专题06二次函数与等腰直角三角形综合(原卷版+解析)

专题06二次函数与等腰直角三角形综合（重庆专用）（3类题型训练）（2023重庆市八中九年级下期3月月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4a≠0与x轴交于点A−3(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P为线段BC上方抛物线上的一点，过点P作PE∥x轴交直线BC于点E，过点P作PF∥AC交直线BC于点F，求△PEF周长的最大值及此时点P的坐标；(3)在（2）的条件下，将抛物线y=ax2+bx+4a≠0沿射线CB方向平移，得到新抛物线y′，新抛物线和原抛物线交于点B，点M是x轴上的一动点，点Q是新抛物线上的一点，是否存在以点P、M、Q解题思路分析本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，一次函数与几何综合等等，正确作出辅助线并利用分类讨论的思想求解是解题的关键．（1）利用待定系数法求解即可；（2）如图所示，过点P作PG⊥x轴交直线BC于G，先求出C0，4，进而求出直线BC的解析式为y=−x+4，设Pm，−13m2+13m+4，则Gm，−m+4，则PG=−13m−22+43，求出OB=OC=4，OA=3，得到∠OBC=∠OCB=45°，AC=5，AB=7，（3）由OC=OB，可设将抛物线y=−13x2+13x+4=−13x−122+4912向右平移n个单位长度，再向下平移n个单位长度得到新抛物线y′，再根据平移后的抛物线与原抛物线交于点B，求出平移后的抛物线解析式为解析过程详解（1）解：把A−3，0，B4，0代入到抛物线解析式y=a解得a=−1∴抛物线解析式为y=−（2）解：如图所示，过点P作PG⊥x轴交直线BC于G，在y=−13x2+∴C0，4设直线BC的解析式为y=kx+b∴4k+b∴k=−1b∴直线BC的解析式为y=−x+4，设Pm，−13∴PG=−1∵B4，0，C0，4，∴OB=OC=4，OA=3，∴∠OBC=∠OCB=45°，AC=OA2+OC∵PG⊥x轴，PE∥x轴，∴∠PEG=∠OBC=45°，PE⊥PG，∴△PEG是等腰直角三角形，∴PE=PG=−1∵AC∥PF，∴∠ACB=∠PFE，∴△ABC∽△PEF，∴ABPE=BC∴EF=4∴△PEF的周长=EF+PF+PE=4∴当PE最大时，△PEF的周长最大，∵PE=−13m−2∴当m=2时，PE最大，最大为43∴△PEF的周长最大为16221+（3）解：∵OC=OB，∴可设将抛物线y=−13x∴y′∵平移后的抛物线与原抛物线交于点B，∴0=−1∴494解得n=4或n=0（舍去），∴平移后的抛物线解析式为y′设点M的坐标为t，0，如图1所示，当点M在点P左侧时，过点P作PH⊥x轴于H，过点Q作QG⊥x轴于G，∴∠PHM=∠MGQ=90°，∵△PMQ以PQ为斜边的等腰直角三角形，∴PM=MQ，∠PMQ=90°，∴∠HMP+∠HPM=90°=∠GMQ+∠HMP，∴∠HPM=∠GMQ，∴△HPM≌△GMQAAS∴QG=MH，MG=PH，∵P2，∴PH=10∴QG=2−t，MG=10∴OG=t+10∴Qt+∵点Q在抛物线y′∴−1∴t2∴t2解得t=−1+353∴点M的坐标为−1+353，0如图2所示，当点M在点P左侧时，过点P作PH⊥x轴于H，过点Q作QH⊥x轴于E，同理可证△HPM≌△GMQAAS∴QG=MH，MG=PH，∵P2，∴PH=10∴QG=t−2，MG=10∴OG=t−10∴Qt−∵点Q在抛物线y′∴−1∴t−47∴t2∴t2∴t−28解得t=28+653∴点M的坐标为28+653，0综上所述，点M的坐标为−1+353，0或−1−353类型一动点+等腰直角三角形1．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点A在x轴上，点B在y轴上，点C3,1，二次函数y=(1)求二次函数的解析式，并把解析式化成y=ax−ℎ(2)把△ABC沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求线段AB扫过区域的面积；(3)在抛物线上是否存在异于点C的点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，已知点B(4,0)(1)求抛物线的解析式；(2)将抛物线向下平移t个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△BOC内（包括△BOC的边界），求t的取值范围；(3)设点P是抛物线上任一点，点Q在直线x=7上，△PAQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标：若不能，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−3(a>0)与x轴交于A(−1,0)、B(3,0)两点，与y（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN//y轴交BC于点N．求线段PM的最大值和此时点P的坐标；（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线y=ax2+bx−3(a>0)与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，（1）求该抛物线解析式；（2）如图1，该抛物线顶点D，连接BD、BC，点P是线段BD下方抛物线上一点，过点P作PE//y轴，分别交线段BD、BC于点F、E，过点P作PG⊥BD于点G，求（3）如图2，在y轴左侧抛物线上有一动点M，在y轴上有一动点N，是否存在以AN为直角边的等腰直角三角形AMN？若存在，请直接写出点M的坐标．5．如图在平面直角坐标系xOy，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A、B

（1）求b，c的值；（2）如图1，抛物线与y轴交于点C，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求（3）如图2，点P为直线y=3x−3上一点，点Q为抛物线上一点，当△CPQ是等腰直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点P的坐标．6．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于点B6,0，C−2,0，与y轴交于点A．（1）如图，连结PA、PB．设△PAB的面积为S，点P的横坐标为m．请说明当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（2）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE//x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点类型二平移+等腰直角三角形7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x−3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．对称轴为直线l（1）如图1，E为直线CD下方抛物线上的一点，连接EC、ED．当△ECD的面积最大时，在直线l上取一点M，过M作y轴的垂线，垂足为点N，连接EM，BN．若EM=BN时，求EM+MN+BN的值；（2）将抛物线y=x2+2x−3沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过原点O．y′与x轴的另一个交点为F．设P是抛物线y′上任意一点，点Q在直线l8．如图1，抛物线y=−23x2+43x+22与x轴交于A,B两点（点A（1）求直线BD的解析式；（2）抛物线对称轴交x轴于点E，P为直线BD上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥BD于点F，当线段PF的长最大时，连接PE，过点E作射线EM，且EM⊥EP，点G为射线EM上一动点（点G不与点E重合），连接PG，H为PG中点，连接AH，求AH的最小值；（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点D在射线BD上移动，点B，D平移后的对应点分别为点B'，D'，y轴上有一动点M，连接MB'，MD'，ΔMB9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x−3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点（1）求直线CD的解析式；（2）E为直线CD下方抛物线上的一点，连接EC、ED．当ΔECD的面积最大时，在直线l上取一点M，过M作y轴的垂线，垂足为点N，连接EM、BN．若EM=BN时，求EM+MN+BN的值；（3）将抛物线y=x2+2x−3沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过原点O．y′与x轴的另一个交点为F．设P是抛物线y′上任意一点，点10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l，点D（-4，n）在抛物线上．（1）求直线CD的解析式；（2）E为直线CD下方抛物线上的一点，连接EC，ED，当△ECD的面积最大时，在直线l上取一点M，过M作y轴的垂线，垂足为点N，连接EM，BN，若EM=BN时，求EM+MN+BN的值．（3）将抛物线y=x2+2x-3沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过原点O，y′与x轴的另一个交点为F，设P是抛物线y′上任意一点，点Q在直线l上，△PFQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，直接写出点P的坐标，若不能，请说明理由．11．已知如图：抛物线y=−12x2+2x+52与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，点D（1）如图1，连接BD，试求出直线BD的解析式；（2）如图2，点P为抛物线第一象限上一动点，连接BP，CP，AC，当四边形PBAC的面积最大时，线段CP交BD于点F，求此时DF:BF的值；（3）如图3，已知点K(0,−2)，连接BK，将△BOK沿着y轴上下平移（包括△BOK）在平移的过程中直线BK交x轴于点M，交y轴于点N，则在抛物线的对称轴上是否存在点G，使得△GMN是以MN为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点G的坐标，若不存在，请说明理由.12．如图，已知抛物线y=ax2+4x+c与直线AB相交于点A（1）求该抛物线的解析式；（2）设C为直线AB上方的抛物线上一点，当△ABC的面积最大时，求点C的坐标；（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y=a1x2+b1x+c1（a113．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3a≠0与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为(1)求抛物线的解析式；(2)点M是位于直线AC上方的抛物线上任意一点，过点M作MP∥x轴交直线AC于点P，过点P作PN∥BC交x轴于点N．求PM+104PN(3)将原抛物线沿射线CB方向平移10个单位后得到新抛物线y′，E为新抛物线y′的对称轴上一点，F为新抛物线y′上一点，若以点C、E、F为顶点的三角形是以CE为腰的等腰直角三角形，请直接写出点E类型三旋转+等腰直角三角形14．已知抛物线y＝﹣19x2+233x+9与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y（1）如图1，点P为线段BC上方抛物线上的任意一点，当四边形PCAB面积最大时，连接OP并延长至点Q，使PQ＝OP，在对称轴上有一动点E，将△ACE沿边CE翻折得到△A′CE，取BA′的中点N，求BQ+QN的最大值；（2）如图2，将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置，点A，C的对应点分别为A1，C1，且点A1落在线段AC上，再将△A1OC1沿y轴平移得△A2O1C2，其中直线O1C2与x轴交于点K，点T是抛物线对称轴上的动点，连接KT，O1T，△O1KT能否成为以O1K为直角边的等腰直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点T的坐标；若不能，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x2+2cx+c与x轴交于点A和B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C0,2，P是抛物线上一动点（不与点C重合），过点P作PD(1)求抛物线的解析式；(2)当△CDP为等腰直角三角形时，求点D的坐标；(3)将△CDP绕点C顺时针旋转45°，得到△CD′P′（点D和P分别对应点D′和P专题06二次函数与等腰直角三角形综合（重庆专用）（3类题型训练）（2023重庆市八中九年级下期3月月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4a≠0与x轴交于点A−3(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P为线段BC上方抛物线上的一点，过点P作PE∥x轴交直线BC于点E，过点P作PF∥AC交直线BC于点F，求△PEF周长的最大值及此时点P的坐标；(3)在（2）的条件下，将抛物线y=ax2+bx+4a≠0沿射线CB方向平移，得到新抛物线y′，新抛物线和原抛物线交于点B，点M是x轴上的一动点，点Q是新抛物线上的一点，是否存在以点P、M、Q解题思路分析本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，一次函数与几何综合等等，正确作出辅助线并利用分类讨论的思想求解是解题的关键．（1）利用待定系数法求解即可；（2）如图所示，过点P作PG⊥x轴交直线BC于G，先求出C0，4，进而求出直线BC的解析式为y=−x+4，设Pm，−13m2+13m+4，则Gm，−m+4，则PG=−13m−22+43，求出OB=OC=4，OA=3，得到∠OBC=∠OCB=45°，AC=5，AB=7，（3）由OC=OB，可设将抛物线y=−13x2+13x+4=−13x−122+4912向右平移n个单位长度，再向下平移n个单位长度得到新抛物线y′，再根据平移后的抛物线与原抛物线交于点B，求出平移后的抛物线解析式为解析过程详解（1）解：把A−3，0，B4，0代入到抛物线解析式y=a解得a=−1∴抛物线解析式为y=−（2）解：如图所示，过点P作PG⊥x轴交直线BC于G，在y=−13x2+∴C0，4设直线BC的解析式为y=kx+b∴4k+b∴k=−1b∴直线BC的解析式为y=−x+4，设Pm，−13∴PG=−1∵B4，0，C0，4，∴OB=OC=4，OA=3，∴∠OBC=∠OCB=45°，AC=OA2+OC∵PG⊥x轴，PE∥x轴，∴∠PEG=∠OBC=45°，PE⊥PG，∴△PEG是等腰直角三角形，∴PE=PG=−1∵AC∥PF，∴∠ACB=∠PFE，∴△ABC∽△PEF，∴ABPE=BC∴EF=4∴△PEF的周长=EF+PF+PE=4∴当PE最大时，△PEF的周长最大，∵PE=−13m−2∴当m=2时，PE最大，最大为43∴△PEF的周长最大为16221+（3）解：∵OC=OB，∴可设将抛物线y=−13x∴y′∵平移后的抛物线与原抛物线交于点B，∴0=−1∴494解得n=4或n=0（舍去），∴平移后的抛物线解析式为y′设点M的坐标为t，0，如图1所示，当点M在点P左侧时，过点P作PH⊥x轴于H，过点Q作QG⊥x轴于G，∴∠PHM=∠MGQ=90°，∵△PMQ以PQ为斜边的等腰直角三角形，∴PM=MQ，∠PMQ=90°，∴∠HMP+∠HPM=90°=∠GMQ+∠HMP，∴∠HPM=∠GMQ，∴△HPM≌△GMQAAS∴QG=MH，MG=PH，∵P2，∴PH=10∴QG=2−t，MG=10∴OG=t+10∴Qt+∵点Q在抛物线y′∴−1∴t2∴t2解得t=−1+353∴点M的坐标为−1+353，0如图2所示，当点M在点P左侧时，过点P作PH⊥x轴于H，过点Q作QH⊥x轴于E，同理可证△HPM≌△GMQAAS∴QG=MH，MG=PH，∵P2，∴PH=10∴QG=t−2，MG=10∴OG=t−10∴Qt−∵点Q在抛物线y′∴−1∴t−47∴t2∴t2∴t−28解得t=28+653∴点M的坐标为28+653，0综上所述，点M的坐标为−1+353，0或−1−353类型一动点+等腰直角三角形1．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点A在x轴上，点B在y轴上，点C3,1，二次函数y=(1)求二次函数的解析式，并把解析式化成y=ax−ℎ(2)把△ABC沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求线段AB扫过区域的面积；(3)在抛物线上是否存在异于点C的点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．答案:(1)y=13(2)7(3)存在，P分析：(1)将点C的坐标代入抛物线的解析式，可求得b的值，从而可得到抛物线的解析式，然后利用配方法可将抛物线的解析式变形为y=ax−ℎ(2)过点C作CK⊥x轴，垂足为点K，首先证明△BAO≌△ACKAAS，从而可得到OA=CK，OB=KA，于是可得到点A、B的坐标，然后依据勾股定理求得AB的长，然后求得点D的坐标，从而可求得三角形平移的距离，最后，依据线段AB扫过区域的面积为S(3)当∠ABP=90°时，过点P作PG⊥y轴，垂足为G，先证明△BPG≌△ABOAAS，从而可得到点P的坐标，然后再判断点P的坐标是否满足抛物线的解析式即可，当∠PAB=90°，过点P作PF⊥x【详解】（1）解：∵点C3,1∴13×9+3b−∴二次函数的解析式为y=1y=1（2）解：过点C作CK⊥x轴，垂足为K．∵△ABC为等腰直角三角形，∴AB=AC．又∵∠BAC=90°，∴∠BAO+∠CAK=90°．又∵∠CAK+∠ACK=90°，∴∠BAO=∠ACK．在△BAO和△ACK中，∠BOA=∠AKC∠BAO=∠ACK∴△BAO≌△ACKAAS∴AO=CK=1，OB=KA=3−1=2．∴A1,0，B∴当点B平移到点D时，设Dm,2则2=13m2−∴线段AB扫过区域的面积为：S▱ABDE（3）解：存在；当∠ABP=90°时，过点P作PG⊥y轴，垂足为G．∵△APB为等腰直角三角形，∴PB=AB，∠PBA=90°．∴∠PBG+∠ABO=90°．又∵∠PBG+∠BPG=90°，∴∠ABO=∠BPG．在△ABO和△BPG中，∠BOA=∠PGB∠ABO=∠BPG∴△BPG≌△ABOAAS∴BO=PG=2，AO=BG=1，∴P−2,1当x=−2时，y≠1，∴点P−2,1当∠PAB=90°，过点P作PF⊥x轴，垂足为F．同理可知：△PAF≌△ABOAAS∴FP=AO=1，AF=BO=2，∴P−1,−1当x=−1时，y=−1，∴点P−1,−1综上，所有符合条件的点P的坐标为−1,−1．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、平移的性质、全等三角形的性质和判定，作辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，已知点B(4,0)(1)求抛物线的解析式；(2)将抛物线向下平移t个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△BOC内（包括△BOC的边界），求t的取值范围；(3)设点P是抛物线上任一点，点Q在直线x=7上，△PAQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标：若不能，请说明理由．答案:(1)即抛物线的解析式为：y=−x(2)若将抛物线向下平移t个单位长度，使平移后所得的抛物线的顶点落在△OBC内部（包含△OBC边界），则154(3)△PAQ能成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形，点P的坐标为P(1,6)或（3，4）或P(1+23,23−6)或（分析：（1）将点B及对称轴代入，解方程组即可确定抛物线解析式；（2）先求直线BC的解析式，再求出抛物线顶点坐标，求出BC上与顶点横坐标相同的点的坐标，即可求出平移的范围；（3）分两种情况进行讨论：①当P在x轴上方时；②当P点在x轴下方时；过点P作PG⊥l于G，PH⊥x轴于H，根据全等三角形的判定定理和性质得出PH=PG，设点P(m,−m2+3m+4)【详解】（1）解：将点B及对称轴代入可得：−b解得：a=−1b=3即抛物线的解析式为：y=−x（2）解：在y=−x2+3x+4中，当x=0时，y=4由B(4,0)，C(0,4)，设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)，代入可得：4=b0=4k+b解得：k=−1b=4直线BC的解析式为：y=−x+4，y=−x2+3x+4中，当x=∴顶点坐标为：(3当x=32时，∴254∴若将抛物线向下平移t个单位长度，使平移后所得的抛物线的顶点落在△OBC内部（包含△OBC边界），则154（3）（3）令直线x=7为直线l，①当P在x轴上方时，过点P作PG⊥l于G，PH⊥x轴于H，△PAQ为等腰直角三角形，∴∠APH+∠HPQ=90°，∠GPQ+∠HPQ=90°，∴∠APH=∠GPQ，在∆PAH与∆PQG中，∠PHA=∠PGQ=90°∠APH=∠GPQ∴∆PAH≅∆PQG∴PH=PG，设点P(m,−m则PG=7−m，PH=−m∴7−m=−m解得：m1=1或即P(1,6)或（3，4）；②当P点在x轴下方时，如图所示：过点P作PG⊥l于G，PH⊥x轴于H，△PAQ为等腰直角三角形，∴∠APH+∠HPQ=90°，∠GPQ+∠HPQ=90°，∴∠APH=∠GPQ，在∆PAH与∆PQG中，∠PHA=∠PGQ=90°∠APH=∠GPQ∴∆PAH≅∆PQG∴PH=PG，设点P(m,−m则PG=7−m，PH=−(−m∴7−m=−(−m解得：m1=1+23当m=1+23时，y=−当m=1−23时，y=−即P(1+23,23−6)，或（综上所述，△PAQ能成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形，点P的坐标为：P(1,6)或（3，4）或P(1+23,23−6)或（【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数动点问题中等腰直角三角形的存在性问题；此题通过作两条互相垂直的辅助线，把等腰直角三角形的问题转化为全等三角形的问题，继而转化为线段相等的问题，是解题的关键．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−3(a>0)与x轴交于A(−1,0)、B(3,0)两点，与y（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN//y轴交BC于点N．求线段PM的最大值和此时点P的坐标；（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．答案:（1）y=x2−2x−3；（2）928，P（32，分析：（1）将A、B坐标代入，利用待定系数法求解；（2）证明∠PNM=45°，得到2PM=PN，求出PN，利用二次函数的性质得到PN的最大值即可得到结果；（3）画出图形，分情况讨论，根据等腰直角三角形的性质构造全等三角形，得到方程，解之可得点E坐标．【详解】解：（1）将A，B代入y=ax得a−b−3=09a+3b−3=0解得：a=1b=−2∴抛物线的解析式为y=x（2）令x=0，则y=-3，∴C（0，-3），∵B（3，0），∴∠OBC=∠OCB=45°，∵PN∥y轴，∴∠PNM=45°，∵PM⊥BC，∴2PM=PN，则当PN最大时，PM最大，设BC的解析式为y=mx+n，则−3=n3m+n=0，解得：m=1∴BC的解析式为y=x-3，设P（x，x2则PN=x−3−x2−2x−3当x=32时，PN最大，则PM=22PN=22此时P（32，−（3）∵△CEQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，设Q（x，x2如图，过E作x轴的垂线，再分别过C和Q作y轴的垂线，分别交于M，N，∵∠CEQ=90°，即∠QEN+∠CEM=90°，∠QEN+∠EQN=90°，∴∠CEM=∠EQN，又∠M=∠N=90°，EQ=EC，∴△QNE≌△EMC（AAS），∴CM=EN=x2则xQ即−x+3=x解得：x=-2或x=3（舍），∴OE=CM=2+3=5，即E（-5，0）；如图，过E作x轴的垂线，再分别过C和Q作y轴的垂线，分别交于M，N，同理可得，△QNE≌△EMC（AAS），∴CM=EN=x2∴−x+x解得：x=3−332或∴OE=CM=9−332，即E（如图，点E和点O重合，点Q和点B重合，此时E（0，0）；如图，过E作x轴的垂线，再分别过C和Q作y轴的垂线，分别交于M，N，同理可得，△QNE≌△EMC（AAS），∴CM=EN=x2∴x+3=x解得：x=3−332（舍）或则OE=CM=9+332，即E（综上：点E的坐标为（-5，0）或（9−332，0）或（0，0）或（【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解一元二次方程，理解坐标与图形性质，进行分类讨论是解题的关键．4．如图，抛物线y=ax2+bx−3(a>0)与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，（1）求该抛物线解析式；（2）如图1，该抛物线顶点D，连接BD、BC，点P是线段BD下方抛物线上一点，过点P作PE//y轴，分别交线段BD、BC于点F、E，过点P作PG⊥BD于点G，求（3）如图2，在y轴左侧抛物线上有一动点M，在y轴上有一动点N，是否存在以AN为直角边的等腰直角三角形AMN？若存在，请直接写出点M的坐标．答案:（1）y=x2+2x−3；（2）25PG+EF的最大值为258，此时点P的坐标为−74,−5516；（3）当以AN分析：（1）由题意易得点B−3,0，然后把点2,5和B（2）由（1）及题意易得顶点D坐标为−1,−4，点C的坐标为0,−3，过点D作DH⊥x轴于点H，由两点距离公式可得BD=−3+12+0+42=25，易求直线BD的解析式为：y=−2x−6，直线BC的解析式为：y=−x−3，然后设点P的坐标为m,（3）设点N的坐标为0,a，点M的坐标为b,b2+2b−3，当以AN为直角边的等腰直角三角形AMN，则可分：①当AN⊥MN时，且点M在x轴的下方，则有AN=MN，过点N作NP∥x轴，分别过点M、A作NP的垂线，垂足分别为D、E，延长DM，交x轴于点F，②当AN⊥MN时，且点M在x轴的上方，③当AN⊥AM时，且点M在x轴的下方，则有AN=AM，④当AN⊥AM【详解】解：（1）∵OB=3，∴B−3,0把点2,5和B−3,0代入y=a4a+2b−3=59a−3b−3=0解得：a=1b=2∴抛物线的解析式为y=x（2）由（1）可得：把y=x2+2x−3∴顶点D坐标为−1,−4，点C的坐标为0,−3，过点D作DH⊥x轴于点H，如图所示：∵OB=3，∴DH=4,BH=2，∴由两点距离公式可得BD=−3+1设直线BD的解析式为：y=kx+b，则把点B、D的坐标代入得：−3k+b=0−k+b=−4，解得：k=−2∴直线BD的解析式为：y=−2x−6，设直线BC的解析式为：y=ax+c，则把点B、C坐标代入得：−3a+c=0c=−3，解得：a=−1∴直线BC的解析式为：y=−x−3，设点P的坐标为m,m∵PE//y轴，∴Fm,−2m−6∴EF=−m−3−−2m−6=m+3，∵PG⊥BD，∴∠PGF=∠BHD=90°，由PE//DH可得∠PFG=∠BDH，∴△PFG∽△BDH，∴PGBH∴PG=2∴25∴当m=−74时，25PG+EF的值最大，最大值为（3）存在，理由如下：设点N的坐标为0,a，点M的坐标为b,b令y=0，则有x2+2x−3=0，解得：∴A1,0∴当以AN为直角边的等腰直角三角形AMN，则可分：①当AN⊥MN时，且点M在x轴的下方，则有AN=MN，过点N作NP∥x轴，分别过点M、A作NP的垂线，垂足分别为D、E，延长DM，交x轴于点F，如图所示：∴∠AEN=∠NDM=90°,DF=ON=OE=−a，OA=NE=1，OF=DN=−b，MF=−b∵∠ANM=90°，∴∠MND+∠DMN=90°,∠ANE+∠MND=90°，∴∠DMN=∠ENA，∴△DMN≌△ENA（AAS），∴DN=AE=−a,DM=NE=1，∴OF=DN=AE=DF=ON，∴−b解得：b1∴点M的坐标为−17②当AN⊥MN时，且点M在x轴的上方，则有AN=MN，过点N作NP∥x轴，分别过点M、A作NP的垂线，垂足分别为D、E，延长DM，交x轴于点F，如图所示：同理①可得：MF=b∴b2解得：b1∴点M的坐标为−17③当AN⊥AM时，且点M在x轴的下方，则有AN=AM，过点A作AP∥y轴，分别过点M、N作AP的垂线，垂足分别为D、E，MD交y轴于点F，如图所示：同理①可得AD=NE=OA=1，∴点M的纵坐标为-1，∴b2解得：b1∴点M的坐标为−3④当AN⊥AM时，且点M在x轴的上方，则有AN=AM，过点A作AP∥y轴，分别过点M、N作AP的垂线，垂足分别为D、E，MD交y轴于点F，如图所示：同理③可得：点M的纵坐标为1，∴b2解得：b1∴点M的坐标为−5综上所述：当以AN为直角边的等腰直角三角形AMN，点M的坐标为−5−1,1或−3−1,−1或【点睛】本题主要考查二次函数与几何综合及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数与几何综合及相似三角形的性质与判定是解题的关键．5．如图在平面直角坐标系xOy，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A、B

（1）求b，c的值；（2）如图1，抛物线与y轴交于点C，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求（3）如图2，点P为直线y=3x−3上一点，点Q为抛物线上一点，当△CPQ是等腰直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点P的坐标．答案:（1）b=−2，c=−3；（2）916；（3）点P的坐标为(54，34)或(58，−98)或(59分析：（1）根据BO=3AO，求得点A和点B的坐标，然后代入解析式中即可求解；（2）作AF⊥x轴交BC于点F，过D作DH⊥x轴交BC于点R，然后求得直线BC的解析式，设D(t，t2−2t−3)，利用相似三角形的判定和性质得到DEAE（3）分为四种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质分别求出P点坐标即可．【详解】解：（1）∵BO=3AO=3，∴A(-1，0)，B(3，0)，∴抛物线解析式为y=x+1∴b=−2，c=−3；（2）由（1）可知，抛物线解析式为y=x令x=0，y=−3，则C(0，-3)，如图1，作AF⊥x轴交BC于点F，过D作DH⊥x轴交BC于点R，∵△BED和△ABE的底在AD上，顶点都是点B，∴S1又∵AF⊥x轴，DH⊥x轴，∴AF∥DR，∴∠FAE=∠RDE，∠AFE=∠DRE，∴△AEF∽△DER，∴DEAE设直线BC的解析式为y=kx−3，代入B(3，0)，得0=3k−3，解得：k=1，∴直线BC的解析式为y=x−3，又∵A的坐标为(-1，0)，AF⊥x轴，∴F的坐标为(-1，-4)，∴AF=yA设点D的坐标为(t，t2则点R的坐标为(t，t−3)，∴DR=yR∴DRAF∴当t=32时，DRAF∴S1S2（3）当△CPQ是以C为直角顶点的等腰三角形时，如图2，过P作PM⊥y轴，过Q作QN⊥y轴分别交y轴于点M，N，∵△CPQ是以C为直角顶点的等腰三角形，∴CP=CQ，∠PCQ=90°，∴∠PCM+∠QCN=180°-∠PCQ=90°，又∵PM⊥y轴，DN⊥y轴，∴∠PMC=∠CNQ=90°，∴在△CPQ中，∠PCM+∠CPM=180°-∠PMC=90°，∴∠CPM=∠QCN，在△PCM和△CQN中，∠PMC=∠CNQ=90°∠CPM=∠QCN∴△PCM≌△CQN，∴PM=CN，CM=QN，设点P的坐标为(m，3m−3)，则点Q的坐标为(n，n2∴PM=m，CN=−3−nCM=3m−3−−3=3m，QN=∴m=−n解得：m=59n=∴点P的坐标为(59，−同理，P1∴P1的横坐标为−∴点P1的坐标为(−59当△CPQ是P为直角顶点的等腰三角形时，如图3，过P作PM⊥y轴交y轴于点M，过Q作QN⊥MP交MP的延长线于点N，同理可得：△PCM≌△QPN，∴PM=CN，CM=QN，设点P的坐标为(m，3m−3)，则点Q的坐标为(n，n2∴PM=m，QN=3m−3−nCM=3m−3−−3=3m，PN=∴m=−n解得：m=58n=∴点P的坐标为(58，−当△CPQ是Q为直角顶点的等腰三角形时，如图4，过Q作QN⊥y轴交y轴于点N，过P作PM⊥QN于点M，同理可得：△PQM≌△QCN，∴PM=QN，QM=CN，设点P的坐标为(m，3m−3)，则点Q的坐标为(n，n2∴PM=3m−3−n2−2n−3QM=n−m，CN=n2∴−n解得：m=54n=∴点P的坐标为(54，3综上，点P的坐标为(54，34)或(58，−98)或(59，【点睛】本题考查了二次函数综合问题，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，题目较为复杂，分类讨论，数形结合思想是解决本类题的关键．6．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于点B6,0，C−2,0，与y轴交于点A．（1）如图，连结PA、PB．设△PAB的面积为S，点P的横坐标为m．请说明当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（2）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE//x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点答案:（1）即当点P运动到点（3，152）时，△PAB的面积有最大值；（2）点P的坐标为：（4，6）或（5-17，317分析：（1）首先运用待定系数法求出抛物线的解析式，设出P点坐标，根据三角形面积公式可得S与m的关系式，再根据二次函数的性质可得解；（2）由△PDE为等腰直角三角形，则PE=PD，即-12【详解】解：（1）抛物线的表达式为：y=a（x-6）（x+2）=a（x2-4x-12），故-12a=6，解得：a=-1∴抛物线的表达式为：y=-12过点P作x轴的垂线交AB于点D，由点A（0，6）、B的坐标可得，直线AB的表达式为：y=-x+6，设点P（m，-12S=12×PD×OB=3PD=3（-12m2+2m+6+m-6）=-32m2+9m=-3∵-32∴P（3，152即当点P运动到点（3，152）时，△PAB（2）△PDE为等腰直角三角形，则PE=PD，点P（m，-12函数的对称轴为：x=2，则点E的横坐标为：4-m，则PE=|2m-4|，即-12解得：m=4或-2或5+17或5-17（舍去-2和5+17）故点P的坐标为：（4，6）或（5-17，317-5）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、图形的面积计算等，本题难度不大．类型二平移+等腰直角三角形7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x−3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．对称轴为直线l（1）如图1，E为直线CD下方抛物线上的一点，连接EC、ED．当△ECD的面积最大时，在直线l上取一点M，过M作y轴的垂线，垂足为点N，连接EM，BN．若EM=BN时，求EM+MN+BN的值；（2）将抛物线y=x2+2x−3沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过原点O．y′与x轴的另一个交点为F．设P是抛物线y′上任意一点，点Q在直线l答案:（1）1+13（2）能，P点的坐标为：3+52，−5−5分析：(1)先求出Ａ、Ｂ、C、D两点坐标，利用待定系数法求出直线CD的直线方程；如图1中，过点E作EG//y轴交直线CD于G．设E(m,m2+2m-3)，则G(m,-2m-3)，GE=-m2-4m．根据S△EDC=12·EG·|DX|=12(-（2）假设存在.如图2中.作P₁M⊥x轴于M，P₁N⊥对称轴|于N，对称轴l|交0A于K，由△P₁MF≌△P₁NQ，推出P₁M=P₁N，推出点P₁在∠MKN的角平分线上，只要求出直线KP₁的解析式，构建方程组即可求得P₁、P₂的坐标，同法可求P₃、P4的坐标．【详解】解：（1）由题意A(1,0)，B(-3,0)，C(0,-3)，D(-4,5)，设直线CD的解析式为y=kx+b,则有b=-3，-4k+b=5

∴k=-2，b=-3∴直线CD的解析式为y=-2x-3如图1中，过点E作EG∥y轴交直线CD于G，设E(m,m2∴GE=-m²-4m∴S△EDC=12·EG·|DX|=12(-m2∵-2＜0，∴m=-2时，△DEC的面积最大，此时E(-2,-3)，∵C(0,-3)，∴EC∥AB，设CE交对称轴于H，∵B(1,0)，∴EH=OB=1，∵EM=BN，∴Rt△EHM≌Rt△BON，∴MH=ON=12OC=∴EM=BN=12∴EM+MN+MB=1+2×（2）假设存在这样的点，如图2，作P₁M⊥x轴于M，P₁N⊥对称轴l于N，对称轴l交OA于K，由P₁Q=P₁F，∠QP₁F=90°，∠NQP₁=∠MFP₁，可得△P₁MF≌△P₁NQ∴P₁M=P₁N，∴点P在∠MKN的角平分线上，∵直线KP₁过(-1,0)，与x轴成45°角，过二、三、四象限，∴直线KP₁的解析式为y=-x-1，∵抛物线向右平移了3个单位，∴抛物线y´的解析式为y´=x²-4x，点P₁是抛物线y´与直线KP₁的交点由y=−x−1解得x=3−5∴P₁3+52同法可知，直线y=x+1与抛物线的交点P3、P4符合条件，由y=x+1解得x=5+29∴P35+P45−综上所述，满足条件的点P坐标为：3+52，−5−52【点睛】本题考查二次函数综合题、平移变换、一次函数的应用、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会利用方程组确定交点坐标，属于中考压轴题．8．如图1，抛物线y=−23x2+43x+22与x轴交于A,B两点（点A（1）求直线BD的解析式；（2）抛物线对称轴交x轴于点E，P为直线BD上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥BD于点F，当线段PF的长最大时，连接PE，过点E作射线EM，且EM⊥EP，点G为射线EM上一动点（点G不与点E重合），连接PG，H为PG中点，连接AH，求AH的最小值；（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点D在射线BD上移动，点B，D平移后的对应点分别为点B'，D'，y轴上有一动点M，连接MB'，MD'，ΔMB答案:（1）y=−43x+42；（2）91010；（3）分析：（1）首先求出B、D两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题；（2）如图2中，设P（m，-23m2+43m+22），连接PD、PB，作PQ⊥OB于Q．由题意欲求PF的最大值，易知当△PBD面积最大时，PF的值最大，由S△PBD=S△PDE+S△PEB-S△EDB，构建二次函数，求出PF的值最大时，点P的坐标为（22，2（3）如图3中，作MN⊥BD于N．当MN=BD时，存在△MB'D'为等腰直角三角形（只要D′或B′与N重合即可），易知H（0，42），由△HMN∽△DBE，可得MNBE=HMBD，推出HM=5092,推出OM=HM-OH=5092-4【详解】（1）把y=0代入，得−23x2∴A(−2,0)∵y=−∴D(设直线BD的解析式为y=kx+b把B(32,0)，D(2,∴直线BD的解析式为y=−（2）如图2中，设P（m，-23m2+43m+2由题意欲求PF的最大值，易知当△PBD面积最大时，PF的值最大，S△PBD=S△PDE+S△PEB-S△EDB=12×823×（m-2）+12×22×（-23m2+43m+22）-12×22×8∵-23∴m=22时，△PBD的面积最大，PF的值最大，∴此时P（22，22），易知点H的运动轨迹是线段PE的垂直平分线，∴当AH垂直PE的垂直平分线时，AH的值最小，设AH交EM于K，在Rt△EPQ中，PE=EQ由△AKE∽△EQP，得到AKEQ∴AK=2105，易知HK=NE=12∴AH=AK+KH=910（3）如图3中，作MN⊥BD于N．∵B（32，0），D（2，82∴BD=(22当MN=BD时，存在△MB'D'为等腰直角三角形（只要D′或B′与N重合即可），∵直线BD的解析式为y=-43x+42，直线BD与y轴的交点H（0，42∵△HMN∽△DBE，∴MNBE∴102∴HM=509∴OM=HM-OH=5092-42=149点M关于H的对称点M′也满足条件，此时M′（0，862当M″是HM的中点时，M″是等腰三角形△M″B′D′的直角顶点，此时M″（0，112综上所述，满足条件的点M的坐标为（0，-1492）或（0，112【点睛】本题考查一次函数的应用、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理．相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线解决问题．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x−3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点（1）求直线CD的解析式；（2）E为直线CD下方抛物线上的一点，连接EC、ED．当ΔECD的面积最大时，在直线l上取一点M，过M作y轴的垂线，垂足为点N，连接EM、BN．若EM=BN时，求EM+MN+BN的值；（3）将抛物线y=x2+2x−3沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过原点O．y′与x轴的另一个交点为F．设P是抛物线y′上任意一点，点答案:（1）y=−2x−3；（2）EM+MN+BN=13+1；（3）能．P1(3+5分析：（1）求出C、D两点坐标，利用待定系数法即可解决问题；（2）求出抛物线y=x2+2x−3与x轴交点A、B两点的坐标，设E(m , m2+2m−3)，则S△ECD=12(−2m−3)−(m2+2m−3)×4，根据二次函数的性质求出E的坐标，可得当m=−2时，SΔECD最大，因为B(1 , 0)关于直线（3）存在．如图2中．作P1M⊥x轴于M，P1N⊥对称轴l于N．对称轴l交OA于K，由△P1MF≌△P1NQ，推出P1M=P1N，推出点P在∠MKN的角平分线上，只要求出直线KP1的解析式，构建方程组即可解决问题，同法可求P3，P4．【详解】解：（1）∵当x=0时，y=−3，

∴C(0 , −3)．又∵D(−4 , n)在抛物线y=x∴n==5，∴D(−4 , 5)．设CD的解析式为y=kx+b．∴−4k+b=5 ，解得：k=−2 ，∴CD的解析式为y=−2x−3．(2)

∵令y=0，∴x2解得：x1∴A(−3 , 0)，B(1 , 0)．设E(m , m∴S△ECD∴当m=−2时，SΔECD∴E(−2 , −3)．又∵B(1 , 0)关于直线x=−12的对称点为∴EB'的垂直平分线交直线l于点∴过M作y轴的垂线，垂足为N．此时，EM=BN，ON=32，在RtΔBON中，由勾股定理得：BN=13又∵直线l与y轴间的距离为1，∴EM+MN+BN=13（3）能．P1(3+P3(【点睛】本题考查二次函数综合题.10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l，点D（-4，n）在抛物线上．（1）求直线CD的解析式；（2）E为直线CD下方抛物线上的一点，连接EC，ED，当△ECD的面积最大时，在直线l上取一点M，过M作y轴的垂线，垂足为点N，连接EM，BN，若EM=BN时，求EM+MN+BN的值．（3）将抛物线y=x2+2x-3沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过原点O，y′与x轴的另一个交点为F，设P是抛物线y′上任意一点，点Q在直线l上，△PFQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，直接写出点P的坐标，若不能，请说明理由．答案:（1）直线CD的解析式为y=-2x-3；（2）1+13；（3）存在．满足条件的点P坐标为（3+52，−5−52）或（3−52，−5+52）或（分析：（1）求出C、D两点坐标，利用待定系数法即可解决问题；（2）如图1中，过点E作EG∥y轴交直线CD于G．设E（m，m2+2m﹣3）．则G（m，﹣2m﹣3），GE=﹣m2﹣4m．根据S△EDC=12•EG•|Dx|=1（3）存在．如图2中．作P1M⊥x轴于M，P1N⊥对称轴l于N．对称轴l交OA于K，由△P1MF≌△P1NQ，推出P1M=P1N，推出点P在∠MKN的角平分线上，只要求出直线KP1的解析式，构建方程组即可解决问题，同法可求P3，P4．【详解】（1）由题意得：C（0，﹣3），D（﹣4，5），设直线CD的解析式为y=kx+b，则有b=−3−4k+b=5，解得：k=−2（2）如图1中，过点E作EG∥y轴交直线CD于G．设E（m，m2+2m﹣3）．则G（m，﹣2m﹣3），GE=﹣m2﹣4m．∴S△EDC=12•EG•|Dx|=1∵﹣2＜0，∴m=﹣2时，△DEC的面积最大，此时E（﹣2，﹣3）．∵C（0，﹣3），∴EC∥AB，设CE交对称轴于H．∵B（1，0），∴EH=OB=1．∵EM=BN，∴Rt△EHM≌Rt△BON，∴MH=ON=12OC=32，∴EM=BN=12+（3（3）存在．如图2中．作P1M⊥x轴于M，P1N⊥对称轴l于N．对称轴l交OA于K．由P1Q=P1F，∠QP1F=90°，可得△P1MF≌△P1NQ，∴P1M=P1N，∴点P在∠MKN的角平分线上．∵直线KP1的解析式为y=﹣x﹣1，抛物线y′的解析式为y=x2﹣4x，由y=−x−1y=x2−4x，解得：x=3+52由y=x+1y=x2−4x，解得：x=5+292综上所述：满足条件的点P坐标为（3+52，−5−52）或（【点睛】本题考查了二次函数综合题、平移变换、一次函数的应用、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会利用方程组确定厉害函数的交点坐标，属于中考压轴题．11．已知如图：抛物线y=−12x2+2x+52与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，点D（1）如图1，连接BD，试求出直线BD的解析式；（2）如图2，点P为抛物线第一象限上一动点，连接BP，CP，AC，当四边形PBAC的面积最大时，线段CP交BD于点F，求此时DF:BF的值；（3）如图3，已知点K(0,−2)，连接BK，将△BOK沿着y轴上下平移（包括△BOK）在平移的过程中直线BK交x轴于点M，交y轴于点N，则在抛物线的对称轴上是否存在点G，使得△GMN是以MN为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点G的坐标，若不存在，请说明理由.答案:（1）y=-32x+152；（2）225；（3）G1（2，10【详解】试题分析：（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B点坐标，根据顶点坐标的定义，可得D点坐标，根据待定系数法，可得答案；（2）根据平行于BC且与抛物线相切，可得过P点平行BC的直线，根据解方程组，可得P点坐标，根据解方程组，可得F点坐标，根据相似三角形的性质，可得答案；（3）根据平移的性质，可得直线MN的解析式，根据全等三角形的判定与性质，可得关于b的方程，根据解方程，可得b，根据b的值，可得OM的长，可得EG的长，可得答案．试题解析：（1）在y=-12x2+2x+5令y=0，则-12x2+2x+5解得：x1=-1．x2=5，则A的坐标是（-1，0），B的坐标是（5，0）．抛物线y=-12x2+2x+5把x=2代入解析式得y=92，则D的坐标是（2，9设直线BD的解析式是y=kx+b，根据题意得：{5k+b=0解得：{k=−则直线BD的解析式是y=-32x+15（2）连接BC，如图2，y=-12x2+2x+52中，令x=0，则y=52设BC的解析式是y=mx+n，则{n=解得：{n=则直线BC的解析式是y=-12x+5设与BC平行且与抛物线只有一个公共点的直线的解析式是y=-12则-12x2+2x+52=-即x2-5x+（2d-10）=0，当△=0时，x=52代入y=-12x2+2x+52中得：y=则P的坐标是（52，35又∵C的坐标是（0，52设CP的解析式是y=ex+f，则{解得：{f=则直线CP的解析式是y=34x+5根据题意得：{y=解得：{x=则F的坐标是（209，25则DFBF（3）如图3，设BK的解析式是y=kx+b，则{5k+b=0解得：{k=则直线BK的解析式是y=25MN的解析式为y=25当y=0时，x=-52b，即M（-52b，0），ME=-当x=0时，y=b，即N（0，b）．由△GMN是以MN为腰的等腰直角三角形，得MG=MN，∠GMN=90°．∵∠MGE+∠GME=90°，∠GME+∠EMN=90°，∴∠MGE=∠AMN．在△GME和△MNA中，{∠MGE=∠NMO∴△GME≌△MNO（AAS），∴ME=ON，EG=OM，即-52解得b=-43EG=OM=-52b=10G1点的坐标为（2，103同理可求：G2（2，-7），G3（2，-3）G4（2，-107考点：二次函数综合题．12．如图，已知抛物线y=ax2+4x+c与直线AB相交于点A（1）求该抛物线的解析式；（2）设C为直线AB上方的抛物线上一点，当△ABC的面积最大时，求点C的坐标；（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y=a1x2+b1x+c1（a1答案:（1）y=-x2+4x+1；（2）（32，19分析：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）△PAB面积S=1（3）求出两抛物线的交点D的坐标，分两种情况讨论：①当点D为直角顶点时，②当点A为直角顶点时，分别求解即可．【详解】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得4=9a+12+cc=1解得：a=-1∴抛物线的表达式为：y=-x2+4x+1；（2）设直线AB的表达式为：y=kx+t，将点A、B的坐标代入4=3k+tt=1解得故直线AB的表达式为：y=x+1，过点C作y轴的平行线交AB于点H，设点C（x，-x2+4x+1），则H（x，x+1），∴△PAB面积S=∵−∴S有最大值，当x=−92此时点C坐标为（32，19（3）抛物线的表达式为：y=-x2+4x+1=-（x-2）2+5，则平移后的抛物线表达式为：y=-x2+5，联立上述两抛物线的解析式并解得：x=1故点D（1，4）；①当点D为直角顶点时，∵△ADE是以AD为腰的等腰直角三角形∴∠HDE+∠IDA=90°，AD=ED过点D作x轴的平行线，过点E作EH⊥DH，则∠DHE＝∠DIA=90°，∴∠HDE+∠DHE=90°，∴∠IDA=∠DHE∴△DEH≅ΔADI，∴ID=HE=1，AI=DH=3，∴点E坐标为（4，3）或（-2，5）；②当点A为直角顶点时，同理可证△EAO≅ΔADI，∴OF=AI=3，∴点E坐标为（3，0），（-3，2）；【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，直角三角形的存在性等，解题关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，图象的交点坐标的求法等．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3a≠0与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为(1)求抛物线的解析式；(2)点M是位于直线AC上方的抛物线上任意一点，过点M作MP∥x轴交直线AC于点P，过点P作PN∥BC交x轴于点N．求PM+104PN(3)将原抛物线沿射线CB方向平移10个单位后得到新抛物线y′，E为新抛物线y′的对称轴上一点，F为新抛物线y′上一点，若以点C、E、F为顶点的三角形是以CE为腰的等腰直角三角形，请直接写出点E答案:(1)y=−(2)PM+104PN最大值323(3)E−1,4−6分析：（1）把A点坐标代入y=ax2+bx+3(a≠0)（2）先求直线AC的解析式，设Mt,−35t2−125t+3，易得P−t2−4t,−35t2−125t+3（3）求得新抛物线和直线CB的解析式，再设出E点坐标，构造全等三角形即可求解．【详解】（1）解：点A点坐标代入y=ax2+bx+3又∵对称轴为直线x=−2，∴−b联立25a−5b+3=0−解得：a=−3∴抛物线的解析式为y=−3（2）解：令x=0，则y=3，∴C0,3令y=0，x=−5或x=1，∴B1,0设AC的解析式为y=kx+b，把A、C的坐标代入y=kx+b得−5k+b=03=b解得k=3∴AC的解析式为y=3设Mt,−35过点P作PH⊥x轴于点H，∴PH=−35t2−125∵PN∥BC交x轴于点N，∴∠PNH=∠CBO，∵∠PHN=∠COB=90°,∴△PHN∽△COB∴PH即−3∴PN=10∴PM+=−=−3∵点M是位于直线AC上方，∴−5<t<0，∴当t=−73时，PM+10∵M此时点M的坐标为−7（3）解：E−1,4−6设直线BC的解析式为y=k把C0,3，B1,0代入，得∴直线BC的解析式为y=−3x+3，∵原抛物线沿射线CB方向平移10个单位后得到新抛物线y′，即向下平移3个单位，向右平移1个单位，y=−∴y′∴新抛物线的对称轴为直线x=−1，作出抛物线后，则以CE为腰的等腰直角三角形的情况为如下图所示的两种情况，即F点在对称轴左边或右边．现选择其中一个图形进行说明，如下所示：分别过F点向y轴作垂线，过C点向直线x=−1作垂线，垂足分别为点D和点G，∴∠CGE=∠CDF=90°，∵∠ECF=∠GCD=90°，∴∠ECG=∠FCD，∵CE=CF，∴△ECG≌△FCD，∴CG=CD，EG=FD，设E−1，m∵C0,3∴CG=1,EG=m−3，∴FD=m−3，CD=1，∴F3−m,2∵F点在新抛物线上，∴2=−3∴m=4±6该种情况下m=4−6另一种情况可以用同样的方法求解，可以求出m=4+6∴E−1,4−63【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、抛物线的图象与性质、相似三角形的判定与性质、抛物线的平移等类型三旋转+等腰直角三角形14．已知抛物线y＝﹣19x2+233x+9与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y（1）如图1，点P为线段BC上方抛物线上的任意一点，当四边形PCAB面积最大时，连接OP并延长至点Q，使PQ＝OP，在对称轴上有一动点E，将△ACE沿边CE翻折得到△A′CE，取BA′的中点N，求BQ+QN的最大值；（2）如图2，将△AOC绕