第07讲 空间向量基本定理（学生版）-2023年新高二暑期数学衔接（新人教版）

第07讲空间向量基本定理【学习目标】1.了解空间向量基本定理及其意义，2.掌握空间向量的正交分解【基础知识】一、空间向量基本定理1.如果三个向量a,b,c不共面

,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc

.我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底

,a,b,c都叫做基向量

.空间任意三个不共面

的向量都可以构成空间的一个基底2.基向量的选择和使用方法用已知向量表示未知向量时,选择一个恰当的基底可以使解题过程简便易行,选择和使用向

量应注意:(1)所选向量必须不共面,可以利用共面向量定理或常见的几何图形的几何性质帮助判断;(2)所选基向量与要表示的向量一般应在同一封闭图形内,能用基向量的线性运算表示未知

向量;(3)尽可能选择具有垂直关系的、从同一起点出发的三个向量作为基底.【解读】3.用基底表示向量的步骤(1)定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.(2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则或平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果.(3)下结论:利用空间向量的一个基底{a,b,c}可以表示出空间所有向量,即结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.二空间向量的正交分解如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直

,且长度都为1

,那么这个基底叫做单位正交基底,常用{i,j,k}表示.由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,zk,使a=xi+yj+zk.像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.【考点剖析】考点一：对平面向量基本定理的理解例1．(多选)(2022学年河北省邯郸市高二上学期期末)已知，，是空间的一个基底，则下列说法中正确的是(

)A．若，则B．，，两两共面，但，，不共面C．一定存在实数x，y，使得D．，，一定能构成空间的一个基底考点二：对基底的理解例2．设，，，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有(

)A．1 B．2 C．3 D．4考点三：选择基底表示某一向量例3．(2022学年河南省郑州市高二上学期期末)已知三棱锥O—ABC，点M，N分别为线段AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于(

)A． B． C． D．考点四：选择基底求解向量的模或线段长度例4．(2022学年江苏省常州市金坛区高二下学期期中)如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为(

)A． B． C． D．考点五：选择基底求解角度问题例6．(2022学年重庆市四川外语学院高二上学期10月月考)二面角的棱上有两个点、，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且垂直于棱，若，，，，则平面与平面的夹角为_________.考点六：选择基底求解数量积问题例7．(2022学年江苏省南通市海安市实验中学高二下学期期中)已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则(

)A．1 B．2 C．-1 D．-2【真题演练】1.(2022学年四川省绵阳南山中学高二下学期期中)已知O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则一定有(

)A．，，共线 B．O，A，B，C中至少有三点共线C．与共线 D．O，A，B，C四点共面2.(2022学年福建省福安市第一中学高二下学期第三次月考)如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则(

)A． B．C． D．3.(2022学年安徽省六安中学高二上学期期中)如图，已知空间四边形，其对角线为，分别为的中点，点在线段上，，若，则(

)A． B． C． D．4.(2022学年福建省福州市八县(市)一中高二上学期期中)若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是(

)A． B．C． D．5.(多选)(2022学年福建省福州市高二下学期期中)如图，在平行六面体中，，，．若，，则(

)A． B．C．A，P，三点共线 D．A，P，M，D四点共面6.(多选)(2022学年上海市控江中学高二下学期期中)如图，在四面体中，是的中点，设，，，请用､､的线性组合表示___________.7.(2022学年河北省邯郸市高二上学期期末)已知平行六面体的棱长均为4，，E为棱的中点，则___________.8.(2022学年江苏省徐州市王杰中学高二下学期3月阶段性测试)如图，在空间四边形中，已知是线段的中点，在上，且．(1)试用，，表示向量；(2)若，，，，，求的值．【过关检测】1.(2022学年江苏省苏州市昆山市七校高二上学期12月联考)如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形．若，且，则的长为(

)A． B． C． D．22.(2022学年广东省佛山市南海区桂城中学高二下学期第二次段考)四面体中，，，，点在上，且，是的中点，则(

)A． B．C． D．3.(2022学年广东省揭阳市揭西县高二上学期期末)若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是(

)A．，， B．，，C．，， D．，，4.(2022学年四川省绵阳南山中学高二下学期3月月考)已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为(

)A． B． C． D．5.(多选)(2022学年江苏省徐州市沛县高二下学期第一次学情调研)若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是(

)A．，， B．，， C．，， D．，，6.(多选)(2022学年江苏省镇江中学高二下学期期中)如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是(

)A． B．C．的长为 D．7．(多选)(2022学年浙江省金华市曙光学校高二上学期10月月考)已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且(，)，则，的值可能为(

)A．， B．， C．， D．，8.(2022学年陕西省宝鸡市渭滨区高二上学期期末)已知向量，，不共线，点在平面内，若存在实数，，，使得，那么的