第13讲 双曲线-【暑假预科讲义】2023年高一升高二数学暑假课（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）

第13讲双曲线

【人教A版2019】

模块导航

•模块-双曲线的标准方程

•模块二双曲线的简单几何性质

・模块三课后作业

1.双曲线的定义

双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数（小于IEFJ）的点的轨迹叫

作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.

2.双曲线的标准方程

双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：

双曲线在坐标

l/v,4/

系中的位置

Kil0*itX

>1\

标准方程

%一方=l(Q>0,b>0)—=1(a>0,匕>0)

焦点坐标£(-c,0),K(c,0)£(0,-c),K(0,c)

a,b,c的关系c2=a2+62

考点剖析

【考点1曲线方程与双曲线】

【例1.1］（2023•高二课时练习）当时<0时，方程a/-ay2=b所表示的曲线是（）

A.焦点在%轴的椭圆B.焦点在x轴的双曲线

C.焦点在y轴的椭圆D.焦点在y轴的双曲线

【解题思路】化简方程，然后判断表示的曲线即可.

【解答过程】当ah<0时，方程a/-ay2=b化简得笑一2=1，

...方程表示双曲线.焦点坐标在y轴上；

故选：D.

【例1.2](2023•全国•高二专题练习)"mn<O^^mx2+ny2=1为双曲线”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】先求方程+〃y2=1表示双曲线的条件，再根据两者相等关系确定充要关系.

【解答过程】因为方程小/+〃丫2=1表示双曲线，所以小几<(),

又当nm<0时，方程m/+ny2=1表示双曲线，

因此“mn<0”是“方程mx2+ny2=1表示双曲线”的充要条件.

故选：C.

22

【变式1.11(2023春・江西•高二校联考期中)若方程'—j=1表示双曲线,则实数m的取值范围为()

?71-52771-8

A.(5,+oo)B.(4,+℃>)

C.(4,5)D.(-oo,4)U(5,+00)

【解题思路】根据双曲线的标准方程列不等式求解.

【解答过程】方程壬一白=1表示双曲线，则(m-5)(2m-8)>0,解得m>5或m<4,

故选：D.

v2A.2

【变式1.2](2023秋•黑龙江哈尔滨•高二校考期末)设机为实数，若方程4+J=l表示焦点在x轴上

2-mm-1

的双曲线，则实数，〃的取值范围是()

33

A.-<m<2B.1<?n<-C.m>2D.m<1

22

【解题思路】根据焦点在X轴上的双曲线的方程特征列出不等式，从而可得答案.

【解答过程】因为方程尹+三=1表示焦点在X轴上的双曲线，

2-mm-1

所以12-吃解得m<l.

Im-1<0

故选：D.

【考点2利用双曲线的定义解题】

【例2.1](2023春.福建福州•高二校联考期中)设P是双曲线1―[=1上一点，B，B分别是双曲线左、

右两个焦点，若|PF/|=9,则IPF2I等于()

A.1B.17C.1或17D.8

【解题思路】先求出P点的位置，再根据双曲线的定义求解.

【解答过程】对于^—=1,a2=16,b2=20,c2=a24-&2=36,a=4,c=6，

1620

\PFr\=9<a+c,所以P点在双曲线的左支，则有仍尸2|-/&|=2。=8,・・.-尸21=17;

故选：B.

【例2.2]（2023・四川达州•统考二模）设月，尸2是双曲线C：?-9=1的左、右焦点，过F2的直线与C的

右支交于P,Q两点，则I&PI+I&QI-|PQ|=（）

A.5B.6C.8D.12

【解题思路】由双曲线的定义知|F/|-IPF2I=2a=4,\FtQ\-\QF2\=2a=4,则|&P|+\FrQ\-\PQ\=

\FtP\-\PF2\+IF1QI-IQF2I，即可得出答案.

【解答过程】双曲线C：--^=1,则a2=4,a=2,

43

由双曲线的定义知：|&P|-|PF2l=2a=4,|F】Q|—|QF2l=2a=4,

\PQ\=IPF2I+IQF2I，

所以|RP|+\FrQ\-\PQ\=|FiP|+\F1Q\-（\PF2\+IQF2I）

=\FlP\-\PF2\+\F1Q\-\QF2\=8.

故选：C.

【变式2.1]（2023秋・湖北•高二统考期末）已知双曲线C:?-9=1的左焦点为M为双曲线C右支上

任意一点，。点的坐标为（3,1）,则|MD|-IMF」的最大值为（）

A.3B.1C.-3D.-2

【解题思路】由双曲线定义把|M&|转化为M到右焦点的距离，然后由平面几何性质得结论.

【解答过程】设双曲线C的实半轴长为a=2,右焦点为尸2（3,0）,

22

所以|MD|-|M&|=\MD\-（|MF2I+2a）=（|MD|-|MF2|）-2a<\F2D\-2a=7（3-3）+（1-0）-

4=-3,

当且仅当M为Da的延长线与双曲线交点时取等号.

故选：C.

【变式2.2]（2023春•福建南平•高二校考阶段练习）已知双曲线卷-9=1,直线/过其上焦点尸2,交双曲

线上支于A,8两点，且|4B|=4,&为双曲线下焦点，ZkABa的周长为18,则〃[值为（）

A.8B.-23C.10D.2-5

44

【解题思路】根据三角形周长公式，结合双曲线的定义进行求解即可.

【解答过程】由题意知|4B|+|4尸J+|B&|=18.

又|4B|=4,所以14al+|BFi|=14.

根据双曲线的定义可知2a=HFjl-\AF2\=|8&|-|BF2\,

所以4Q=MFJ+\BFr\-(|XF2|+IBF2I)=14-4=10,

解得a=|,所以m=a2=f.

故选：D.

【考点3双曲线的标准方程的求解】

【例3.1]（2023•全国•高三专题练习）已知双曲线的一个焦点为（5,0）,一个顶点为（3,0）,则双曲线方程的

标准方程为（）

A.艺一次=1B.

169259

D.次_乃=1

0会会】916

【解题思路】根据双曲线中a,b,c的关系求解.

【解答过程】由题可知，双曲线的焦点在x轴上,所以可设方程步d=1,

且c=5,Q=3,所以〃=c2—a2=16,

所以双曲线方程为9一31,

故选:D.

【例3.2]（2023秋•天津河西•高二统考期末）设中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的焦距为16,且双曲

线上的任意一点到两个焦点的距离的差的绝对值等于6,双曲线的方程为（）

B.正一比=1

97

c.W-jD-—J

1006479

【解题思路】根据题意列式求解a,b,c,即可得结果.

【解答过程】•.•双曲线的焦点在X轴上，设双曲线的方程库-评1.且=a2+Ha>o,b>01C>0,

(c2=a2+b2a=3

由题意可得2c=16,解得b=\[55，

(2a=6c=8

.•.双曲线的方程为9一弓=1.

故选:A.

【变式3.1］（2023秋•高二课时练习）已知双曲线过点（一2,0）,且与椭圆4/+9y2=36有公共焦点，则双

曲线的标准方程是（）

A.J/=iB.--y2=1

C.x2——=1D.y2——=1

4,4

【解题思路】根据题意求得c=店,a=2,得到炉=c2-a2=l,进而求得双曲线的标准方程.

【解答过程】由椭圆4久2+9y2=36,可化为标准方程?+?=1,可得Fi（-花,0）,F2（花,0），

因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以c=花，

又因为双曲线过点（一2,0）,可得a=2,则〃=c2—a2=l,

所以双曲线的标准方程为9—y2=1.

故选：B.

【变式3.2］（2023•全国•高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为Fi（0,5）,F2（0,-5）,P是双曲线上

一点且满足|伊凡|一伊七1|=6,则双曲线的标准方程为（）

A.^-^=1B.三―”=1C.工一三=1D.^-^=1

169916169916

【解题思路】根据双曲线的定义求得正确答案.

【解答过程】依题意c=5,IIP&I-IPF2II=2a=6,a=3,

所以匕=Vc2—a2=4,

由于双曲线的焦点在y轴上，

y.22

所以双曲线的标准方程是七v-靠=1.

故选：D.

【考点4求双曲线的轨迹方程】

【例4.1］（2023秋・广东•高二统考期末）动圆尸过定点M（0,2）,且与圆M产+。+2）2=4相内切，则

动圆圆心P的轨迹方程是（）

22

A.y2-y=l（y<0）B.y2-y=1

C.—x2=l（y<0）D.x2+^-=1

【解题思路】根据圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义得出动圆圆心P的轨迹方程.

【解答过程】圆Mx2+(y+2)2=4的圆心为N(0,-2),半径为2,且|MN|=4

设动圆P的半径为r,则|PM|=r,|PN|=r■—2,即|PM|—|PN|=2<|MN|.

即点P在以M,N为焦点，焦距长为2c=4,实轴长为2a=2,

虚轴长为2b=2Gl=2百的双曲线上，且点P在靠近于点N这一支上，

丫2

故动圆圆心尸的轨迹方程是y2一白=l(y<0)

故选：A.

【例4.2](2023•全国•高三专题练习)设点4(—8,0),F(V3,0),M为动点，已知直线4M与直线8M的斜率

之积为定值支点M的轨迹是()

A.力0)B.9-M=i(y¥0)

C.9-必=1”0)D.^--x2=l(y*0)

【解题思路】设动点M(x,y),根据已知条件，结合斜率公式，即可求解.

【解答过程】解：设动点M(x,y),则xw土汽，

则人"4=x+y/3,々MB=x-yfs,&*土国)，

•••直线4M与直线BM的斜率之积为定值

・••WrU化简可得，AV-”。)，

故点M的轨迹方程为9-y2=l(yh0).

故选：C.

【变式4.1](2023•全国•高三专题练习)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点4(一3,0),8(3,0),其内

切圆圆心在直线x=2上，则顶点C的轨迹方程为()

A.y-^=l(x>2)B.J—?=l(x>3)

C.—+g=1(0<x<2)D.—+?=1(0<x<3)

【解题思路】根据图可得：|C*-|CB]为定值，利用根据双曲线定义，所求轨迹是以4、B为焦点，实轴长

为6的双曲线的右支，从而写出其方程即得.

【解答过程】解：如图设A4BC与圆的切点分别为。、E、F,

则有|AD|=|4国=5,|BF|=|BE|=1,|CD|=

所以|CA|—|CB|=5-1=4.

根据双曲线定义，所求轨迹是以4B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支(右顶点除外)，

即c=3、a=2,又〃=。2+/)2,所以=5,

所以方程为岁一《=l(x>2).

45

故选：A.

【变式4.2](2023秋・湖北♦高二校联考期末)已知圆M:(x+4)2+y2=16,“为圆心，P为圆上任意一点，

定点4(4,0),线段P4的垂直平分线I与直线PM相交于点Q,则当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为()

A.1(%<-2)B.1

412v7412

C.X2—y=1（X<-1）D.T=1

【解题思路】利用圆的性质，线段垂直平分线的性质，结合双曲线的定义进行求解即可.

【解答过程】解：因为线段P4的垂直平分线，与直线PM相交于点Q,

所以有IQ川=|QP|,由圆M:(x+4)2+y2=16,得M(-4,0),该圆的半径r=4,

因为点P在圆上运动时，

所以有||QP|-|QM||=4,于是有||Q*一|QM||=4,

所以点Q的轨迹是以4M为焦点的双曲线，

所以c=4,2a=4,可得Q=2,所以川=c2—a2=12,

所以点Q的轨迹方程为:一2=1・

故选:B.

1.双曲线的简单几何性质

双曲线的一些几何性质：

图形

春-$=1(Q>0,6>0)_

标准方程=l(Q>0,b>0)

范围x>a或烂y>a或产-。口£R

对称性关于X轴、y轴对称，关于原点中心对称

顶点Ai(-a,0),A2(a,0)AI(0,・〃)/2(0,〃)

半轴长实半轴长为”,虚半轴长为b

离心率

e=—(e>1)

a

渐近线方程,b1a

v=土不

2.双曲线的离心率

(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比£,叫作双曲线的离心率.

a

(2)双曲线离心率的范围：e>\.

(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.

因为g=产算=，e2—1,所以e越大，

越大，则双曲线的开口越大.

a

（4）等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=，5.

3.双曲线中的最值问题

求解此类问题一般有以下两种思路：

（1）几何法：若题目中的条件和结论能明显体现儿何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是儿何

法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.

（2）代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一

个（或多个）变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三

角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.

考点剖析

【考点1利用双曲线的几何性质求标准方程】

【例1.1］（2023春•四川成都•高二校联考期末）若双曲线的渐近线方程为y=±3x,实轴长为2a=2,且

焦点在尤轴上，则该双曲线的标准方程为（）

A./一匕=1或^--%2=1B.---%2=1

999

C.x2-^-=1D.—-y2=1

99,

【解题思路】根据双曲线的性质求解.

【解答过程】由题可得｛j,解得｛%:；,

因为焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为/-9=1.

故选:C.

【例1.2］（2023•四川绵阳•模拟预测）与椭圆卷+：=1有公共焦点，且离心率e=|的双曲线的方程为（）

1562

A.立—旺=1B.兰―乃=1

5445

C.式一片=1D.立一e=1

41349

【解题思路】由题意易知双曲线的焦点在x轴上，且c=3,由e=|,可求出a=2,则可求出b的值，由此

即可选出答案.

【解答过程】椭圆三+胃=1的焦点坐标为：（一3,0）,（3,0）

156

在双曲线中：c=3,e=-=所以Q=2,a2=4,b2=c2-a2=9—4=5,

a2

所以双曲线的方程为：。一（=1.

45

故选：B.

【变式1.1］（2023春•四川宜宾♦高二校考开学考试）已知双曲线C与双曲线?一q=1有相同的焦点，且其

中一条渐近线方程为y=-2x,则双曲线C的标准方程是（）

A.”一日=1B.尤一/=1

432

C.^-^=1D.^-x2=l

824

【解题思路】比较焦点坐标，再比较渐近线方程可得.

【解答过程】已知双曲线的半焦距为c=V2+3=V5,A中c=V7,B中c=V5,c中c=V10,D中©=遍，

只有D的焦点与已知双曲线相同，D中双曲线的渐近线方程也为y=±2x,满足题意.

故选：D.

【变式1.2］（2023秋・广东梅州•高二统考期末）已知双曲线C:摄-总=1（a>0,b>0）的两个焦点分别

为&、&，点P为双曲线上一点，IPFJ-|PFz|=6,离心率为3,则双曲线C的方程为（）

A.^-^=1B.日一^=1

972729

C.江—廿=1D.立—e=i

9889

【解题思路】根据双曲线的定义以及离心率，即可求出a,b,c的值.

【解答过程】根据双曲线的定义可知，2a=6,所以a=3.

又双曲线的离心率为3,所以e=£=3,所以c=9,b2=c2-a2=72.

a

所以，双曲线的方程为=

故选：A.

【考点2双曲线的渐近线方程】

【例2.1］（2023秋•高二课时练习）双曲线3/一必=3的渐近线方程是（）

A.y—±3xB.y=±^xC.y—±V3xD.y=

【解题思路】令3--y2=。即可求出答案.

【解答过程】令3/—y2=0可得y=+V3x,

故双曲线3尤2-y2=3的渐近线方程是y=±V3X,

故选：C.

【例2.2］（2023•山西•校联考模拟预测）已知双曲线捺一?=l（a>0）经过点（2,3）,则其渐近线方程是（）

A.y=±A/^XB.y=±|x

c.y=±|xD.y=±yx

【解题思路】先应用双曲线捺-q=1但>0）经过点（2,3）求出。=1"=百，再根据双曲线几何性质渐近

线方程解决即可.

【解答过程】由题知双曲线1一!=1（。>03>0）经过点（2,3）,；.马一。=1,二三=4,所以<12=1万=3,

Q，3Q“3Q"

所以a=l,b=V5,双曲线焦点在x轴匕

所以双曲线的渐近线方程为y=±^x,y=±V3x,

故选：A.

【变式2.1］（2023.全国•高三专题练习）双曲线。吟-\=19>0*>0）的离心率为遥，其渐近线方程

为（）

A.y=±2xB.y=±V2x

C.y=±D.y=±；x

【解题思路】根据e=£=百，结合双曲线的结合性质求得2=V2,进而求得双曲线的渐近线方程.

aa

【解答过程】由题意知，双曲线。:，一\=1但>0/>0）的离心率为8，

可得e=-=V3,即匕？=14-（2）2=3,解得=V2,

所以双曲线C的渐近线方程为y=±gx=±V2x.

故选：B.

【变式2.2］（2023春•江西赣州•高二校联考阶段练习）如图所示，点FL是双曲线。《一卷=l（a>0,b>

0）的左、右焦点，双曲线C的右支上存在一点B满足B&1BB，B&与双曲线C的左支的交点4平分线段BQ,

A.±3B.±2^3C.±\<13D.±V15

【解题思路】设|AB|=M&l=x,则|8F/=2x,由双曲线的定义得|B&I=2x-2a,\AF2\=x+2a,

2

根据1BF2,列出方程求得出&|=6a,\BF2\=4a,在直角AB&F?中，利用勾股定理求得c?=13a,

进而求得双曲线C的渐近线.

【解答过程】设|4B|=|40|=%(%>0),则出&|=2%,

由双曲线的定义得IBEI=2x-2a,\AF2\=X+2a,

又由8%1BF2得MB/=|4B|2+IBF2E，BP(x+2a)2=x2+(2x-2a)2,解得x=3a,所以=

6a,\BF2\=4a,

在直角△B&B中，由勾股定理得|月尸2『=|8&|2+|3尸2|2,即(2c)2=(6Q)2+(4Q)2,

整理得。2=13<?,则炉=c?-a2=12a2,双曲线C的渐近线斜率为土聋=±2V1

故选：B.

【考点3求双曲线的离心率的值或取值范围】

【例3.1](2023春•四川宜宾•高二校考期末)已知双曲线。搐一《=l(a>0,b>0)的离心率e是它的一

条渐近线斜率的2倍，则e=()

A.2V3B.V2C.手D.2

【解题思路】根据离心率和渐近线的斜率公式，列式求双曲线的离心率.

【解答过程】由题意可知，£=2x±,即c=2b,

aa

则c?=4b2=4(c2—a2),解得：：=

所以双曲线的离心率e=竽.

故选：C.

【例3.2](2023春仞川达州•高二统考期末)已知&,F?分别是双曲线l(a>0,b>0)的左、右

焦点，直线x=c与C的一个交点为尸，IPFJ=3|PF2|,则C的离心率为()

A.V5B.2C.V2D.V3

【解题思路】根据双曲线的定义结合|PFzl=3|P&|可求得a,c关系即可得出答案.

由|PFil=3|PFzl，得点P在双曲线的右支上，

则|PF/—IPF2I=2\PF2\=2a,所以|PBI=a,|PF/=3a,

在RtA员PF1中,\PF2\=a,\PFi\=3a,

故I&F2I=0PF/2-|PFz|2=2c=V9a2-a2=2y/2a,

所以£=V2,

a

即双曲线c的离心率为近.

故选：C.

【变式3.1]（2023•河北•校联考三模）已知双曲线C:次一E=a（其中m>0"力0）,若；1<0,则双曲

mm+1

线C离心率的取值范围为（）

A.（1,V2）B.（V2,+oo）C.（1,2）D.（2,+oo）

【解题思路】先将双曲线方程化为标准方程，再根据离心率的定义，用M表示出离心率，进而可得其取值范

围.

【解答过程】由双曲线啜-若=，（其中心。"<。），

..2v2

得=1,

则双曲线C离心率e=J哪空

因为771>0,所以771+1>1,则0<---V1,

所以1<2----<2,

所以即双曲线C离心率的取值范围为（1,四）.

故选：A.

【变式3.2]（2023春・福建泉州•高二校联考期中）已知双曲线C:3一1（。>0”>0）的上下焦点分别

为乙尸2，点M在C的下支上，过点M作C的一条渐近线的垂线，垂足为C,若|MD|>IaF2I-|"&|恒成立,

则C的离心率的取值范围为（）

A.（1,|）B.（I，2）C.（1,2）D.（I，+oo）

【解题思路】过点F2作渐近线的垂线，垂足为E,则|E4I=b,再根据双曲线的定义得|MD|+|Ma|=\MD\+

|MF2|+2a>|EF2|+2a,进而转化为2a+b>2c恒成立，再根据齐次式求解即可.

【解答过程】如图，过点尸2作渐近线的垂线，垂足为以

设|&&1=2c,则点七到渐近线y=的距离IEF2I==b.

由双曲线的定义可得一IMF2I=2a,故IMF/=|MF2|+2a,

所以|MD|+=\MD\+\MF2\+2a>\EF2\+2a=b+2a,即|MD|+|M0|的最小值为2a+b,

因为|M£）|>IF/2I-IMF/恒成立,

所以|MD|+IMF/>|招尸2|恒成立，即2a+b>2c恒成立，

所以，b>2c—2a,即〃>4c2+4M—Sac,即c?—a2>4c2+4a2-8ac,

所以，3c2+5。2-8ac<0,即3e2-8e+5<0,解得1<e<*

故选：A.

【考点4双曲线中的最值问题】

【例4.1]（2023春•四川成都•高二校考阶段练习）已知4（0,4）,双曲线。一1=1的左、右焦点分别为&,

尸2，点P是双曲线左支上一点，则IP川+仍尸2|的最小值为（）

A.5B.7C.9D.11

【解题思路】根据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的性质，整理|P*+IP&I，利用三角形三边关

系，可得答案.

【解答过程】由双曲线£一《=1,则。2=4,/=5,即c2=。2+〃=9,且&（一3,0）,尸2（3,0），

45

由题意，\PF2\-\PFt\=2a

22

\PA\+\PF2\=\PA\+2a+\PFi\>\AFt\+2a=V3+4+4=9,

当且仅当4匕&共线时，等号成立.

故选：C.

【例4.2]（2023•高二课时练习）P是双曲线?一《=1的右支上一点，M、'分别是圆（％+5）2+/=1和

（x-5）2+y2=4上的点，则|PM|-|PN|的最大值为（）

A.6B.7C.8D.9

【解题思路】先由已知条件可知双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再利用平面几何知识把-|PN|转化

为双曲线上的点到两焦点之间的距离,即可求|PM|-|PN|的最大值.

【解答过程】■■■v-S=1

:,a2=9b2=16贝Ue?=25

故双曲线的两个焦点为&（一5,0）尸2（5,0）

心（-5,0）,尸2（5,0）也分别是两个圆的圆心，半径分别为q=l,r2=2,

|PM|max=|P&l+l

l^|min=|PF2|-2

则|PM|-|PN|的最大值为（|PFJ+1）-（IPF21-2）

=IPF/-IP&I+3

=2x3+3=9

故选：D.

【变式4.1]（2023•云南昆明•云南省校考模拟预测）设双曲线C：/-（=1的左焦点和右焦点分别是Fi，

F2，点4是C右支上的一点，则|4&|+总的最小值为（）

A.5B.6C.7D.8

【解题思路】根据双曲线的方程求出的值，由双曲线的定义可得|4&|+-=伪产21+—+2,由双

曲线的性质可知MF2I>c-a=4,利用函数的单调性即可求得最小值.

【解答过程】由双曲线C：/一4=1可得

24

a2=1,b2=24,所以c?=/+炉=25,

所以Q=1,C=5,

由双曲线的定义可得|4后|一MF2I=2Q=2,所以INF/=\AF2\+2,

所以依F/+息=14引+意+2,

由双曲线的性质可知：\AF2\>c-a=4f令|4尸2|=3则t24,

所以|4居|+:=\AF2\+7-7+2=t+：+2在［4,+8)上单调递增，

所以当t=4时，取得最小值4+3+2=7,此时点力为双曲线的右顶点(1,0),

即MF/+高的最小值为7,

\AF2\

故选：C.

【变式4.2］(2023•全国•高三专题练习)己知&,后为双曲线C：X=l(a>0)的左、右焦点，点2在双曲

线的右支上，点P(7,2)是平面内一定点.若对任意实数m,直线4工+3、+血=0与双曲线。的渐近线平行,

则|4P|+|”2l的最小值为()

A.2V37-6B.10-3遮C.8-V37D.275-2

【解题思路】根据双曲线的性质可得直线4x+3y+巾=0与双曲线的渐近线方程为y=土(x，重合或平行，

即可求出a,再利用双曲线的定义转化可求最小值.

【解答过程】,••双曲线C：条—、=l(a>0),.•.双曲线的渐近线方程为y=土］,

•对任意实数如直线4x+3y+m=0与双曲线C的渐近线平行，

...直线4久+3y+巾=0与双曲线的渐近线方程为y=±)平行，

：.a=3,：.c=5,...F!为(一5,0),

,:P(7,2),：.\PFr\=，(7+5)2+4=2737,

：.\AP\+\AF2\=\AP\+\AFx\-6>|PFJ-6=2737-61

A\AP\+|A尸2I的最小值为2府一6.

故选:A.

【考点5双曲线的实际应用问题】

【例5.1】（2023•全国•高三专题练习）双曲线型自然通风塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲

面，如图所示，它的最小半径为4百米，上口半径为竽米，下口半径为竽米，高为24米，则该双曲线的

D.2V2

【解题思路】以他的中点。为坐标原点，建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为会会1,设

G（等,血），为（竿,m—24）,代入双曲线的方程，求得b=12,得到（=进而求得双曲线的离心率.

【解答过程】以的中点。为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则|。*=|0①|=4V3,

设双曲线的方程为三一4=1（。>0/>0）,则a=4g,

可设G（-y-,m）,Bim—24）（0VmV24）,

【例5.2]（2023春,江苏盐城•高二校考期中）单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢

梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图1,俗称小蛮腰的广州塔位于中国

广州市，它的外形就是单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.某市计划建造类

似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图2,最细处的直径为100m,楼底的直径为

50V22m,楼顶直径为50伤m,最细处距楼底300m,则该地标建筑的高为()

图1图2

A.350mB.375mC.400mD.450m

【解题思路】根据题意建立平面直角坐标系，设双曲线的方程是1一］=l(a>0,b>0),

a2b2

由已知可得a,将点C坐标代入解得6的值，从而得到双曲线的方程，最后利用双曲线的方程

解得8的坐标即可求得地标建筑的高.

【解答过程】解：以地标建筑的最细处所在直线为x轴，双曲线的虚轴为y轴，建立平面直角坐标系如图

所示.

由题意可得：4(50,0),C(25V22,-300),

设B(25伤,%)(丫0>0)，双曲线的方程是《一A=l(a>0,b>0),

a=50

解脸;。猊

贝(25短J_(-300)2

502b2

22

所以双曲线的方程是：嬴-嬴=1，

将点B(25而y。)代入得亲-四=1，

解得光=100,

所以该地标建筑的高为：300+100=400（m）.

故选：C.

【变式5.1]（2023•北京海淀•高三校考阶段练习）地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以

利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失.根据Rydelek和Pujol

提出的双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的

位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震预警中，两地震

台4站和B站相距10km.根据它们收到的信息，可知震中到B站与震中到4站的距离之差为6km.据此可以判断,

震中到地震台B站的距离至少为（）

A.8kmB.6kmC.4kmD.2km

【解题思路】设震中为P，根据双曲线的定义以及|P川+\PB\>\AB\=10可求出结果.

【解答过程】设震中为P,依题意有|PB|-|PA|=6<\AB\=10,所以点P的轨迹是以4B为焦点的双曲

线靠近4的一支，

因为|PA|+|PB121ABi=10,当且仅当4P,8三点共线时，取等号，

所以|P8|-6+\PB\>10,所以|P8|>8,

所以震中到地震台B站的距离至少为8km.

故选：A.

【变式5.2]（2023秋•陕西咸阳•高二校考期末）如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯,

杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲

线。:圣一\=16>0,匕>0）的右支与直线％=0,y=4,y=-2围成的曲边四边形4BMN绕y轴旋转一

周得到的几何体.若该金杯主体部分的上口外直径为竽，下底外直径为等，则下列曲线中与双曲线C有

B.正上=1

93

X2y21

D.-------------=1

36

【解题思路】根据给定条件求出双曲线C的渐近线方程，再逐一分析各个选项判断作答.

【解答过程】依题意，双曲线C：三一卷=l（a>0,b>0）过点M（竽,4）,川（3,一2）,

(=

3

16=

J--_

有

2/

Ha

13_4解得a=g,b=3,因此，双曲线C的渐近线方程为）/=±6久,

V3

-_>一=

a2

对于A,双曲线看一言=1的渐近线方程为y=±Bx,A正确;

对于B,双曲线差―3=1的渐近线方程为丫=土簧，B不正确;

对于C,双曲线（一二=1的渐近线方程为'=土或％,C不正确;

63

对于D,双曲线£—1的渐近线方程为丁=土鱼x,D不正确.

36

故选：A.

模块三课后作业

1.（2023秋•高二课时练习）“m>1”是“方程次-上=1表示双曲线”的（）

mm-1

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

【解题思路】利用方程为表示双曲线的条件，求得m的取值范围，再根据充分条件和必要条件的定义判断条

件和结论的关系.

【解答过程】因为方程二-2±=1表示双曲线，

mm-1

所以m（m-1）>0,

解得m<。或m>1,

因为由m>1可推出ntV0或m>1,,但是由m<0或zn>1,不能推出?n>1,

所以1”是“方程至-。1=1表示双曲线”的充分不必要条件，

故选：A.

2.（2023春・安徽滁州•高二校考开学考试）若双曲线E:?-（=1的左、右焦点分别为a,尸2,点P在双

曲线E上，且|PF/=5,则|PF2l=（）

A.11B.8C.1或11D.2或8

【解题思路】根据双曲线定义即可解决问题.

【解答过程】由双曲线标准方程得：a=3,6=4,c=5,

由双曲线定义得-|P&I|=2a=6

即IIPF2ITP6II=6,

解得IPF2I=-1（舍去）或口心1=11，

故选:A.

3.（2023春•四川德阳•高二校考阶段练习）已知点M（-右,0）,N（底0）,动点P满足条件|PM|-|PN|=4.则

动点P的轨迹方程为（）

A.y—y2=l（x>V2）B.y-y2=1（x<—V2）

C.Y-y2=>2）D.y-y2=1（%<-2）

【解题思路】根据题意得到|PM|-|PN|=4<|MN|=2V5,结合双曲线的定义，即可求解.

【解答过程】由点M（-通,0）,/V（V5,0）,可得|MN|=2有，

又由|PM|-|PN|=4,可得|PM|-|PN|=4<|MN|=2相,

根据双曲线的定义，可得点P的轨迹表示以M,N为焦点的双曲线的右支，

且2a=4,2c=2近，可得a=2,c=V5.则从=c2—a2=1,

v2

所以点P的轨迹方程为亍―y2=i（x>2）.

故选：C.

4.（2023春•四川达州•高二统考期末）已知双曲线接一卷=1（。>0涉>0）的离心率为2,则它的渐近线方

程为（）

A.y=+V3