2024-2025学年高中数学上学期第10周 3.1.1方程的根与函数的零点教学设计

2024-2025学年高中数学上学期第10周3.1.1方程的根与函数的零点教学设计科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）2024-2025学年高中数学上学期第10周3.1.1方程的根与函数的零点教学设计教材分析《高中数学课程标准》中明确指出，方程与函数是数学教学的核心内容，本章“3.1.1方程的根与函数的零点”旨在让学生通过具体实例，理解方程的根与函数的零点之间的关系，掌握用函数方法解决方程问题。教材以二次函数为例，引导学生观察和分析函数图像与方程根的联系，通过探究活动，让学生感悟到函数零点的存在性和唯一性，进而推广到一般函数。内容与实际教学紧密结合，既巩固了学生已学的函数知识，又为后续学习不等式与函数图像打下坚实基础。核心素养目标教学难点与重点1.教学重点

-理解方程的根与函数零点之间的联系，掌握用函数图像分析方程根的方法。

-能够通过二次函数图像探讨零点的存在性和唯一性，并推广到一般函数。

-应用函数零点定理解决实际问题，体会数学在解决具体问题中的应用。

举例：通过二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图像，讲解判别式Δ=b^2-4ac与零点个数的关系，强调当Δ>0时有两个不同实数根，Δ=0时有两个相同实数根，Δ<0时无实数根。

2.教学难点

-掌握如何从函数图像中准确地判断零点的位置和个数。

-理解零点存在性定理，并能够运用定理分析函数在给定区间内零点的存在情况。

-解决涉及函数零点的实际问题时，能够合理地选择变量和建立函数模型。

举例：讲解零点存在性定理时，以函数f(x)=x^3-6x^2+9x-1为例，分析在区间[1,2]内存在零点的条件，即f(1)·f(2)<0，引导学生理解定理背后的数学原理，并能够推广到一般区间。同时，通过具体例题，指导学生如何根据实际问题抽象出函数模型，识别关键信息，进而解决零点问题。教学方法与策略1.教学方法选择

-讲授法：教师通过PPT展示，结合板书，系统地讲解方程的根与函数零点的基本概念、性质和定理，确保学生掌握基础理论知识。

-讨论法：在讲解零点存在性定理和应用时，组织学生进行小组讨论，让学生通过互相交流，加深对方程与函数零点关系的理解。

-案例研究：通过具体函数案例，如实际生活中的优化问题，引导学生分析问题、建立函数模型，并探讨零点的求解方法。

-项目导向学习：设计综合性的项目任务，要求学生自主探究，从实际问题中抽象出函数模型，运用所学知识解决零点问题。

2.教学活动设计

-角色扮演：学生模拟数学家，探索零点存在性定理的发现过程，增强学习的趣味性和参与感。

-实验：利用数学软件（如GeoGebra）进行函数图像的绘制和变换，让学生直观感受零点的变化。

-游戏：设计数学游戏，如“零点侦探”，让学生在游戏中练习判断零点的位置和个数，提高解题技巧。

3.教学媒体和资源使用

-PPT：制作多媒体课件，包含函数图像、案例分析和定理推导等内容，提高教学效率。

-视频：播放数学家讲解零点存在性定理的科普视频，帮助学生更直观地理解理论。

-在线工具：利用在线数学工具和平台，如KhanAcademy、Mathematica等，为学生提供丰富的学习资源和互动练习。

-板书：重要概念和定理的推导过程通过板书展示，方便学生跟随教师的思路，加强对知识点的记忆。教学流程（一）课前准备（预计用时：5分钟）

学生预习：

发放预习材料，引导学生提前了解方程的根与函数零点的学习内容，标记出有疑问或不懂的地方。设计预习问题，如“如何通过函数图像判断零点的个数？”激发学生思考，为课堂学习做好准备。

教师备课：

深入研究教材，明确教学目标和重难点。准备教学用具和多媒体资源，确保教学过程的顺利进行。设计课堂互动环节，提高学生学习积极性。

（二）课堂导入（预计用时：3分钟）

激发兴趣：

回顾旧知：

简要回顾上节课学习的二次函数图像和性质，帮助学生建立知识之间的联系。提出问题，检查学生对旧知的掌握情况，为学习新课打下基础。

（三）新课呈现（预计用时：25分钟）

知识讲解：

清晰、准确地讲解方程的根与函数零点之间的关系，结合实例帮助学生理解。突出重点，强调难点，通过对比、归纳等方法帮助学生加深记忆。

互动探究：

设计小组讨论环节，让学生围绕零点存在性定理和应用问题展开讨论，培养学生的合作精神和沟通能力。鼓励学生提出自己的观点和疑问，引导学生深入思考，拓展思维。

技能训练：

总结归纳：

在新课呈现结束后，对方程的根与函数零点的知识点进行梳理和总结。强调重点和难点，帮助学生形成完整的知识体系。

（四）巩固练习（预计用时：5分钟）

随堂练习：

随堂练习题，让学生在课堂上完成，检查学生对知识的掌握情况。鼓励学生相互讨论、互相帮助，共同解决问题。

错题订正：

针对学生在随堂练习中出现的错误，进行及时订正和讲解。引导学生分析错误原因，避免类似错误再次发生。

（五）拓展延伸（预计用时：3分钟）

知识拓展：

介绍与方程的根和函数零点相关的拓展知识，如高次函数的零点问题。拓宽学生的知识视野，引导学生关注学科前沿动态。

情感升华：

结合内容，引导学生思考数学在生活中的应用，培养学生的社会责任感。鼓励学生分享学习心得和体会，增进师生之间的情感交流。

（六）课堂小结（预计用时：2分钟）

简要回顾本节课学习的方程的根与函数零点的内容，强调重点和难点。肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。

布置作业：

根据本节课学习的内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。知识点梳理1.方程的根与函数零点的定义

-方程的根：指使方程左右两边相等的未知数的值。

-函数的零点：指函数图像与x轴交点的横坐标值，即f(x)=0时的x值。

2.方程的根与函数零点的关系

-一次函数f(x)=ax+b的零点为-b/a，即x轴截距的相反数。

-二次函数f(x)=ax^2+bx+c的零点个数与判别式Δ=b^2-4ac有关，Δ>0有两个不同实数根，Δ=0有两个相同实数根，Δ<0无实数根。

3.零点存在性定理

-若函数在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0，即函数在区间(a,b)上至少有一个零点。

4.函数零点的求解方法

-图像法：通过绘制函数图像，观察与x轴的交点，判断零点的位置和个数。

-二分法：利用零点存在性定理，逐步缩小零点所在的范围，提高零点的求解精度。

-数值方法：如牛顿迭代法，通过迭代计算，逼近函数零点。

5.方程的根与函数零点的应用

-解决实际问题中的优化问题，如求最大值、最小值。

-识别函数图像的增减性和极值，为解决方程和不等式问题提供直观依据。

6.函数零点与方程根的推广

-对于高次函数，利用图像法、二分法等求解零点。

-探讨其他类型函数（如分段函数、绝对值函数）的零点问题。

7.典型例题与解题方法

-求解二次方程的根，根据判别式判断根的个数。

-给定函数在区间上的值，利用零点存在性定理判断零点存在的可能性。

-结合实际问题，建立函数模型，求解函数零点。典型例题讲解例题1：求解二次方程的根

给定方程：f(x)=x^2-5x+6=0

解：因式分解可得：(x-2)(x-3)=0

所以，x=2或x=3

答案：x1=2,x2=3

例题2：利用零点存在性定理判断零点

给定函数：f(x)=x^3-6x^2+9x-1

已知f(1)=3,f(2)=-1，判断在区间[1,2]上是否存在零点。

解：由于f(1)·f(2)<0，根据零点存在性定理，函数在区间[1,2]上至少存在一个零点。

答案：存在零点

例题3：求解函数零点

给定函数：f(x)=x^2-2

求解f(x)=0的零点。

解：通过图像法，可以观察到该函数为开口向上的抛物线，与x轴有两个交点，分别在x=√2和x=-√2。

答案：x1=√2,x2=-√2

例题4：求解实际问题中的函数零点

某产品的成本函数为C(x)=3x^2+2x+10，其中x为生产数量。若收入函数为R(x)=5x，求盈亏平衡点的生产数量。

解：盈亏平衡点即为收入等于成本的点，即C(x)=R(x)。解方程3x^2+2x+10=5x，得到x=2或x=-5/3。由于生产数量不能为负，故盈亏平衡点的生产数量为x=2。

答案：x=2

例题5：求解分段函数的零点

给定函数：f(x)={x+2,x<0

{x^2-2,x≥0

求解f(x)=0的零点。

解：分别求解两个部分的零点。

当x<0时，f(x)=x+2=0，得到x=-2。

当x≥0时，f(x)=x^2-2=0，得到x=√2。

答案：x1=-2,x2=√2

补充说明：

1.例题1展示了二次方程的根的求解方法，通过因式分解得到方程的根。

2.例题2利用零点存在性定理判断零点的存在，无需具体求解。

3.例题3通过图像法求解函数零点，适用于二次函数等具有明显图像特征的函数。

4.例题4结合实际问题的应用，求解函数零点，展示了函数在经济学中的应用。

5.例题5求解分段函数的零点，需分别考虑每段的零点，并注意定义域的限制。板书设计①重点知识点：

-方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值。

-函数的零点：函数图像与x轴交点的横坐标值，即f(x)=0时的x值。

-二次方程的根与判别式Δ的关系：Δ=b^2-4ac，Δ>0有两个不同实数根，Δ=0有两个相同实数根，Δ<0无实数根。

-零点存在性定理：若函数在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0。

②重点词句：

-方程的根：左右两边相等，未知数的值。

-函数的零点：图像与x轴交点，f(x)=0的x值。

-二次方程的根：Δ与根的关系。

-零点存在性定理：连续、f(a)·f(b)<0、至少存在一个零点。

③艺术性与趣味性：

-使用图形和色彩：绘制函数图像，突出零点的位置，使用不同颜色表示不同的根。

-设计有趣的例子：通过实际生活中的例子，如优化问题，激发学生的兴趣。

-使用互动方式：在板书中设计互动环节，如让学生上台绘制函数图像，提高参与度。课堂小结，当堂检测课堂小结：

本节课我们学习了方程的根与函数的零点，包括方程的根的定义、函数的零点的定义、二次方程的根与判别式Δ的关系、零点存在性定理以及函数零点的求解方法。通过学习，我们掌握了方程的根与函数零点之间的关系，学会了如何利用函数图像和零点存在性定理求解方程的根，以及如何将方程与函数应用到实际问题中。

当堂检测：

1.求解方程：2x^2-4x+1=0

2.给定函数：f(x)=x^3-6x^2+9x-1，判断在区间[1,2]上是否存在零点。

3.求解函数零点：f(x)=x^2-2

4.某产品的成本函数为C(x)=3x^2+2x+10，收入函数为R(x)=5x，求盈亏平衡点的生产数量。

5.求解分段函数的零点：f(x)={x+2,x<0;x^2-2,x≥0

答案：

1.x1=1/2,x2=1/2

2.存在零点

3.x1=√2,x2=-√2

4.x=2

5.x1=-2,x2=√2教学反思与改进十、教学反思与改进

在本次教学中，我发现学生在理解方程的根与函数零点的关系上还存在一定的困难。有些学生对二次方程的根与判别式Δ的关系掌握不够牢固，还有一部分学生对零点存在性定理的理解不够深入。针对这些问题，我将在未来的教学中进行改进。

首先，我会在课堂上增加一些实例，通过具体的例子来帮助学生更好地理解方程的根与函数零点的关系。同时，我会加强学生的练习，让学生通过实际操作来加深对知识的理解。

其次，