专题06对角互补模型(原卷版+解析)

专题06对角互补模型基本模型：例题精讲例1．（基本模型）在等边中，点D为的中点，点F在延长线上，点E在射线上，．（1）如图1，当点E与点B重合时，则与的数量关系是_________；（2）当点E在线段上时，（1）中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；（3）如图3，当点E在的延长线上时，，请直接写出的长．例2．（基本模型2）已知：如图，在等边△ABC中，点O是BC的中点，∠DOE＝120°，∠DOE绕着点O旋转，角的两边与AB相交于点D，与AC相交于点E．(1)若OD，OE都在BC的上方，如图1，求证：OD＝OE．(2)在图1中，BD，CE与BC的数量关系是．(3)若点D在AB的延长线上，点E在线段AC上，如图2，直接写出BD，CE与BC的数量关系是．例3．（培优综合）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，且与点B，C不重合，连接AD．作以∠FAD为直角的等腰直角△ADF．(1)若AB＝AC，∠BAC＝90°①当点D在线段BC上时，试探讨CF与BD的数量关系和位置关系；②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由；(2)若AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC．上，且CF⊥BD时，如图3，试求∠BCA的度数．【变式训练1】问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______．拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由．【变式训练2】已知：，，．(1)如图1当点在上，______．(2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（两三角形可以看成是等底的）【变式训练3】在Rt△ABC中，，，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．(1)操作发现如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为______；线段BD、AB、EB的数量关系为______；(2)猜想论证当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；(3)拓展延伸若，，请你直接写出△ADE的面积．【变式训练4】在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系．(1)如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；(2)如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（1）问的结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．(3)如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．课后训练1．在中，，且E为边的中点，连接，以为边向上作等边三角形，连接，则的长为_______．2．如图在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交CB、DC延长线于E、F点且∠EAF＝45°，如果BE＝1，DF＝7，则EF＝__．3．已知四边形中，，，，，，将绕点旋转．(1)当旋转到如图的位置，此时的两边分别交，于，，且，求证：；(2)当旋转到如图的位置，此时的两边分别交，于，，且时，小颖猜想中的仍然成立，并尝试作出了延长至点，使，连接，请你证明小颖的猜想；(3)当旋转到如图的位置，此时的两边分别交，于，，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想．4．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．(1)当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；(2)将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．5．已知：在中，于点，．(1)如图1，的度数为________度．(2)如图2，点、分别在、上，且，连接、，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，交于点，过点作于点，连接，点在延长线上，连接、，若，判断线段与的数量和位置关系，并证明你的结论．6.（1）如图1，正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点，EF＝BE+DF，请你直接写出∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系：．（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，，点E、F分别是边BC、CD上的点，EF＝BE+FD，请问：（1）中结论是否成立？若成立，请证明结论．（3）若（2）中的点E、点F分别在边CB、CD的延长线上（如图3所示），其他条件不变，则下列两个关于∠EAF与∠BAD的关系式，哪个是正确的？请证明结论．①∠EAF＝∠BAD；②2∠EAF+∠BAD＝360°．7．已知点D是△ABC外一点，连接AD，BD，CD，．(1)【特例体验】如图1，AB＝BC，α＝60°，则∠ADB的度数为；(2)【类比探究】如图2，AB＝BC，求证：∠ADB＝∠BDC；(3)【拓展迁移】如图3，α＝60°，∠ACB+∠BCD＝180°，CE⊥BD于点E，AC＝kDE，直接写出的值（用k的代数式表示）．8．如图1，等边与等边的顶点，，三点在一条直线上，连接交于点，连．(1)求证：；(2)求证：平分；(3)设，若，直接写出a，b，c之间满足的数量关系．9．四边形是由等边和顶角为的等腰排成，将一个角顶点放在处，将角绕点旋转，该交两边分别交直线、于、，交直线于、两点．（1）当、都在线段上时（如图1），请证明：；（2）当点在边的延长线上时（如图2），请你写出线段，和之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在（1）的条件下，若，，请直接写出的长为．专题06对角互补模型基本模型：例题精讲例1．（基本模型）在等边中，点D为的中点，点F在延长线上，点E在射线上，．（1）如图1，当点E与点B重合时，则与的数量关系是_________；（2）当点E在线段上时，（1）中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；（3）如图3，当点E在的延长线上时，，请直接写出的长．答案:（1）DE=DF；（2）DE=DF，理由见解析；（3）4【详解】（1）∵△ABC是等边三角形，D点为AC的中点∴∠DBC=30゜∵∠EDF=120゜∴∠F=180゜―∠DBC―∠EDF=30゜∴∠DBC=∠F∴DE=DF故答案为：DE=DF（2）仍有DE=DF；理由如下：过点D作DG∥BC交AB于点G，如图2所示则∠AGD=∠ABC∵△ABC是等边三角形∴AB=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60゜∴∠AGD=∠A=60゜∴△AGD是等边三角形∴∠ADG=∠AGD=60゜，AD=GD∴∠DGE=∠GDC=120゜∴∠EDF=∠GDC=120゜∵∠GDE+∠EDC=∠EDC+∠CDF∴∠GDE=∠CDF∵D点是AC的中点∴AD=DC=GD∵∠ACB=60゜∴∠DCF=120゜∴∠DGE=∠DCF在△DGE和△DCF中∴△DGE≌△DCF(ASA)∴DE=DF（3）过点D作DG∥BC交AB于点G，如图3所示与（2）同理有：△DGE≌△DCF∴GE=CF设BC=a，则CF=8－a，∴由GE=CF，得：解得：a=4例2．（基本模型2）已知：如图，在等边△ABC中，点O是BC的中点，∠DOE＝120°，∠DOE绕着点O旋转，角的两边与AB相交于点D，与AC相交于点E．(1)若OD，OE都在BC的上方，如图1，求证：OD＝OE．(2)在图1中，BD，CE与BC的数量关系是．(3)若点D在AB的延长线上，点E在线段AC上，如图2，直接写出BD，CE与BC的数量关系是．答案:(1)见解析；(2)；(3)解析：(1)证明：取AB的中点F，连接OF．∵△ABC是等边三角形，∴，∵点O与点F分别是BC与AB的中点，∴，∴△BOF是等边三角形，∴，，∴，∴，∵在△DOF和△EOC中，，∴，∴．(2)解：结论：．理由：∵，∴，∴，∵是等边三角形，∴，∵，∴．故答案为：；(3)结论：．理由如图2中，取的中点F，连接OF．同（1）中的方法可证是等边三角形，，∴，∴，∵，∴例3．（培优综合）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，且与点B，C不重合，连接AD．作以∠FAD为直角的等腰直角△ADF．(1)若AB＝AC，∠BAC＝90°①当点D在线段BC上时，试探讨CF与BD的数量关系和位置关系；②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由；(2)若AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC．上，且CF⊥BD时，如图3，试求∠BCA的度数．答案:(1)①，；②存在，详见解析(2)45°解析：（1）①∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，∴∠CAF=∠BAD，在△ACF和△ABD中，，∴△ACF≌△ABD（SAS），∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，∵∠ACB=45°，∴∠FCB=90°，∴CF⊥BD；②CE=BD，CF⊥BD，理由如下：如图2，∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠DAF=90°，∴∠CAF=∠BAD，在△ACF和△ABD中，，∴△ACF≌△ABD（SAS），∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，∵∠ACB=45°，∴∠FCB=90°，∴CF⊥BD；（2）如图，过点A作AE⊥AC交BC于E，∵∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=90°∵AE⊥AC∴∠AEC+∠BCA=90°∴∠ACF=∠AEC∵∠CAF+∠CAD=90°，∠EAD+∠CAD=90°，∴∠CAF=∠EAD，在△ACF和△AED中，，∴△ACF≌△AED（AAS），∴AC=AE，∴∠ACE=45°，∴∠BCA=45°【变式训练1】问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______．拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由．答案:问题发现：，；拓展探究：成立，理由见解析【详解】解：问题发现：延长BD，交AE于点F，如图所示：∵，∴，又∵,∴（SAS），，∵，∴，∴，∴，，故答案为：，；拓展探究：成立．理由如下：设与相交于点，如图1所示：∵，∴，又∵，，∴（SAS），∴，，∵，∴，∴，∴，即，依然成立．【变式训练2】已知：，，．(1)如图1当点在上，______．(2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（两三角形可以看成是等底的）答案:(1)；(2)，理由见解析【详解】（1）解：，，又，，，在中，，故答案为：．（2）解：如下图所示：过点作的边上的高，过点作的边上的高，由作图及知：，，，（同角的余角相等），

在与中有：（），，，，，，，故答案为：．【变式训练3】在Rt△ABC中，，，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．(1)操作发现如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为______；线段BD、AB、EB的数量关系为______；(2)猜想论证当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；(3)拓展延伸若，，请你直接写出△ADE的面积．答案:(1)AB⊥BE，AB=BD+BE；(2)见解析；(3)72或8．解析：（1）如图1中，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE，∵CA=CB，CD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠CBE=∠A，∵CA=CB，∠ACB=90°，∴∠A=∠CBA=45°，∴∠CBE=∠A=45°，∴∠ABE=90°，∴AB⊥BE，∵AB=AD+BD，AD=BE，∴AB=BD+BE，故答案为AB⊥BE，AB=BD+BE．（2）①如图2中，结论：BE=AB+BD．理由：连接AE，DE，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE，∵CA=CB，CD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∵AD=AB+BD，AD=BE，∴BE=AB+BD．②如图3中，结论：BD=AB+BE．理由：连接AE，DE，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE，∵CA=CB，CD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD=BE，∵BD=AB+AD，AD=BE，∴BD=AB+BE．（3）如图2中，∵AB=4，BD=8，∴BE=AD=BD+AB=8+4=12，∵BE⊥AD，∴S△ADE=•AD•EB=×12×12=72．如图3中，∵AB=4，BD=8，∴BE=AD=BD-AB=8-4=4，∵BE⊥AD，∴S△ADE=•AD•EB=×4×4=8．【变式训练4】在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系．(1)如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；(2)如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（1）问的结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．(3)如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．答案:(1)；(2)成立，；(3)，见解析解析：（1）解：BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC＝MN．∵DM＝DN，∠MDN＝60°，∴△MDN是等边三角形，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，∵BD＝CD，∠BDC＝120°，∴∠BDC＝∠DCB＝30°，∴∠MBD＝∠NCD＝90°，在Rt△BDM和Rt△CDN中，，∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL），∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN，∴DM＝2BM，DN＝2CN，∴MN＝2BM＝2CN＝BM+CN，故答案为：BM+NC＝MN；（2）猜想：结论仍然成立．证明：在CN的延长线上截取CM1＝BM，连接DM1．∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，∴△DBM≌△DCM1（SAS），∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM，∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN（SAS），∴MN＝M1N＝M1C+NC＝BM+NC；（3）NC−BM=MN，理由如下：证明：在CN上截取CM1＝BM，连接MN，DM1由（2）得，△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1，∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN（SAS），∴MN＝M1N，∴NC﹣BM＝MN．课后训练1．在中，，且E为边的中点，连接，以为边向上作等边三角形，连接，则的长为_______．答案:6【详解】解：延长BC到F，使BF=2BC，即，∵在中，，∴，，∴是等边三角形，∴，，又∵在等边三角形中，，，∴，∴（SAS），∴，又∵，E为边的中点，∴，∴，∴．故答案为6．2．如图在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交CB、DC延长线于E、F点且∠EAF＝45°，如果BE＝1，DF＝7，则EF＝__．答案:6【详解】解：如图，把△ABE绕点A逆时针旋转90°到DA，交CD于点G，由旋转的性质可知，AG＝AE，DG＝BE，∠DAG＝∠BAE，∵∠EAF＝45°，∴∠DAG+∠BAF＝45°，又∵∠BAD＝90°，∴∠GAF＝45°，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS）∴EF＝GF，∵BE＝1，DF＝7，∴EF＝GF＝DF﹣DG＝DF﹣BE＝7﹣1＝6.故答案为：6．3．已知四边形中，，，，，，将绕点旋转．(1)当旋转到如图的位置，此时的两边分别交，于，，且，求证：；(2)当旋转到如图的位置，此时的两边分别交，于，，且时，小颖猜想中的仍然成立，并尝试作出了延长至点，使，连接，请你证明小颖的猜想；(3)当旋转到如图的位置，此时的两边分别交，于，，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想．答案:(1)见解析(2)见解析(3)，见解析解析：（1）证明：①在和中，，≌．；②由知≌，．，，∴是等边三角形．．；（2）解：延长至点使得，如图．在和.中，≌．，，，，即，，．在和中，，≌．．．；（3）解：如图，猜想．证明如下：在的延长线上取点，使，连接．在和中，≌．，，，，即．，．4．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．(1)当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；(2)将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．答案:(1)，证明见解析(2)，证明见解析【详解】（1）证明：延长BD交CE于F，在△EAC和△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠AEC+∠ACE＝90°，∴∠ABD+∠AEC＝90°，∴∠BFE＝90°，即EC⊥BD，∴．（2）证明：延长BD交CE于F，∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠EAC＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，∵在△EAC和△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE＝90°，∴∠BFC＝90°，即EC⊥BD，∴．5．已知：在中，于点，．(1)如图1，的度数为________度．(2)如图2，点、分别在、上，且，连接、，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，交于点，过点作于点，连接，点在延长线上，连接、，若，判断线段与的数量和位置关系，并证明你的结论．答案:(1)90(2)见解析(3)，；【详解】（1）∵，∴∴，故答案为：；（2）∵，∴，∴∵∴∴又∵∴即（3）连接，、与分别交于L、K，过H作于M，于P，∵，∴∵∴∴∵，∴，∴∴∵∴∴∵∴∵∴四边形是平行四边形∴∴∴，∴∴，6.（1）如图1，正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点，EF＝BE+DF，请你直接写出∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系：．（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，，点E、F分别是边BC、CD上的点，EF＝BE+FD，请问：（1）中结论是否成立？若成立，请证明结论．（3）若（2）中的点E、点F分别在边CB、CD的延长线上（如图3所示），其他条件不变，则下列两个关于∠EAF与∠BAD的关系式，哪个是正确的？请证明结论．①∠EAF＝∠BAD；②2∠EAF+∠BAD＝360°．答案:（1）；（2），理由见解析；（3）②正确【详解】解：（1），理由如下：如图1，将△ADF顺时针旋转，使AD与AB重合，得到，则，，，，在正方形ABCD中，∠BAD=∠ABC=∠D=90°，∴，∴点三点共线，∵EF＝BE+DF，∴，∵AE=AE，∴，∴，∴；（2），理由如下：如图2，将△ADF顺时针旋转，使AD与AB重合，得到，则，，，，∵，∴，∴点三点共线，∵EF＝BE+DF，∴，∵AE=AE，∴，∴，∴；（3）在DC的延长线上取一点H，使DH=BE，连接AH，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，∴∠ADC=∠ABE，∵AB=AD，∴，∴AH=AE，∠DAH=∠BAE，∵EF=BE+FD，∴EF=DH+FD=FH，∵AF=AF，∴，∴∠FAE=∠FAH，∵∠FAE+∠FAH+∠HAE=360°，∴2∠FAE+（∠HAB+∠BAE）=360°，∴2∠FAE+（∠HAB+∠DAH）=360°，即2∠FAE+∠BAD=360°，故②正确．7．已知点D是△ABC外一点，连接AD，BD，CD，．(1)【特例体验】如图1，AB＝BC，α＝60°，则∠ADB的度数为；(2)【类比探究】如图2，AB＝BC，求证：∠ADB＝∠BDC；(3)【拓展迁移】如图3，α＝60°，∠ACB+∠BCD＝180°，CE⊥BD于点E，AC＝kDE，直接写出的值（用k的代数式表示）．答案:(1)60°(2)证明见解析；(3)．【详解】（1）解：在BD上取点E，使BE=CD，如图1所示：∵，，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∵∠BAC=∠BDC，∠AOB=∠COD，∴∠ABE=∠ACD，在△ABE和△ACD中，，∴（SAS），∴，，∴，∴△AED是等边三角形，∴∠ADB=60°；故答案为：60°；（2）证明：在DC的延长线上取一点H，使，如图2所示：∴，∵，，∴，∵AB＝BC，，∴，又∵，即，∴，在△ABD和△CDH中，∴(SAS)，∴，∴；（3）解：延长DC至H，使CH=AC，连接BH，如图3所示：图3∵∠ACB+∠BCD=180°，∠BCH+∠BCD=180°，∴∠ACB=∠BCH，∵AC=CH，BC=BC，∴（SAS），∴，，∵，∴，∴，设，则，∵∴，∴，又∵，∴△BDH为等边三角形，∴，∴．8．如图1，等边与等边的顶点，，三点在一条直线上，连接交于点，连．(1)求证：；(2)求证：平分；(3)设，若，直接写出a，b，c之间满足的数量关系．答案:(1)见解析(2)见解析(3)【详解】（1）证明：∵等边与等边的顶点，，三点在一条直线上，∴，，∴，∴，，∴，∵等边，等边，∴，，在与中，∵，∴，∴．（2）证明：如图1，过点作交于