数据的代表讲义

考点1:算术平均数

一、考点讲解：

1.算术平均数：一般地，对于"个数孔、八、4…、工—我们把3=!(4+工

+…+#")叫做这n个数的算术平均数，简称为平均数.

2.算术平均数的简化公式：设为、5，…,工”的平均数为亍,q—。=工1，5-

U=JC\,x„—a=x„,x'\、工\、了\，…，了'”的平均数为7，则/=ji7+a(a为

常数).

3.一组数据力、了2,…,马的平均数为3,则将每个数据都乘以常数“后再加

上人,得一组新数a©+b,w：；+0,az3+。，…，a上"十。，的平均数为ax+h.

二、经典例题与考题考题剖析

例1某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中的一个数据105输入为15,那么由此求出的

平均数与实际平均数的差是。

解：由一组数据的平均数定义知

1

实际平均数：^=30(x1+x2+.......+x29+105)

1

求出的平均数：%错=30(x1+x2+........+x29+15)

15-105

X^-X="^6-=-3

所以由此错误求出的平均数与实际平均数的差是-3o

提示：解此类题一定要对平均数的定义十分清楚。

例2:设两组数a1(a2,a3........a.和b,.b2)b3.........b0的平均数为。和人,那么新的一组数

ai+bi,az+bj,as+bs.......an+bn的平均数是[]

1____1___

（）（）

A.2a+BB.a+bc.na+1D.以上都不对

正解：根据平均数的定义应选(B)

【考题1一1】（2004、南山，3分）从鱼塘打捞草鱼240尾，从中任选9尾，称得每尾的质量分另是1.5,

1.6,1.4,1.6,6.2,1.7,1.8,1.3.1.4（单位：kg）,估计这240尾草鱼的总质量大约是（）

A.300kgB、360kgC.36kgD、30kg

解：B点拨：先求出样本中9尾鱼的平均质量，再乘以240.

【考题1一2］（2004、南宁，3分）期中考试后，学习小组长算出全组5位同学数学成绩的平均分为M,

如果把M当成另一个同学的分数，与原来的5个分数一起，算出6个分数的平均值为N,那么M：N为

（）

56

A.~B、10,-D、2

O0

解：B.点拨：后来6位同学的平均成绩和原来5位同学的平均成绩相同.

三、针对性训练：（分钟）如图---

I.已知数据X"X2,X3,的平均数是a,那么5x,+7,

5X3+7,5X3+7的平均数为（）

A.5a+7B.a+7C.7aD.5a

2.一组数据：4,-1,9,5,3,x的平均数是4,那么x等于（）

A、3B.4C.5D.6

3.2004年5月16日是世界第14个助残日，这天某校老师为本区的特殊教育中心捐款情况如下:

捐款人数3211一92184

捐款金额（元/人）20304050J00200

该校教师平均每人捐款约元（精确到1元）

每户节水量（吨）11.21.5

4.北京是一个严重缺水的城市，为鼓励居民节约每

一滴水，某小区居委会表扬了100个节水模范用节水户数523018

户，4月份这100户节约用水情况如下表：

那么，4月份这100户平均每户节约用水吨.

考点2:加权平均数

一、考点讲解：

1.权：各指标在总结果中所占的百分比称为每个指标获得的权重，权重越大，这个数据对这组数据影响

越大.

2.加权平均数：各指标乘以相应的权重后所得平均数叫做加权平均数.

3.加权平均数公式：有n个数，其中Xi的权重为ki,X2的权重为kz…，k”的权重为k«,（其中ki+k?+k?

,••+k™=1）,则平均数：x=Xfkt+x2k2+^kj+,,,+xmkm

二、经典例题与考题剖析：

例3某学校要了解期末数学考试成绩，从考试卷中抽取部分试卷，其中有一人得100分，2人得95分,

8人得90分，10人得80分，15人得70分。求这些同学的平均成绩。

分析：这个平均数是加权平均数。

【考题2—1］（2004、太原，3分）某校把学生的纸笔测试、实践能力、成长记录三项成绩分别按50%

200%、30%的比例计入学期总评成绩，90分以上为优秀，甲、乙、丙三人的各项成绩如下表（单

纸笔测试实践能力成长记录

甲908395

乙889095

b

丙908890

位：分），学期总评成绩优秀的是（）

A.甲B.乙、丙C.甲、乙D.甲、丙

解：C点拨：Aip=90X50%+83X20%+95X0%=90.1,

X乙=88X50%+90X20%+95X30%=90.5,

焉=90X50%+88X20%+90X30%=89.6

三、针对性训练：（10分钟）（答案：244）

1.为了调查某一路口某时段的汽车流量，记录了10天同一时段通过该路口的汽车辆数，其中有2天是

150辆，3天是145辆，5大是155辆，那么这10天在该时段通过该路口的汽车平均辆数为（）

A.145B.150C.151D.155

2.某学习小组有9人，在一次数学竞赛中，得100分的有3人，得90分的有4人，得82分的有1人，

得77分的有1人，那么这个小组平均成绩为_分.

3.初中三年级共有四个班，在一次考试中，三（1）班51人，平均分87.5分；三⑵班共50人，平均

分89.I分；三⑶共有48人，平均分88.2分；三⑷班共有53人，平均分90.5分.求初中三年级

的平均分.

4.在思想品德评定中，个人自评占20%,小组评定占40%,班主任评定占40%,小明这三项得分分别

为80分、96分、94分；小亮这三项得分分别为96分、80分、94分，请你计算两人谁的综合

得分高.

5.某风景区对5个旅游景点的门票价格进行调整，据统计，调价前后各景点的旅客人数基本不变，有关

数据如下表所示：

（1）该风景区称调整前后这5个景点门票的平均收费不变，平均日总收人持平，风景区是怎样计算的？

（2）另一方面，游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际增加了9.4%,问游

客是怎样计算的？

（3）你认为风景区和游客哪个说法较能反映实际情形？

景点ABCDE

・原价（元）1010152025

现价（元）55152530

平均日人数（千人）11232

考点3:中位数、众数

一、考点讲解：

1.众数：在一组数据中，出现次数最多的数叫做这组数据的众数，众数可能不止一个.

2.中位数：将一组数据接从小到大的顺序排列后，处在最中间或最中间两个数据的平均数叫做中位数.平

均数、中位数、众数都是描述一组数据集中趋势的特征数.

二、经典例题与考题剖析：

例4：选择题：

（1）已知一组数据为1,0,-3,2,-6,5,这组数据的中位数为[]

A.0B.1C.1.5D.0.5

（2）已知一组数据为-3,6,-3,6,13,20,6,1,这组数据的众数是[]

A.2B.-3C.6D.3.5

分析：求一组数据的中位数，只需将数据由小到大排列起来，如果数据个数是奇数，中间一个即是，

如果数据个数是偶数，中间两个数字的平均数就是中位数。

(1)将数据由小到大排列为-6,-3,0,1,2,5,中间两个数1和。的平均数为0.5,因此选D。

(2)数据6出现3次，数据-3出现2次，其余的数据都只出现1次，因此选择C。

说明：中位数不一定是这一组数据中的某一个数，当这组数据的个数是偶数时，是中间两个数的平

均数。

例5:求下列数据的众数

(1)3,2,5,3,1,2,3

(2)5,2,1,5,3,5,2,2

分析：•.•一组数据的众数不一定唯一，因此，如果一组数据中有几个数据重复的次数相同，并且次

数是最高的，那么这几个数据都是这组数据的众数

解：

(1)众数是3(2)众数是5和2

说明：众数是一组数据中，出现次数最多的数据，(1)中3出现了三次最多，所以众数是3,(2)中5,

2这两个数据都出现了三次，是最高次数，所以数据5,2都是众教，即一组数据的众数不一定唯一。

例6:求下面这组数据的平均数、中位数、众数。

249252250246251249252249

253254249256249252255253

分析：通过观察发现，上面16个数据都在250左右波动，可将上面各数据同时减去250,转化为计

算一组数值较小的新数据的平均数。

解：取a=250,原数据分别减去250,得到一组新数据：7,2,0,-4,1,-1,2,-1,3,4,-1,6,

-1,2,5,3

__1_J_

计算新数据的平均数：x'=百(-1+2+0+…+3)=百X19=1.1875

原数据的平均数是：x=x'+a=1.1875+250=251.1875

把这组数据从小到大排列：246,249,249,249,249,249,250,251,252,252,252,253,253,

254,255,256最中间的两个数据是251,252。

中位数=5(251+252)=251.5

在16个数据中，249出现了5次，出现的次数最多，所以这组数据的众数是249。

例7:某班四个小组的人数如下：10,10,X,8,已知这组数据的中位数与平均数相等，求这组数

据的中位数。

分析：根据求平均数公式可列出该数据组的平均数为，(10+10+X+8),中位数要先从小到大排列后

才可求出，又不知道X的大小，就要分情况讨论，然后列方程求解。

10+10+x+828+x

解：平均数：4=4

1+10

（1）当xW8时，原数据按从小到大排列为：x,8,10,10,其中位数为2=9

28+x

若4=9,则x=8

,此时中位数为9

10+x

（2）当8<xW10时，原数据按从小到大排列为：8,x,10,10,其中位数为2

28+x10+x

若4=2,则x=8,不在8<xW10范围内，也就是说x不可能在8<x/10范围内

1。+10

（3）当x，10时，原数据按从小到大排列为：8,10,10,x其中位数为2=10

28+x

若4=10,则x=12

，此时中位数是10

综上所述，这组数据的中位数是9或10

说明：分类讨论是数学中的重要思想方法，解题时一定要全面考虑，对可能出现的各种情况要逐个

研究讨论。

【考题3—1】（2004、潍坊，2分）已知一组数据5,15,75,45,25,75,45,35,45,35那么40是

这组数据的（）

A.平均数但不是中位数B.平均数也是中位数C.众数D.中位数但不是平

均数

解：B点拨：该组数据的平均数为40,中位数也为40,故选B.

【考题3—2】（2004、北硝，3分）某地连续九天的最高气温统计如下表，则这组数据的中位数与众数分

别是（）

最高气温（℃）22232425

A.24,25B.24.5,25

C.25,24D.23.5,24天数1224

解：A点拨：本组数据共9个，从小到大排列后第5个数是24,

众数为25.

【考题3—3】（2004、南山，3分）为筹备班级的初中毕业联欢会，班长对全班学生爱吃哪几种水果作了

民意调查用么最终买什么水果，下面的调查数据最值得关注的是（）

A.中位数B.平均数C.众数D.加权平均数

解：C点拨：因为吃哪种水果的人数多就买哪种水果，所以值得关注的是众数.

三、针对性训练：（10分钟）（答案：244）

1.某部队一位战士连续射靶5次，命中的环数如下：0,2,5,2,7那么这组数据的中位数和众数分别

为（）

和口

A.2^2B.25C.2^7D.547星期—二三四五六0

2.某地区六月份某一周每天最高气温如下表：最高气温（七）27282825262727

则这一周的最高气温的中位数为

3.某鞋店卖了20双男鞋，统计结果如下:

请问在平均数、众数、中位数中，鞋店老板最关鞋号23.524.024.525.025.526.0

的是人数344711

职员d

员工经理副经理职员A职员B职员C职员E

4.某公司员工的月工资如下：

月工资（元）6000350015001500150011001000

⑴该公司员工月工资的中位数是众

数是:

⑵该公司员工月工资的平均数是多少？

⑶用平均数还是用中位数和众数描述该公司员工月工资的一般水平比较恰当？

5.为了普及环保知识，增强环保意识，某中学组织了环保知识竞赛活动.初中三个年级根据初赛成绩分

别选出了10名同学参加决赛，这些选手的决赛成绩（满分为100分）如下表所示：

决赛成绩（单位：分）

初一年级80868880889980749189

初二年级858587■97857688778788

初三年级82807878819697888986

（1）请你填写下表:

平均数众数中位数

初一年级85.587

初二年级85.585

初三年级84

⑵请从以下两个不同的角度对三个年级的决赛成绩进行分析：

①从平均数和众数相结合看，分析哪个年级成绩好些；

②从平均数和中位数相结合看，分析哪个年级成绩好些.

③如果在每个年级参加决赛的选手中分别选出3人参加决赛，你认为哪个年级的实力更强一些？并说明

理由

《数据的代表》中考题集锦

一、选择题

1、（2009年齐齐哈尔市）一组数据4,5,6,7,7,8的中位数和众数分别是（）

A.7,7B.7,6.5C.5.5,7D.6.5,7

2、（2009年深圳市）某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件

不合格，那么你估计该厂这20万件产品中合格品约为（）

A.1万件B.19万件C.15万件D.20万件

3、（2009年泸州）在一次青年歌手大奖赛上，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5,9.4,9.6,

9.9,9.3,9.7,9.0,去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数是

A.9.2B.9.3C.9.4D.9.5

4、（2009仙桃）为了参加市中学生篮球运动会，一支校篮球队准备购买10双运动鞋，各种尺码的统计

如下表所示，则这10双运动鞋尺码的众数和中位数分别为（）.

尺码/厘米2525.52626.527

购买量/双24211

A、25.626B、2625.5C、2626D、25.525.5

5、（2009年台州市）数据1,2,2,3,5的众数是()

A.1B.20.3D.5

6、某学习小组7个男同学的身高（单位：米）为：1.66、1.65、1.72、1.58、1.64、1.66、1.70,那么

这组数据的众数为（）A.1.65B.1.66C.1.67D.1.70

7、（2009烟台市）某校初一年级有六个班，一次测试后，分别求得各个班级学生成绩的平均数，它们不

完全相同，下列说法正确的是（）

A.全年级学生的平均成绩一定在这六个平均成绩的最小值与最大值之间

B.将六个平均成绩之和除以6,就得到全年级学生的平均成绩

C.这六个平均成绩的中位数就是全年级学生的平均成绩

D.这六个平均成绩的众数不可能是全年级学生的平均成绩

8、（2009年孝感）某一段时间，小芳测得连续五天的日最低气温后，整理得出下表（有两个数据被遮盖）.

日期—二三四五方差平均气温

最低

rc-rc2℃0℃■■rc

气温

被遮盖的两个数据依次是

Q

A.3℃,2B.3℃,-C.2℃,2D.2℃,-

55

9、（2009江西）某中学篮球队12名队员的年龄情况如下:

年龄（单位：岁）1415161718

人数14322

则这个队队员年龄的众数和中位数分别是（）

A.15,16B.15,15C.15,15.5D.16,15

10、（2009年天津市）为参加2009年“天津市初中毕业生升学体育考试”，小刚同学进行了刻苦的练习，

在投掷实心球时，测得5次投掷的成绩（单位：m）为：8,8.5,9,8.5,9.2.这组数据的众数、

中位数依次是（）

A.8.5,8.5B.8.5,9C.8.5,8.75D.8.64,9

11、（2009年清远）小明记录某社区七次参加“防甲型H1N1流感活动”的人数分别如下：33,32,32,

31,32,28,26.这组数据的众数是（）

A.28B.31C.32D.33

12、（2009年衢州）某班体育委员调查了本班46名同学一周的平均每天体育活动时间，并制作了如图所

示的频数分布直方图，从直方图中可以看出，该班同学这一周平均每天体育活动时间的中位数和众

数依次是

A.40分，40分B.50分，40分

0.50分，50分D.40分，50分

13、（2009年益阳市）益阳市某年6月上旬日最高气温如下表所示：

日期1234567890

最高气温（°C）3028303234322630335

那么这10天的日最高气温的平均数和众数分别是

A.32,30B.31,30C.32,32D.30,30

14、（2009年长春）在一次“爱心互助”捐款活动中，某班第一小组7名同学捐款的金额（单位：元）

分别为：6,3,6,5,5,6,9.这组数据的中位数和众数分别是（）

A.5,5B.6,5C.6,6D.5,6

15、（2009年莆田）某班5位同学参加“改革开放30周年”系列活动的次数依次为1、2、3、3、3,则这组

数据的众数和中位数分别是（）

A.2、2B.2.43C.3、2D.3、3

16、（2009年本溪）某男子排球队20名队员的身高如下表：

身高（cm）180186188192208

人数（个）46532

则此男子排球队20名队员的身高的众数和中位数分别是（）B

A.186cm,186cmB.186cm,187cm

C.208cm,188cmD.188cm,187cm

17、（2009年南充）已知一组数据2,1,x,7,3,5,3,2的众数是2,则这组数据的中位数是（）

A.2B.2.5C.3D.5

18、（2009年重庆市江津区）2009年6月12日某地区有五所中学参加中考的学生人数分别为：320,250,

280,293,307,以上五个数据的中位数为（）

A.320B.293C.250D.290

19、（2009年北京市）某班派9名同学参加拔河比赛，他们的体重分别是（单位：千克）：

67,59,61,59,63,57,70,59,65这组数据的众数和中位数分别是

A59,63B59,61C59,59D57,61

20、（2009年达州）在一次环保知识问答中，一组学生成绩统计如下:

5678910

分数

000000

11

人数1495

56

则该组学生成绩的中位数是

A.70B.75C.80D.85

21、（2009黑龙江大兴安岭）一组数据4,5,6,7,7,8的中位数和众数分别是（)

A.7,7B.7,6.5C.5.5,7D.6.5,7

22、（2009年郴州市）为了支援地震灾区学生，学校开展捐书活动，以下是某学习小组5名学生捐书的

册数：3,9,3,7,8,则这组数据的中位数是（）

A.3B.7C.8D.9

23、某校九年级学生参加体育测试，一组10人的引体向上成绩如下表:

完成引体向上的个数78910

人数1135

这组同学引体向上个数的众数与中位数依次是（）

A.9和10B.9.5和10C.10和9D.10和9.5

24、（2009武汉）小明记录了今年元月份某五天的最低温度（单位：℃）:1,2,0,-1,-2,

这五天的最低温度的平均值是（）

A.1B.2C.0D.-1

25、（2009年陕西省）王老师为了了解本班学生课业负担情况，在班中随机调查了10名学生，他们每人

上周平均每天完成家庭作业所用的时间分别是（单位：小时）：1.5,2,2,2,2.5,2.5,2.5,2.5,

3,3.5.则这10个数据的平均数和众数分别是

A.2.4,2.5B.2.4,2C.2.5,2.5D.2.5,2

26、（2009山西省太原市）学业考试体育测试结束后，某班体育委员将本班50名学生的测试成绩制成如

下的统计表.这个班学生体育测试成绩的众数是（）

成绩（分）2021222324252627282930

人数（人）112456581062

A.30分B.28分C.25分D.10人

27、（2009年铁岭市）数据21,21,21,25,26,27的众数、中位数分别是（）

A.21,23B.21,21C.23,21D.21,25

28、（200绵阳）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的14名运动员成绩如下表所示:

成绩/m1.501.611.661.701.751.78

人数232151

则这些运动员成绩的中位数是

A.1.66B.1.67C.1.68D.1.75

二、填空题

1、（2009年滨州）数据1、5、6、5、6、5、6、6的众数是,中位数是,

2、（2009年杭州市）给出一组数据：23,22,25,23,27,25,23,则这组数据的中位数是;

3、（2009河池）已知一组数据1,a,3,6,7,它的平均数是4,这组数据的众数是.

4、（2009年牡丹江市）已知三个不相等的正整数的平均数、中位数都是3,则这三个数分别为.

5、（2009年广州市）在某校举行的艺术节的文艺演出比赛中，九位评委给其中一个表演节目现场打出的

分数如下：9.3,8.9,9.3,9.1,8.9,8.8,9.3,9.5,9.3,则这组数据的众数是

6、（2009年广西梧州）一组数据为1,2,3,4,5,6,则这组数据的中位数是★.

7、（2009年广西钦州）附加题：一组数据1,2,3,它的平均数是.

8、（2009年包头）在综合实践课上，六名同学做的作品的数量（单位：件）分别是：5,7,3,X,6,

4：若这组数据的平均数是5,则这组数据的中位数是件.

9、（2009肇庆）某校九年级（2）班（1）组女生的体重（单位：kg）为：38,40,35,36,65,42,

42,则这组数据的中位数是.

10、（2009年广州市）在某校举行的艺术节的文艺演出比赛中，九位评委给其中一个表演节目现场打出

的分数如下：9.3,8.9,9.3,9.1,8.9,8.8,9.3,9.5,9.3,则这组数据的众数是

11、（2009年河北）在一周内，小明坚持自测体温，每天3次.测量结果统计如下表：

体温(℃)36.136.236.336.436.536.636.7

次数2346312

则这些体温的中位数是℃.

12、（09湖北宜昌）“爱心小组”的九位同学为灾区捐款，捐款金额分别为10,10,11,15,17,17,18,

20,20（单位：元）.那么这组数据的中位数是.

13、（2009年佛山市）已知一组数据：11,15,13,12,15,15,16,15.令这组数据的众数为a,中

位数为b,贝Iab（填“>"、“〈”或

14、（2009年肇庆市）某校九年级（2）班（1）组女生的体重（单位：kg）为：38,40,35,36,65,42,

42,则这组数据的中位数是.

15、（2009年内蒙古包头）在综合实践课上，六名同学做的作品的数量（单位：件）分别是：5,7,3,

X,6,4；若这组数据的平均数是5,则这组数据的中位数是件.

三、解答题

1、（2009年包头）某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项

测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用.三位候选人的各项测试成绩如下表所示：

测试项测试成绩

目甲乙丙