第01讲 平面向量与三角形中的范围与最值问题（五大题型）（教师版）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义

第01讲平面向量与三角形中的范围与最值问题【题型归纳目录】题型一：定义法题型二：坐标法题型三：基底法题型四：几何意义法题型五：极化恒等式【知识点梳理】知识点一．平面向量范围与最值问题常用方法：1、定义法第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步：得出结论2、坐标法第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步：将平面向量的运算坐标化第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解3、基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论4、几何意义法第一步：先确定向量所表达的点的轨迹第二步：根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果知识点二．极化恒等式1、平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：(1)(2)(1)(2)两式相加得：2、极化恒等式：上面两式相减，得：————极化恒等式(1)平行四边形模式：几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．(2)三角形模式：(M为BD的中点)AABCM知识点三．在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：(1)利用基本不等式求范围或最值；(2)利用三角函数求范围或最值；(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；(4)根据三角形解的个数求范围或最值；(5)利用二次函数求范围或最值．要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．【典例例题】题型一：定义法例1．(2023·山东临沂·高一校考阶段练习)如图，在中，M为线段的中点，G为线段上一点，，过点G的直线分别交直线，于P，Q两点，，，则的最小值为(

)．A． B． C．3 D．9【答案】B【解析】因为M为线段的中点，所以，又因为，所以，又，，所以，又三点共线，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号.故选：B.例2．(2023·广西·高一校联考阶段练习)已知点是的边上靠近点的三等分点，点是线段上一点(不包括端点)，若，则的最小值为(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】

由题意得：，.因为，，三点共线，所以，所以，，当且仅当，即，时取等号.故选：D.例3．(2023·江苏南京·高一南京市宁海中学校联考期中)已知向量均为单位向量，且，向量满足，则的最大值为(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】设，则易知，又，所以，因为，所以，所以最大值为．故选：C.题型二：坐标法例4．(2023·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第70中校考期中)已知，若点M是所在平面内的一点，且，则的最小值为(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，

依题意，所以，，所以，所以.故选：C.例5．(2023·山东滨州·高一山东省北镇中学校联考阶段练习)已知梯形，且为平面内一点，则的最小值是(

)A． B． C． D．2【答案】A【解析】如图，建立平面直角坐标系，因为，则，，设，所以，，故，所以，又为平面内一点，故当时，取到最小值.

故选：A.例6．(2023·广东佛山·高一南海中学校考阶段练习)在中，已知，，，D是的中点，E，F分别是，上的动点，且，则的最小值为(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】以为原点，以所在的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，如图所示，可得，设，其中，因为，则，所以，所以，令，可得，令，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，可得最小值，最小值为，即的最小值为.故选：C.题型三：基底法例7．(2023·福建三明·高一三明一中校考期中)已知以为圆心的单位圆上有两个定点、及两个动点、，且，则的最大值是(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可知，，所以，，易知，所以，，所以，，当且仅当与方向相反时，等号成立，故的最大值为.故选：A.例8．(2023·全国·高一专题练习)已知的外心为，且满足，(其中，则的最大值为(

)A．2 B． C． D．5【答案】A【解析】如图所示，过点分别作，，其垂足分别为，，

则，分别为弦，的中点．，，，，化为：，即，①，化为，即，②，由①②解得，，，当且仅当时取等号，所以的最大值为2.故选：A．题型四：几何意义法例9．(2023·广东深圳·高一校考期中)平面四边形是边长为4的菱形，且．点N是DC边上的点，满足．点M是四边形内或边界上的一个动点，则的最大值为(

)A．13 B．7 C．14 D．【答案】C【解析】如图，由数量积的几何意义：两向量的数量积等于其中一个向量的模与另一个向量在这个向量的方向上的投影的乘积，及点M是四边形内或边界上的一个动点，则当在点时，在上的投影向量与同向，且长度最长，所以此时最大，因为，又，所以，所以的最大值为.故选：C.例10．(2023·江苏南京·高一南京市第一中学校考期中)向量，，若与的夹角为，则的最大值为(

)A．2 B． C．4 D．【答案】C【解析】由题意，记，则，故由向量加减的三角形法则可得，与构成三角形，则与的夹角等于，则，由正弦定理可得，又，则，所以，即的最大值为.故选：C.例11．(2023·高一课时练习)已知向量，，，满足，记的最大值为，最小值为，则(

)A． B．2 C． D．1【答案】A【解析】在中，设，则，因为，即，所以为等边三角形，以为邻边作平行四边形，设交于点，可得，则，因为，取的起点为，可知的终点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆，如图，当点为的延长线与圆的交点时，的最大值为；当点为线段与圆的交点时，的最小值为；所以.故选：A.题型五：极化恒等式例12．(2023·浙江·高一校联考期中)已知图中正六边形的边长为6，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为4，若点P在正六边形的边上运动，为圆O的直径，则的取值范围是(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】因为正六边形的边长为6，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为4，所以正六边形的内切圆的半径为，外接圆的半径，又由，因为，即，可得，所以的取值范围是.故选：D例13．(2023·福建福州·高一福建省福州高级中学校考期中)已知边长为2的正方形ABCD内接于圆O，点P是正方形ABCD四条边上的动点，MN是圆O的一条直径，则的取值范围是(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】设圆的半径为，则，所以.如图，根据向量加法的三角形法则可知，，且，所以.由已知可得，正方形上的点到点的距离，所以，所以.故选：D.【过关测试】一、单选题1．(2023·高一课时练习)如图，在直角梯形ABCD中，，，，，动点P在边BC上，且满足(m，n均为正数)，则的最小值为(

)

A．1 B． C． D．【答案】D【解析】如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，

则，，，，则，，，设，则.因为，所以，消去，得·，因为，，所以，当且仅当，结合，即时等号成立.故的最小值为.故选：D2．(2023·江苏泰州·高一泰州中学校考期中)已知平面向量，对任意实数都有，成立.若，则的最大值是(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】如图所示，设，则，若对任意的实数都有且成立，即对任意的实数都有且成立，即成立，所以在以为直径的圆周上，设圆心为，过点作，交于点，交圆于点，可得向量在上的射影长最大值为，所以，设，其中，且，则，所以，所以，，，当时，取得最大值，最大值为.故选：B.

3．(2023·湖北黄冈·高一校考期中)如图所示，在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，则的最大值是(

)A．-4 B．4 C．-1 D．1【答案】A【解析】在矩形中，，动点在以为圆心，且与相切的圆上，所以，如图所示，连接,设到的距离为，则，则，其中，，当且仅当与同向时，等号成立，所以，即的最大值为.故选：A.4．(2023·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习)平面向量，满足，且，则与夹角的余弦值的最大值是(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】由两边平方得，又，则.，当时取等号.则与夹角的余弦值的最大值.故选：A.5．(2023·北京·高一首都师范大学附属中学校考阶段练习)如图，A，B，C三点在半径为l的圆O上运动，M是圆O外一点，且，，则的最大值为(

)A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【解析】连接，由题意可知为圆的直径，所以为的中点，则，当且仅当同向时取等号，故选：D.6．(2023·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习)已知向量均为单位向量，且．向量与向量的夹角为，则的最大值为(

)A． B．1 C． D．2【答案】D【解析】向量,向量均为单位向量，,.如图，设.则是等边三角形.向量满足与的夹角为,.因为点在外且为定值,所以的轨迹是两段圆弧,是弦AB所对的圆周角.因此：当AC是所在圆(上述圆弧)的直径时,取得最大值|AC|,在中,由正弦定理可得:.取得最大值2.故选：D7．(2023·湖北武汉·高一华中师大一附中校考阶段练习)已知向量，，满足，，，则的取值范围是(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】，，而，即，解得，，而，即，解得在直角坐标平面内，作，令，则，，于是点在以为圆心，2为半径的圆上，点在以为圆心，3为半径的圆上，如图，观察图形知，，当且仅当点都在直线上，且方向相反，即点B与D重合，点C与E重合时取等号，即，解得，当且仅当点都在直线上，且方向相同，若点B与A重合，点C与E重合时，，若点B与D重合，点C与F重合时，，因此，所以的取值范围是.故选：A8．(2023·北京·高一北理工附中校考期中)已知点，，.若平面区域D由所有满足的点P组成(其中，)，则的取值范围为(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】由题可得，，则.又，则，则.故选：D9．(2023·四川成都·高一树德中学校考阶段练习)如图所示，边长为2的正，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧，点P在圆弧上运动，则的取值范围为(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】过点作交半圆弧于点，连接，如图，而是正三角形，则，令夹角为，当点P在弧上时，，当点P在弧上时，，于是，显然，，所以.故选：B10．(2023·四川达州·高一校考期中)如图，正方形的边长为2，动点满足，且点在正方形内部及边上运动，若，则的取值范围为(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】如图所示，以点为原点，以所在的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，设点，因为，可得，且，由，可得，可得，设，其中，则，因为，可得，则，所以，即的取值为.故选：B.11．(2023·江苏南京·高一南京师大附中校考期中)如图，中，，，.在所在的平面内，有一个边长为1的正方形绕点按逆时针方向旋转(不少于1周)，则的取值范围是(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，，，，由余弦定理得，所以，又由正方形的边长为，可得，则，正方形绕点按逆时针方向旋转(不少于1周)，可得，所以，即的取值范围是.故选：A.12．(2023·江苏南京·高一校考期中)如图所示，矩形的边，，以点为圆心，为半径的圆与交于点，若点是圆弧(含端点､上的一点，则的取值范围是(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】以点为原点，以直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，设，，，，，，，，，的取值范围是.故选：D.13．(2023·湖北武汉·高一华中科技大学附属中学校联考期中)已知平行四边形ABCD中，，点P在线段CD上(不包含端点)，则的取值范围是(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，，，∴，即，即，以为原点，以所在的直线为轴，以的垂线为轴，建立如图所示的坐标系，∴，，，，设，∴，∴，设，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，，则的取值范围是.故选：A.14．(2023·陕西西安·高一长安一中校考期中)点M在边长为4的正△ABC内(包括边界)，满足，则的取值范围是(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】分别是的中点，则，由于在三角形内(包括边界)，且，所以点的轨迹是，所以..故选：B

15．(2023·高一课时练习)设非零向量，若，则的取值范围为(

)A．[0，1] B．[0，2]C．[0，3] D．[1，2]【答案】C【解析】因为是三个单位向量，因此，当三个向量同向时，取得最大值为；当三个向量两两成角时，它们的和为，也即的最小值为，所以的取值范围为.故选：C16．(2023·全国·高一专题练习)如图所示，梯形中，，点为的中点，，，若向量在向量上的投影向量的模为4，设、分别为线段、上的动点，且，，则的取值范围是(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】，，梯形为直角梯形，，，即，由，同理可得，又向量在向量上的投影向量的模为4，所以，以B为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，则，，所以，由且可得，令，则由对勾函数单调性知，当时单调递减，时单调递增，故，由知，，故，故选：D17．(2023·全国·高一专题练习)在平面内，若，则的取值