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第05讲一元二次方程的特殊解法【人教版】·模块一用换元法解一元二次方程·模块二含绝对值的一元二次方程的解法·模块三配方法的应用·模块四课后作业模块一模块一用换元法解一元二次方程【例1】已知a2+b【例2】已知x2+ax−b=0的解是x1=1,x2A.x1=−1,x2=−3.5 C.x1=−1,x2=3.5 【变式1】若实数x满足2x2+2【变式3】阅读材料:在学习解一元二次方程以后,对于某些不是一元二次方程的方程,我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解.例如:解方程:x2–3|x|+2=0.解:设|x|=y,则原方程可化为:y2–3y+2=0.解得:y1=1,y2=2.当y=1时,|x|=1,∴x=±1;当y=2时,|x|=2,∴x=±2.∴原方程的解是:x1=1,x2=–1,x3=2,x4=–2.上述解方程的方法叫做“换元法”.请用“换元法”解决下列问题:(1)解方程:x4–10x2+9=0.(2)解方程:x+1x2–(3)若实数x满足x2+1x2–3x–3x【变式4】转化是数学解题的一种极其重要的数学思想,实质是把新知识转化为旧知识,把未知转化为已知,把复杂的问题转化为简单的问题.例如,解方程x4-3x2-4=0时,我们就可以通过换元法,设x2=y,将原方程转化为y2-3y-4=0,解方程得到y1=-1,y2=4,因为x2=y≥0,所以y=-1舍去,所以得到x2=4,所以x1=2,x2=-2.请参考例题解法,解方程:x2【例2】阅读题例,解答下题:例:解方程:x2解:将含有绝对值符号的方程中的绝对值去掉,就分情况考虑:(1)当x≥0,x2−x−2=0,解得x1(2)当x<0,x2+x−2=0,解得x1综上所述,原方程的解是x=2或x=−2.依照上例解法,解方程x2【变式1】阅读下面的材料,解答问题.材料:解含绝对值的方程x2(1)当x≥0时,原方程化为x²−3x−10=0(2)当x<0时,原方程化为x2+3x综上所述,原方程的解是x1问题:仿照上面的方法,解方程x2模块三模块三配方法的应用【例1】已知P=x2−x,Q=x−2为任意实数,则P−QA.大于0 B.等于0 C.小于0 D.无法确定【例2】把代数式通过配凑等手段,得到局部完全平方式,再进行有关运算和解题,这种解题方法叫做配方法.如:M=a2−2ab+2解:a∵a−b2∴当a=b=1时,M有最小值1.请根据上述材料解决下列问题:(1)在横线上添加一个常数,使之成为完全平方式:x2(2)若M=14x(3)已知x2+2y【例3】【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.这种方法常被用到代数式的变形中,并结合非负数的意义来解决一些问题.例如,把二次三项式x2解:x2我们定义:一个整数能表示成a2+b2(a,b是整数)的形式,则称这个数为“完美数”.例如,5是“完美数”.理由:因为5=22+12(1)【问题解决】请你再写一个小于10的“完美数”;并判断40是否为“完美数”;(2)【问题解决】若二次三项式x2−6x+13(x是整数)是“完美数”,可配方成x−m2+n(m,n为常数),则(3)【问题探究】已知“完美数”x2+y2−2x+4y+5(x,y(4)【问题探究】已知S=x2+4y2+8x−12y+k(x,y是整数,(5)【问题拓展】已知实数x,y满足−x2+3x+y−5=0【变式1】若p=a2+b2A.2021 B.2015 C.2016 D.没有最小值【变式2】已知点A(a,b)在一次函数y=2x−1图象上,则a2【变式3】“a2≥0”这个结论在数学中非常有用,有时我们需要将代数式配成完全平方式,例如:x2+4x+5=x2+4x+4+1=x+22(1)求代数式x2(2)已知x2−4x+y(3)比较代数式x2−1与模块四模块四课后作业1.阅读第(1)题的解题过程,再解答第(2)题:(1)例:解方程x2解:当x⩾0时,原方程可化为x2解得:x1=2,当x<0时,原方程可化为x2解得:x1=−2,∴原方程的解是x1=2,(2)请参照上例例题的解法,解方程x22.阅读下面材料:为解方程(x2−1)2−5(x2−1)+4=0,我们可以将当y=1时,x2−1=1,∴x2当y=4时,x2−1=4,∴x2故原方程的解为:x1=2,x2=−上述解方程的方法叫做“换元法”,请用“换元法”解决下列问题:(1)解方程:x4(2)已知实数m满足(1−2m2+4m)(33.阅读材料,解答问题.解方程:(4x−1)解:把4x−1视为一个整体,设则原方程可化为y2解得y1=6,∴4x−1=6或4x−1=4.∴x1=以上方法就叫换元法,达到简化或降次的目的,体现了转化的思想.请仿照材料解下列方程:(1)x(2)(x4.阅读下面的材料,解答问题.材料:解含绝对值的方程:x2①当x≥0时,原方程化为x2−3x②当x<0时,原方程化为x2+3x综上所述,原方程的解是x1请参照上述方法解方程x25.阅读下面的材料,回答问题:(1)将关于x的一元二次方程x2+bx+c=0变形为x2=﹣bx﹣c,就可以将x2表示为关于已知x2﹣x﹣1=0,用“降次法”求出x4﹣3(2)解方程x4−5x2+4=0,这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常是:设x2=y,那么x4当y=1时,x2=1,∴x当y=4时,x2=4,∴x∴原方程有四个根x1请你用(2)中的方法求出方程(x6.阅读下列“问题”与“提示”后,将解方程的过程补充完整,求出x的值.【问题】解方程:x2【提示】可以用“换元法”解方程.解:设x2−6x=t(t原方程可化为:t2【续解】7.阅读与理解:阅读材料:像x+x−1解法如下:移项:x−1=3−x;;两边平方:x﹣1=9﹣6x+x解这个一元二次方程:x1=2,x2=5检验所得到的两个根,只有是原无理方程的根.理解应用:解无理方程x−18.阅读下列材料:为解方程x4−x2−6=0可将方程变形为x22−x2−6=0然后设x2=y,则x22=y2,原方程化为y2上面这种方法称为“换元法”,把其中某些部分看成一个整体,并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题转化成简单的问题.利用以上学习到的方法解下列方程:(1)x2(2)3x9.【阅读材料】利用公式法,可以将一些形如ax2+bx+c(a≠0)的多项式变形为a例如:对于a2+6a+8.(1)用配方法分解因式;(2)当a取何值,代数式解:(1)原式====[(a+3)+1][(a+3)−1]=(a+4)(a+2).(2)由(1)得:a2∵(a+3)2∴(a+3)∴当a=−3时,代数式a2+6a+8有最小值,最小值是【问题解决】利用配方法解决下列问题:(1)用配方法因式分解:x2(2)试说明不论m为何值,代数式−m(3)若已知(a+c)(b−a)=14(b+c)2且10.【阅读材料】把代数式通过配凑等手段,得到局部完全平方式,再进行有关运算和解题,这种解题方法叫做配方法.配方法在因式
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