概率论与数理统计课件 第3章3节

第3章随机变量及其分布本章主要介绍随机变量及其分布的概念。随机变量是将随机现象的结果用数值表示的变量，它可以是离散的或连续的。随机变量的分布描述了随机变量取值的概率规律。ffbyfsadswefadsgsa3.1随机变量的概念随机变量是将随机现象的结果用数值表示的变量。随机变量的值是不确定的，其取值取决于随机现象的结果。1定义随机变量是将随机现象的结果用数值表示的变量。2取值随机变量的值是不确定的，其取值取决于随机现象的结果。3类型随机变量可以是离散的或连续的。随机变量的类型取决于其取值的性质。如果随机变量的取值是有限个或可数个，则称为离散型随机变量。如果随机变量的取值在某个区间内可以取任意值，则称为连续型随机变量。3.2离散型随机变量定义离散型随机变量是指其取值只能是有限个或可数个的随机变量。例如，掷一枚硬币的正面次数是一个离散型随机变量，因为它只能取值为0或1。概率分布离散型随机变量的概率分布是指该随机变量取各个值的概率。它通常用概率质量函数(PMF)来描述。例子例如，如果掷一枚公平的硬币3次，那么正面次数的概率分布如下所示：P(X=0)=1/8，P(X=1)=3/8，P(X=2)=3/8，P(X=3)=1/8。3.3连续型随机变量1定义连续型随机变量是指其取值可以在一个连续区间内变化的随机变量。例如，人的身高、体重、血压等。它的概率分布是通过概率密度函数来描述的。2概率密度函数概率密度函数是指一个连续型随机变量的概率分布函数，它描述了随机变量在每个取值点上的概率密度。通过积分可以计算出随机变量落在某个区间内的概率。3分布函数分布函数是指一个连续型随机变量的概率累积函数，它描述了随机变量小于某个值的概率。分布函数是一个单调递增的函数，且其值域为[0,1]。3.3.1连续型随机变量的概念连续型随机变量是指其取值可以在某个范围内连续变化的随机变量。它与离散型随机变量不同，离散型随机变量的取值是有限个或可数个。1连续型随机变量2取值范围连续3可取无限多个值例如，人的身高、体重、血压等都是连续型随机变量。它们的值可以在某个范围内连续变化，而不是只能取有限个或可数个值。3.3.2连续型随机变量的概率密度函数定义对于一个连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)是一个非负函数，它满足以下条件：性质f(x)的积分在整个实数轴上等于1，即∫f(x)dx=1。意义f(x)代表了随机变量X在某个特定值x附近的概率密度，而不是该值处的具体概率。3.3.3连续型随机变量的分布函数1定义连续型随机变量的分布函数是指在某一特定值以下的概率值。它是随机变量取值的累积概率。2性质分布函数是单调递增的，并且取值在0到1之间。它在负无穷处取值为0，在正无穷处取值为1。3应用分布函数可以用来计算随机变量落在特定区间内的概率，也可以用来求随机变量的各种统计特征。3.3.4连续型随机变量的数学期望1定义期望反映随机变量的平均值2计算积分计算，用概率密度函数加权3意义反映随机变量的长期平均值连续型随机变量的数学期望是衡量该随机变量取值的平均水平的指标，其定义为随机变量值乘以该值出现的概率的积分。期望的计算方法是将随机变量的取值乘以其概率密度函数，然后对整个取值范围进行积分。期望的意义在于它反映了随机变量的长期平均值，即在大量重复试验中，随机变量取值的平均值趋近于其期望值。3.3.5连续型随机变量的方差连续型随机变量的方差是衡量随机变量取值分散程度的指标。方差越大，随机变量取值越分散；方差越小，随机变量取值越集中。1方差的定义方差是随机变量与其数学期望之差的平方的数学期望2方差的计算公式方差可以用积分计算3方差的性质方差是非负的，且方差为0当且仅当随机变量为常数方差的计算需要利用积分，而积分的计算可能比较复杂。为了简化计算，可以使用一些常用的公式和性质。3.3.6连续型随机变量的标准差定义标准差是方差的平方根，用于衡量随机变量的离散程度。公式连续型随机变量X的标准差用σ表示，计算公式为σ=√Var(X)。意义标准差越大，随机变量的离散程度越大，反之亦然。3.4常见的连续型随机变量分布1均匀分布均匀分布是指在给定区间内，随机变量取每个值的概率都是相等的。2指数分布指数分布常用来描述事件发生的时间间隔，例如设备的寿命或两次故障之间的时间间隔。3正态分布正态分布是自然界中最常见的分布之一，它可以用来描述许多随机现象，例如身高、体重、血压等。3.4.1均匀分布均匀分布是一种简单的连续型随机变量分布，它表示一个随机变量在某个区间内取值的概率是均匀的。均匀分布的概率密度函数是一个常数，其值等于区间长度的倒数。均匀分布的分布函数是一个线性函数，其斜率等于区间长度的倒数。1定义概率密度函数为常数2性质概率密度函数在区间内为常数3应用模拟随机事件3.4.2指数分布1定义随机变量X表示事件持续时间2概率密度函数f(x)=λe^(-λx)3分布函数F(x)=1-e^(-λx)4性质无记忆性指数分布是描述事件发生时间的概率分布。例如，一个灯泡的寿命可以用指数分布来描述。指数分布的概率密度函数由参数λ决定，λ表示事件发生的速率。指数分布的一个重要性质是无记忆性，即事件发生的概率与之前事件的发生时间无关。3.4.3正态分布正态分布是统计学中最常见的分布之一。它也是许多实际现象的理想模型。例如，人类身高，血压，考试成绩等都近似服从正态分布。1正态分布的密度函数钟形曲线，对称2正态分布的性质平均数，标准差3正态分布的应用数据分析，质量控制3.4.4正态分布的性质1对称性以均值为中心左右对称2峰度钟形曲线，最高点在均值处3渐进性曲线两端无限接近横轴正态分布的概率密度函数满足对称性，以均值为中心左右对称。钟形曲线在均值处达到峰值，且两端无限接近横轴。这些性质使得正态分布在实际应用中非常广泛。3.4.5正态分布的标准化1标准化随机变量将任意一个随机变量X转换为标准正态分布的随机变量Z，称为标准化。2标准化公式Z=(X-μ)/σ，其中μ为X的期望，σ为X的标准差。3标准正态分布标准化后，随机变量Z服从标准正态分布，其期望为0，标准差为1。3.4.6正态分布的应用数据分析正态分布是数据分析中最为常见的分布之一，可以用于描述各种数据的分布规律。例如，身高、体重、血压等数据通常服从正态分布。质量控制在质量控制中，正态分布可以用于评估产品的质量水平，以及预测产品的合格率和失效率。金融领域在金融领域，正态分布可以用于模拟金融资产的价格变化，以及预测投资组合的收益率和风险。医学研究在医学研究中，正态分布可以用于分析患者的健康指标，以及评估药物的效果和安全性。其他领域除了上述领域，正态分布在物理学、工程学、社会学等领域也有广泛的应用。3.5随机变量的函数随机变量的函数是指将随机变量作为自变量的函数。例如，如果X是一个随机变量，则Y=g(X)是一个随机变量的函数。1定义将随机变量作为自变量的函数2性质函数本身也是一个随机变量3应用研究随机变量的变换随机变量的函数的性质与随机变量本身密切相关。例如，随机变量函数的分布、期望和方差可以通过随机变量本身的分布、期望和方差来计算。3.5.1随机变量的函数的分布1基本概念设X为随机变量，g(x)为定义在X的取值范围上的函数，则g(X)也是一个随机变量。2分布函数g(X)的分布函数可以通过X的分布函数和g(x)的关系来求得。3概率密度函数如果X是连续型随机变量，则g(X)的概率密度函数可以通过X的概率密度函数和g(x)的关系来求得。3.5.2随机变量的函数的数学期望定义设X为随机变量，g(X)为X的函数，则g(X)的数学期望为：性质若c为常数，则E[cg(X)]=cE[g(X)]，且E[g(X)+h(X)]=E[g(X)]+E[h(X)]。计算根据随机变量X的类型，可以使用不同的方法计算g(X)的数学期望，例如，离散型随机变量可以使用求和公式，连续型随机变量可以使用积分公式。3.5.3随机变量的函数的方差1定义随机变量函数的方差是其期望值与期望值的平方的差2公式Var(g(X))=E[(g(X)-E[g(X)])²]3计算利用期望值公式和积分计算随机变量函数的方差可以用来衡量随机变量函数的波动程度。方差越大，波动程度越大。随机变量函数的方差可以用来计算随机变量函数的标准差。3.6多维随机变量1二维随机变量二维随机变量是两个随机变量的集合，它们在同一样本空间内取值。它们可以表示两个变量之间的关系，例如身高和体重。2联合分布联合分布描述了二维随机变量取值的概率。它可以表示为一个二维函数，其中每个点都对应于两个变量的特定取值组合的概率。3相关性相关系数是衡量两个随机变量线性关系强度的指标。它可以是正的、负的或零的，分别表示正相关、负相关或无相关。3.6.1二维随机变量二维随机变量是指两个随机变量的组合。一个例子是身高和体重，它们共同描述了一个人的体型。1定义两个随机变量的组合2例子身高和体重3意义描述多个特征二维随机变量允许我们研究多个特征之间的关系，例如，身高和体重之间的相关性。3.6.2二维随机变量的边缘分布1边缘分布一个随机变量的概率分布。2二维随机变量两个随机变量的联合分布。3边缘分布计算从联合分布中计算某个随机变量的分布。边缘分布描述的是二维随机变量中单个随机变量的概率分布。它可以通过对联合分布进行积分或求和来得到。例如，如果(X,Y)是一个二维随机变量，那么X的边缘分布可以由Y取所有可能值的联合概率分布积分得到。边缘分布是一个重要的概念，因为它可以让我们了解单个随机变量的概率分布，而不需要考虑其他随机变量。3.6.3二维随机变量的联合分布定义二维随机变量的联合分布描述了两个随机变量同时取值的概率分布。联合分布函数联合分布函数表示两个随机变量同时取值小于或等于某两个值的概率，它是一个二元函数。联合概率密度函数对于连续型二维随机变量，联合概率密度函数描述了两个随机变量在