第二章原子的能级和辐射

第二章原子的能级和辐射

通过第一章的学习我们已经看到原子的整体结构，不论实验还是

理论都已经证明，它的结构是一个核式结构，即带正电的部分体积很

小，几乎集中了原子的全部质量，位于原子的中央，带负电的电子存

在于原子核之外。但是核外的电子以何种方式存在于原子核之外的,

还不清楚,是静止的,还是运动的？如果是运动的,又是做什么运动？

这些需要我们进一步去研究。

通过后面的学习我们将会逐步看到，光谱在这方面的研究中起了

重要的作用。

§2.1光谱一一研究原子结构的重要途径之一

一、光谱

光谱是电磁辐射的波长成分和强度的记录。有时只是波长成分的

记录。这里的电磁辐射可以是可见区的，也可以是可见区之外的。这

种记录一般是以图片的形式记录。

二、光谱仪摄谱仪

光谱仪是能够把光按波长展开，并把不同成分的强度记录下来,

或把按波长展开后的光谱摄成相片的仪器O能拍摄相片的仪器叫摄谱

仪。

三、光谱仪的工作原理

图2.1就是一台棱镜摄谱仪。

工作原理是光源I发出的光经过透镜L3会聚到摄谱仪的光缝S

±o一部分进入摄谱仪，经会聚透镜L后成为平行光线，射到三棱

镜一侧面上,竟三棱镜折射后，不同波长的光线以不同的偏折角射出,

经透镜L2再成为会聚光线。不同波长的光线会聚到相片P上的不同

位置，在P上形成一系列S的实像。（S是一条狭缝，故像是细线，

称为谱线），谱线的位置决定于波长，每一条确定的谱线都对应于一

个确定波长的光，可用已知波长的光的光谱与之比较，就可知道各谱

线的波长。从浓度可以定出强弱。

四、光谱的类别

从谱线的形状来分，光谱可分三类:线状、带状、连续

1、线状光谱：谱线是一条一条的，彼此分明的细线。因为每一

条谱线代表一个波长成分，谱线是一条一条的，彼此分明的，说明入

射光所具有的波长成分间是有一定间隔的。这类光谱一般为原子所发O

2、带状光谱：谱线是分段密集的，段与段之间有一定的间隔，

这样的光谱叫带状光谱。谱线分段密集说明每一段中不同波长的谱线

很多，相差很小，以至于我们肉眼和仪器都无法分辨请，看上去是段

内连成一片的。这类光谱一般为分子所发。

3、连续光谱：所有的谱线连成一片，这样的光谱叫连续光谱。

所有的谱线连成一片说明入射光具有各种波长成分,波长是连续变化

的。这类光谱一般为炽（chi）热的固体所发。原子、分子在某些情

况下也可以发射。

这三类光谱如图P232.2所示。

五、发射与吸收

光源所发射的光谱叫发射光谱。

还有一种光谱叫吸收光谱。通过实验人们发现，波长连续分布的

光，通过物质时，某一波长的光要被物质吸收。这样我们把要研究的

样品放在发射连续光谱的光源和光谱仪之间，来自光源的光先通过样

品后在进入光谱仪，使某一波长的光被样品吸收，使连续光谱的底片

背景上出现亮线，这个亮线就是被吸收的谱线。样品可以是液体、固

体、气体。每一种元素都有自己的特征吸收谱线。

［原子吸收某一波长的光，使原子能级升高。样品只能吸收能使

其能级升高的光波，不吸收其他波长的光］

§2.2氢原子的光谱和原子光谱的一般情况

用氢气放电管作为光源所拍摄下来的光谱就是氢原子光谱。

到1885年，人们已经发现氢原子光谱在可见光区和紫外区有14

条谱线，观察到的情况如图P252.3所示，从图上可以看出，谱线是很

有规律的，其规律是谱线的间隔和强度都向短波方向递减。其中可见

光区域有4条，分别用乩、山、北、也表示。观察到的情况是

H°红色波长6562.10

H,深绿4860.74

Hz青色4340.10

紫色4101.20

在1885年，巴耳末首先发现，这些谱线的波长可以用一个很简

单的公式来表示。

2

X=B（-^—）,〃=3,4,5……--------巴耳末公式

♦-4.

15=3645.6|是一个常数，|〃=3,4,5……对应的分别是HO、HB、H八也

等，这个公式所表达的这组谱线叫巴耳末线系。

当三回时，区迎，此时团达到了这个线系的极限，这条谱线叫

这个线系的线系限。线系限的波长叫线系限波长。在线系限邻近的二

谱线的波长差趋近于零。

在光谱学中，用波数（国）表征谱线，［JI，这样巴耳末公式可

A,

以改写成卜|“=3,4,5……用用瓦表示，称为里德伯常

数。从氢原子光谱的精密测量中推得%=L0967758x10,|米一】。这样巴耳

末公式进一步可以改写成为卜=跖J」）|,|n=3,4,5……|o这种形式

的巴耳末公式是我们今后学习中经常使用的形式,请大家记住这个公

式。从这个公式可以看出，当三到时，回趋于一个极限值图，是线

系限的波数，称为线系限波数。

在巴耳末发现巴耳末线系之后,氢原子的其他线系也相继被发现,

赖曼发现紫外区域有一个线系，帕邢发现红外有一个，布喇开发现近

红外有一个，普丰特发现远红外有一个，依次被称为赖曼系、帕邢系、

布喇开系和普丰特系。这些线系各自都可以用一个公式表示，开列如

下：

赖曼系方=即（二-二）|”=2,3,4…二

1n

巴耳末系〃=3,4,5

帕邢系方=%(1)〃=4,5,6...

布喇开系〃=5,6,7

普丰特系〃=6,7,8

这些公式可用一个普遍公式表示,即

v=—-）,m=1,2,3,4,〃=/7?+1，m+2,/??+3

m1-------------------------------------------------------------

这个公式叫做广义巴耳末公式，眄=1,2,3,4……|分别对应赖曼系、

巴耳末系、帕邢系、布喇开系等。

广义巴耳末公式可写为卜=粤鲁|，叵耳都叫做光谱项，

光谱项用T来表示，,⑺）乌、％（〃）告

_______m-■______________________

根据光谱项的定义，可知氢原子的光谱项有辱军孥与二二

F223242

总结我们对氢原子研究的情况，可以得出如下的结论：

1、光谱是线状的，谱线有一定的位置。

2、谱线间有一定的关系。同一个线系的谱线的第一光谱项相同，

不同线系的谱线有相同的光谱项。例如，

3、每一条谱线的波数都可以表示为两个光谱项之差。

以上是氢原子光谱的规律，以后我们将会看到，其他原子的光谱

规律也是这样的，与氢原子所不同的只是光谱项的形式。后面我们将

会讲到。

例题试计算氢原子光谱赖曼系谱线的最短波长和最长波长。

（以埃为单位），哪条谱线是线系限？,计算不到

解：根据赖曼系公式卜=%（；-』）|，|〃=2,3,4…葬可知

当巨时，谱线波数最小，波长最大。

当乒个时，谱线波数最大，波长最小。

所以，-L-=vmk）=即（3--V）n==1216xl（）T°机=1216

[max]23RH

7^—=%ax="（！-3）=%=*山=4=912xl（）T°%=912（线系限）

九min18N”

T⑵=年=

22

补充作业:试计算氢原子光谱帕邢系谱线的最长波长和线系限波

数。|T⑶、T④]

解：根据帕邢系公式卜|〃=3,4……可知

下〃2-------------

当回|时,谱线波数最小，波长最大。

当它个时，谱线波数最大，波长最小，为线系限。

-7

所以，-^=vm,=/?“（』一一y）=>Xmax=-^-=18.87X10/M=18870

“max34"KH

7max=RH^--!）=等=⑶亦犷（线系限）

3oo9

T(3)=终=%=1.2x1()6〃尸

329

T(4)=-^-=6.85xl05m-1

42

§2.3玻尔的氢原子理论和关于原子的普遍规律

自从1911年原子的核式结构被发现以后，人们就认识到了，原

子的大小为心切的数量级，原子中有一个带正电的核，核的大小是

叵%的数量级，核外边是电子。电子是怎样存在于原子核之外的呢？

人们首先想到的就是电子绕核旋转，它的活动区域是半径为3数

量级，玻尔在这样一个模型的基础上发展了氢原子理论。

一、电子在原子核库仑场中的运动

对于氢原子来说，核外只有一个电子，原子核带一个单位的正电

荷，电子在原子核的库仑产中运动，他们相互作用的库仑力

为手因为核比电子重1837倍，所以可认为原子核不动，只是

4兀产

电子绕核作圆周运动，则有

ze2u2

-------=m—(1)

4兀sir

由电磁学之式可得他们的电势能（取无限远处电势能为零）为

ze2

Ep=—(2)

4兀5

又因为,一4总(3)

所以总能量为

7

L「LZC

E=Ek+Ep=--------------(4)

4冗e02r

从公式可以看出总能量是负值，（原因是我们选取无限远处电势

能为零），©越大，总能量越大，可以连续变化。

圆周运动的频率为「白一（5）

r2兀丫4兀e0/nr

以上我们是从经典的电磁学、力学理论出发，讨论了能量和频率

与轨道半径的关系。

这个由经典理论推导的关系式，是否符合原子的实际情况呢？

二、经典理论的困难

1、原子的稳定性问题

按经典电磁理论，电子绕核旋转时会有电磁波向外辐射，连续辐

射，能量应连续减少，口逐渐变小，这样下去，电子落到原子核上为

止。所有原子都会变成半径为叵3的数量级时才稳定。而实际是通

过不同实验测定的大小都是叵3的数量级。这一点经典理论无法解

释。

2、关于光谱的形式问题

按电磁理论，原子所发光谱的频率等于电子运动的频率。照刚才

所说，轨道半径连续减小，频率应连续增大，光谱应是连续变化的连

续谱。但事实是线状谱（分立谱）。这一点经典理论也无法解释。

以上两点说明所引用的宏观物理中的理论,不能用在原子这样的

微观客体上。要想解决原子问题，必须另觅新的途径。

三、新的规律——量子化

丹麦物理学家玻尔看到经典理论尽管在解决宏观问题上取得了

巨大的成就，但不大适用于象原子这样的微观领域。于是在普朗克关

于黑体辐射的量子论和爱因斯坦关于光子的概念的启发下,把两子的

概念引用到原子系统，在电子绕核运动时，遵从经典力学规律的基础

上，1913年他提出了三点假设。

假设1定态假设

玻尔注意到原子所发射的是波长分立的线状谱的事实,也就是说

原子发射的光子具有分立的、确定的能量。由此他想到，原子的能量

状态也是分立的、有确定值的状态，而且是稳定的。稳定就是说在这

些状态中电子虽然绕原子核作加速运动，但不发出电磁辐射，这一假

设称为定态假设。用一句话概括为：原子存在一系列有确定能量的稳

定状态一一定态。（在这些状态中电子虽然绕原子核作加速运动，但

不发出电磁辐射）

假设2辐射的频率法则

玻尔认为：当原子从一个定态跃迁到另一个定态时，袁子才发射

或吸收电磁辐射，所发射或吸收的电磁辐射的频率由式

”=邑*决定,这条假设称为辐射的频率法则。

_____〃

&、巳分别是跃迁前后原子的能量，国使普朗克常数。玻尔通过

这条假设将原子状态与原子光谱联系起来。

为了形象地表示高低不同的能量,通常是画一系列高低不同的水

平线表示高低不同的能量，这样的图形称为能级图。

能量最低的状态叫基态，其他状态叫激发态，随能量的增高依次

分别叫做第一、第二……激发态。

假设3角动量量子化（量子化条件）

玻尔认为：原子中能够实现的电子轨道只是那些符合条件

2TZrmv>=nh,“=1,2,3mv>r=n—,“=1,2,3的轨道。

--------------------------------L2兀'

四、氢原子的能级和电子轨道半径

1、电子轨道半径

2-)

ze0

由------7="1一

4兀"r

2nrmv)=nh~~；~~〃=1,2,3~~，可得

2

4兀£/?2.n

077=1,2,3

4/储z

可见，回由回决定，回称为主量子数，

令529166X1（T。米

4兀2”

则r=a—，即r=q,4q,9%...

]z------------------

同是电子的最小轨道半径，称为玻尔半径。

2、氢原子的能量

2和日可推得2K2nie4z2

由E=」・ze-

222

24兀Eor4兀2板Z（4兀£0）/2H

可见，最低能量是亘时的能量，|用=_2兀2彳”.

222

--------（4TTf（））/ixl

各激发态的能量依次是12吟曲吟……|，随回的增加迅速增高。

画出能级图和轨道图如下：

五、光谱线系和能级跃迁

由玻尔假设可得氢原子发射光子的能量正1E1Z二三

即除=『&"=巴衿4考虑到卜=-产穿」得

___________he（4兀£0）/r〃

方=三牛J（3-』）这可以说是由玻尔理论得出的公式。与巴耳

（4九%）/zmn

末得出的经验公式唇Q二以对比，考虑到z=i,可知

_______________加.一

-24

Kme7

Ry=22=1.097373IxlO米\就是理论上的里德伯常数，而巴耳末

（4兀5）-〃-

公式中的RH==1.0967758画米T是由实验测定的经验值。

可见理论与实验符合得相当好，差距仅有0.06%,这说明我们的

理论基本是成功的，但还有一定的差距。

从这里我们也可以得到能量与光谱叠之间的关系为旧,=-修⑺|

根据赖曼系光谱公式卜=跖（；-』）||『=2,3,4……可

I2n2----------------

知赖曼系谱线是怎样跃迁形成的？是从国的状态向三u的状态跃迁

形成的。同理可知巴耳末系是从应1］的状态向丘的状态跃迁形成的。

帕邢系是从三D的状态向西的状态跃迁形成的。……

下面把跃迁情况从能级图和轨道图上画出来如下：

从能级图上看跃迁产生的谱线情况可知，谱线系间有一个整体差

距，差别较大，形成了紫外、可见光、红外、近红外、远红外区的线

系。同一线系内也是同样的道理，能级间隔大的，产生高频（短波）

谱线，能级间隔小的，产生低频（长波）谱线，随回的增加相邻能级

的间距减小，向比它们低的同一能级跃迁时产生的辐射频率（波长）

间距减小，谱线密集。

这一图示要求大家有一个直观的认识。

这里需要说明的是，这里所画的轨道是可能轨道，能级是可能能

级。在某一时刻，一个氢原子中的电子实现的只是其中的一个轨道,

原子的能量也只是与轨道对应的哪个能级的能量。一个电子从某一轨

道上跳到另一轨道上运动称为跃迁。从一个高能级轨道上跃迁到一个

低能级的轨道上时发射一个确定频率的光子。有的同学会提出疑问，

实验时观察到的是各种频率或波长的光谱是怎么回事呢？这个问题

是这样的，我们实际观察的是大量原子，各种轨道运动可以在不同的

原子中实现，各种能级间的跃迁就会在不同的原子中实现，加之我们

的观察又总是持续一段时间的，各种能级间的跃迁（产生各种频率的

谱线）都能观察到，好像同时出现的。

六、非量子化的状态与连续光谱

前面我们已经讲了氢原子的量子化状态和线状光谱，到了1905

年人们发现在巴耳末线系以外还有一个连续的光谱区,实验又发现在

其他线系的末端也出现了连续光谱。为什么会出现这种现象呢？

1、几个基本概念

激发：原子吸收能量，从低能级跃迁到较高能级叫激发。使原子

激发的方法有两种，一种是利用碰撞（一般用高速电子与原子碰撞），

另一种是利用辐射。利用辐射使原子激发的方法，辐射的频率必须是

满足辐射的频率法则的频率才行，否则原子是不会吸收的。用碰撞的

方法所使用粒子的能量不受此规则限制，只要叵圭互］就有可能。

电离：原子如果获得足够大的能量，就会把原子中的电子激发到

无限远，是电子摆脱原子核的束缚这就叫做电离。显然原子被电离后,

电子与原子核间势能为零。使原子电力的方法也有两种，与激发的相

同，但利用辐射使原子电离时，不受辐射频率法则的限制。

第一激发电势：让电子通过一段两端电压为U的电场，使其获得

ell的动能，如果这个能量恰好使原子从基态激发到第一激发态，那

么这个电压值就叫做这个原子的第一激发电势。

设基态能量为&,第一激发态能量为E2,则匹圭司

电离电势：让电子通过一段两端电压为U的电场，使其获得eU

的动能，如果这个能量恰好使原子被电离，那么这个电压值就叫做这

个原子的电离电势。

设基态能量为Ei,则卜u=

2、非量子化的状态与连续光谱

有了上边的基本概念的回顾，下面我们来解释一下线系的末端出

现的连续光谱。

在原子被电离后，电离出去的电子处于游离态，可能会由于

受到碰撞等原因便有了一定的动能后1，当他向原子核方向运动

时，便进入了原子核的势厂范围，它的路径安理学推算是双曲线的一

支，不是闭合轨道。根据能量守恒定律，他在轨道上任何一点的能量

都应等于电子在离核很远时的动能，即"［寸=：1〃?『―/二2，这个能

2247cfor

量不是量子化的，可以是任意值。如果电子从这个非量子化的轨道上

跃迁到一个量子化的轨道上运动，原子就要向外发射一个光子,

,12hcR

hv=-mv>

20nr

上式中的第一项是任何正值，是非量子化的，第二项是氢原子的

量子化的能量，二者的和为非量子化的，所以光的频率回可以是连续

的任何值，即为连续谱，范围在线系限之外。

说明：这里我们用玻尔理论成功的解决了氢原子问题，这个理论

对于其他原子也适用，是关于原子的普遍规律。

例题1按照玻尔理论计算基态氢原子的下列各量的值。

（1）电子轨道半径；（2）电子的轨道角动量；（3）总能量。

例题2已知氢原子的某一线系的限系线波长为3646埃，其中

有一条谱线的波长是6563埃，求这条谱线所对应的始末状态的能量

和电子轨道半径。

解：由3=R〃（^7—忖知

______mn

得仁际［则知道这个线系是巴耳末线系］

"minm

由9（*'-：）可得

所以波长是6563埃的谱线所对应的始状态的能量为

算氢原子将被激发到第几激发态？该状态所对应的光谱项的值是多

少？(2)画出能级示意图，并标出受激发的氢原子向较低能级跃迁

时可发出哪几条谱线？分别属于哪个线系？(3)这几条谱线中的最

短波长是多少？

解：(1)设被激发到量子数为回的激发

态

hcRhcR

E“-Ei=*即--------=------=.

n2I2

解得匹3,说明被激发到第三激发态

j=/=6850c/

(2)(如右图)

(3)由能级跃迁图可分析出赖曼系的第三条谱线波长最短

g=q=,回=972可

作业：P762、3o

§2.4类氢离子的光谱

类氢离子是原子核外边只有一个电子,而原子核带有大于一个单

元的正电荷的离子体系。例如，一次电离的氢粒子He+,二次电离的

锂粒子Li++,三次电离的镀粒子Be+++等。

玻尔理论是否可以应用于这类粒子？

一、类氢离子光谱的具体例子

1、光谱事实

1897年天文学家毕克林在船胸座©星的光谱中发现了一个很象

巴耳末线系的线系，但谱线比巴耳末线系多一些，人们称这个线系为

毕克林系。

若把这两个线系画在一张图上对比，也就是37页图2.8所示，

会发现毕克林系中每隔一条谱线就有一条和巴耳末系的谱线差不多

重合（稍有波长差别），但另有一些谱线位于巴耳末系两相邻谱线间。

里德伯把毕克林系的谱线也总结得出一个公式，

与巴耳末公式完全相同，只是|〃=2.5,3,3.5,4……|这样的整数和半

整数。

但是地球上的氢是观察不到的,，早期人们认为是一种特殊的氢

所发，后来发现这是He+所发的，He+与氢原子结构相似，只是三D。

2、试用玻尔理论的结论

按玻尔理论，推出氢原子的光谱公式为卜=乌普■（士-U

（4兀e0）Acmn

与巴耳末得出的经验公式卜=跖（’7■-二）|对比,考虑到Z=l,可知

___________n

C24

R"="、=1.097373IxlO7

（4兀％

实质上氢原子的光谱公式是卜=%2（3一3

________m几

这应用于He+考虑到z=2,可知He+的光谱公式应为

歹=22凡(3--y)

mn

当|〃?=4|时，有万=RLi(g----)，把它写成"=R"形式，

22心)22n

2

n=2.5，3,3.5,4

可见，毕克林系的谱线是玻尔理论公式中对应于回的谱线系。

这说明玻尔理论也适用于类氢离子。后来^=2、3、5、6|的线系也相继被发

现。

再后来人们又发现了二次电离的锂粒子Li++,厂三铁电离的钺粒子

=Rz2(-V-

Be+++光谱线系，他们也遵从玻尔理论得出的公式方』），对

m

于二次电离的锂粒子Li++,Z=3；对于三次电离的粒粒子Be+++,Z=4。

二、里德伯常数的变化

如果氮离子的光谱公式是完全正确的，那么当正口取值适当的

话，谱线好像应该有完全重合的，而事实上却稍有差别，这说明他们

的里德伯常数肯定有差别。而比较二者的不同点可知它的来源肯定是

原子核的质量引起的。

回顾一下我们应用玻尔理论推导问题时，是不是假设原子核质量

无限大,认为只是电子绕原子核作圆周运动？而实质上原子核质量不

是无限大，实际的运动情况是电子与原子核绕他们共同的质心运动,

这样可以推知里德伯常数为

R=2”这里口泮4区为原子核的质量。与

心二c2―4对比可知,只要把回换成回即可。可见，原子核的质量

（4兀f0）hc

不同里德伯常数略有不同。使得He+与氢原子的谱线不会重合，而是

有一个微小的差别。

§2.6量子化通则

玻尔在氢原子理论中，提出一个量子化条件

|2兀厂〃?0=加，“=1,2,3…二,此式可以有两种叙述方法：一是说在圆

周运动中，动量回与圆周Q的乘积为国的整数倍。另一说，角动量回

与一周的角位移团的乘积为国的整数倍。

在玻尔提出不久，威尔逊、石原、索莫菲等人各自提出了量子化

的普用法则。

/Pdq-nh,〃=1,2,3口

q是坐标，P是与q对应的动量，。是积分一周期。

由于q可以是任意坐标，故称为广义坐标，与之对应的动量P

称为广义动量。例如，q如果是线坐标，dq为线位移，P为动量，对

于匀速圆周运动有卜固不dq=2nrmu=nh""Jq如果是角坐标，dq为角

位移，P为角动量，对于匀速圆周运动有

Pdq=Pe^dq==2n=2%rmu=nh，此二式即为玻尔提出的圆周运动量子

化条件。

关于量子化通用法则可以由量子论从理论上证明，我们在此不作

介绍，有兴趣的同学回去看一下书。

§2.7电子的椭圆轨道与氢原子能量的相对论效应

前面我们讨论了电子在原子核库仑场中的圆周运动,而电子在原

子核的库仑场中的运动根行星绕太阳运动一样,都是受着与距离平方

成反比的力的作用，这样的运动按力学原理一般应是椭圆轨道运动。

如果仍然假设原子核不动，他处于椭圆的一个焦点上，圆形轨道只是

椭圆轨道运动的一个特殊情况，照这样在玻尔理论发表不久，在1916

年索莫菲就提出了椭圆轨道的理论。

一、量子化条件的引用与椭圆轨道的特性

电子绕原子核在一个平面上作椭圆轨道运动，是二维运动。可用

两个坐标来描写，如果用极坐标处理问题，再仝声标为回和回。如图

B向分量是垂直于径向的分

O__________

与IZI对应的动量是P：.=一耳="?r_(1)

与国对应的动量是2=加3=加/0(2)

根据量子化通则

IPrdr=nrh(3)

(4)

圆称为角量子数，周称为径向量子数。

根据平普勒定色，国为恒量（任何相等的时间扫过的面积都相

等），所以为恒量，不随国发生变化。［这也是角动量守恒］

，耳d0=Ajd</>=2兀2刃*，

•_h

••Ap="4(5)

H积分较难'但考虑到体系的能量“毛〃，--三进一

步推算可得

匚汇三（6）

a4+”,〃

…2曳］（7）

z

b="%—（8）

_______z

立分别是椭圆轨道的半长轴和半短轴，圆是玻尔半径，回是主

量子数，为整数；”=丁+叫。

分析以上公式，可以看出：电子轨道虽然是椭圆，但圆扁的程度

是不同的，描述其形状的指标良国又是量子化的。半长轴回由主量子

数回决定，等于玻尔提出的圆周轨道半径；半短轴同由角量子数圆决

定。

对于回相同的轨道，同有几个值，就有几个不同的形状。关于圆

的值：由于|〃=%+%|，所以国，但［亘（等于零则为直线），所以

4=1、2、3…〃（9）

即对应于一个回，有回个同值，故有回个形状，其中有一个是圆

（即心时，这正是玻尔提出的圆形轨道）。例如：

回0回0形状

11之%圆

ZZ

142椭圆

2ZZ

24%4圆

ZZ

3193椭圆

ZZ

29%60椭圆

ZZ

39£i_99圆

ZZ

轨道形状如图53页图2.17所示

在索末菲的椭圆轨道理论中推得原子的能量为

不需，这与玻尔理论的结果一致。

这里我们会发现：

1、索末菲的理论包括了玻尔的理论，是玻尔理论的推广。

2、在玻尔理论中，一个回值的轨道是一条，能量也是一个值；

在索末菲的理论中，对应于一个回值的轨道是四种形状，而能量仍是

一个。轨道有回种形状，也就是说原子有回个状态。

我们把回个状态对应于同一个能量的情况叫做能级简并。

事实上氢原子的具有相同回值的那些状态究竟是否简并呢？实

际是不简并的。这在第二个问题中讨论。

二、相对论效应

按相对论原理，物体的质量是随运动速度变化的，关系为

电子在椭圆轨道运动中角动量守恒,因此必然是离核近时速度快,

离核远时速度慢，所以在轨道运动过程中电子质量一直在变，这样的

情况产生的效果是，电子轨道不是闭合的，是一个连续进动的椭圆轨

道[这比前面的讨论又进了一步，我们的讨论情况是，先提出圆，继

而提出椭圆，椭圆又分几种形状，这里又提出了进动的椭圆]。

在不同的椭圆轨道上速度的变化情况不同，因而质量变化情况不

同，进动也不完全相同，这样引起的能量略有差别。

索末菲按相对论原理，进一步求隼了氢原子轨道运动的能量是

221

E=-HC2+〃c{l+------.......-）-2

2222

[nr+（尾-az）]

此式中日的四次、六次方等高次项可忽略。

从这里可以看出第一项就是玻尔理论的结果,第二项是相对论效

应的结果。对于同一个回，不同的同，第二项的值不同，也就是说同

一个回，不同的同的轨道具有不同的能量修正项，修正项比主项小得

多。

从这里我们又进一步了解了原子内部的复杂性。这种微小的能量

差别在光谱上产生什么影响呢？关于这个问题我们在第四章中将于

其他问题一并讨论。

例题试求氢原子的主量子数近3时，（1）电子轨道有几种形状？

形状如何？（2）上述轨道中，除圆形轨道外，面积最大的是哪一条

轨道（指明其角动量量子数即可）？其半短轴、半长轴各是多少？

解（1）当国时，角动量量子数时可取1,2,3,4四个值，

故电子轨道有四种形状，而1时是圆形,其余三种是椭圆型。

圆形轨道半径是，椭圆形轨道的半长轴和半短轴分别是

（2）面积最大的椭圆型轨道是。的椭圆型轨道，其半短轴为

回，半长轴为图

§2.8史特恩一盖拉赫实验与原子空间取向的量子化

前面几届我们从电子轨道的大小、形状、原子的能量、角动量等

几个方面进行了学习和讨论，知道他们都是量子化的。这一节我们来

讨论一下原子在电厂或磁场中的行为。

一、电子轨道运动的磁矩

由电磁学的知识可知，一个载流小线圈具有磁矩，底回，目是线

圈电流，区I是线圈所围的面积。

电子绕核运动，就相当于一个载流小线圈，其电流目，©是

电子运动的周期。其所围面积广/侬=注,3%=，「加尸3力

Jo2Jo22mJo_______

图（这里利用了角动量守恒）

所以，电子轨道运动的磁矩为|户泊=九孕=薯

这是他们的数值关系，磁矩的方向与臼的方向成右手螺旋关系，

因电子带负电，所以与园方向相反。

考虑到角动量量子化，/“11，有口等

…4I叫玻尔磁子,可见轨道运动磁矩是量子化的。他的最小

_____4兀〃7

单元是玻尔磁子。不同闷的轨道，磁矩不同。

二、轨道取向量子化的理论

按经典理论和我们的经验，原子的角动量圆在外场中的取向应是

杂乱无章的（或者说是任意的），即可的方向与外场的方向的夹角回可

以是三之间的任何值。

但是，量子化理论指出原子的角动量在外场中的取向（用圆与国

之间的夹角表示）不是任意的，回与国之间的夹角画只能取某些特定

值，这种情况叫做轨道取向量子化或角动量空间量子化。

取外磁场国的方向为Z轴正方向，则网与Z轴的夹角为回，圆在

Z轴方向的分量为p==&cosa

理论（量子化通则）和实验都证明，圆也不能是任意的，必须是

量子化的,即=.cosa=〃z?，":P«=小白

|27rl2.

/.|cosa=J,由-1<cosa<l、nz］必须取整数，可知

%=%、%-1、%-2、…-〃/这样瓯+11个值。也就是说回有瓦习个值，也

就是说同有九+1个取向o

A

正U（如书中61页图）

三、史特恩一盖拉赫实验

电子的轨道角动量空间量子化可以通过史特恩―盖拉赫实验进

行验证。实验装置如图57页。

0是电炉，在其内使银蒸发，银原子从容器0内通

过一小孔逸出，再经过狭缝片和品后，就使我们选

出了沿水平方向（x方向）运动的氢原子束，其速

度为口,在狭缝务右面有一个纵向不均匀的磁场区,

这样一个带磁矩"的磁体在不均匀磁场中受力方

尸二2_______

向只是在2方向，一“甘i孚COS/3

az

原子束以水平速度。进入磁场去，而在垂直方向受到力尸，的作用,

这就好比平抛运动，原子束在磁场区内将作抛物线运动。

最后打到照相底片P上，（原子的整个路径抽成真空），这样在显

象后的底片上会发现两条黑斑,这说明原子经过不均匀的磁场分成两

束。

原子经过不均匀的磁场分成两束说明他的受力团有两个值，在

一定的情况下,叵亟创有两个值,也就是说回有两个方向，也

就是说角动量有两个取向。即是量子化的。

然而，应该指出，尽管这个实验证实了原子在磁场中的空间量子

化，但由这个实验给出的银原子在磁场中只有两个取向的事实，却是

空间量子化的理论所不能解释的。按空间量子化理论，当国一定时，

有曳习个取向，在亘为最小时，有三种取向。在实验中，观察的

确是两种取向，这只能说明，到此为止，我们对原子的描述仍是不完

善的。后面我们还要继续探讨。但到目前至少可以说明角动量的取向

确实是量子化的。

§2.9原子的激发与辐射激光原理

通过前面的学习我们已经知道，原子可以处在不同的状态，在每

一个状态都有一定的能量，不同状态具有不同的能量值。

我们把原子内部能量最低的状态叫做基态。比基态能量高的那些

状态叫做激发态。在基态的原子可以吸收能量跃迁到各个激发态，在

较低激发态的原子也可以吸收能量跃迁到较高的激发态。原子也可以

从较高的能量状态向较低的能量状态跃迁，这时要以电磁辐射的形式

放出能量，每次跃迁放出一个能量为旧的光子。

下面我们来讨论一下原子被激发和放出能量的有关问题。

一、原子同其他粒子的碰撞

原子也是粒子，粒子相互碰撞过程中，如果只有平移能量交换,

也就是说内部能量不变，这种碰撞叫做弹性碰撞。

如果粒子相互碰撞过程中，内部能量有增减，也就是说粒子的平

移能量和内部能量间有交换，这种碰撞叫做非弹性碰撞。

非弹性碰撞又分两类：第一类、第二类。

如果碰撞过程中,一部分平移能量转变为分子、原子的内部能量,

使分子、原子激发，这种非弹性碰撞叫做第一类非弹性碰撞。

如果碰撞过程中，分子、原子内部能量减少，放出的能量转变为

平移能量，这种非弹性碰撞叫做第二类非弹性碰撞。

从这里我们可以看出，原子可以通过碰撞使他从低能级跃迁到高

能级，也可以使他从高能级跃迁到低能级。

二、原子的自发辐射

原子被激发到高能级后，除了上面所说的通过碰撞放出能量外,

还可以自发的从高能级跃迁到低能级,把多余的能量以辐射的形式放

出，这种现象叫原子的自发辐射。

三、受激发射与吸收

当原子处于电磁辐射场中时，原子就要和辐射场发生相互作用。

设状态2和状态1是原子的任意两个状态，状态2得能量是E2

和状态1的能量是EI,（匠亘）。如果辐射场的辐射频率回满足

\hv=E2-Ei\,此时原子就要和辐射场发生相互作用。

怎样作用呢？

对于处在状态1的原子，会吸收一个光子的能量，被激发到状态

2,这种作用称为场致激发或光致激发。他与碰撞激发是不同的。

对于处在状态2的原子，也会受到辐射场的激动，从