新高考数学一轮复习专题六数列6-4数列求和练习含答案

6.4数列求和五年高考高考新风向(2024全国甲理,18,12分,易)记Sn为数列{an}的前n项和,已知4Sn=3an+4.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=(-1)n-1nan,求数列{bn}的前n项和Tn.解析(1)∵4Sn=3an+4①,∴当n=1时,4S1=4a1=3a1+4,得a1=4,当n≥2时,4Sn-1=3an-1+4②,由①-②得,4an=3an-3an-1,∴an=-3an-1,∴数列{an}是首项为4,公比为-3的等比数列.∴an=4×(-3)n-1.(2)由(1)得bn=(-1)n-1nan=4n·3n-1,∴Tn=4×30+4×2×31+4×3×32+…+4(n-1)·3n-2+4n·3n-1③,3Tn=4×31+4×2×32+4×3×33+…+4(n-1)·3n-1+4n·3n④,③-④得-2Tn=4+4×31+4×32+…+4×3n-1-4n×3n,∴-2Tn=4+4·3(1−3n−1)1−3∴-2Tn=4+(2-4n)·3n-6=-2+(2-4n)3n,∴Tn=1+(2n-1)3n.考点数列求和1.(多选)(2021新高考Ⅱ,12,5分,难)设正整数n=a0·20+a1·21+…+ak-1·2k-1+ak·2k,其中ai∈{0,1},记ω(n)=a0+a1+…+ak,则(ACD)A.ω(2n)=ω(n)B.ω(2n+3)=ω(n)+1C.ω(8n+5)=ω(4n+3)D.ω(2n-1)=n2.(2021新高考Ⅰ,16,5分,难)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm×12dm的长方形纸,对折1次共可以得到10dm×12dm,20dm×6dm两种规格的图形,它们的面积之和S1=240dm2,对折2次共可以得到5dm×12dm,10dm×6dm,20dm×3dm三种规格的图形,它们的面积之和S2=180dm2,以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5;如果对折n次,那么k=1nSk=240×3−n+33.(2021新高考Ⅰ,17,10分,易)已知数列{an}满足a1=1,an+1=a(1)记bn=a2n,写出b1,b2,并求数列{bn}的通项公式;(2)求{an}的前20项和.解析(1)由题设可得a2k+2=a2k+1+1,a2k+1=a2k+2(k∈N*),故a2k+2=a2k+3,即bn+1=bn+3,即bn+1-bn=3,b1=a2=a1+1=2,b2=b1+3=5,所以{bn}是首项为2,公差为3的等差数列,故bn=2+(n-1)×3=3n-1.(2)当n为奇数时,an=an+1-1.设数列{an}的前n项和为Sn,则S20=a1+a2+…+a20=(a1+a3+…+a19)+(a2+a4+…+a20)=[(a2-1)+(a4-1)+…+(a20-1)]+(a2+a4+…+a20)=2(a2+a4+…+a20)-10=2(b1+b2+…+b10)-10=2×10×2+9×102即{an}的前20项和为300.4.(2020新高考Ⅰ,18,12分,中)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20,a3=8.(1)求{an}的通项公式;(2)记bm为{an}在区间(0,m](m∈N*)中的项的个数,求数列{bm}的前100项和S100.解析(1)已知数列{an}是公比大于1的等比数列,设公比为q(q>1),依题意有a1q+a1q3=20,a1q2=8,解得a1=2,q=2或a1=32所以an=2n,所以数列{an}的通项公式为an=2n.(2)由于21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,所以b1对应的区间为(0,1],则b1=0;b2,b3对应的区间分别为(0,2],(0,3],则b2=b3=1,即有2个1;b4,b5,b6,b7对应的区间分别为(0,4],(0,5],(0,6],(0,7],则b4=b5=b6=b7=2,即有22个2;b8,b9,…,b15对应的区间分别为(0,8],(0,9],…,(0,15],则b8=b9=…=b15=3,即有23个3;b16,b17,…,b31对应的区间分别为(0,16],(0,17],…,(0,31],则b16=b17=…=b31=4,即有24个4;b32,b33,…,b63对应的区间分别为(0,32],(0,33],…,(0,63],则b32=b33=…=b63=5,即有25个5;b64,b65,…,b100对应的区间分别为(0,64],(0,65],…,(0,100],则b64=b65=…=b100=6,即有37个6.所以S100=1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×37=480.

三年模拟练速度1.(2024浙江杭州二模,5)设数列{an},{bn}满足a1=b1=1,an+bn+1=2n,an+1+bn=2n.设Sn为数列{an+bn}的前n项的和,则S7=(A)A.110B.120C.288D.3062.(2024浙江金丽衢十二校第二次联考,15)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=2an+n2-1.(1)求an;(2)求数列1anan+1的前解析(1)因为2Sn=2an+n2-1,①所以当n≥2时,2Sn-1=2an-1+(n-1)2-1,②①-②得2an=2an-2an-1+2n-1,整理得an-1=n-12,n≥2所以an=n+12,n∈N*(2)由(1)知an=n+12所以1anan+1=1n+12所以Tn=1a1a2+1a2a3+…+1anan+1=23-3.(2024江苏南通、徐州大联考,15)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且4Sn=(an+1)2.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=an·a2n,求数列{bn}的前n项和T解析(1)因为4Sn=(a所以当n≥2时,4Sn-1=(a所以4an=(an+1)2-(an−1+1)2=an整理,得2an+2an-1=(an-an-1)(an+an-1),因为an>0,所以an-an-1=2,所以数列{an}是公差为2的等差数列.当n=1时,4S1=4a1=(a解得a1=1,所以数列{an}的通项公式为an=2n-1.(2)由(1)得bn=an·a2n=(2n-1)(2n+1-1)=(2n-1)2n+1-(2n记An=i=1n(2i-1)2i+1,Bn=i=1n(则Bn=i=1n(2i-1)=n因为An=i=1n(2i-1)2i+1,2An=i=1n(2i-1)所以-An=22+2(23+24+…+2n+1)-(2n-1)2n+2=-(2n-3)2n+2-12,所以An=(2n-3)2n+2+12,所以Tn=An-Bn=(2n-3)2n+2+12-n2.练思维1.(2024广东汕头一模,15)已知数列{an}和{bn},其中bn=2an,n∈N*,数列{an+bn}的前n项和为S(1)若an=2n,求Sn;(2)若Sn=3n,求数列{an}和{bn}的通项公式.解析(1)当an=2n时,{an}是首项为2,公差为2的等差数列.(1分)又bn=22n=4n,所以{bn}是首项为4,公比为4的等比数列,(2分)从而Sn=(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn)(3分)=n(2+2n=4n+13+n2+n-43.((2)当n≥2时,an+bn=Sn-Sn-1=3,(7分)当n=1时,a1+b1=S1=3,满足上式,(8分)故an+bn=3(n∈N*),即an+2an=3,(9分令f(x)=x+2x,则f(x)在R上单调递增,且f(1)=3,(11分)从而an=1,(12分)则bn=3-an=2.(13分)2.(2024山东日照一模,16)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且an,Sn,an2(1)求a1及{an}的通项公式;(2)记集合anan+4an≤2k,k∈N*的元素个数为bk,求数列{bk}的前50项和.解析(1)因为an,Sn,an2所以2Sn=an+an2,且an当n=1时,2S1=2a1=a1+a12,可得a1=1.(2分当n≥2时,2(Sn-Sn-1)=2an=an+an2-an-1-an−12,则an+an-1=an2-an−12=(an+an-1)(an由an+an-1>0,得an-an-1=1,(6分)所以{an}是首项为1,公差为1的等差数列,故an=n.(7分)(2)原式等价于12n+因为12n+4n≥2,当且仅当n所以b1=0,b2=1,(9分)当k≥3时,因为2k−12+22k−1=k-12+22k−1<k,所以能使n2+2n≤k成立的n的最大值为2k所以bk=2k-1(k≥3),(13分)所以{bk}的前50项和为0+1+5+7+…+99=0+1+(5+99)×482=2497.(15分)3.(2024山东聊城二模,17)已知数列{an},{bn}满足a2n-1=b2n-1+12m,a2n=mb2n,m为常数,若{an}为等差数列,且b4-b2=2(b3-b1)=2(a1+b1)=8.(1)求m的值及{an}的通项公式;(2)求{bn}的前2n项和S2n.解析(1)由题意知b4-b2=8,b3-b1=4,a1+b1=4,(1分)因为a2n-1=b2n-1+12m,a2n=mb2n,所以a1=b1+12设等差数列{an}的公差为d,则a3−a1=b3所以an=5+(n-1)×2=2n+3,所以m的值为12,{an}的通项公式为an=2n+3.(7分)(2)由(1)知,an=2n+3,b2n-1=a2n-1-6,b2n=2a2n,(8分)所以S2n=(b1+b3+b5+…+b2n-1)+(b2+b4+b6+…+b2n)=(a1+a3+a5+…+a2n-1-6n)+2(a2+a4+a6+…+a2n)=n(a1+a2n−1)2-6n+2×n(a2+a2所以{bn}的前2n项和S2n=6n2+7n.(15分)练风向(新定义理解)(2024湖南长沙雅礼中学一模,19)约数,又称因数.它的定义如下:若整数a除以整数m(m≠0)除得的商正好是整数而没有余数,我们就称a为m的倍数,m为a的约数.设正整数a共有k个正约数,即为a1,a2,…,ak-1,ak(a1<a2<…<ak).(1)当k=4时,若正整数a的k个正约数构成等比数列,请写出一个a的值;(2)当k≥4时,若a2-a1,a3-a2,…,ak-ak-1构成等比数列,求正整数a(结果用a2表示);(3)记A=a1a2+a2a3+…+ak-1ak,求证:A<a2.解析(1)当k=4时,正整数a的4个正约数构成等比数列,比如1,2,4,8为8的所有正约数,即a=8.(2)由题意可知a1=1,ak=a,ak-1=aa2,ak-2=因为k≥4,a3−a2a2−a1=ak−ak−1ak−1−a因为a3∈N*,所以a3−a因此可知a3是完全平