商功》中有记载："刍叠者，下有袤

有广，而上有袤无广刍，草也，鲁，屋盖也翻译为"底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.

刍蔑字面意思为茅草屋顶，"现有"刍葭"如图所示，四边形EBCF为矩形口口=2DU=2口口=200=4,

且05LJU.

⑴若0是四边形EBCF对角线的交点，求证：£7。//平面GCF;

⑵若DU,且乙□□口=年，求三棱锥。一口口中）体积.

【答案】（1）证明见解析

⑵竽

【分析】（1）取线段中点H,连接£7口利用中位线定理得到目£7。，证明

四边形。。口。是平行四边形，犀\口口11口口,根据线面平行的判定即可证明；

（2）利用线面垂直的判定得到口。1面。g,利用三角形面积公式求出4〃〃〃=V3,利用等体积法代

入计算即可求解.

【详解】（1）在图中取线段0口中点H,连接。O。，如图所示:

BC

由题可知，四边形。口oa是矩形，目口口=2口口，

.­.0是辨殳中中点,；.口口11□□目□□=；□□,

又□□[【□□目□□=-口口,而口口11口0^口口=□□.

所以□□11口电口口=;口口,:.口口口近□□=口□,

二四边形是平行四边形，她口卬口口,由于平面□□□,UUu钙□□□,:.□□“礴

□□□.

（2）,：□□\□□,□□，,□□,□□c^UUU,£7£7n□□=.□□遹□□□,

4皿=；。0-S-si厚=；x2x2x苧=%,

所以□□-□□□=□□-□□□=g口5□□□,〃〃=gxgx4=竽，

即三棱锥。一。口球体积为竽.

【变式2-1]5.（2023•青海西宁统考二模）如图，在直角梯形ABCD中，口口\\口口,£701口□,四

边形CDEF为平行四边形，平面。口001平面ABCD,□□=2口□.

（1）证明:口口II平面ABE；

Q）若口口="□□=口口=2,乙□□□=三.求三臃口一口口木西只.

【答案】（1）证明见解析

⑵苧

【分析】（1）连接。侬£70于点。，取Z7B）中点口,连接02口口,根据条件证明四边形。口。与

平行四边形，然后得到DOV口，可；

(2)取Z7OQ勺中点为ZZ7,连接,依次证明OO,平面Z7Z7OZ7、口口1平面□□口口,然后可求出点£7

到平面勺距离，然后根据0ds£7=。£7_£7£70算出答案即可.

证明：连接〃。交。。于点口，取的中点。，超妾口口，口口,

因为四边形为平行四边形，所以£7为。厅勺中点，

密以HD=；口口,

因为£7。11口□,口□=2口口,耐以DD=□口,

所以四边形〃〃皿D平行四边形，所以口□〃□□,段□□口□□,

因为£7。u平面£700,£70C平面。0口，所以OZ7II平面ABE,

取。中)中点为£7,连接。O,

因为□□=口口=2,乙□□口=J所以△002为等边三角形，

所以0□=聪，,

因为平面。1平面ABCD,平面O。ZZ7。n平面ABCD=□□,口口仁钾口口口口.

所以□□工平面□□□□,所以点史1]平面0£7。中）距离为〃£7=V3,

因为口口11口□,□□《平面□□□□,口口匚钙□□□□,

期以□□〃平面□□□□,

所以点O到平面£7。0疗勺距离为。口=V3,

因为。。£7砥直角梯形，□□\、口□,□□L□□,□□=1,口口=2.

所以口也口=

所以口口-□□□=□□-□□□=gx1xV3=y-

【变式2-1]6.（2023春・河南•校联考阶段练习）如图，在四棱推口-□□□消,底面四边形ABCD

为矩形，2口口=2口口=00=2,平面ABCD,H为DC的中点.

（1）求证：平面OZZ7。1平面P0C;

（2）求三棱锥口-。口O体积的最大值.

【答案】Q）证明见解析

翅

【分析】（1）首先证明口□,再利用线面垂直的性质定理得OO1口□,最后利用面面垂直的判

定定理即可.

（2）通过转换顶点知当。口，口。时，△£7口中）面积最大，此时体积最大，代入数据计算即可.

【详解】（1）：2DD=口口，H为DC中点，

二口口—□口=□□,AZ□□□=Z□□□,Z□□□=Z□□□,

v4□□□+£□□□+乙□□□+乙□□□=n,

:.乙口口口+4口口口=三,

:，□口,

./7£71平面ABCD,£7£7u平面ABCD,

:，□口,

'：UUr\□□=U,ZZZZJu平面POC,ZZ7Ou平面POC,

.•.£7£71平面POC,

又,.,Z7Z7u平面DPO,

二平面CZ7OJL平面POC.

（2）由（1）可知OO_L口□，，点0在以CD为直径的圆上，

.,当口□、。。时,△Z7OO的面积最大，

又=□□-□□□I

.•・三棱锥口-口。。体积的最大值为

£7=-x□□x-x-x□□x□口=-x1x-x-x2x1=-.

3223226

【变式2-1]7.（2021春•陕西汉中•高一统考期末）如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，

001平面ABCD.

⑵若乙口□口=120°,\UU,口□=2,求三腌0一勺体积.

【答案】Q）证明见解析

【分析】（1）由已知线面垂直得。口，口口,再由菱形对角线垂直得线面垂直，从而可得证面面垂直；

（2）□□_□□□=□□.□□□，求出△口£70面积和高£7。，再由棱锥体积公式计算.

【详解】（1）证明：•・泗边形ABCD为菱形，

V平面ABCD,ZZ7Z7U平面ABCD,

---□□1□口.

•••UUc\□□=口,Z7Z7u平面BED,7u平面BED,

口口1平面BED.

又O£7u平面AEC,

平面OZJOJL平面BED.

（2）遗形ABCD中，由乙□□□=120°,□口=2,可得口口=口口=V3,□□=□□=1.

V□□1,

・•.在Rt△,可得£7ZZ7=□□=口口=V3.

由。£71平面ABCD,DOu平面ABCD,得£7Z71口□,

所以△DDZ7为直角三角形，

.,点E到平面AGD的距离0/7=d皿-口产=V2.

d□□口=g口口=^xV3x1=y,

=□□-□□□=g口4口□□,□口=gx'X遮=[.

♦类型2利用平行线换顶点

【例题2-2]（2023•江西校联考模拟预测）如图，三棱柱O0口一口1口1口1中,口口=口□=口1口=

口1口,庭。中]中点，口口11口□.

⑴证明：。1。1平面000；

②若□□=V2,点4到平面口口口。的距离为咚，求三棱锥口-&。1中）体积.

【答案】Q）证明见解析

（2）j

【分析】（1）根据口□,o是。a的中点得到。O_L.利用线面垂直的判定得到ooi平面

口□口进而得到OO1口3,再利用线面垂直的判定即可证明；

（2）根据线面垂直的判定得到0/7,平面O&Z7,进而得到面面垂直，利用面面垂直的性质，过点a作

□、口工于彘口,进而得到&O1平面,求出所需的各边长，进而计算即可求解.

【详解】（I）因为口口=口□,O是口。的中点，

所以。O_L,因为口口11口□,□□、n□□=口,口口1，口口匚礴,

所以£7£7,平面£7&D,又&Du平面£7口口,

所以S1&O,

因为。1〃=aa。是。小勺中点，所以aoi□口,

又因为口口1□［口,口口门口口=D,口□,口□U平面。,

所以平面Z7OZ7

（2）由（1）知\口口工口口,口口^口、口=£7,口口,口1口匚钾口,

所以£70,平面因为口口=□口=口、口=口、口,所以口口=J口，

取aa的中点。1,建妾,

可得。&H,所以平面Saa即为平面又口口匚平面□□□、□、,

所以平面4a1平面。,

过点口族口口工口口于氤口，则口1口1平面□□□、口、,

所以&口=》

在三棱柱口通口］中,四边形。口&&为平行四边形，

所以4口1口口=/,因为口口=口、口,

所以N4□□=4口口、口二?,所以&&=1,所以&£7=V2,

又因为£70=V2,所以00=1一

因为&£71平面DO。,

所以£7_林群"CCC7=!X!X00x00x0^=Jxlx2x1x1=1,

二俊谁5-LJUU3N

因为4棱锥ai-qZTlOH4棱锥么-£7Z7£7，所以？臃4-5。1£7=于

【变式2-2】1.（2023•全国•高一专题练习）如图，在三棱柱£700-44&中，△002为边长为2的

正三角形，2为。O的中点，□口、=2,且N4□□=60°,平面。4口口母面□□□.

G纥

A

Q）证明:口1口工□□:

（2）求三棱锥&-的体积.

【答案】Q）证明见解析

（2）1

【分析】（1）在△a。。中,利用余弦定理可求得ad2,根据勾股定理可证得&O_L□口,由面面垂

直和线面垂直的性质可证得结论；

（2）由面面平行性质可知点31!平面Di&a的距离即为点31）平面的距离，利用体积桥

,结合棱锥体积公式可求得结果・

【详解】（1）•••孕。B点，□口=2，:.口口=1,又□□]==2/口、□□=60°,

:.厅=口守+ZZZZZ^—2LJLJ-cosz口□口=3,L?+口已=口子,口、□!□口,

又平面□1平面□□□,平面UyUn平面□□口=□□,□、口u平面□、U,

••□_L平■圆□口□,又ZZ7Z^7u平面/Z7ZZ7ZZ7,□J.□

（2）由三棱柱结构特征可知：平面□□□“平面口通口1,

.•点平面心口、4的距离即为点史（।平面&&&的距离&。=vs,

又□、口、=口»□□口=^x2x2xy=V3,

□□、-□□、口、=□□-口、口、口、=g口4口、口、-□、□=三xWx聪=1.

【变式2-2]2.（2023•陕西咸阳•武功县普集高级中学统考二模）如图，直四棱柱。。。口一口、口]口【□】

的底面是菱形，〃&=8,0口=4,乙口□口=60°,U,口,口分别是〃口口[可中点.

⑴证明：O。/平面口£7。；

（2）求三棱锥。一体积.

【答案】（1）证明见解析

（2）873

【分析】（1）结合三角形中位线性质可证得四边形口OOO为平行四边形，根据线面平行的判定可证得结

论；

（2）结合平行关系和体积桥可知所求为口小&口〃，由线面垂直的判定可证得£7孕三棱锥口-口。，的

高，结合棱锥体积公式可求得结果.

【详解】（1）连接。口4。，

•••口,侬别为口出点，二口E&□[OZJS）中位线，:.□□旧、是口口=；口、口,

又以口3点，口,□]□=□□Ud口,□□=三口、口,

口口1口口,OZ7=S,•♦・四边形8022%平行四边形，

□□/口□,又Z7£7c平面&Z7Z7,0/7u平面口口。/平面。10〃

（2）由（1）得：口口呼面口1口口,•1■,

□□□□□、口、一工口口口一口4口、口、口一口4口口、口=32-4-8-8=12；

•••四边形口□口□为菱形”□□口=60°,磔。中）中点，：.□□】□□,

•••\□□「□□□□□、=£7,口5u平面。0。1口,

•••□□母面□□□】口、,则。乃三棱锥。一高，

"□口=V42-22=2V3,■<.□□=%□△口、aa,□口=gx12x2V3=8V3,

••・三棱锥。-40疗勺体积为8g.

【变式2-2]3.（2023•河南统考模拟预测）如图,□□□□-口口[d4是棱长为2的正方体,E是&&

的中点.

⑴证明：□□工□□:

（2）求三棱锥口-4口。的体积.

【答案】（1）见解析

【分析】(1)利用正方形性质和线面垂直的判定得00,1口口,再利用线面垂直的判定即

可；

(2)设。£7与DO交于点心连接&D.首先证明口£7〃平面口4口,再利用顶点转化法即可求出三棱锥

体积.

【详解】(1)因为四边形是正方形，所以口□.

在正方悻□□□□-ad口&中,，平面oooa

又□□U平面口□□口，丽以口口11口□.

又/Z7/Z?in□□=□>□u平面£7/Z7[□]口,□□u平■面□□、□‘

所以£701平面£74□、口又口口u平面£7a□【口

所以。OJ.

(2)设。口与口。交于点a连接&口,

在TF方体□□□□—□]□、□、□]中，口1□、且□□=口[ZZ7),

又aa分别是a&,口蜜勺中点，

:.口口I□]□,□口=□、口,

••・四边形4口。。是平行四边形，□□”□、口,

又ULJ仁平面口□、□,口、口u平面a

平面Z7Z7Q

文正方体□□□□-□、□、&的棱长为2,

□□-口、□□=□□-□□]□=□□-□□、口=□□「□□□=弓xx=-x2x-x2x2=-

♦类型3比例法

【例题2-3]（2023春河南周口•高三校考阶段练习）在直三棱柱OS-□、□[口曲，乙□□□=90°,

口口=□口=2,□□]=2V3,D在线段□□上,且&D.□口=3:1.

(1)求证：&ZZ71平面Z7OZZ7;

（2）求四棱锥口-。口&&的体积.

【答案】Q）证明见解析

(2)等

【分析】（1）由线面垂直和面面垂直的判定定理和性质定理即可证明；

11

=X

（2）由□□:口口=3;'知□□一□□□、□、=%□□「□□□Ri4-3-□□□□、口、,,求出□□□□、人,代入

即可得出答案.

【详解】(1)证明：在RtAan[J^,由=2V3,口口=2,得&。=4.

又0□:□□=3：1,£7=3,□口=1.

易证△□、□□一△□,□□，.二乙□[□□=4口、□口=90°,即&ZZ7_L□□,

又平面平面,平面0。。0平面/7。。14=IJU,

【□□I:.ACl平面□□□]□],而u^^UUUi,

由4/71□□,工□□,O£7n□口=口,0az7Z7u平面ACD,知平面ACD.

_111riri

(2)由口1□:□口=3c知□□-口口口、口［=-□口、-口口口、口、=jx3口口口口1口、,-<

而□□□□、□、=2&x2V3=4V6,号=V2

:•□□-□□□、口、=\x4V6xV2=誓

【变式2-3]1.（2023春•湖南长沙•高一长郡中学校考阶段练习）如图，直三根注口□□-□□口曲,

（1）当P为线段O4上的中点时，求三棱锥。-体积；

（2）当P在线段£7。上移动时，求□□+勺最小值.

【答案】（衅

⑵遍.

【分析】（1）由余弦定理求出口□=V3,即可求出8的面积，再由等体积法求解即可；

（2）根据平面展开图可确定。O+最小值即Z7O长,由三角形余弦定理求解即可.

【详解】（1）由已知可得sinN£7OO=9,

由余弦定理有2=1+口己-2口口3$乙□□口，得到OO=V3.

在4口□”,有口皿口=；・□□•DD-□□口=；X禽x1x曰=寺，

=2=2X3口4□口口X1=gXy=

（2）将4口□□[维口口梅凌到与△ooa同一平面（如图所示）,

连接。依ZZ7Z7于点4,此时OD+口。取得最小值，最小值即OO长.

在^□□□、中，□□[=V2,□口=V2,=2,

板口目+O[3=口民,取□□L‘吹口口口=90°,

又易知=450,故乙□□□=135°,

由余弦定理得D厅=1+2-2xV2x1xcos135°=5,所以0/7=V5,

（或者在△口口、中由勾股定理得V5）

故OZ7+勺最小值为伤.

【变式2-3]2（2023•陕西西安•校联考模拟预测即图，在三棱锥。-ULJLJ^侧面口口底面口口。,

乙口□口=乙□□口=150°,□口=□□=4,口口=4V3,□、啰别是£70、。牛中点.

（1）求证：□□工□□;

（2）求四棱锥。-勺体积.

【答案】Q）证明见解析

（2）273

【分析】C）在平面□□□内作□□上直线口仃于口、连接叨，根据三角形全等得到口口，即可

得到SJ■平面SO,即可得到S1口口,都雕即可得证;

（2）由（1）及题意可得。Z7_L底面,再由□□一□□口=□□-□□□=

□□-□□□=J□□-□□口=J□□-□□□、□□-□□□□=□□-□□□+。£7-£7£7£7及锥体的体积公式计算可得•

【详解】（1）在平面OOO内作口O1直线。£7于口连接。。，

“□□□=4□□□=150°,□□=□□=4,

:./□□□=z□□□=30°,

在△口口口与&DDD^,上□□口=乙□□□,□口=□□、□□=,

□□□与&S醒等，

：.乙□□□=4□□口=90°,即ZZ7ZZ7±口口,即£7£71口□,

1□□,□□1口口,口口门口口=口,口口,□□<^3^口口口,

二£7/271平面£700,又平面。口仍,：.□□工口□,

■：a侬别是00、口徜中点，得

（2）由（1）和题意知，侧面Z7OZZ71底面。£70,侧面ZZZDOn底面\u

平面□□□,

所以ZJZZ71底面ZZ7/Z7Z7,且□□二4sin30°=2,

•••%。中）中点，得口口=DH,又乙口□□与乙口口匚取卜，

・•・△£70木面积与40OBJ面积相等，

:=□□-□□□=\口口-口口曲<

又•••〃是口中］中点，得。点到平面OOO0勺距离与。点到平面002勺距离相等，

11

=2□□-□□□=4□□-□□绝।

由①②得□口_□□□□=+

=I□□一□□□=?xgxgx4V3x4xsin150°x2=2V3,

二四棱锥O-4勺体积为2g.

【变式2-3】3.（2023甘肃统考一模）如图甲所示的正方形£7。'Z7’i4中，口□「12,00=口口=

3,口口=口］口、=4,对角线DO；分别交□□［于氤口,D,将正方形0方。；口沿口口1,口口1折叠

使得口4与O'。；重合，构成如图乙所示的三棱柱Z7Z7O-.点、口^棱□□上,且□□=与

⑴证明：口□II平面Z7DO；

（2）求三棱锥口-D口量勺体积.

【答案】（1）证明见解析

⑵6

【分析】（1）过。作。。II口□,超差口口,.证明四边形。口。。为平行四边形，根据线面平行的

判定定理即可证明结论；

（2）根据三棱锥的等体积法，将三棱锥O-勺体积转化为求0-勺体积，结合二者之间的

数量关系，可得答案，

【详解】（1）证明：在图乙中，过Of乍口。II□□,交口方口,连接£7。,口口,

由于口£7II□□,则ZZ7OII□口,所以a口,D,侬面，

且平面□□□□c平面□□□=口□,

因为ZZ7ZZ7=3,□口=4,所以ZZ7Z7=口口—-口□=12—3—4=5,

•，TT

又在正方形£714中，N□□□=

所以OZZ7=ZZ7ZZ7=3,・•.口口—7,:・tan4□□口=：,

5

由口口=洋,得口口=m*=3=□口,

所以四边形。口口，为平行四边形，则DDII,

又口Uu平面□□□.□□色礴□□□,所以口□||平面£702.

（2）由（1）知\口|^=口^+ZZ7炉,所以ZZ7Z71,

因为口口=5,口口=岸,段□□日□□,

/—»3,3r—r3,3(—1

所以□□一□□□=-□□一□□口=-□□一□□口=y□□-□□□=7□□-□□□

311

=-x-x-x3ox4x7=6.

732

【变式2-3]4.（2023・山西统考模拟预测）如图①，在矩形。中，□口=2口口=242,皿□口

的中点，如图②，沿口。将△。口。折起，点。在线段口。上.

①