新教材2021-2022学年人教A版数学选择性必修二学案：第五章 5 . 3 导数在研究函数中的应用

5.3导数在研究函数中的应用

5.3.1函数的单调性

新课程标准学业水平要求

1.结合实例.借助几何仃.观「解函数的单调性可导数

1.借助教材实例「解函数的单调性9导数的关系.(数学抽象)

的关系.

2.能利用中数利断函数的单调性、求函数的单调区间.(数学运算)

2.能利用导数研究函数的单调性.

3.能利用导数研究与函数单调性相关的问题.(数学运算、逻辑推

3.对于多项式函数•能求不超过三次的多项式函数的

理)

单调区间.

必备知识•自主学习

1.函数的单调性与导函数值的正负有关系吗？如

果有，有何种关系？

导思

2.函数图象的变化趋势与导数值的大小有何关

系？

1,函数f(x)的单调性与导函数？(X)正负之间的关系

在某个区间(a,b)上的函数y=f(x)：

F(x)的正负f(x)的单调性

f(x)>0函数f(x)在(a,b)上单调递增

f(x)<0函数f(x)在(a,b)上单调递减

思考？

⑴如果在某个区间内恒有f(x)=0,那么函数f(x)有什么特性?

提示：f(x)是常数函数.

(2)在区间(a,b)内，f(x)>0是f(x)在(a,b)上为单调增函数的什么

条件？

提示：充分不必要条件，如f(X)=X3在(-00,+00)上单调递增，但f(X)

=3x2>0.

(3)若函数f(x)为可导函数，且在区间(a,b)上是单调递增(或递减)

函数，则？(x)满足什么条件？

提示：f(x)N0(或f(x)<0).

2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系

一个函数f(x)在某一范围内导数的绝对值为|f，(x)|,则

|f(x)|函数值的变化函数的图象

比较“陡峭’

越大在这一范围内变化得较快

(向上或1可下)

越小在这一范围内变化得较慢比较“平缓”

思考？

某一范围内函数图象比较陡峭，是否导数值就较大？

提示：不是•导数值有正有负，当函数在某一区间为增函数，且图象

较为陡峭时，其切线斜率即导数值越来越大；当函数在某一区间为减

函数，且图象较为陡峭时，其切线斜率即导数值为负值，其绝对值越

来越大，而导数值越来越小.

卜基础小测入

1.辨析记忆(对的打“小,错的打“X”).

⑴函数f(x)在区间(a,b)上都有f(x)<0,则函数f(x)在这个区间上单

调递减.(q)

提示：函数f(x)在区间(a,b)上都有f(x)<0,所以函数f(x)在这个区

间上单调递减，故正确.

⑵函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”.(x)

提示：切线的“陡峭”程度与肾x)|的大小有关,故错误.

⑶函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越

大.(4)

提示:函数在某个区间上变化的快慢，和函数导数的绝对值大小一致.

⑷判断函数单调性时，在区间内的个别点F(x)=O,不影响函数在此

区间的单调性.(4)

提示：若f(x)N000),则函数f(x)在区间内单调递增(减),故f(x)=O

不影响函数单调性.

2.(教材练习改编)函数f(x)=ex-x的单调递增区间为.

因为f(x)=ex-x,所以f(x)=ex-1.

由F(x)>0得，ex-1>0,即x>0.

所以f(x)的单调递增区间为(0,+00).

答案'(0,+oo)

3.求函数y=x2-4x+a的单调区间.

yz=2x-4,令y，>0，得x>2；令y，<0,彳导x<2,所以y=x2-4x

+a的增区间为(2,+oo),减区间为(-8,2).

关键能力•合作学习

类型一导数与函数图象的关系(数学抽象、数学直观)

题组训练、

1.函数y=f(x)的图象如图所示,贝！J()

A.f(3)>0B.f(3)<0

C.f(3)=0D.F(3)的正负不确定

选B.由图象可知，函数f(x)在(15)上单调递减，则在(15)上有F(x)<0,

故f(3)<0.

2函数y=f(x)的图象如图所示则导函数y=F(x)的图象可能是()

选D.因为函数f(x)在(0,+8),(-oo,0)上都是减函数，所以当x>0

时,f(x)<0,当x<0时，f(x)<0.

3.已知函数y=f(x)的图象如图所示，则函数y=P(x)的图象可能是

图中的()

y=fW

-1b

y=f'(x)y=f(x)

p«i-x4~A-

选c.由函数y=f(x)的图象的增减变化趋势判断函数y=f(x)的正、负

情况如表：

X(-1,b)(b,a)(a,1)

f(X)X/

F(x)-+-

由表可知函数y=F(x)的图象，当x£(-1,b)时，在x轴下方；当x

e(b,a)时，在x轴上方；当x£(a,1)时，在x轴下方.

:解题策略

通过图象研究函数的单调性的方法

①观察原函数的图象，重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函

数值的变化趋势；

②观察导函数的图象，重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数

的正负.

蜀【补偿训练】

1.已知y=F(x)的图象如图所示，则y=f(x)的图象最有可能是如图

所示的()

选C.本题考查根据导函数与原函数的关系判断图象增减的大致趋

势.由F(x)>0(f(x)<0)的分界点判断原函数在此分界点两侧的图象的

上升和下降趋势.由已知可得x的范围和F(x)的正、负，f(x)的增减

变化情况如表所示：

X(-00,0)(0,2)(2,+8)

F(x)+-+

f(x)XX

由表可知f(x)在(-8,0)上是增函数，在(0,2)上是减函数，在(2,+

oo)上是增函数，故满足条件的只有C.

2.设函数f(x)的图象如图所示，则导函数F(x)的图象可能为()

c

选C.因为f(x)在(-8,1),(4,+8)上是减函数,在(1,4)上为增

函数，所以当X<1或X>4时，f(x)<0；当1<X<4时，f(x)>0.

类型二利用导数求函数的单调区间(数学抽象、数学运算)

角度1不含参数的函数的单调性

【典例】函数y=x%x的单调递增区间为.

【思路导引】先求导数，再令导函数>0,解得的区间即为所求.

y'=2x-ex+x2ex=(x2+2x)ex,由yf>0,ex>0得x2+2x>0,即x>0或x<

-2.

答案：(-oo,-2),(0,+oo)

♦变式探究

在本例中条件不变，求其单调递减区间.

y'=2x-ex+x2ex=(x2+2x)ex,由y'<0,ex>0得x2+2x<0,即-2<x<0.

单调递减区间为(-2,0).

角度2…一含参数的函数的单调性—

【典例】讨论函数f(x)=X2-aInx(aNO)的单调性.

函数f(x)的定义域是(0,+oo),

a2x2-a

f(x)=2x--=---,设g(x)=2x2-a,由g(x)=0彳导2x2=a.当a

XX

=0时，f(x)=2x>0,函数f(x)在区间(0,+oo)上为增函数；

当a>0时，由g(x)=0得x=亨或x=-夸(舍去).

当xRo,与-J时，g(x)<0,即F(x)<0；

当x£(当^,+00时，g(x)>0,即f(x)>0.

所以当a>0时，函数f(x)在区间，，啕上为减函数,在区间

停，+00)上为增函数.

综上，当a=0时，函数f(x)的单调递增区间是(0,+oo)；当a>0时,

函数f(x)的单调递增区间是(夸，+J,单调递减区间是(0,啕.

:解题策略

含有参数的函数单调性问题的处理方法

⑴在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范

围，而且要结合函数的定义域来确定P(x)的符号，否则会产生错误.

(2)分类讨论是把数学问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问

题中，原先的不确定因素，就变成了确定性问题，当这些局部问题都

解决了，整个问题就解决了.

题组训练

1,函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是()

A.(-oo,2)B.(0,3)

C.(1,4)D.(2,+00)

选D.因为f(x)=e*x+(x-3)ex=(x-2)ex,

由f(x)>0得(x-2)ex>0,所以x>2.

所以f(x)的单调递增区间为(2,+oo).

2.讨论函数f(x)=2ax2+x-(a+l)lnx(aNO)的单调性.

a+1

函数f(x)的定义域为(0,+oo),f(x)=ax+1-——=

X

ax2+x-(a+1)

X

x-1

⑴当a=0时,f(x)=—A—.,由f(x)>0,得x>1,

由f(x)<0，得0<x<1.

所以f(x)在(0,1)内为减函数，在(1,+oo)内为增函数.

'a+lL1、

ax+—(x-1)

(2)当a>0时，f(x)=-----------------,

A

a+1

因为a>0,所以-一［<0.

d

由f(x)>0,得X>1,由f(x)<0,得0<X<1.

所以f(x)在(0,1)内为减函数，在(1,+8)内为增函数.综上所述，

当a>0时，f(x)在(0,1)内为减函数，在(1,+刃)内为增函数.

类型三与单调性有关的参数问题(数学运算、逻辑推理)

【典例】已知函数f(x)=x3-ax-1为单调递增函数，求实数a的取

值范围.

四

内容

步

理

条件：@f(x)=x3-ax-1

解

②f(x)为单调增函数

题

结论：求实数a的取值范围

意

思

路

f(x)为单调递增函数T?(X)NO恒成立一分离参数求a的范围

探

求

由已知得f(x)=3x2-a,

书因为f(x)在(-oo,+oo)上是单调递增函数，

写所以f(x)=3x2-a>0在(-co,+co)上恒成立,即a<3x2对x£R

表恒成立，因为3x2>0,所以只需a<0.

达又因为a=0时，f(x)=3x2>0,

f(x)=x3-1在R上是增函数,所以a<0.

题

后若函数f(x)在区间(a加上是单调递增(或递减)函数则f(x)沙(或

反f(x)<0).

思

♦解题策略

已知函数y=f(x)在(a,b)上的单调性，求参数的范围的方法

(1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,

b)是相应单调区间的子集；

(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f(x)>0；若

函数单调递减，则F(x)WO”来求解，注意此时公式中的等号不能省略,

否则漏解；

⑶分离参数法.由f(x)>0或f(x)<0将所求参数分离到一侧，另一侧

为不含参数的函数.只要求出其最值，即可求参数范围.

跟踪训练,

1.已知函数f(x)=-X3+ax12-X-115(-00,+00)上是减函数，贝！］实

数a的取值范围是()

A.(-8,-小］,［审，+8)B.［-小，小］

C.(-8,),(3,+8)D.(-小，3)

选B.f(x)=-3x2+2ax-1<0在(-oo,+<»)上恒成立，由A=4a2-12<0

得-小<a<y/3.

2.若函数y=a(x3-x)的单调递减区间为［坐，挈，则a的取值

范围是()

A.a>0B.-l<a<0

C.a>lD.0<a<l

选A.因为yf=3a［x2-

=3a(x-书|x+当,

当-当<x(坐时，(X-S(X+当<0,因为函数y=a(x3-X)在

[-¥，¥)上单调递减，所以y«0,即a>0,经检验a=0不合题意,

所以a>0.

课堂检测•素养达标

1.函数y=X，-2x2+5的单调递减区间为()

A.,-1],[0,1]B.[-1,0],[1,+8)

C.[-1,1]

选A.因为y'=4x3-4x=4x(x-l)(x+1),

所以令y'<0,则有x(x-l)(x+l)<0,可得x<-1或0<x<l,又因为端

点不影响单调性，所以函数y=x4-2x2+5的单调递减区间为(-8,

-1],[0,1].

司【补偿训练】

函数y=；x2-Inx的单调递减区间为()

A.(-1,1]B.(0,1]

C.[l,+oo)D.(0,+oo)

选B.函数y=1x2-Inx的定义域为(0,+<»),=x-=

(x-1)(x+1)

---------------，令y«0，贝U可得0<xSl.

2.侈选)设F(x)是函数f(x)的导函数，将y=f(x)和y=f(x)的图象画

在同一个直角坐标系中，正确的是(