新教材苏教版必修第二册1 3 . 2 基本图形位置关系

第13章立体几何初步

13.2基本图形位置关系

13.2.4平面与平面的位置关系

第2课时两平面垂直

基础过关练

题组一二面角

1.（2020江苏徐州第二中学高一阶段检测）下列说法中正确的是（）

A.两个相交平面组成的图形叫作二面角

B.异面直线a,6分别和一个二面角的两个面垂直，则a,6所成的角与这个二面角的

平面角相等或互补

C.二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角

D.二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系

2.（2021江苏南京大厂高级中学高一月考）从空间一点一向二面角a-1-B的两个

面分别作垂线密瓶£尸为垂足，若/£啊60°,则二面角的平面角

的大小是（）

OO

。或120°D,不确定

3.（2021江苏黄壕中学高一月考）如图,三棱台力叱45G的下底面是正三角形，科1

防幽，则二面角上座「。的大小是（）

«,....y

题组二平面与平面垂直的判定

4.（2020江苏铜山中学高一学情检测）下列不能确定两个平面垂直的是（）

A.两个平面相交，所成二面角是直二面角

B.一个平面垂直于另一个平面内的一条直线

C.一个平面经过另一个平面的一条垂线

D.平面a内的直线a垂直于平面B内的直线b

5.（2021江苏苏州第六中学高一期中）已知三棱锥上宓9中8G4勿_m则有

A.平面45CL平面ADCB.平面力加工平面BCD

C.平面/比工平面BDCD.平面力8入平面ADB

6.（2020江苏苏州国际外语学校高一期中）如图所示，在四棱锥5\4题中，底面四边

形/四是平行四边形,SUL平面ABCD,E为必的中点.求证:平面/切，平面ABCD.

题组三平面与平面垂直的性质

7.（2021江苏江安高级中学高一月考）下列命题正确的是（）

A.平面。内的一条直线a垂直于平面£内的无数条直线，则a工B

B.若则a内的直线垂直于平面B

C.若a£,且an£=/,则过a内一点P与/垂直的直线垂直于平面£

D.若直线a与平面a内的无数条直线都垂直，则不一定有3±a

8.（2021山东烟台高一期中）如图，在三棱锥『46。中，不能证明加La'的条件是

A.8C_L平面APC

B.BCVPC,APVPC

C.APIPB,APIPC

D.如平面，平面BPC

9.（2020江苏丰县中学高一期中）如图所示，平面a_L平面8,AGa8,AB与两

平面。，£所成的角分别为45°和30°.过48分别作两平面交线的垂线,垂足分

别为力'/',则〃：不"等于（）

A.2：1B.3：1C.3：2D.4：3

10.（2021江苏辅仁高级中学高一月考）如图，平面平面ABD,ZACB=Q0°,CA=CB,

△d劭是正三角形，。为力8的中点，则图中直角三角形的个数为.

11.（2020江苏苏州田家炳实验中学高一学情检测）如图，在正方体/况》48G〃中小

为8的中点，试判断平面艇'与平面的关系，并说明理由.

易错

能力提升练

题组一二面角

1.（2020浙江丽水高二上期末如图，在三棱锥I^ABC,PB=B（=a,PA=A（=b[a<6）,

设二面角人/比。的平面角为。,则（）

A.a+APCA+APCB>Jt,2a<ZPA&APBC

B."/PCA+/PCB〈n,2a〈/PAO4PBC

C.a+/PCA+/PCB>R,2a>/PAC+/PBC

D.a+/PCA+4PCB<N,2a>/PA04PBC

2.（*）如图,在矩形/质中，点分别在力〃,⑦上，伤冷哙8,将△加〃沿直

线加翻折到4〃'组的位置，且二面角〃'-叱〃的平面角为直角，点£尸分别在线段

48,0/上，将四边形破F沿直线）向上折起，使B与〃'重合，则CF=.

D'

尸

3.（2020天津和平高三下线上学习检测,*）如图，在三棱柱4aT归C中，已知

屿1,防=2,/a'。g,/此平面BBCC.

（1）求直线G8与底面4?。所成角的正切值；

⑵在棱CG（不包含端点）上确定一点£，使得后居（要求说明理由）；

（3）在（2）的条件下，若力庐企，求二面角上功-4的大小.

4.（2020山东威海文登高三上期末,"）已知正三棱柱力吐45G中，月左2,44=8，〃为

的中点.

⑴当AE=^EA｝时，求证:庞，加;

⑵在线段44上是否存在点£使二面角A-BE-D的大小为30°?若存在，求出丝的

长;若不存在,请说明理由.

R

题组二平面与平面垂直的判定

5.（多选）（2021江苏盐城高一期中,*）如图，圆柱的轴截面是四边形4?切陷是底面

圆周上异于46的一点，则下列结论中正确的是（）

A.AEVCEB.BELDE

C.比士平面CEBD.平面494平面BCE

6.（2021山东潍坊高三调研如图所示，在三棱锥尸力比'中，必，/且

为=除1,侬/俏俏百，则下列命题不正确的是（）

A.平面为虹平面PBCB.平面必8,平面ABC

C.平面为UL平面PBCD.平面必CL平面ABC

7.（2021江苏南通高二期末,"）如图，在四面体4?缪中,〃是劭的中点，点G,“分别

在AO,BCEBa2EC,A（^2GO,CA=CB=CFBF2,AFAD^0求证:⑴能〃平面ACD,

（2）平面平面BCD.

题组三平面与平面垂直的性质

8.（多选）（2020江苏连云港高二期末,•：：）已知m,n是两条不重合的直线，。£，/是

三个两两不重合的平面，下列命题是真命题的有（）

A.若ml.a，加_LB，贝a//

B.若归a,/JC£,m//A,贝a〃£

C.若m,n是异面直线，加ua,勿〃8,nu3、n"a，则a//

D.若a_Ly,£_L九则a〃£

9.（妙）如图,棱长为1的正方体484〃-被力中/为线段"的中点，跖V分别为线

D.V2

题组四平面与平面垂直的综合应用

10.（2020江苏南京大厂高级中学高一阶段测试,"?）如图所示,四棱锥片ABCD的底

面为正方形，侧面为。为等边三角形,且侧面为〃_L底面ABCD,点"在正方形4BCD内

运动,且满足，仍制则点在正方形ABCD内的轨迹一定是（）

AI)

H.(多选)(2020江苏塘桥高级中学阶段测试,")如图/为正方形4版的边CD上

异于点C,〃的动点，将△/比'沿/£翻折成△/典在翻折过程中，下列说法中正确的是

A.存在点£和某一翻折位置，使得S8LSE

B.存在点£和某一翻折位置，使得〃平面SBC

C.存在点£和某一翻折位置，使得直线必与平面四"所成的角为45°

D.存在点£和某一翻折位置，使得二面角夕4小。的大小为60°

12.(*)如图，矩形48徵所在的半平面和直角梯形四9所在的半平面成60°的二

面角，龙〃冬徵，发［氏2,小3或，庐6,N"作45°.

(1)求证:平面"E乜平面BCF\

(2)试问在线段CF上是否存在一点G,使得锐二面角比由〃的余弦值为%若存在,

求出8的值;若不存在,请说明理由.

答案全解全析

第13章立体几何初步

13.2基本图形位置关系

13.2.4平面与平面的位置关系

第2课时两平面垂直

基础过关练

1.BA不正确，不符合二面角的定义;由a*分别垂直于两个面，可知a,6都垂直于

二面角的棱，故B正确;C中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故C不正确;由定

义知D不正确.故选B.

2.C如图所示，过典"作一个平面/与二面角a-/-£的棱交于点0,连接

OEQF.

因为小工a,PFLB，所以PEL1,PF11,

又PEuPH,所以/_L平面九所以1LOE,ILOF,

则/员加为二面角a18的平面角，且它与N的相等或互补,

故二面角a-1-fi的平面角的大小为60°或120°,故选C.

3.C在三棱台ABBABC中,EG〃a'，且4G，园，则BCLBB{,

又ABLBBh

所以N4%为二面角於微-。的平面角，

因为为正三角形，

所以//吐60°.

故二面角止幽「。的大小为60°.故选C.

4.D如图所示，在正方体ABOABCU中，平面A、DCB\内的直线45垂直于平面

4况》内的一条直线6G但平面4戊巷与平面48口显然不垂直，故D不正确，由面面

垂直的定义及判定定理可知A.B.C均正确.

5.B因为8c绍又比'C5=。,比;敛=平面8W,所以助，平面aZ?,而/〃

c平面4《所以平面/L9UL平面BCD.故选B.

6.证明如图，连接4C与放交于点月连接火

因为夕为平行四边形4?⑦的对角线力。与劭的交点，

所以/为/。的中点.

又E为力的中点,所以如'为△弘。的中位线,所以）〃SC

又SCL平面ABCD,所以在L平面ABCD.

又EFu平面EBD,

所以平面砌?，平面ABCD.

解题模板

面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直,只需证线面垂

直，关键是在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直.

7.D选项A中,平面a内的一条直线a垂直于平面£内的任意一条直线，则＜z±

£，故A错误;

选项B中，由面面垂直的性质定理知，只有垂直于交线的直线才垂直于另一个平面，

故B错误；

选项C中，a_L£，且则过。内一点〃与/垂直的直线中，只有直线在a

内时才垂直于£，故C错误；

选项D中,a与平面a内的任意一条直线都垂直可以推出a±故D正确.

8.B选项A中,因为比上平面力的"t平面加匕所以44aC故正确；

选项B中，因为8cL产C/RLPC贝ijPC为况;"的公垂线，若则力尸_1平面BPC,

所以4aL做不一定成立，故错误；

选项C中，因为APLPB,AP上PC,'又PCCP&P,PC,PBu平面9C；所以/尺1平面BPC,而

以加L8C故正确；

选项D中,加工用平面/PC1平面罚匕平面平面BP(=PC,APa平面4M所以

4尸，平面8户C所以加L8C,故D正确.

9.A如图，连接力8',力'及由已知得A4'_L平面£,N4为'=30°,的」平面a,N

BAB'=45°.

设4?=a,则3a,

在Rt△物，B'中,4'B'5B2-BB'z=ja,:.AB:A'B'=2：1.

10.答案6

解析•••△/劭是正三角形,0为小的中点,如，△灰切为直角三角形.

•.•。=四,0为4?的中点，

COL48,二△4/△戊的为直角三角形.

•平面/况2平面4®,且交线为AB£g平面ABC,CO±AB,

，口比平面ABD.

：公平面ABD,：.COL0D,

.•.△4必为直角三角形.

.•.题图中的直角三角形有△46C△/①，△友以△/%△。/△C期共6个.

11.解析平面劭&L平面4TM.

理由如下：

平面ABCD,AAu平面ACC}At,

平面■平面ABCD.

又,.•以七平面仍(力，平面ABCDC平面ACQA^AQACLBD,

...如，平面ACQAL

又B2平面BDE,

平面糜上平面47G4.

易错警示

利用面面垂直的性质定理证明线面垂直时，要注意以下三点:(1)两个平面垂直;(2)直

线必须在其中一个平面内;(3)直线必须垂直于它们的交线.

能力提升练

1.C如图⑴，取尸。的中点。连接做

由PB=BC,PA=AC得BDIPaADIPC^BDCA庆D,BD,ADa平面/能平面

ABD,：.PCLAB.

作PMVAB于脱连接MC,,：PCCPM=P,PC,P尼平面PCM,J.ABL平面PCM,：.CMVAB,：.

ZPMC=a.

设沪力，贝ij乐a",由图⑵可得受号9号与号竺，

.*.2a>/PAC+/PBC,a+/PCA+/PCB>等+字+/PCA+NPCB=n.故选C.

2.答案|

解析如图所示，取67/的中点0,连接D'0,0F,D'F,BF,

设诋％：翻折后6与〃'重合，

:.B再D'F.

■.,册阶旌28,/氏90。,

二小8夜，减20,心12.

户0或:。'。，6〃：二面角。'-叱〃为直角，平面O'G/m平面ABCHGH,D'g

平面。'做.'."0，平面463

由题意得/135。，除12-用好4企，

由余弦定理可得0P=01t+N-20H•FH-cosl35°=32+(12-x)2+8(12-x)=/-32x+272,

.,.，/=6^+〃/=f-32W272+32=V-32x+304,

・"#=小+小=162+*=256+9,

.../-32X+304=256+*,

二32万48,解得下

3.解析(I)易知三棱柱/“45G为直三棱柱，

.,.阳，平面ABC,

.♦.G6在平面4?。上的射影为CB,

，NGa'为直线G8与底面48。所成的角.

*/CC、=BB、=2,BC=\,：.tan/GBO2,

即直线G6与底面力比'所成角的正切值为2.

⑵当£为CG的中点时，劭，弱.

理由如下:连接应：

■:C芹ECE1,B(^BC=1,

/BEC-/B\EC\=43°,

二/颂=90。，即BELBE.

,.•力8人平面BBCC,EB、u平面BBCC,：.ABLEB\.

'：BECAB=B,；.旗」平面ABE,

又AEu平面ABE,：.EA1EB\.

⑶取居的中点G,4£的中点£连接做贝ijR；〃45,且小羽几

,.,45,居，，用，图，连接AE

设连接OF,06,

则OG〃AE,且OG=\AE,'：AELEBX,

：.OGLEB“

.../曲广为二面角止翳-4的平面角.

二二面角力-因-4的大小为45°.

4.解析⑴证明:如图，连接DQ.因为几何体/心45。为正三棱柱，所以△力%为正

三角形.

又因为〃是的中点，所以9，4C

又平面/比工平面/CG4,且平面力比n平面ACGAEACB上平面ABC,

所以如，平面ACGAh

又DEu平面484,所以BDLDE.

因为AB-\EAhAB=2,AA^,

所以止当A店1,

所以在Rt△力庞中,N/法30°.

又在中,NG心60°,

所以/以6二90。，即ED，DC、,

因为BDCDG=D,

所以叫U平面BDQ,

又BCu平面BDG,所以DE1BG.

(2)假设存在点后满足条件.过〃作DFLAB于£由正棱柱的性质知A4」又ABQ

44=4所以。凡L平面A附所以DFLBE.

过夕作FG1BE于G,连接〃G，因为尸GP腔£所以皿平面DFG,又〃6t平面MG,所

以皿〃G,所以/戊版为二面角小梦〃的平面角，所以N〃诉30°.

在中，力学,身弓，所以FG=*，与旧入储矛盾，所以假设不成立，即不存在

RtA4O6ZLV3L

T

点£，使二面角止法〃的大小为30°.

5.ABD由是底面圆的直径得N4吐90。，即4£J_9..•圆柱的轴截面是四边形

加修，况1底面AEB,：.BCLAE,又EBCBOB,B&BEu平面BCE,

平面BCE、：.AELCE,故A正确；

同理可得，应比应;故B正确；

若加比平面CEB,则DE上BC,，；BC〃AD,；.史上AD,这与AADE中,AD上AE矛盾，故C不

正确；

•.3EL平面BCE,AEu平面力必.•.平面比EL平面ADE,取D正确.

故选ABD.

6.C'：B(=l,PB^42,P(=^3,

在△阳。中,4+"=12+(&)2=(百)2=尸已

：.BCLPB,

又为，比'且PACPB=P,PA,PBu平面PAB,

，比」平面PAB,

又BCu平面PBC,BCu平面ABC,

平面为反L平面心C平面必及1平面ABC,

故A,B中命题正确；

•在△为。中，阳2+力比/+(©2=(⑹J",

J.PALAC,

■:PA1B&BCCA俏C,BC,ACu平面ABC,

...为，平面ABC,

又•阳u平面PAC,

平面为CT平面/8C故D中命题正确；

假设平面为CL平面次;如图，过A作4ML/T于",

P

5/

C

由平面平面PBOPCAg平面PAC,

：.AML平面PBC,：.AMLBC,

又PALBC,PA^AM-A,PA,A^平面PAC,

...8CL平面PAC,

C.BCLAC,

这与△/a'中比上49矛盾，故假设不正确，故C中命题错误.

故选C.

7.证明⑴连接比并延长,交助于M连接㈣

在四中,0为劭的中点，/小2G0,

.•.G为△9的重心，，冷GM1

又•需需，:・GE〃MC.

咽平面ACD,MCu平面ACD,

...GE〃平面ACD.

⑵在△4S9中，。为物的中点，劭=2,49=4分传

.,.A01.BD,；.AO=>JAB2-BO2-1.

柱丛BCD中,BOC2BA2,0%8〃的中点，连接0c贝U3同

又CA=2,：.QR+OC=CN、

：.AOVOC.

由AOA.0C,A01BD,OCQBD=O,OC,BD^平面BCD,得力0，平面BCD,

又AOa平面ABD,

，平面/劭，平面BCD.

8.AC由垂直于同一直线的两平面平行，可得A正确；

在不同平面的两条直线平行，不能说明这两个平面平行，故B错误；

由两条分别在不同平面的异面直线分别平行于这两个平面，可得这两个平面平行,

故C正确；

垂直于同一平面的两平面不一定平行，故D错误.

故选AC.

9.C如图，连接G〃，过〃作MHLG〃于点〃过〃作HH、±G〃于点/九连接HN,

易知平面4G2L平面CC\D、D,

因为平面平面CC\D\AC\D,MHLC\D,MHu平面AQD,

所以助7_L平面CC、D\D.

因为平面CG〃〃所以MH//AD,

所以MH.CiH

ADC"

易知例〃〃〃，所以罂=若,

UU\L\U

所以梦缺

因为仍〃〃，所以/吐阳.

在RtA"V中,/次=就+府,

因为"0/以，所以,加+腕力尿+/冏=2/麻.

即MN及2M#,M4aMH.

所以P喑MRP将1,

即用衅柳的最小值为1.

10.B设a为尸。的中垂面.二於制.•.点"在外的中垂面。上,.•.点"在正方

形/池内的轨迹一定是平面a和正方形18缪的交线.

,/四边形48切为正方形，侧面用。为等边三角形,：.PD=CD,

取尸。的中点A；连接班有DNLPC.

取48的中点“连接DH,阳取皿的中点内连接PF、CF,

二•侧面阳〃L底面48。平面PAD^平面ABCD=AD,PFu平面PAD,

二PF1平面ABCD,：.PF1DIL

易知4DCF,：.DHLCF.

,：PFCC户F,：.如L平面尸仃；

J.DHLPC.

又vzzvnHD=N,DN,HDci平面DHN,

...PUL平面"外