专题01二次根式(原卷版+解析)

专题01二次根式一、单选题1．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，是二次根式有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．下列二次根式中，不能与合并的是（）A． B． C． D．3．能使成立的的取值范围是（

）A． B． C． D．或4．下列四个算式正确的是（）A． B．C．＝× D．5．下列各组二次根式中是同类二次根式的是（

）A．和 B．和C．和 D．和6．实数在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（

）A．7 B．-7 C． D．无法确定7．下列结论正确的是（）A．的有理化因式可以是B．C．不等式（2﹣）x＞1的解集是x＞﹣（2+）D．是最简二次根式8．下列各式中，从左到右的变形正确的是（

）A． B．C． D．9．已知.则xy=（

）A．8 B．9 C．10 D．1110．已知，则的值为（

）A．0 B．1 C． D．二、填空题11．比较大小：___________（用“>”、“<”或“=”填空）12．的一个有理化因式是______．13．已知最简二次根式和是同类二次根式，则______．14．若成立，则的取值范围是__________．15．化简二次根式：______（）．16．计算：=______

=______17．根式化简后的结果是__________．18．如图．从一个大正方形中裁去面积为cm2和cm2的两个小正方形，则留下的阴影部分的面积为___________cm2．19．设，其中n为正整数，则____．三、解答题20．计算：.21．计算：(1)(2)22．计算：(1)(2)23．先化简再计算：，其中．24．先化简，再求值：，其中．25．已知，其中，求．26．先化简，再求值：，其中，．27．已知a满足．(1)有意义，a的取值范围是______；则在这个条件下将去掉绝对值符号可得______．(2)根据（1）的分析，求的值．28．（1）计算：_____________________（2）由以上计算结果：可知的倒数是_______．（3）比较与的大小．29．阅读下列材料，然后回答问题：在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：方法一：；方法二：．(1)化简：______；(2)观察上述规律并猜想；当是正整数时，______（用含的式子表示，不用说明理由）．(3)计算：．30．计算下列各式：(1)＝1，＝2，＝，＝，＝．(2)通过观察并归纳，请写出：＝．(3)计算：＝．31．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中a、b、m、n均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)若，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=，b=；(2)若，且a、m、n均为正整数，求a的值；(3)化简：．32．请阅读下列材料，并完成相应的任务．古希腊几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量》一书中，给出了三角形面积的计算公式(海伦公式)：如果一个三角形的三边长分别为，记，那么三角形的面积是．印度算术家波罗摩笈多和婆什迦罗还给出了四边形面积的计算公式：如果一个四边形的四边长分别为，记，那么四边形的面积是(其中，和表示四边形的一组对角的度数)根据上述信息解决下列问题：（1）已知三角形的三边是4，6，8，则这个三角形的面积是（2）小明的父亲是工程师，设计的某个零件的平面图是如图的四边形，已知，，，，，．求出这个零件平面图的面积．专题01二次根式一、单选题1．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，是二次根式有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个答案:B分析：根据二次根式的定义逐项分析即可．解析：解：①是二次根式；②被开方数是负数，不是二次根式；③开立方也不是二次根式；④被开方数是负数，不是二次根式；⑤是二次根式；⑥是二次根式；共有3个，故选：B．【点睛】本题考法二次根式的定义，二次根式必须满足：①有二次根号；②被开方数为非负数．2．下列二次根式中，不能与合并的是（）A． B． C． D．答案:A分析：化简二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得答案．解析：解：A、，故不能与合并，符合题意；B、，故能与合并，不符合题意；C、，故能与合并，不符合题意；D、，故能与合并，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了同类二次根式，被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式．3．能使成立的的取值范围是（

）A． B． C． D．或答案:A分析：根据被开方数为非负数，且分式的分母不能为0，列不等式组求出x的取值范围即可得答案．解析：∵有意义，∴，解得：．故选：A．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题的关键是根据被开方数为非负数，分母不等于0列出不等式组．4．下列四个算式正确的是（）A． B．C．＝× D．答案:B分析：利用二次根式的各种运算的法则对各项进行运算即可．解析：解：A.，故选项错误，不符合题意；B.，故选项正确，符合题意；C.，故选项错误，不符合题意；D.，故选项错误，不符合题意；．故选：B．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．5．下列各组二次根式中是同类二次根式的是（

）A．和 B．和C．和 D．和答案:D分析：先利用二次根式的性质化简，再由同类二次根式的定义，逐项判断即可求解．解析：解：A、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；B、，，不是同类二次根式，故本选项不符合题意；C、和，不是同类二次根式，故本选项不符合题意；D、，，是同类二次根式，故本选项符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了二次根式的性质化简，再由同类二次根式的定义，熟练掌握二次根式化简后，被开方数完全相同的二次根式是同类二次根式是解题的关键．6．实数在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（

）A．7 B．-7 C． D．无法确定答案:A分析：根据数轴上点的位置，可得，根据二次根式的性质化简即可求解．解析：解：∵由实数在数轴上的位置，可得，∴，∴，故选A．【点睛】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质化简，数形结合是解题的关键．7．下列结论正确的是（）A．的有理化因式可以是B．C．不等式（2﹣）x＞1的解集是x＞﹣（2+）D．是最简二次根式答案:D分析：根据分母有理化，最简二次根式的定义，不等式的解法以及二次根式的性质即可求出答案．解析：解：A、有理化因式可以是，故A不符合题意．B、原式＝|1﹣|＝﹣1，故B不符合题意．C、∵（2﹣）x＞1，∴x＜，∴x＜﹣2﹣，故C不符合题意．D、是最简二次根式，故D符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了分母有理化，解一元一次不等式以及最简二次根式，本题属于基础题型．8．下列各式中，从左到右的变形正确的是（

）A． B．C． D．答案:C分析：利用二次根式的性质进行化简进而得出答案．解析：解：A．，不符合题意；B．，a的符号不确定，需分情况，不符合题意；C．，符合题意；D．，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是解决问题的关键．9．已知.则xy=（

）A．8 B．9 C．10 D．11答案:D分析：利用完全平方公式、平方差公式化简第二个等式即可.解析：配方得将代入得：计算得：故选：D.【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式的综合应用，熟记公式是解题关键，这两个公式是常考点，需重点掌握.10．已知，则的值为（

）A．0 B．1 C． D．答案:C分析：由的值进行化简到=，再求得，把式子两边平方，整理得到，再把两边平方，再整理得到，原式可变形为，利用整体代入即可求得答案．解析：解∵==∴∴整理得∴∵∴整理得∴∴∴=====故选：C【点睛】本题考查了二次根式的化简，乘法公式，提公因式法因式分解等知识，关键在于熟练掌握相关运算法则和整体代入的方法．二、填空题11．比较大小：___________（用“>”、“<”或“=”填空）答案:分析：通过作差与比较大小即可得出结论．解析：解：，又，，即，，故答案为：．【点睛】本题考查比较两个实数的大小，涉及到作差法比较实数大小、二次根式比较大小的方法等知识点，熟练掌握作差法比较大小的恒等变形判定符号是解决问题的关键．12．的一个有理化因式是______．答案:分析：根据平方差公式和有理化因式的意义即可得出答案．解析：∵∴的一个有理化因式．故答案为：．【点睛】本题考查分母有理化，理解有理化因式的意义和平方差公式是正确解答的关键．13．已知最简二次根式和是同类二次根式，则______．答案:分析：根据同类二次根式定义：两个被开方数相同的最简二次根式是同类二次根，列出方程组求解，得出a、b值，再代入计算即可．解析：银，根据题意，得，解得：，∴ab=2-1=，故答案为：．【点睛】本题考查同类二次根式概念，代数式求值，负整理指数幂的运算，解二元一次方程组，熟练掌握同类二次根式概念是解题的关键．14．若成立，则的取值范围是__________．答案:x＞2分析：根据二次根式有意义的条件即可求出答案．解析：解：由题意可知：x−1≥0且x−2＞0，∴x＞2，故答案是：x＞2．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题题型．15．化简二次根式：______（）．答案:分析：根据二次根式有意义的条件判断得出，然后利用二次根式的性质化简即可得出答案．解析：解：，，，原式；故答案为：．【点睛】本题考查二次根式的性质以及化简，理解二次根式有意义的条件和二次根式的性质是解题关键．16．计算：=______

=______答案:

24

分析：运用积的乘方的逆运算：(ab)n=anbn，把写成，再先算乘方再算乘法；按从左到右的顺序运算．解析：解：==3×23=3×8=24解：==故答案为：24，【点睛】此题考查了实数的运算，解决问题的关键是掌握正确的运算顺序．17．根式化简后的结果是__________．答案:分析：由根式可知，，然后根据二次根式的性质进行化简即可．解析：解：由题意可知，∴故答案为：．【点睛】本题考查了利用二次根式的性质进行化简．解题的关键在于熟练掌握二次根式的性质及二次根式的被开方数是非负数．18．如图．从一个大正方形中裁去面积为cm2和cm2的两个小正方形，则留下的阴影部分的面积为___________cm2．答案:24分析：通过两个小正方形的面积，分别求出正方形的边长，则可求最大的正方形的边长为5cm，再用大正方形面积减去两个小正方形面积求解即可．解析：解：∵小正方形的面积8cm2，∴小正方形的边长为=2(cm)，∵大正方形的面积18cm2，∴大正方形的边长为=3(cm)，∵最外边的大正方形的边长为2+3=5(cm)，∴S=（5）2=50(cm2)，∴S阴影=50-8-18=24(cm2)，故答案为：24．【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的化简运算，结合图形求面积是解题的关键．19．设，其中n为正整数，则____．答案:分析：计算通项公式，将n=1，2，3，…，2022代入可得结论．解析：∵n为正整数，∴，∴故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是用裂项法将分式裂项，再寻找抵消规律求和．三、解答题20．计算：.答案:分析：根据二次根式的性质将各项化为最简二次根式，再进行加减混合运算即可．解析：．【点睛】本题考查了二次根式的性质以及加减混合运算等知识，掌握二次根式的性质是解答本题的关键．21．计算：(1)(2)答案:(1)(2)15分析：（1）先开方，再乘除，再加减（2）先用平方差公式化简，并求出算术平方根，再加减（1）原式=（2）原式【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握运算规则和方法技巧是本题关键．22．计算：(1)(2)答案:(1)(2)分析：（1）利用二次根式化简的乘除法则计算即可；（2）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可求解．（1）解：；（2）解：．【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．23．先化简再计算：，其中．答案:，分析：首先根据分式的混合运算进行化简，再把代入化简后得到的式子，即可求得其结果．解析：解：原式当时，原式．【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，熟练掌握和运用分式化简求值的方法是解决本题的关键．24．先化简，再求值：，其中．答案:，分析：首先根据分式的减法法则计算括号内的，再计算分式的除法化成最简分式，然后将a的值代入计算即可．解析：解：原式，当时，原式．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值及分母有理化，掌握分式的运算法则是解题的关键．25．已知，其中，求．答案:分析：根据二次根式的混合运算法则求解即可．解析：，，，，或（舍去），，．【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则．26．先化简，再求值：，其中，．答案:，4分析：根据分式以及二次根式的运算法则，先将原式进行化简，再将，代入即可得出答案．解析：解：原式，当，时，原式．【点睛】本题考查分式的化简求值以及二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简是本题解题关键．27．已知a满足．(1)有意义，a的取值范围是______；则在这个条件下将去掉绝对值符号可得______．(2)根据（1）的分析，求的值．答案:(1)；(2)分析：（1）先根据二次根式有意义的条件求出a的范围，再根据绝对值的性质化简；（2）去掉绝对值符号，然后根据二次根式的性质求解即可．（1）解：∵有意义，∴，∴，∴，∴；故答案为：；；（2）∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了绝对值的意义，二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，能求出a≥2022是解此题的关键．28．（1）计算：_____________________（2）由以上计算结果：可知的倒数是_______．（3）比较与的大小．答案:（1）1，1，1；（2）；（3）分析：（1）根据平方差公式，可得答案；（2）根据（1）的规律，可得答案；（3）利用（2）的结论，可得答案．解析：解：（1）；；；故答案为：1，1，1；（2）∵，∴；故答案为：；（3）∵，，，∴．【点睛】本题考查了利用平方差公式进行分母有理化，解题的关键是掌握分母有理化的方法．29．阅读下列材料，然后回答问题：在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：方法一：；方法二：．(1)化简：______；(2)观察上述规律并猜想；当是正整数时，______（用含的式子表示，不用说明理由）．(3)计算：．答案:(1)(2)(3)1010．分析：（1）利用分母有理化进行化简；（2）利用分母有理化进行化简即可；（3）先把各分母提，然后分母有理化，再合并同类二次根式，最后进行二次根式的乘法运算．（1）解：，故答案为：；（2）解：当是正整数时，，∵，故答案为：；（3）解：=1010．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和平方差公式是解决问题的关键．30．计算下列各式：(1)＝1，＝2，＝，＝，＝．(2)通过观察并归纳，请写出：＝．(3)计算：＝．答案:(1)3；4；5；(2)n(3)26分析：（1）直接进行计算即可；（2）先计算出各二次根式的值，根据计算结果找出其中的规律，然后用含n的式子表示；（3），然后找出其中的规律进行计算即可．(1)＝1；＝＝2＝＝3，＝＝4，＝＝5，故答案为为：3；4；5；(2)观察上述算式可知：＝n．故答案为：n；(3)＝，＝＝2，＝＝3，…＝＝26．故答案为：26．【点睛】本题主要考查的是探索数字的变化规律，找出其中蕴含的规律是解题的关键．31．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中a、b、m、n均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)若，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=，b=；(2)若，且a、m、n均为正整数，求a的值；(3)化简：．