高考数学复习专题检测六数列（解析版）

专题六数列选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（2024湖南常德模拟，2）已知等差数列的前项和为，，，则A.B.C.D.答案D【解析】设公差为d,由题意得a1+3d=23,4a1+42.（2024福建福州一中模拟，3）等比数列的前项和为，若，，，，则（）A.30B.31C.62D.63【答案】B【分析】先求等比数列的通项公式，再求.【详解】因为数列为等比数列，且，，所以为递增数列.，且，所以，，所以，。所以.故选B.3.（2024重庆名校联盟联考，3）已知数列的前项和满足，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【分析】先利用，求出，进而得到，结合的表达式可得答案.【详解】当时，，解得；当时，，即，数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，因为，所以.故选：B4.（2024广东广雅中学适应性考试，4）已知数列的各项均为正数，满足，，则下列结论正确的是（）A.是等差数列B.是等比数列C.是等差数列D.是等比数列【答案】C【分析】分析可知数列的每一项都是正数，由已知条件可得出，结合等差中项法判断可得出结论．【详解】因为数列各项为正数，满足，，故对任意的，，则，所以数列的每一项都是正数，所以，可得.由等差中项法可知，数列是等差数列．故选：C.5.（2024山东青岛模拟，5）已知数列各项均为正数，首项，且数列是以为公差的等差数列，则（

）A． B． C．1 D．9【答案】A【分析】由已知结合等差数列的通项公式即可求解.【详解】因为数列各项均为正数，首项，则，又数列是以为公差的等差数列，则，故故选：A6.（2024重庆南开中学质量检测，8）已知数列的前项和为（）A.276B.272C.268D.266【答案】A【分析】令得，当时，结合题干作差得，从而利用累加法求解即可.【详解】，又，当时，，解得；当时，，作差得，.故选：A7.（2024福建南平预测模拟，5）已知为等差数列的前项和，，，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】D【分析】设的公差为，根据题意列出方程组，求得，得到和，进而求得答案.【详解】设的公差为，因为，，可得，解得，所以，可得，所以当时，取得最小值故选：D.8.（2024湖南长沙周南中学模拟，7）已知数列的前n项积为，若，，且，则使最大的正整数n的值为（

）A．7B．8C．15D．16【分析】由可知数列为等比数列，将公比代入可求出的值，从而求出数列的首项，当且前项的积为正时最大，从而求出结果.【详解】易知，因为，，所以，，将其代入，得，所以，即数列是以128为首项，为公比的等比数列，所以，，，当时，，所以，因为均小于0，即，，故最大.故选B．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.（2024湖南长沙、浏阳重点校联考，9）已知在数列中，，，则下列结论正确的是（）A.是等差数列B.是递增数列C.是等差数列D.是递增数列【答案】CD【分析】根据递推关系可得，进而根据等差数列的性质即可求解.【详解】由可得，所以是以公差为1的等差数列，故CD正确，，故不是等差数列，而且为单调递减数列，故AB错误，故选CD.10.（2024河北石家庄适应性考试，9）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（

）A．是递增数列 B．C．的最大值为 D．答案BD【分析】C可由题干直接进行判断，ABD选项由去分布进行求出数列的通项公式即可求出结果.【详解】当时，；当时，，所以满足，所以，即数列时以为公差，16为首项的等差数列，故A错误，B正确；又由和可得，故C错误；由，所以，故D正确，故选：BD.11.（2024湖南长沙一中模拟，11）设无穷数列的前项和为，且．若存在，使成立，则（）A．B．C．不等式的解集为D．对任意给定的实数，总存在，当时，【答案】BCD【解析】由，得，，，又，则是等差数列，公差，所以是递减数列，所以是最大项，且随着的增加，无限减小，故A错误、D正确；因为当时，，当时，，所以的最大值为，故B正确；因为，，则，所以当时，；当时，，即不等式的解集为，故C正确．故选：BCD．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．12.（2024山东省实验中学模拟，12）已知等比数列的前项和为，且，，数列的公比______．【答案】【分析】利用等比数列前n项和公式联立方程组即可求解.【详解】由题意可知：，根据等比数列的前项公式可得：①，②,联立①②可得，解得.13.（2024安徽合肥一六八中学模拟，14）已知数列的通项公式为，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】借助裂项相消法可得，即可得恒成立，构造函数，结合导数判断单调性进而即得.【详解】由，则，故，由，可得，即，设，则恒成立，故在单调递减，当时，，即当时，，故.故答案为：.14.（2024河北石家庄质量检测，14）已知数列满足：，定义：表示整数除以4的余数与整数除以4的余数相同，例：．设，其中，数列的前项和为，则______；满足的最小值为______．【答案】2；40【分析】由，可得当为的倍数时，也是的倍数，当不为的倍数时，也不是的倍数，则得当是4的倍数时，，当不是4的倍数时，，即可得，取，计算出后，再计算及即可得解.【详解】由，则，，则、、都不是的倍数，是的倍数，，不是的倍数，，不是的倍数，，不是的倍数，，是的倍数，依次可得当为的倍数时，也是的倍数，当不为的倍数时，也不是的倍数，由，则有当是4的倍数时，，当不是4的倍数时，，则；当，，当，即时，有，，故满足的最小值为.故答案为：；.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（2024安徽合肥模拟，15）已知等差数列的前n项和为，数列是等比数列，，，求和的通项公式；设，求数列的前n项和解：设数列的公差为d，数列的公比为，则由，，，得，，两式相除得，所以，，所以，由得，，所以，所以，所以

【思路分析】根据等差，等比数列的通项公式和前n项求和公式建立方程组，解之即可求解；由可得，进而，结合裂项相消求和法计算即可求解．16.（2024广东广州华南师大附中模拟，16）各项均不为0的数列{an}对任意正整数n满足：．（1）若{an}为等差数列，求a1；（2）若，求{an}的前n项和Sn．【分析】（1）由等差数列的定义和数列的裂项相消求和，结合恒等式可得首项；（2）分别求得a2，a3，再将n换为n﹣1，两式相减可得an+1﹣an＝2，再由等差数列的求和公式，可得所求和．【解答】（1）设等差数列{an}的公差为d，则＝（﹣），由，可得（﹣+﹣+...+﹣﹣＝1﹣，则a5d＝1，d＝26＝；（2）令n＝3，可得，又，解得a2＝﹣3，再令n＝6，可得+，解得a3＝﹣1．当n≥5时，由，可得+＝3﹣，相减可得＝1﹣）＝（﹣），则an+1﹣an＝2，又a7﹣a1≠2，a4﹣a2＝2，则{an}从第二项起是公差为6的等差数列，可得Sn＝a1+（a2+a2+...+an）＝﹣﹣4（n﹣1）+2﹣6n+．17.（2024黑龙江部分学校三模，19)如果n项有穷数列满足，，…，，即，则称有穷数列为“对称数列”.（1）设数列是项数为7的“对称数列”，其中成等差数列，且，依次写出数列的每一项；（2）设数列是项数为(且)的“对称数列”，且满足，记为数列的前项和.①若，，…，构成单调递增数列，且.当为何值时，取得最大值?②若，且，求的最小值.【分析】（1）根据新定义“对称数列”的定义和已知条件可求得公比，进而求得结果；（2）①根据对称数列的定义可得数列为等差数列，然后根据二次函数的性质来求解；②由条件得到数列相邻两项间的大小关系，并结合定义求得的取值范围，然后结合已知条件确定出最后的结果【解析】（1）因为数列是项数为7的“对称数列”，所以，又因为成等差数列，其公差，…所以数列的7项依次为1，3，5，7，5，3，1；（2）①由，，…，是单调递增数列，数列是项数为的“对称数列”且满足，可知，，…，构成公差为2的等差数列，，，…，构成公差为的等差数列，故，所以当时，取得最大值；②因即，所以即，于是，因为数列是“对称数列”，所以，因为，故，解得或，所以，当，，…，构成公差为的等差数列时，满足，且，此时，所以的最小值为2025.18.（2024湖南长沙一中模拟，17）已知数列{an}满足a1=1（1）证明{bn}（2）设cn=bn−5bn+1−5，且数列{c【解析】（1）因为a1=1，an+1=an+1,n为奇数3an,n为偶数，所以（2）由(1)可得cn=bn−5bn+1−5=5⋅3n−1−55⋅3n−5=3n−1−13n−1，先证明左边：即证明12(13n−1−3)<3Tn−n，当n≥2时，cn=3n−1−13n−1>3n−1−119.（2024湖北武汉模拟，19）混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中，比如天气预测、种群数量变化和天体运动等等，其中一维线段上的抛物线映射是混沌动力学中最基础应用最广泛的模型之一，假设在一个混沌系统中，用来表示系统在第个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态满足，，其中.（1）当时，若满足，有，求通项公式；（2）证明：当时，中不