第12讲 倾斜角与斜率5种常见考法归类-【暑假自学课】2023年新高二数学暑假课（人教A版2019选择性必修第一册）解析版

第12讲倾斜角与斜率5种常见考法归类

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学习目标

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1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.

2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计

算公式.

豳基础知识'

---------------------llllllllllllllllllllillllllllllllllllllll-----------------------

知识点1直线的倾斜角

1.倾斜角的定义

当直线/与x轴相交时，取x轴作为基准，尤轴正向与直线/向上的方向之间所成的角a叫做直线/的

倾斜角.如图所示，直线/的倾斜角是/A网,直线/'的倾斜角是NBPx.

ITT

2.倾斜角的范围

直线的倾斜角a的取值范围是0°Wa<180°,并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.

注：①每一条直线都有一个确定的倾斜角

②已知直线上一点和该直线的倾斜角，可以唯一确定该直线

知识点2直线的斜率

1.斜率的定义

一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率.常用小写字母上表示，即％=tana（aw90）.

2.斜率公式

经过两点P1（X1,yi）,P2（X2,丫2）（尤1#尬）的直线的斜率公式为左=£二£.当的=无2时，直线没有斜率.

注：①若直线/经过点尸1（为，男）,。2（%2，、2）（即分2），则直线尸1尸2的方向向量P1P2的坐标为（%2—即，丁2一％），

也可表示为（1,k）,其中「自

②倾斜角e不是90的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同；当石=々时，直线与x轴垂

直，直线的倾斜角。=90，斜率不存在；当％=为时，斜率左=0,直线的倾斜角。=0,直线与工

轴重合或者平行

③斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换

知识点3斜率与倾斜角的联系

倾斜角a

1二00<a<90a=9090<。<180

（范围）

斜率k

k=Qk>0左不存在k<0

（范围）

畲解题策略）

---------------------llllllllllllillllllllllllllllllllilllllll-----------------------

1'求直线的倾斜角的方法及两点注意

（1）方法：结合图形，利用特殊三角形（如直角三角形）求角.

（2）两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°,当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.

②注意直线倾斜角的取值范围是0°Wa<180°.

2、利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项

（1）运用公式的前提条件是“X1WX2”，即直线不与无轴垂直，因为当直线与X轴垂直时，斜率是不存在的;

（2）斜率公式与两点p,P2的先后顺序无关，也就是说公式中的无1与X2,与与”可以同时交换位置.

3、在0。Wa<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.

倾斜角a0°30°45°60°120°135°150°

立—近

斜率左01-1

33

4、斜率与倾斜角的关系

（1）由倾斜角（或范围）求斜率（或范围）利用定义式左=tana（aW90°）解决.

（2）由两点坐标求斜率运用两点斜率公式％=二5#切求解•

CL考点剖析

考点一：求直线的倾斜角

例1.（2023秋•江西九江•高二校考阶段练习）直线的倾斜角a的取值范围是（）

A.(0,7i)B.[0,7t)C.(0,7t]D.[0,n]

【答案】B

【分析】利用直线倾斜角的定义得解.

【详解】直线的倾斜角a的取值范围是。兀）.

故选:B.

变式1.（2023秋•高二课时练习）对于下列命题：①若6是直线/的倾斜角，则0。<6><180。；②若直线倾

斜角为a,则它斜率左=tana；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一

定有倾斜角.其中正确命题的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】通过直线的倾斜角的范围判断①的正误；直线的斜率的定义，判断②的正误；直线的斜率与倾斜

角的关系判断③和④的正误.

【详解】对于①：若e是直线的倾斜角，贝满足直线倾斜角的定义，则①正确；

对于②：直线倾斜角为a且ew90。，它的斜率左=tan（z；倾斜角为90。时没有斜率，所以②错误；

对于③和④：可知直线都有倾斜角，但不一定有斜率；因为倾斜角为90。时没有斜率，所以③正确；④错误；

其中正确说法的个数为2.

故选：B.

变式2.（2023春.上海黄浦.高二格致中学校考期中）若直线/的一个方向向量为卜1,6）,则它的倾斜角为

（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】C

【分析】由题意，求出直线的斜率，从而得出结果.

【详解】依题意，卜L君）是直线/的一个方向向量，

所以直线/的斜率％=-6，

所以直线/的倾斜角为120。.

故选：C.

变式3.（2023•江苏•高二假期作业）已知直线乙的倾斜角%=15,直线乙与乙的交点为A,直线4和4向上

的方向所成的角为120,如图，则直线4的倾斜角为.

【答案】135

【分析】根据三角形的外角与内角的关系，结合直线倾斜角的定义可得出直线4的倾斜角.

【详解】设直线4的倾斜角为的，因为乙和4向上的方向所成的角为120，

所以，ZBAC=120,故%=120+«1=120+15=135.

故答案为：135.

变式4.（2023•江苏•高二假期作业）如图，直线/的倾斜角为（）

C.30°D.150°

【答案】D

【分析】根据图形结合三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和可求得结果.

【详解】由题图易知/的倾斜角为45。+105。=150。.

故选：D

变式5.【多选】（2023秋•高二课时练习）若直线/与x轴交于点A,其倾斜角为a，直线/绕点A

顺时针旋转45。后得直线乙，则直线%的倾斜角可能为（）

A.2+45°B.a+135°C.a-45°D.1350-tz

【答案】BC

【分析】由倾斜角的定义，分类讨论作出图形，数形结合分析即可.

【详解】解析：当£245。时，直线乙的倾斜角为q-45。（如直线AC旋转至直线AD）；

当（TVa<45。时，直线乙的倾斜角为180。-（45。-田=135。+。（如直线AD旋转至直线AB）.

变式6.（2023•高二课时练习）直线x+l=0与直线x+y-5=0的夹角为.

【答案】v

4

【分析】分析两条直线的倾斜角，即可得夹角大小.

7T3兀

【详解】直线X+1=O的倾斜角为m，直线x+y-5=0的斜率为-1,倾斜角为三,

24

所以两条直线的夹角为号-[=

424

故答案为：y.

4

考点二：求直线的斜率

例2.（2023秋•湖南娄底•高二统考期末）已知直线的倾斜角是三，则此直线的斜率是（）

A.BB.-V3C.&D.

2

【答案】C

【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可求解.

【详解】因为直线的倾斜角是三，

所以此直线的斜率是tang=道.

故选:C.

变式1.（2023•江苏•高二假期作业）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率.

（1）A（2,3）,B（4,5）；

（2）C（-2,3）,D（2,T）；

⑶P（-3,l）,Q「3,10）.

【答案】（1）存在，1

（2）存在，-1

(3)不存在

【分析】根据两点的坐标，即可求出过两点的直线斜率是否存在，以及斜率的值.

【详解】(1)由题意，存在，直线A2的斜率矶=三|=1.

(2)由题意得，存在，直线CD的斜率%=2,(3)=一1・

X=

(3)xp-Q3,

二直线PQ的斜率不存在.

变式2.(2023秋•天津南开•高二崇化中学校考期末)已知直线/的一个方向向量为〃=(-1,/,则直线/的

斜率为()

A.1B.V3C.且D.-V3

3

【答案】D

【分析】利用直线的方向向量与斜率的关系，即可求出答案.

【详解】因为直线/的一个方向向量为③，所以直线/的斜率％=3=-石.

-1

故选：D.

变式3.(2023・全国•高二专题练习)如图，已知直线4，/2」3的斜率分别为勺次2/3，则()

A.kx<k2<k3B.k3<kx<k2

C.k3<k2<k{D.k1<k3<k2

【答案】D

【分析】由题图，利用直线的斜率和倾斜角的关系求解.

【详解】解：设直线］/4的倾斜角分别为%,%，%,

由题图知，直线4的倾斜角％为钝角，，勺<0.

又直线LA的倾斜角4，%均为锐角，且的＞。3,

0〈左3〈左2，

.*.kx<k3<k2.

故选：D.

变式4.（2023秋・江西•高二校联考阶段练习）已知等腰直角三角形斜边上的高所在直线的斜率为3,则该

等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为,.

【答案】一21/0.5

【分析】由已知结合直线的倾斜角与斜率关系及两角和与差的正切公式可求.

【详解】解：设等腰直角三角形斜边上的高所在直线的倾斜角为a,则tana=3,

由题意得该等腰直角三角形两腰所在直线的倾斜角分别为。+45。，a-45。，

因为tan（a+45°）=单空①"1=N±L=_2,tan（a_45。）=空」，

'7l-tancrtan4501-3x11+tan«tan4502

所以该等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为为-2,

故答案为：-2,

变式5.【多选】（2023•全国•高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知正方形ABC。四边所在直线与x

轴的交点分别为（0,0）,（L0）,（2,0）,（4,0）,则正方形ABC。四边所在直线中过点（0,0）的直线的斜率可以是（）

331

A.2B.—C.—D.一

244

【答案】ABD

【分析】假设所在的直线过点（0,0），分类讨论CD所在的直线所过的点，结合图象分析运算.

【详解】因为选项斜率均为正值，不妨假设A3所在的直线过点（0,。），

设直线的倾斜角为斜率为七,

①若CO所在的直线过点（1,0）,如图，可得8C=sin/CD=2cosa,

因为5C=CD,即sina=2cosc,贝！Jk=tana=2；

②若CO所在的直线过点（2,0）,如图，可得3C=2sina,CD=3cosa,

,3

因为5C=CD,即2sina=3cosa,贝ijk=tana=一；

2

③若CO所在的直线过点（4,0）,如图，可得5C=4sina,8=cosa,

因为5C=CD,即4sina=cosa,贝！Jk=tana='；

【点睛】关键点睛：假设A3所在的直线过点（0,0）,分类讨论。所在的直线所过的点，数形结合处理问题.

考点三：斜率与倾斜角的关系

（一）由倾斜角求斜率值（范围）

［、1例3.【多选】(2023春•湖南衡阳•高二衡阳市一中校考阶段练习)已知经过点A(5,⑴和8(2,8)的

直线的倾斜角*三］，则实数小的可能取值有()

A.11B.12C.13D.14

【答案】ABC

【分析】根据斜率公式求解.

【详解】由题可得=

所以比€(8+括,8+36),

结合选项可得实数加的可能取值有11,12,13,

故选:ABC.

变式1.(2023•江苏•高二假期作业)过不重合的4(苏+2,疗-3),8(3-〃-病,2〃z)两点的直线/的倾斜角为

45°,则加的取值为.

【答案】-2

_3_2m

m

【分析】由题意得2/I2=1，可求出的取值.

m+：2-(3-m-m)、

【详解】由题意知心=121145°=1,

2

FEZ/一3-2相1rn-3-2m

所以——丁F-------=］，即E—1n--------------5=］,

m-+2-(3-m-m-)m-+2-3+m+m

化简得能2+3优+2=0,解得“=-1或帆=—2

当机=-1时，A(3,-2),3(3,-2)重合，不符合题意舍去，

当m=-2时，A(6,l),B(l,-4),符合题意，

所以租=-2,

故答案为：-2

变式2.(2023•江苏•高二假期作业)过两点A(5,y),2(3,—1)的直线的倾斜角是135。，则y等于.

【答案】-3

【分析】利用直线斜率与倾斜角关系和斜率公式左=tana=上显可得答案.

x2_%］

【详解】因为斜率左=tanl35o=-1,所以％=泻=一1,得y=-3.

5—3

故答案为：-3.

变式3.(2023•江苏•高二假期作业)若经过点尸(1-。」)和。(2。,3)的直线的倾斜角是钝角，则实数。的取值

范围是.

【答案】（-00，—）

【分析】根据倾斜角为钝角斜率为负，结合直线的斜率公式，解不等式即可得到所求范围.

【详解】因为直线的倾斜角是钝角，

3-11

所以斜率<0,解得。〈不

12〃一1,+〃3

所以。的取值范围是（〜0,1）.

故答案为：（-8,J）.

变式4.（2023秋・安徽六安•高二校考阶段练习）若过点4（3,4）,。（6,3a）的直线的倾斜角为锐角，则实数

。的取值范围为（）

4444

A.ci<—B.aG—C.a>—D.aN—

3333

【答案】C

【分析】先根据两点斜率公式求得斜率，再根据斜率与倾斜角的关系即可求解

【详解】因为直线4。的斜率左=3亭a-4;=4

6-33

又因为直线AQ的倾斜角为锐角，

44

所以。一§>。，解得

故选：C

（-）由斜率求倾斜角的值（范围）

例4.（2023春•上海普陀•高二上海市宜川中学校考期末）已知直线/经过点A（3,6）、8（6,1）.直

线I的倾斜角是.

JT

【答案】f/300

0

【分析】根据两点确定直线的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系列式求解即可.

【详解】因为过A（3,石）、5（6,1）两点的直线的斜率为：k=勺£=走，

3-V33

因为左=tan0,a是直线的倾斜角，且ee[0,兀）

7T

所以直线的倾斜角为：

6

兀

故答案为:

变式1.（2023秋•高二课时练习）若直线/的斜率左的取值范围是[。，如），则该直线的倾斜角。的取值范围

是.

【答案】0<a<60

【分析】由人=tana£[0,6）,结合0°<cvl800.即可得出。的取值范围.

【详解】因为左e[。，6），

所以左二tana£[0,6），

因为0<a<180

所以0<a<60

故答案为：0Wav60

变式2.（2023•全国•高三专题练习）若直线的倾斜角a满足且<tana〈退，则。的取值范围是

3

【分析】根据直线倾斜角的范围解不等式即可.

【详解】直线的倾斜角伞且0,兀），

<tana<石，

—<a<—.

故答案为:⑦父

变式3.（2023秋•高二课时练习）直线/的斜率为上且左e-区%,则直线/的倾斜角的取值范围是

【答案】

【分析】画出直线的区域，由图直观看出直线的倾斜角范围即可.

【详解】如图：

当直线/的斜率左百,1

直线/的倾斜角的取值范围为：o,^兀：

故答案为：。，胃

变式5.(2023秋•安徽六安•高二校考阶段练习)将直线绕原点旋转60得到直线MN',若直线的

斜率为1,则直线MN的倾斜角是()

A.105B.165C.15或75D.105或165

【答案】D

【分析】将绕原点逆时针或顺时针旋转60得到直线MN,求得其倾斜角.

【详解】因为直线M2V'的斜率为1,所以直线的倾斜角是45,

若将绕原点逆时针旋转60得到直线MN,则直线的倾斜角是1。5,

若将绕原点顺时针旋转60得到直线MN,则直线的倾斜角是165,

故选：D

考点四：斜率公式的应用

(-)利用直线斜率处理共线问题

［、例5.(2023秋・河南•高二校联考阶段练习)判断下列三点是否在同一条直线上:

⑴A(-3,1),B(D,C(3,O)；

⑵。(5,-1),E(-1,2),尸(-5,4).

【答案】(1)4B,C三点不在同一条直线上

(2)。，E,尸三点在同一条直线上

【分析】(1)计算KB和心c，根据其是否相等即可判断;

（2）计算aE和3一根据其是否相等即可判断.

1+41-01

【详解】（1）因为阳B=二一1，左AC=f

-3-2-3-3~6

所以^AB0^AC，

所以A,B,C三点不在同一条直线上.

14+1_1

(2)因为kDE=--

5+12-5-52

所以kpE=kDF.

又直线OE与直线。尸有公共点D,

所以O,E,尸三点在同一条直线上.

变式1.（2023秋•高二课时练习）已知三点4（3,1）,3（—2,k）,C（8,H）共线，贝心的值为.

【答案】-9

【分析】由条件可得心5=姮c，结合两点斜率公式列方程求上的值.

【详解】因为三点A（3,1）,5（—2㈤,。（8,11）共线，

所以^AB=^AC，

解得k=—9.

故答案为：-9.

变式2.（2023秋•高二课时练习）已知直线/经过三点A（5,-3）I（4,y）,C（T9）,则直线/的斜率左=

，y=•

【答案】-2-1

【分析】根据两点斜率公式求出直线/的斜率，并根据第5="c列出方程，求出答案.

【详解】由题意得4=心0='±9=一2,

AC-1-5

由KB=KC可得匕@=一2,解得y=-l.

4-5

故答案为：-2,-1

变式3.（2023春・上海松江•高二上海市松江二中校考期中）已知点A（0,-8）,B（2,-2）,C（4,m）,若线段

AB,AC,BC不能构成三角形，则加的值是.

【答案】4

【分析】由线段AB,AC,BC不能构成三角形知A氏C三点共线，由心B=KC求得加的值.

【详解】因为线段A3,AC,BC不能构成三角形，所以A,B,C三点共线，

显然直线A3的斜率存在，故勉=%，即三号=券，解得加=4,

2-04

故答案为：4

（二）斜率公式的几何意义的应用

例6.（2023秋•高二课时练习）已知直线/过点4（1,3）,且不过第四象限，则直线/的斜率上的最大

值是.

【答案】3

【分析】由直线不过第四象限，可画出所有符合要求的直线，数形结合可得答案.

[详解]秀厂

x

如图，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，

3

k（）A=1=3，勺=0,

故女s[0,3],即线/的斜率上的最大值是3.

故答案为：3.

变式1.（2023・全国•高二专题练习）若实数x、＞满足＞=-尤+3,则代数式注的取值范围为

【答案】|，7

【分析】作图，根据代数式注的几何意义，结合图象即可得出答案.

x+2

因为，|=三号，可表示点C与线段M上任意一点M（x,y）连线的斜率,

由图象可知，M1C工^MC-^BC，

所以有=%纥＜7.

故答案为：（，7.

变式2.【多选】（2023•全国•高三专题练习）点加（埠弘）在函数y=e，的图象上，当用目0,1）,则汨■可

能等于（）

A.-1B.-2C.-3D.0

【答案】BC

【分析】根据目标式的几何意义为y=e，在xe[o,l）部分图象上的动点与点4（1,-1）所成直线的斜率

k,即可求范围.

【详解】由合表示与点所成直线的斜率3

又“（埠％）是〉=6，在工€[0,1）部分图象上的动点，图象如下:

如上图，B(l,e),贝只有B、C满足.

故选：BC

变式3.(2023秋广东深圳•高二深圳中学校考期中)已知点A(-2,-l),8(3,0),若点M(x,y)在线段A8

上，则”|的取值范围()

A.10°,-gD[3,+OO)B.-；,3

C.S，-l][3,+a))D.[-1,3]

【答案】A

【分析】设。(-1,2),分别求出kQB,根据上三表示直线QM的斜率即可得到结果.

X+1

/、2-(-1)2-01

【详解】设Q(-U),则3"=3,%=丹=

—L—y—^J—1—JZ

因为点M(x,y)在线段A3上，所以手的取值范围是(-甩-133,+8)，

x+1<2J

故选：A.

考点五：直线与线段的相交关系求斜率的范围

■例7.(2023秋・广东佛山・高二佛山市南海区桂城中学校考阶段练习)已知坐标平面内三点A(-l,1),

BQ,1),C(2，V3+1).

(1)求直线BC,AC的斜率和倾斜角；

(2)若。为一ABC的边AB上一动点，求直线CQ的斜率和倾斜角a的取值范围.

【答案】⑴直线BC的斜率百，倾斜角为g;直线AC的斜率正，倾斜角为9

336

71兀

(2)

03

【分析】(1)根据两点间的斜率公式计算斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解即可;

(2)数形结合，根据斜率与倾斜角变化的规律分析即可.

【详解】(1)由斜率公式得：噎=6+1一1=豆，^=^+1~1=—

BC2-12-(-1)3

因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是［0,兀)，

(2)如图，当直线CD由CA逆时针旋转到CB时,

直线与线段A8恒有交点，即Q在线段A8上，此时左由3c增大到即c，

兀71

左的取值范围为倾斜角a的取值范围为

O3

变式1.(2023•江苏•高二假期作业)已知两点A(-3,4),3(3,2),过点尸(1,0)的直线/与线段A3有公共点.

(1)求直线/的斜率上的取值范围；

(2)求直线/的倾斜角a的取值范围.

【答案】⑴

(2)45°<a<135°.

【分析】(1)由图可知要使直线/与线段回有公共点，只需直线/的斜率k满足或左2人.，从而可

求得答案；

(2)由斜率与倾斜角的关系可求出直线/的倾斜角a的取值范围.

【详解】（1）因为4-3,4）,3（3,2）,尸（1,0）,

所以&4=一4^-0=一1，酊5=7＜-0=1

—J—1J—L

因为直线/与线段A3有公共点，

所以由图可知直线I的斜率%满足左4怎A或左NkpB,

所以直线I的斜率k的取值范围是。口,+8）.

（2）由题意可知直线/的倾斜角介于直线PB与丛的倾斜角之间，

因为直线用的倾斜角是45。，直线上4的倾斜角是135。，

所以。的取值范围是45。＜。＜135。.

变式2.（2023•江苏•高二假期作业）已知A（3,3）,B（T,2）,C（0,-2）.

（1）求直线AB和AC的斜率；

（2）若点。在线段BC（包括端点）上移动时，求直线的斜率的变化范围.

【答案】（1）直线A8的斜率为;，直线AC的斜率为g

一15一

【分析】（1）根据斜率公式运算求解；

（2）根据倾斜角和斜率之间的关系分析求解.

【详解】（1）由斜率公式可得直线A8的斜率左钙=52-^3=11，

直线AC的斜率七c=上=

人。3-03

故直线A2的斜率为:，直线AC的斜率为*

（2）如图所示，当。由8运动到C时，直线AO的倾斜角增大且为锐角，

直线AD的斜率由kAB增大到kAC,

所以直线4。的斜率的变化范围是

变式3.（2023秋•江西抚州•高二统考期末）已知坐标平面内三点A（-M）,2（1』）,C（2,^+1）,。为的

边AC上一动点，则直线5D斜率左的变化范围是（）

A.0,9B.（-co,0］u［^,+ooj

C.¥，指D.（-8,0］。［石，+co）

【答案】D

【分析】作出图象，求出A民BC的斜率，再结合图象即可得解.

【详解】如图所示，

I1-1,6+1-1后

knk3

AB=—=^BC=2-1=V，

因为。为ABC的边AC上一动点，

所以直线应＞斜率上的变化范围是（-8,。］口［石,+8）.

故选：D.

变式4.（2023秋・安徽滁州•高二校考期中）已知点A（-l,2）,5（2,-2）,C（0,3）,若点M（a,b）是线段A3上

的一点（aw0）,则直线CM的斜率的取值范围是（）

一训（0,1］

A.-I1B.

C.-1-1D.u[l,+oo)

【答案】D

【分析】利用图像结合直线的斜率范围求解即可.

【详解】由斜率公式可得Kc=・W=i，得

—1—U2—(J2

当"介于AD之间时，直线斜率的取值范围为[1,+8),

当M介于之间时，直线斜率的取值范围为

所以直线CM的斜率的取值范围为卜咫u[l,+s),

故选：D.

变式5.(2023秋・安徽芜湖•高二安徽省无为襄安中学校考阶段练习)经过点P(O,1)作直线/,若直线/与连

接4(2,3),3(-1,2)的线段总有公共点，则直线/的斜率的取值范围是

【答案】k<-\^k>l

【分析】根据给定条件，作出图形，利用斜率坐公式结合图形求解作答.

【详解】如图，直线/与线段总有公共点，即直线/以直线上4为起始位置，绕点尸逆时针旋转到直线尸B

即可，

直线/的斜率为％,直线PA,尸8的斜率分别为⑥A，原…于是kSkpB或kZkpA,

而即A=——=1,^==~1，因此ZW-l或左21,

2—。B—1-（J

所以直线/的斜率的取值范围是上4-1或左21.

故答案为：kW-1或左21

变式6.（2023秋・江苏连云港•高二校考阶段练习）已知点4（-2,3）,网3,2）,若直线依+y+2=0与线段.

没有交点，则〃的取值范围是（）

(［。一］5一4

A.0,U—,+00

3

一54~

C.——

一2'3_

【答案】B

【分析】求出直线CAC3的斜率，结合图形得出，的范围.

【详解】直线6+y+2=0过定点C（0,-2）,且七0=-永税=：，

54

由图可知直线与线段AB没有交点时，斜率-。满足-：＜-Q＜],

解得Q,

故选：B.

||西真题演练I?

-------------------llllllllilllllllillllllllllllllilllllllll------------------------

1.直线y=2与直线尤+y-2=0的夹角是（）

兀一兀一兀一3兀

A.-B.—C.-D.—

4324

【答案】A

【分析】由斜率得倾斜角后求解，

万

【详解】直线＞=2的倾斜角为0,直线％+丁-2=。的斜率为T,倾斜角为一3,

4

两条直线的夹角为

4

故选：A

2.图中的直线/「JI的斜率分别为匕，/，片，则有（）

A.kt<k2<k3B.kt>k2>k3

C.k1<k3<k2D.k3<k1<k2

【答案】C

【分析】根据直线斜率的概念，结合图象，可直接得出结果.

【详解】由图象可得，K<o<k3<k2,

故选：C

3.若三点A（2,2）,B（a,O）,C（0,&）,（曲W0）共线，则：的值等于一

ab

【答案】:/0.5

【分析】由三点共线，利用斜率的公式可得。+5=1浦，进而可求目标式的值.

【详解】由题知，直线AC的斜率存在，由三点共线可知

2-02-b1

由^AB-kAC:~~~,即〃+，=7ab,又abW0,

2—Q2-02

・1+1-1

ab2

故答案为：!

/'''''

I［图过关检测

----------------------IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII------------------------

一、单选题

1.（2023秋•贵州贵阳•高二统考期末）以下四个命题，正确的是（）

A.若直线/的斜率为1,则其倾斜角为45。或135。

B.经过人。，0）,3（-1,3）两点的直线的倾斜角为锐角

C.若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应

D.若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应

【答案】D

【分析】根据直线的倾斜角和斜率的概念依次判断选项即可.

【详解】A：直线的斜率为1,则直线的倾斜角为45。，故A错误；

B：过点A、8的直线的斜率为左=3乎-0=-；3＜0,

-1-12

3

即tana=＜0（a为直线的倾斜角），则a为钝角，故B错误；

C：当直线的倾斜角为90。时，该直线的斜率不存在，故C错误；

D：若直线的斜率存在，则必存在对应的倾斜角，故D正确.

故选：D.

2.（2023•江苏•高二假期作业）已知一直线经过两4L2）,8（。,3）,且倾斜角为135。，则。的值为（

A.-6B.-4

C.0D.6

【答案】C

【分析】由两点坐标求出直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值列式求得。的值.

【详解】直线经过两A（l,2）,B（G,3）,.

又直线的倾斜角为135。，斜率一定存在，

则直线的斜率为左=等

a-\

3-2

...——=tanl35°=-l,即a=0.

a—1

故选：C.

3.（2023秋・北京密云•高二统考期末）已知直线/：＞=尤-8.则下列结论正确的是（）

A.点（2,6）在直线/上B,直线/的倾斜角为？

C.直线/在y轴上的截距为8D,直线/的一个方向向量为u=（1,-1）

【答案】B

【分析】逐个分析各个选项.

【详解】对于A项，当x=2,y=6时，代入直线方程后得6片2-8,...点（2,6）不在直线/上，故A项错

误；

7T

对于B项，设直线/的倾斜角为凡；左=1,，tane=l,又：夕日。,7），，。二一，故B项正确；

4

对于C项，令x=0得：＞=-8,.♦.直线/在y轴上的截距为一8,故选项C错误；

对于D项，•.•直线/的一个方向向量为v=.•.左=9=-1,这与已知人=1相矛盾，故选项D错误.

故选：B.

4.（2023秋•山西临汾•高二统考期末）若三点A（2,-3）,8（4,3）,C（5,6）在同一直线上，则实数6等于（）

A.-12B.-6C.6D.12

【答案】C

【分析】由题意得七B=&c，列式求解即可.

【详解】因为心B="C，又3B=W?=3,3c=r^=审，

所以3=b3+工3即6=6.

故选：C.

5.（2023春•山东滨州•高一校考阶段练习）过点尸［2,m）,Q（m,4）的直线的斜率为1,那么小的值为（）

A.1或4B.4C.1或3D.1

【答案】D

【分析】利用直线的斜率公式求解.

【详解】解：因为直线过点尸12,m），Q（m,4）,且斜率为1,

4—m

所以A==1,解得〃7=1,

加+2

故选：D

6.（2023春・河南安阳•高二安阳一中校联考开学考试）已知点A（2,3）,3（T,x）,直线A3的倾斜角为可，

则x=（）

A.3-3有B.3+—C.3+3括D.6

3

【答案】C

【分析】根据斜率公式列式计算即可.

【详解】因为直线A3的倾斜角为号，4（2,3）,3（-1,尤）,

可得直线AB的斜率为乙==tan§=-指，

可得x=3+35

故选：C

7.（2023秋•湖南湘潭•高二校联考期末）若直线/的斜率为3且％2=3,则直线/的倾斜角为（）

A.30或150B.45或135C.60或120D.90或180

【答案】C

【分析】根据直线的倾斜角与斜率之间的关系求解即可.

【详解】设直线/的倾斜角为0<«<180

因为左2=3,所以％=±A/§\

当左=石时，即tana=有，则a=60；

当左=-6时，即tanau-8，则a=120,

所以直线/的倾斜角为60或120.

故选：C.

8.（2023秋•山西晋中•高二统考期末）经过点A（0,2）,巩TO）的直线的斜率为（）

A.—2B.——C.~D.2

【答案】D

【分析】利用斜率公式即可求得经过点4（0,2）,3（-1,0）的直线的斜率.

【详解】由斜率公式可得：言、=2,

则经过点A（0,2）,B（-l,0）的直线的斜率为2

故选：D

9.（2023・江苏•高二假期作业）若直线/经过点M（2,3）,N（4,3）,则直线/的倾斜角为（）

A.0°B.30°

C.60°D.90°

【答案】A

【分析】由两点的纵坐标相等，可直接得到直线的倾斜角.

【详解】因为M（2,3）,N（4,3）两点的纵坐标相等，

所以直线/平行于x轴，

所以直线/的倾斜角为0。.

故选：A

10.（2023秋•四川宜宾•高二四川省宜宾市南溪第一中学校校考期末）设直线/的斜率为3且-百

则直线/的倾斜角的取值范围为（）

A.

715兀）

C.49~6~I

【答案】A

【分析】设直线/的倾斜角为心0（£<兀，则有左=tan<z,0<&<兀，作出y=tane（0v媛<兀）的图象，由

图可得a的范围，即可得答案.

【详解】设直线/的倾斜角为％<兀，

贝!I有左=tanar,0<a<7t,

作出y=tana（0Wa<7t）的图象，如图所示:

故选：A.

11.（2023秋•江苏连云港•高二校考期末）经过两点4（1,帆），3（1,3）的直线的倾斜角是锐角，则实数机

的范围是（）

A.（-oo,-3）<J（-2,+co）B.（-3,-2）

C.（2,3）D.（―°°,2）u（3,+oo）

【答案】C

【分析】根据题意列出相应的不等式，即可得答案.

【详解】由题意经过两点A。,"?），以根-1,3）的直线的倾斜角是锐角,

—r乙YY1-t3—m八

可知机—1W1,且---->0,

m-2

解得2<3,即实数机的范围是（2,3）,

故选：C

12.（2023春•上海浦东新•高二上海市实验学校校考期中）己知两点A（2,-l）,B（-5-3）,直线/过点（1,1）,

若直线/与线段A3相交，则直线/的斜率取值范围是（）

2-2

A.(-oo,-2]—,+00B.4

3