人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数四步导学案

第二十八章锐角三角函数

28.1锐角三角函数（1）一一正弦、余弦

学习目标

1、经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这

一事实。

2、能根据正弦概念正确进行计算

学习重点：

1.理解正弦（sinA）概念，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是

固定值这一事实.

学习难点：

1.当直角三角形的锐角固定时，，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。

教学流程

【导课】

问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建

一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°,为使出水

口的高度为35m,那么需要准备多长的水管？

思考1：如果使出水口的高度为50m,那么需要准备多长的水管?;如

果使出水口的高度为am,那么需要准备多长的水管?

结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值

思考2：在RtZXABC中，ZC=90°,NA=45°,NA对边与斜边的比值是一个定值吗？如

果是，是多少？

结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值

【阅读质疑自主探究】

探究：任意画RtZkABC和RtZkA'B'C,使得NC=NC'=90°,

NA=NA'=a,那么学与篝有什么关系.你能解释一下吗？

ACA'

结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，ZA

的对边与斜边的比___________________

正弦舀教概念：

规定：在RtaBC中，ZC=90,

NA的对边记作a,NB的对边记作b,NC的对边记作c.

在Rt^BC中，ZC=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做NA的正弦,

.,乙帕勺对边a

记作sinA,即sinA==—.si方碉逅二

C

例如，当NA=30°时，我们有sinA=sin30°=；

当NA=45°时，我们有sinA=sin45°=.

【多元互动合作探究】

在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，ZA的对边与斜边

的比都是.

在RtAABC中，ZC=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做NA的,记

作，

【训练检测目标探究】

1.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sina的值是（）

3434

A.4B.3C.5D.5

2.如图，在直角4ABC中，ZC=90°,若AB=5,AC=4,则sinA）

2

3.在AABC中，NC=90°,BC=2,sinAj,则边AC的长是（）

o

4.如图，已知点P的坐标是（a,b）,则sina等于（）

a_b_aDb

A.bB.ac.J"+/A/A2+b2

【迁移应用拓展探究】

1.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=12,BC=5,则sinA=

cosA=_____,sinB=____,cosB=_______o

2.在Rt△ABC中，ZC=90°,AC=1,AB=2,贝！JsinA=_____,

cosB=______,cosA二________,sinB=_______.

3.如图，已知直角三角形ABC中，斜边AB的长为】tn,ZB=40°,则直角边BC的长是()

A.msin40°B.mcos40°

m

C.mtan40°taij*AC

4.比较大小：sin40°_____sin80°;

cos40°_____cos80°o

5.在直角AABC中，AC=BC,NC=90°求：(1)cosA(2)当AB=4时,求BC的长.

布置作业

板书设计

教后反思

授课时间：累计课时：

第二十八章锐角三角函数

28.1锐角三角函数(2)一—、正弦、余弦、正切

学习目标

1、感知当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一

事实。

2、逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。

学习重点：

1.理解余弦、正切的概念。

学习难点：

1.熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算。

教学流程

【导课】

1、我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？

2、如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,CDLAB于点D。

已知AC=4,BC=2,那么sinNACD=()

A.在B.1C.垣D.亚

3352

3、如图，已知AB是。0的直径，点C、D在。0上，

且AB=5,BC=3.则sin/BAC=；sinZADC=

4、在Rt^ABC中，ZC=90°,当锐角A确定时,

ZA的对边与斜边的比是

现在我们要问：

ZA的邻边与斜边的比呢?

NA的对边与邻边的比呢？

为什么？

【阅读质疑自主探究】

类似于正弦的情况，

如图在RL^BC中，ZC=90°,当锐角A的大小确定时，NA的邻边与斜边的比、ZA

的对边与邻边的比也分别是确定的.我们

/瑚邻边a

把NA的邻边与斜边的比叫做NA的余弦，记作cosA,即cosA=

斜边c

/朗勺对边a

把NA的对边与邻边的比叫做NA的正切，记作tanA,即tanA=

/朗勺邻边~b

例如，当NA=30°时，我们有cosA=cos30°=；

当NA=45°时，我们有tanA=tan45°=

（教师讲解并板书）：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做NA的锐角三角函数.

对于锐角A的每一个确定的值,sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数.同

样地，cosA,tanA也是A的函数

例2：如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,BC=6,sinA=y,求cosA、tanB的值.

【多元互动合作探究】

1、在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=1,AB=3,则tanA=

2、在直角4ABC中，ZC=90°,BC=5,tanA=—,求AB=

12

3、如图，在RtZXABC中，ZC=90°,AB=5,求tanA与tanB的彳麓3题

4、如图，在正方形ABCD中，点E为AD的中点，连结EB,设NEBA=a,则tana

5、如图，A3是半圆的直径，弦A。、3c相交于P,已知NAED

DPB=60°,。是前的中点，则tan/ADC等于（）

(A)|(B)2(C)市

第4题

【训练检测目标探究】

1.在中，ZC=90°,a,b,c分别是NA、NB、NC的对边，则有（）

A.6=-tani=c-sinA.a=c-cos5c=a-sinA

4

2.在RJMBC中，ZC=90°,如果cosA=§那么tan3的值为（）

3、如图：P是的边OA上一点，且P

点的坐标为（3,4）,

则cosa=.

【迁移应用拓展探究】

(4)tanZBCD=

4

2、如图，在RtaABC中，ZC=90°,BC=12,tanA=-,求AB的值。

3

3、如图，N1的正切值等于

4、三角形在方格纸中的位置如图所示，则tana的值是（)

士西加捐3题图

布置作加

板书设计

教后反思

授课时间：累计课时：

第二十八章锐角三角函数

28.1锐角三角函数（3）——特殊角三角函数值

学习目标

1、能推导并熟记30°、45。、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。

2、能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式

学习重点：

1.熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三

角函数的运算式

学习难点：

1.30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程

教学流程

【导课】

一、自学提纲：

一个直角三角形中，

一个锐角正弦是怎么定义的？

一个锐角余弦是怎么定义的？

一个锐角正切是怎么定义的？

二、合作交流：

思考：

两块三角尺中有几个不同的锐角？______________________________________________

是多少度？___________________________________________________________________

你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值码？.

三、教师点拨:

归纳结果

30°45°60°

siaA

cosA

tanA

【阅读质疑自主探究】

例1:求下列各式的值.

(1)cos260°+sin260°.

(2)9cos匕45°-tan45°.

sin45°

例2：(1)如图(1),在Rt^ABC中，ZC=90,AB=",BC=6,求NA的度数.

AC

(1)(2)

（2）如图（2）,已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的百倍，求a.

【多元互动合作探究】

30°45°60°

siaA

cosA

tanA

【训练检测目标探究】

3

1.已知：RtZXABC中，ZC=90°,cosA玉,AB=15,则AC的长是（）.

A.3B.6C.9D.12

2.下列各式中不正确的是（).

A.sin260°+COS260°=1B.sin30°+cos30°=1

C.sin35°=cos55°D.tan45°>sin45°

3.计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是().

A.2B.志

C,应D.1

4.已知NA为锐角，且cosAwg,那么（）

A.0°〈NAW60°B.60°WNA〈90°C.0°<ZA<30°D.30°

WNA〈90°

5.在AABC中，NA、NB都是锐角，且sinA=1,

cosB^-,则AABC的形状是（）

A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定

6.如图Rt^ABC中，ZACB=90°,CDLAB于D,BC=3,AC=4,设NBCD=a,则tana的值为

().

IiIi

A.4B.HC.5D.二

7.当锐角a〉60°时，cosa的值（).

A,小于;B.大于TC.大于当

D.大于1

8.在AABC中，三边之比为a：b：c=l：出:2,则sinA+tanA等于().

3+26

B.-+A/3c.---

A.622。号

9.已知梯形ABCD中，腰BC长为2,梯形对角线BD垂直平分AC,若梯形的高是四,则N

CAB等于()

A.30°B.60°C.45°D.以上都不对

10.sin272°+sin218°的值是().

1

A.1B.0C.D.看

11.若(小tanA-3)2+|2cosB-^|=0,则4ABC().

A.是直角三角形B.是等边三角形

C.是含有60°的任意三角形D.是顶角为钝角的等腰三角形

三、填空题.

12.设a、B均为锐角，且sina-cosB=0,则a+B=.

cos45。-sin30。

cos60°+—tan45°

13.2的值是.

14.已知，等腰AABC的腰长为44，底为30°,则底边上的高为一周长为

15.在RtAABC中，ZC=90°,已矢口tanB=一，贝UcosA=.

【迁移应用拓展探究】

L计算.

(1)cos45°-sin30°(2)sin260°+COS260°

cos245°

(3)tan45°—sin30°•cos60°

tan230°

⑸函―2）。+电+4COS30°-|-A/12|

2.练习：

(1)若cosa=—,则锐角a=.若2cosa=1,则锐角a=.

2

(2)^EAABC中，ZC=90°,sins^,则cosB=,tanB=

T

百

(3)若NA是锐角，且tanA=——，则cosA=.

3

3

⑷已知a为锐角，且sintz=『则sin(90°-a)=

布置作业

板书设计

教后反思

授课时间：累计课时：

第二十八章锐角三角函数

28.1锐角三角函数(4)一运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角

学习目标

1、让学生熟识计算器一些功能键的使用

2、运用计算器处理三角函数中的值或角的问题

学习重点：

1.运用计算器处理三角函数中的值或角的问题

学习难点：

1.知道值求角的处理

教学流程

【导课】

求下列各式的值.

(1)sin30°•cos450+cos60°;

(2)2sin60°-2cos30°•sin45°

【阅读质疑自主探究】

合作交流：

学生去完成课本8384页

学生展示：

用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值

学生去完成课本8386页的题目

【多元互动合作探究】

/.、2cos60°

(3);

2sin300-2

cin450+cos30°

(4)--.sin60°(l-sin30°).

【训练检测目标探究】

(5)tan45°,sin60°-4sin30°•cos45°+瓜•tan30°

sin45°

(6)+cos45°,cos30°

tan300-tan60°

【迁移应用拓展探究】

1.求满足下列条件的锐角A(精确到0.01。)

(1)sinA=-(2)cosA=0.23(3)tanA=10

4

2.如图，已知秋千吊绳的长度3.5m,求秋千升高1m时，秋千吊绳与竖直方向所成的角度(精

确到0.01°)

C

布置作业

已知，如图，AD是4ABC的高，CD=16,BD=12,ZC

=35°.

求NB（精确到0.01°）

板书设计

教后反思

授课时间：累计课时：

第二十八章锐角三角函数

28.2解直角三角形（1）

学习目标

1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角

互余及锐角三角函数解直角三角形

2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，

逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.

3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯.

学习重点：

1.直角三角形的解法.

学习难点：

1.三角函数在解直角三角形中的灵活运用

教学流程

【导课】

1.在三角形中共有几个元素？___________________________________________________

2.直角三角形ABC中，ZC=90°,a、b、c、NA、NB这五个元素间有哪些等量关系呢？

⑴边角之间关系

.4a人bab

sinA=—;cosA=—;tanAA=—；cotAA=一

ccba

.baba

sinB=—;cosB=—;tanB=—;cotB=—

ccab

如果用N&表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.

Na的对边的邻边的对边Ntz的邻边

SH1。二；cos。=；tan。---------,cotf^z=----------

斜边斜边的邻边’的对边

⑵三边之间关系⑶锐角之间关系NA+NB=90。.

a2+b2=c2（勾股定理）以上三点正是解直角三角形的依据.

【阅读质疑自主探究】

要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角&一般要满足

50°<a<75°,（如图）.现有一个长6m的梯子，问：

⑴使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）

⑵当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角日等于多少（精确到1°）这时人是否能

够安全使用这个梯子

【多元互动合作探究】

例1在AABC中，NC为直角，NA、NB、NC所对的边分别为a、b、

且b=e,

a=屈,解这个三角形.

例2在Rt^ABC中，ZB=35°,b=20,解这个三角形.

【训练检测目标探究】

1.根据直角三角形的元素（至少有一个边），求出________其它所有元素的过程,

即解直角三角形.

2、在RtaABC中，a=104.0,b=20.49,解这个三角形.

3、在AABC中，NC为直角，AC=6,/BAC的平分线AD=4百，解此直角三角形。

4

4、RtAABC43，若sinA=—,AB=10,那么BC=,tanB=

5

5、在aABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,那么sinA=.

6、在AABC中，ZC=90°,sinA=j,则cosA的值是（）

A3R4916

552525

【迁移应用拓展探究】

4

1、如图,AWC,cosADC蓝,ZB=30°AD=10,求BD的长.

2、已知跷跷板长4米，当跷跷板的一端碰到地面时，另一端离地面1.5米，求此时跷跷板与

地面的夹角正弦。

布置作业

1、同学们对公园的滑梯很熟悉吧？如图，是某公园新增设的一台滑梯，该滑梯高度NC=2米,

滑梯着地点8与梯架之间的距离BC=4米.

(1)求滑梯N8的长(精确到0.1米)；

(2)若规定滑梯的倾斜角(/ABC)不超过45。，属于安全.通过计算说明这架滑梯的倾斜角

是否符合要求？

2.如图所示，AB表示楼梯，BC表示平台，CD表示滑道.若点

E,F均在线段AD上，四边形BCEF是矩形，且sinZBAF=-,BF=3米，BC=1米，CD=6米.求:

3

(1)ND的度数；

板书设计

教后反思

授课时间：累计课时：

第二十八章锐角三角函数

28.2解直角三角形(2)

学习目标

1、使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题.

2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.

3、渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识

学习重点：

1.将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知

识把实际问题解决.

学习难点：

1.实际问题转化成数学模型

教学流程

【导课】

1.解直角三角形指什么？

2.解直角三角形主要依据什么？

(1)勾股定理：________________________

(2)锐角之间的关系：___________________

(3)边角之间的关系：

..NA的对边.NA的邻边NA的对边

斜边斜边NA的邻边

tanA=

【阅读质疑自主探究】

当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平

铅

垂

线

水平

法

视线

线下方的角叫做俯角.

例32003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球

表面350km的圆形轨道上运行.如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最

远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6

400km,结果精确到0.1km)

例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o,看这栋离楼底部的俯角

为60o,热气球与高楼的水平距离为120m.这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）?

BrBA臼

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【多元互动合作探究】

1.如图，小明欲利用测角仪测量树的高度。已知他离树的水平距离BC为10m,测角仪的高

度CD为1.5m,测得树顶A的仰角为33°.求树的高度AB。

（参考数据:sin33°~0.54,cos33°又0.84,tan33°g0.65）

2、为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点观测气球，测得仰角为30°,

然后他向气球方向前进了50m,此时观测气球，测得仰角为45°.若小明的眼睛离地面1.6m,

小明如何计算气球的高度呢（精确到0.01m）

c

3、为了改善楼梯的安全性能，准备将楼梯的倾斜角由65度调整为40度，已知原来的楼梯的

长为4米，调整后的楼梯要占多长的一段楼梯地面.

【训练检测目标探究】

1、如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为60。，看这栋高楼底部的

俯角为30。，热气球与高楼的水平距离为66m,这栋高楼有多高？(结果精确到0.1m,

参考数据：V3®1.73)B

白

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2、)如图，线段AB、£>C分别表示甲、乙两建筑物的图，AB±BC,DC±BC,从8点测得。点的

仰角a为60°从A点测得。点的仰角仅为30°,已知甲建筑物高A3=36米.

(1)求乙建筑物的高DC；

(2)求甲、乙两建筑物之间的距离8c

【迁移应用拓展探究】

3、如图，一艘核潜艇在海面下500米A点处测得俯角为30。正前方的海底有黑匣子信号发出，

继续在同一深度直线航行4000米后再次在B点处测得俯角为60。正前方的海底有黑匣子信号

发出，求海底黑匣子C点处距离海面的深度？（精确到米，参考数据：&-1