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文档简介
第二十八章锐角三角函数
28.1锐角三角函数(1)一一正弦、余弦
学习目标
1、经历当直角三角形的锐角固定时,它的对边与斜边的比值都固定(即正弦值不变)这
一事实。
2、能根据正弦概念正确进行计算
学习重点:
1.理解正弦(sinA)概念,知道当直角三角形的锐角固定时,它的对边与斜边的比值是
固定值这一事实.
学习难点:
1.当直角三角形的锐角固定时,,它的对边与斜边的比值是固定值的事实。
教学流程
【导课】
问题:为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,在山坡上修建
一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°,为使出水
口的高度为35m,那么需要准备多长的水管?
思考1:如果使出水口的高度为50m,那么需要准备多长的水管?;如
果使出水口的高度为am,那么需要准备多长的水管?
结论:直角三角形中,30°角的对边与斜边的比值
思考2:在RtZXABC中,ZC=90°,NA=45°,NA对边与斜边的比值是一个定值吗?如
果是,是多少?
结论:直角三角形中,45°角的对边与斜边的比值
【阅读质疑自主探究】
探究:任意画RtZkABC和RtZkA'B'C,使得NC=NC'=90°,
NA=NA'=a,那么学与篝有什么关系.你能解释一下吗?
ACA'
结论:这就是说,在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,不管三角形的大小如何,ZA
的对边与斜边的比___________________
正弦舀教概念:
规定:在RtaBC中,ZC=90,
NA的对边记作a,NB的对边记作b,NC的对边记作c.
在Rt^BC中,ZC=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做NA的正弦,
.,乙帕勺对边a
记作sinA,即sinA==—.si方碉逅二
C
例如,当NA=30°时,我们有sinA=sin30°=;
当NA=45°时,我们有sinA=sin45°=.
【多元互动合作探究】
在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,不管三角形的大小如何,ZA的对边与斜边
的比都是.
在RtAABC中,ZC=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做NA的,记
作,
【训练检测目标探究】
1.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示,则sina的值是()
3434
A.4B.3C.5D.5
2.如图,在直角4ABC中,ZC=90°,若AB=5,AC=4,则sinA)
2
3.在AABC中,NC=90°,BC=2,sinAj,则边AC的长是()
o
4.如图,已知点P的坐标是(a,b),则sina等于()
a_b_aDb
A.bB.ac.J"+/A/A2+b2
【迁移应用拓展探究】
1.如图,在Rt^ABC中,ZC=90°,AC=12,BC=5,则sinA=
cosA=_____,sinB=____,cosB=_______o
2.在Rt△ABC中,ZC=90°,AC=1,AB=2,贝!JsinA=_____,
cosB=______,cosA二________,sinB=_______.
3.如图,已知直角三角形ABC中,斜边AB的长为】tn,ZB=40°,则直角边BC的长是()
A.msin40°B.mcos40°
m
C.mtan40°taij*AC
4.比较大小:sin40°_____sin80°;
cos40°_____cos80°o
5.在直角AABC中,AC=BC,NC=90°求:(1)cosA(2)当AB=4时,求BC的长.
布置作业
板书设计
教后反思
授课时间:累计课时:
第二十八章锐角三角函数
28.1锐角三角函数(2)一—、正弦、余弦、正切
学习目标
1、感知当直角三角形的锐角固定时,它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一
事实。
2、逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。
学习重点:
1.理解余弦、正切的概念。
学习难点:
1.熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算。
教学流程
【导课】
1、我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的?
2、如图,在Rt^ABC中,ZACB=90°,CDLAB于点D。
已知AC=4,BC=2,那么sinNACD=()
A.在B.1C.垣D.亚
3352
3、如图,已知AB是。0的直径,点C、D在。0上,
且AB=5,BC=3.则sin/BAC=;sinZADC=
4、在Rt^ABC中,ZC=90°,当锐角A确定时,
ZA的对边与斜边的比是
现在我们要问:
ZA的邻边与斜边的比呢?
NA的对边与邻边的比呢?
为什么?
【阅读质疑自主探究】
类似于正弦的情况,
如图在RL^BC中,ZC=90°,当锐角A的大小确定时,NA的邻边与斜边的比、ZA
的对边与邻边的比也分别是确定的.我们
/瑚邻边a
把NA的邻边与斜边的比叫做NA的余弦,记作cosA,即cosA=
斜边c
/朗勺对边a
把NA的对边与邻边的比叫做NA的正切,记作tanA,即tanA=
/朗勺邻边~b
例如,当NA=30°时,我们有cosA=cos30°=;
当NA=45°时,我们有tanA=tan45°=
(教师讲解并板书):锐角A的正弦、余弦、正切都叫做NA的锐角三角函数.
对于锐角A的每一个确定的值,sinA有唯一确定的值与它对应,所以sinA是A的函数.同
样地,cosA,tanA也是A的函数
例2:如图,在Rt^ABC中,ZC=90°,BC=6,sinA=y,求cosA、tanB的值.
【多元互动合作探究】
1、在Rt^ABC中,ZC=90°,AC=1,AB=3,则tanA=
2、在直角4ABC中,ZC=90°,BC=5,tanA=—,求AB=
12
3、如图,在RtZXABC中,ZC=90°,AB=5,求tanA与tanB的彳麓3题
4、如图,在正方形ABCD中,点E为AD的中点,连结EB,设NEBA=a,则tana
5、如图,A3是半圆的直径,弦A。、3c相交于P,已知NAED
DPB=60°,。是前的中点,则tan/ADC等于()
(A)|(B)2(C)市
第4题
【训练检测目标探究】
1.在中,ZC=90°,a,b,c分别是NA、NB、NC的对边,则有()
A.6=-tani=c-sinA.a=c-cos5c=a-sinA
4
2.在RJMBC中,ZC=90°,如果cosA=§那么tan3的值为()
3、如图:P是的边OA上一点,且P
点的坐标为(3,4),
则cosa=.
【迁移应用拓展探究】
(4)tanZBCD=
4
2、如图,在RtaABC中,ZC=90°,BC=12,tanA=-,求AB的值。
3
3、如图,N1的正切值等于
4、三角形在方格纸中的位置如图所示,则tana的值是()
士西加捐3题图
布置作加
板书设计
教后反思
授课时间:累计课时:
第二十八章锐角三角函数
28.1锐角三角函数(3)——特殊角三角函数值
学习目标
1、能推导并熟记30°、45。、60°角的三角函数值,并能根据这些值说出对应锐角度数。
2、能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式
学习重点:
1.熟记30°、45°、60°角的三角函数值,能熟练计算含有30°、45°、60°角的三
角函数的运算式
学习难点:
1.30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程
教学流程
【导课】
一、自学提纲:
一个直角三角形中,
一个锐角正弦是怎么定义的?
一个锐角余弦是怎么定义的?
一个锐角正切是怎么定义的?
二、合作交流:
思考:
两块三角尺中有几个不同的锐角?______________________________________________
是多少度?___________________________________________________________________
你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值码?.
三、教师点拨:
归纳结果
30°45°60°
siaA
cosA
tanA
【阅读质疑自主探究】
例1:求下列各式的值.
(1)cos260°+sin260°.
(2)9cos匕45°-tan45°.
sin45°
例2:(1)如图(1),在Rt^ABC中,ZC=90,AB=",BC=6,求NA的度数.
AC
(1)(2)
(2)如图(2),已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的百倍,求a.
【多元互动合作探究】
30°45°60°
siaA
cosA
tanA
【训练检测目标探究】
3
1.已知:RtZXABC中,ZC=90°,cosA玉,AB=15,则AC的长是().
A.3B.6C.9D.12
2.下列各式中不正确的是().
A.sin260°+COS260°=1B.sin30°+cos30°=1
C.sin35°=cos55°D.tan45°>sin45°
3.计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是().
A.2B.志
C,应D.1
4.已知NA为锐角,且cosAwg,那么()
A.0°〈NAW60°B.60°WNA〈90°C.0°<ZA<30°D.30°
WNA〈90°
5.在AABC中,NA、NB都是锐角,且sinA=1,
cosB^-,则AABC的形状是()
A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定
6.如图Rt^ABC中,ZACB=90°,CDLAB于D,BC=3,AC=4,设NBCD=a,则tana的值为
().
IiIi
A.4B.HC.5D.二
7.当锐角a〉60°时,cosa的值().
A,小于;B.大于TC.大于当
D.大于1
8.在AABC中,三边之比为a:b:c=l:出:2,则sinA+tanA等于().
3+26
B.-+A/3c.---
A.622。号
9.已知梯形ABCD中,腰BC长为2,梯形对角线BD垂直平分AC,若梯形的高是四,则N
CAB等于()
A.30°B.60°C.45°D.以上都不对
10.sin272°+sin218°的值是().
1
A.1B.0C.D.看
11.若(小tanA-3)2+|2cosB-^|=0,则4ABC().
A.是直角三角形B.是等边三角形
C.是含有60°的任意三角形D.是顶角为钝角的等腰三角形
三、填空题.
12.设a、B均为锐角,且sina-cosB=0,则a+B=.
cos45。-sin30。
cos60°+—tan45°
13.2的值是.
14.已知,等腰AABC的腰长为44,底为30°,则底边上的高为一周长为
15.在RtAABC中,ZC=90°,已矢口tanB=一,贝UcosA=.
【迁移应用拓展探究】
L计算.
(1)cos45°-sin30°(2)sin260°+COS260°
cos245°
(3)tan45°—sin30°•cos60°
tan230°
⑸函―2)。+电+4COS30°-|-A/12|
2.练习:
(1)若cosa=—,则锐角a=.若2cosa=1,则锐角a=.
2
(2)^EAABC中,ZC=90°,sins^,则cosB=,tanB=
T
百
(3)若NA是锐角,且tanA=——,则cosA=.
3
3
⑷已知a为锐角,且sintz=『则sin(90°-a)=
布置作业
板书设计
教后反思
授课时间:累计课时:
第二十八章锐角三角函数
28.1锐角三角函数(4)一运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角
学习目标
1、让学生熟识计算器一些功能键的使用
2、运用计算器处理三角函数中的值或角的问题
学习重点:
1.运用计算器处理三角函数中的值或角的问题
学习难点:
1.知道值求角的处理
教学流程
【导课】
求下列各式的值.
(1)sin30°•cos450+cos60°;
(2)2sin60°-2cos30°•sin45°
【阅读质疑自主探究】
合作交流:
学生去完成课本8384页
学生展示:
用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值
学生去完成课本8386页的题目
【多元互动合作探究】
/.、2cos60°
(3);
2sin300-2
cin450+cos30°
(4)--.sin60°(l-sin30°).
【训练检测目标探究】
(5)tan45°,sin60°-4sin30°•cos45°+瓜•tan30°
sin45°
(6)+cos45°,cos30°
tan300-tan60°
【迁移应用拓展探究】
1.求满足下列条件的锐角A(精确到0.01。)
(1)sinA=-(2)cosA=0.23(3)tanA=10
4
2.如图,已知秋千吊绳的长度3.5m,求秋千升高1m时,秋千吊绳与竖直方向所成的角度(精
确到0.01°)
C
布置作业
已知,如图,AD是4ABC的高,CD=16,BD=12,ZC
=35°.
求NB(精确到0.01°)
板书设计
教后反思
授课时间:累计课时:
第二十八章锐角三角函数
28.2解直角三角形(1)
学习目标
1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系,会运用勾股定理,直角三角形的两个锐角
互余及锐角三角函数解直角三角形
2、通过综合运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.
3、渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯.
学习重点:
1.直角三角形的解法.
学习难点:
1.三角函数在解直角三角形中的灵活运用
教学流程
【导课】
1.在三角形中共有几个元素?___________________________________________________
2.直角三角形ABC中,ZC=90°,a、b、c、NA、NB这五个元素间有哪些等量关系呢?
⑴边角之间关系
.4a人bab
sinA=—;cosA=—;tanAA=—;cotAA=一
ccba
.baba
sinB=—;cosB=—;tanB=—;cotB=—
ccab
如果用N&表示直角三角形的一个锐角,那上述式子就可以写成.
Na的对边的邻边的对边Ntz的邻边
SH1。二;cos。=;tan。---------,cotf^z=----------
斜边斜边的邻边’的对边
⑵三边之间关系⑶锐角之间关系NA+NB=90。.
a2+b2=c2(勾股定理)以上三点正是解直角三角形的依据.
【阅读质疑自主探究】
要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角&一般要满足
50°<a<75°,(如图).现有一个长6m的梯子,问:
⑴使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1m)
⑵当梯子底端距离墙面2.4m时,梯子与地面所成的角日等于多少(精确到1°)这时人是否能
够安全使用这个梯子
【多元互动合作探究】
例1在AABC中,NC为直角,NA、NB、NC所对的边分别为a、b、
且b=e,
a=屈,解这个三角形.
例2在Rt^ABC中,ZB=35°,b=20,解这个三角形.
【训练检测目标探究】
1.根据直角三角形的元素(至少有一个边),求出________其它所有元素的过程,
即解直角三角形.
2、在RtaABC中,a=104.0,b=20.49,解这个三角形.
3、在AABC中,NC为直角,AC=6,/BAC的平分线AD=4百,解此直角三角形。
4
4、RtAABC43,若sinA=—,AB=10,那么BC=,tanB=
5
5、在aABC中,ZC=90°,AC=6,BC=8,那么sinA=.
6、在AABC中,ZC=90°,sinA=j,则cosA的值是()
A3R4916
552525
【迁移应用拓展探究】
4
1、如图,AWC,cosADC蓝,ZB=30°AD=10,求BD的长.
2、已知跷跷板长4米,当跷跷板的一端碰到地面时,另一端离地面1.5米,求此时跷跷板与
地面的夹角正弦。
布置作业
1、同学们对公园的滑梯很熟悉吧?如图,是某公园新增设的一台滑梯,该滑梯高度NC=2米,
滑梯着地点8与梯架之间的距离BC=4米.
(1)求滑梯N8的长(精确到0.1米);
(2)若规定滑梯的倾斜角(/ABC)不超过45。,属于安全.通过计算说明这架滑梯的倾斜角
是否符合要求?
2.如图所示,AB表示楼梯,BC表示平台,CD表示滑道.若点
E,F均在线段AD上,四边形BCEF是矩形,且sinZBAF=-,BF=3米,BC=1米,CD=6米.求:
3
(1)ND的度数;
板书设计
教后反思
授课时间:累计课时:
第二十八章锐角三角函数
28.2解直角三角形(2)
学习目标
1、使学生了解仰角、俯角的概念,使学生根据直角三角形的知识解决实际问题.
2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.
3、渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点,培养学生用数学的意识
学习重点:
1.将某些实际问题中的数量关系,归结为直角三角形元素之间的关系,从而利用所学知
识把实际问题解决.
学习难点:
1.实际问题转化成数学模型
教学流程
【导课】
1.解直角三角形指什么?
2.解直角三角形主要依据什么?
(1)勾股定理:________________________
(2)锐角之间的关系:___________________
(3)边角之间的关系:
..NA的对边.NA的邻边NA的对边
斜边斜边NA的邻边
tanA=
【阅读质疑自主探究】
当我们进行测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角,在水平
铅
垂
线
水平
法
视线
线下方的角叫做俯角.
例32003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后,就在离地球
表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时,从飞船上最
远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6
400km,结果精确到0.1km)
例4热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o,看这栋离楼底部的俯角
为60o,热气球与高楼的水平距离为120m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?
BrBA臼
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日s
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【多元互动合作探究】
1.如图,小明欲利用测角仪测量树的高度。已知他离树的水平距离BC为10m,测角仪的高
度CD为1.5m,测得树顶A的仰角为33°.求树的高度AB。
(参考数据:sin33°~0.54,cos33°又0.84,tan33°g0.65)
2、为了测量停留在空中的气球的高度,小明先站在地面上某点观测气球,测得仰角为30°,
然后他向气球方向前进了50m,此时观测气球,测得仰角为45°.若小明的眼睛离地面1.6m,
小明如何计算气球的高度呢(精确到0.01m)
c
3、为了改善楼梯的安全性能,准备将楼梯的倾斜角由65度调整为40度,已知原来的楼梯的
长为4米,调整后的楼梯要占多长的一段楼梯地面.
【训练检测目标探究】
1、如图,热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为60。,看这栋高楼底部的
俯角为30。,热气球与高楼的水平距离为66m,这栋高楼有多高?(结果精确到0.1m,
参考数据:V3®1.73)B
白
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D目
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sSSs
sSs3®
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BBHPS®
”/////
2、)如图,线段AB、£>C分别表示甲、乙两建筑物的图,AB±BC,DC±BC,从8点测得。点的
仰角a为60°从A点测得。点的仰角仅为30°,已知甲建筑物高A3=36米.
(1)求乙建筑物的高DC;
(2)求甲、乙两建筑物之间的距离8c
【迁移应用拓展探究】
3、如图,一艘核潜艇在海面下500米A点处测得俯角为30。正前方的海底有黑匣子信号发出,
继续在同一深度直线航行4000米后再次在B点处测得俯角为60。正前方的海底有黑匣子信号
发出,求海底黑匣子C点处距离海面的深度?(精确到米,参考数据:&-1
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