高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2-3-1直线与平面垂直的判定2-3-2平面与平面垂直的判定刷题课件新人教A版必修2

题型1线面垂直的判定定理的应用解析1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A．α⊥β，且mαB．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥αD．m⊥n，且n∥βα⊥β，且mαmβ，或m∥β，或m与β相交，故A不正确；m∥n，且n⊥βm⊥β，故B正确；α⊥β，且m∥αmβ，或m∥β，或m与β相交，故C不正确；由m⊥n，且n∥β，知m⊥β不一定成立，故D不正确．故选B.B2.3.1+2.3.2

刷基础

题型1线面垂直的判定定理的应用解析2．下列四个命题中，正确的是()①若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；③若一条直线平行于一个平面，另一条直线垂直于这个平面，则这两条直线互相垂直；④若两条直线垂直，则过其中一条直线有唯一一个平面与另一条直线垂直．A．①②B．②③C．②④D．③④若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线时，这条直线可能在这个平面内、也可能与这个平面相交，所以①错误；若一条直线平行于一个平面，垂直于这条直线的直线可能与这个平面相交、平行、也可能在这个平面内，所以②错误；若一条直线平行于一个平面，则该平面内必有一条直线与之平行，另一条直线垂直于这个平面，则该直线与平面内的直线垂直，从而这两条直线互相垂直，所以③正确；若两条直线垂直，在其中一条直线上取一点，过该点作另一条直线的垂线，则这两条相交直线确定的平面与另一条直线垂直，且平面唯一，所以④正确．D2.3.1+2.3.2

刷基础

题型1线面垂直的判定定理的应用解析3．给出下列条件(其中l为直线，α为平面)：①l垂直于α内的一五边形的两条边；②l垂直于α内三条不都平行的直线；③l垂直于α内无数条直线；④l垂直于α内正六边形的三条边．其中能够推出l⊥α的条件的所有序号是()A．②B．①③C．②④D．③如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．①③都有可能垂直的是平面α内的平行直线，不能推出l⊥α.而②④能推出l⊥α.故选C.C2.3.1+2.3.2

刷基础

题型1线面垂直的判定定理的应用解析4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，B1H⊥D1O，H为垂足，则B1H与平面AD1C的位置关系是()A．垂直B．平行C．斜交D．以上都不对连接B1D1，BD.∵几何体ABCD－A1B1C1D1是正方体，底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又∵B1B⊥AC，BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BDD1B1.∵B1H平面BDD1B1，∴AC⊥B1H.∵B1H⊥D1O，AC∩D1O＝O，∴B1H⊥平面AD1C.A2.3.1+2.3.2

刷基础

题型1线面垂直的判定定理的应用解析5．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()A．有且只有一个B．至多有一个C．有一个或无数个D．不存在若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．B2.3.1+2.3.2

刷基础

题型1线面垂直的判定定理的应用解析6．[河北唐山2019高二期末]如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是()

A．①②B．②④C．①③D．②③对于①，易证AB与CE所成角为45°，所以直线AB与平面CDE不垂直；对于②，易证AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，所以AB⊥平面CDE；对于③，易证AB与CE所成角为60°，所以直线AB与平面CDE不垂直；对于④，易证ED⊥平面ABC，得ED⊥AB，易证EC⊥AB，可得AB⊥平面CDE.故选B.B2.3.1+2.3.2

刷基础

题型1线面垂直的判定定理的应用证明7．[辽宁锦州2019高一检测]如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.(1)求证：PC⊥平面AEF；(2)设平面AEF交PD于G，求证：AG⊥PD.(1)因为PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PA⊥BC.又因为AB⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.又因为AE平面PAB，所以AE⊥BC.又AE⊥PB，PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC.又因为PC平面PBC，所以AE⊥PC.又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A，所以PC⊥平面AEF.(2)由(1)知PC⊥平面AEF，所以PC⊥AG.因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.又因为AD⊥CD，AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD.又因为AG平面PAD，所以CD⊥AG.又因为PC∩CD＝C，所以AG⊥平面PCD.又因为PD平面PCD，所以AG⊥PD.2.3.1+2.3.2

刷基础

题型2面面垂直的判定定理及其应用解析8．[湖南衡阳第一中学2019高一期末]如图，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AD＝AB＝BC＝1，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD.在四面体ABCD中，下列说法正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ACD⊥平面ABCC．平面ABC⊥平面BCDD．平面ACD⊥平面BCD在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1/2BC＝1，∠A＝90°，∴BD＝，BC＝2，∠DBC＝45°.由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BCcos∠DBC＝2，∴BD2＋CD2＝BC2，∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，∴CD⊥平面ABD，∴CD⊥AB.又由AD⊥AB，CD∩AD＝D，∴AB⊥平面ACD.又∵AB平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD.故选B.B2.3.1+2.3.2

刷基础

题型2面面垂直的判定定理及其应用证明9．如图，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．求证：平面EFG⊥平面EMN.∵E，F分别为PB，AB的中点，∴EF∥PA.∵AB⊥PA，∴AB⊥EF.同理，AB⊥FG.∵EF∩FG＝F，EF平面EFG，FG平面EFG，∴AB⊥平面EFG.∵M，N分别为PD，PC的中点，∴MN∥CD.∵AB∥CD，∴MN∥AB，∴MN⊥平面EFG.∵MN平面EMN，∴平面EFG⊥平面EMN.2.3.1+2.3.2

刷基础

题型2面面垂直的判定定理及其应用证明9．如图，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．求证：平面EFG⊥平面EMN.∵E，F分别为PB，AB的中点，∴EF∥PA.∵AB⊥PA，∴AB⊥EF.同理，AB⊥FG.∵EF∩FG＝F，EF平面EFG，FG平面EFG，∴AB⊥平面EFG.∵M，N分别为PD，PC的中点，∴MN∥CD.∵AB∥CD，∴MN∥AB，∴MN⊥平面EFG.∵MN平面EMN，∴平面EFG⊥平面EMN.2.3.1+2.3.2

刷基础

题型2面面垂直的判定定理及其应用10．[辽宁葫芦岛一中2019高一月考]如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E是DC的中点，以AE为折痕将△ADE向上折起，使点D到点P的位置，且PC＝PB.(1)若F是BP的中点，求证：CF∥平面APE；(2)求证：平面APE⊥平面ABCE.2.3.1+2.3.2

刷基础

题型2面面垂直的判定定理及其应用证明(1)取AB的中点G，连接GF，GC.因为EC∥AG，EC＝AG，所以四边形AECG为平行四边形，所以AE∥GC.在△ABP中，F，G分别为PB，AB的中点，所以GF∥AP，因为GF∩GC＝G，AE∩AP＝A，所以平面APE∥平面FGC.又因为CF平面FGC，所以CF∥平面APE.(2)取AE的中点O，连接PO，又因为PA＝PE，所以PO⊥AE.取BC的中点H，连接OH，PH，所以OH∥AB，所以OH⊥BC.因为PB＝PC，所以BC⊥PH.又因为PH∩OH＝H，所以BC⊥平面POH，所以BC⊥PO.因为BC与AE相交，所以PO⊥平面ABCE.又因为PO平面APE，所以平面APE⊥平面ABCE.2.3.1+2.3.2

刷基础

题型2面面垂直的判定定理及其应用证明11．[江苏南通2018第一次调研测试]如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥PC，CA＝CB，M是AB的中点．点N在棱PC上，点D是BN的中点．求证：(1)MD∥平面PAC；(2)平面ABN⊥平面PMC.(1)在△ABN中，M是AB的中点，D是BN的中点，所以MD∥AN.又因为AN平面PAC，MD平面PAC，所以MD∥平面PAC.(2)在△ABC中，CA＝CB，M是AB的中点，所以AB⊥MC.又因为AB⊥PC，PC平面PMC，MC平面PMC，PC∩MC＝C，所以AB⊥平面PMC.又因为AB平面ABN，所以平面ABN⊥平面PMC.2.3.1+2.3.2

刷基础

题型3直线与平面所成的角解析12．直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则直线b与平面α所成的角等于()A．40°B．50°C．90°D．150°根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b与α所成的角也是50°.B2.3.1+2.3.2

刷基础

题型3直线与平面所成的角13．[山西运城中学、芮城中学2019高二期中联考]如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，沿AE，EF，FA将正方形折起，使B，C，D重合于点O，在构成的四面体OAEF中，下列结论错误的是()A．AO⊥平面EOFB．直线AH与平面EOF所成角的正切值为C．四面体OAEF的内切球表面积为πD．异面直线OH与AE所成角的余弦值为2.3.1+2.3.2

刷基础

题型3直线与平面所成的角13．[山西运城中学、芮城中学2019高二期中联考]如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，沿AE，EF，FA将正方形折起，使B，C，D重合于点O，在构成的四面体OAEF中，下列结论错误的是()A．AO⊥平面EOFB．直线AH与平面EOF所成角的正切值为C．四面体OAEF的内切球表面积为πD．异面直线OH与AE所成角的余弦值为2.3.1+2.3.2

刷基础

题型3直线与平面所成的角解析翻折前，AB⊥BE，AD⊥DF，故翻折后，OA⊥OE，OA⊥OF，又OE∩OF＝O，∴AO⊥平面EOF，故A正确．连接OH，AH，如图，则∠OHA为AH与平面EOF所成的角，∵OE＝OF＝1，EF，H是EF的中点，∴OE⊥OF，∴OH＝1/2EF＝.又∵OA＝2，∴tan∠OHA＝＝2，故B正确．设四面体OAEF的表面积为S，体积为V，内切球半径为r，则V＝1/3S·r，又∵V＝1/3S△OEF×OA＝1/3×1/2×1×1×2＝1/3，S＝2×1/2×1×2＋1/2×1×1＋1/2××＝4，∴4r/3＝1/3，解得r＝1/4，∴内切球的表面积为4πr2＝π/4，故C错误．取AF的中点P，连接OP，HP，∵点P是AF的中点，点H是EF的中点，所以PH∥AE，∴∠OHP为异面直线OH与AE所成的角或补角，∵OE＝OF＝1，OA＝2，∴OP＝1/2AF＝，PH＝1/2AE＝，OH＝，∴cos∠OHP＝，故D正确．故选C.2.3.1+2.3.2

刷基础

题型3直线与平面所成的角解析14．若斜线段AB是它在平面α上的射影的长的2倍，则AB与平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．120°斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形．如图所示，∠ABO即是斜线段AB与平面α所成的角．因为AB＝2BO，所以cos∠ABO＝，所以∠ABO＝60°.A2.3.1+2.3.2

刷基础

题型3直线与平面所成的角解析15．[福建南平2019高二期末]正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB1与平面ABC1D1所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°如图，连接B1C交BC1于点E，连接AE.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，易证B1C⊥平面ABC1D1，所以AB1与平面ABC1D1所成的角为∠B1AE.设正方体的棱长为a，在△B1AE中，AB1＝a，B1E＝a，所以sin∠B1AE＝，所以∠B1AE＝30°，故选A.A2.3.1+2.3.2

刷基础

题型4二面角解析16．给出下列命题：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中真命题是()A．①③B．②④C．③④D．①②对于①，显然混淆了平面与半平面的概念，是错误的；对于②，因为a，b分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角(或直角)，所以应是相等或互补，是正确的；对于③，因为所作射线不一定垂直于棱，所以是错误的；④是正确的．故选B.B2.3.1+2.3.2

刷基础

题型4二面角解析17．从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足．若∠EPF＝60°，则二面角的平面角的大小是()A．60°B．120°C．60°或120°D．不确定若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.C2.3.1+2.3.2

刷基础

题型4二面角解析18．[山西运城中学、芮城中学2019高二期中联考]三棱锥V－ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝，VC＝1，则二面角V－AB－C等于()A．30°B．45°C．60°D．90°取AB中点O，连接VO，CO.由题知在三棱锥V－ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝，VC＝1，∴VO⊥AB，CO⊥AB，∴∠VOC是二面角V－AB－C的平面角．∵VO＝＝1，CO＝＝1，∴VO＝OC＝VC＝1，△VOC为等边三角形．∴∠VOC＝60°，∴二面角V－AB－C等于60°，故选C.C2.3.1+2.3.2

刷基础

题型4二面角解析19．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1－AB－C的大小为________．∵AB⊥BC，AB⊥BC1，∴∠C1BC为二面角C1－AB－C的平面角，大小为45°.45°2.3.1+2.3.2

刷基础

解析1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．不确定由直线与平面垂直的判定定理知，已知直线与三角形所在的平面垂直．由直线与平面垂直的定义知，已知直线与三角形的第三边垂直．B2.3.1+2.3.2

刷提升

解析3．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，则有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.D2.3.1+2.3.2

刷提升

解析4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，点P为侧面BB1C1C内一动点(含边界)，若动点P始终满足PE⊥BD1，则动点P的轨迹是()A．直线B．线段C．圆的一部分D．椭圆的一部分分别取BC，BB1的中点F，G.连接EF，FG，EG.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，易证BD1⊥平面EFG.所以点P在平面EFG内，又点P在侧面BB1C1C及其边界上运动，所以点P的轨迹为平面EFG与平面BB1C1C的交线段FG.故选B.B2.3.1+2.3.2

刷提升

解析5．已知P是△ABC所在平面外一点，PA，PB，PC两两垂直，且P在△ABC所在平面内的射影H在△ABC内，则H一定是△ABC的()A．内心B．外心C．垂心D．重心连接AH并延长，交BC于D，连接BH并延长，交AC于E.因为PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，所以PA⊥平面PBC，故PA⊥BC.因为PH⊥平面ABC，所以PH⊥BC.因为PA∩PH＝P，所以BC⊥平面PAH，故AH⊥BC，即AD⊥BC.同理可得BE⊥AC，故H是△ABC的垂心．故选C.C2.3.1+2.3.2

刷提升

解析6．[辽宁沈阳东北育才学校2019高二第二次月考]边长为1的正方形ABCD，将△ABC沿对角线AC折起，使△ABD为等边三角形，则直线BD和平面ABC所成的角的大小为()A．90°B．60°C．45°D．30°取AC的中点O，连接BO，DO.由题意得AC⊥BO，AC⊥DO，∴AC⊥平面DOB.∵正方形的边长为1，∴OB＝OD＝OC＝.∵△ABD为等边三角形，∴AB＝AD＝DB＝1，∴OD2＋OB2＝BD2，∴OD⊥OB.又∵OB∩AC＝O，∴OD⊥平面ABC.∴∠DBO是直线BD和平面ABC所成的角，大小为45°.故选C.C2.3.1+2.3.2

刷提升

解析7．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，E为DC边的中点，沿AE将△ADE折起．在折起过程中，下列结论正确的有()①ED⊥平面ACE；②CD⊥平面BEC；③BD⊥平面ACE；④AD⊥平面BEC.A．1个B．2个C．3个D．4个∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，E为DC边的中点，∴在折起过程中，点D在平面BCE上的投影如图．∵DE的投影与AC所成的角不能为直角，∴DE不会垂直于平面ACE，故①错误；只有点D的投影位于O2位置时，即平面AED与平面AEB重合时，才有BE⊥CD，此时CD不垂直于平面AEBC.故CD与平面BEC不垂直，故②错误；BD与AC所成的角不能是直角，∴BD不能垂直于平面ACE.故③错误；∵AE⊥EB，∴在折起过程中，有AD的投影垂直于BE，∴存在一个位置使AD⊥BE，∴在折起过程中，AD⊥平面BEC，故④正确．故选A.A2.3.1+2.3.2

刷提升

解析8．[山东淄博一中2019高一月考]如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝CC1，点D，O分别是AB，BC1的中点，则下列结论错误的是()A．AC1与平面ABC所成的角为60°B．AC1∥平面CDB1C．AC1与BB1所成的角为45°D．AC1∥ODA中，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，∴∠C1AC是AC1与平面ABC所成的角．∵AC＝CC1，∴∠C1AC＝45°，∴AC1与平面ABC所成的角为45°，故A错误．B中，∵点D，O分别是AB，BC1的中点，∴OD∥AC1.∵OD平面CDB1，AC1平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1，故B，D正确．C中，∵CC1∥BB1，∴∠AC1C是AC1与BB1所成的角．∵AC＝CC1，∴∠AC1C＝45°，∴AC1与BB1所成的角为45°，故C正确．故选A.A2.3.1+2.3.2

刷提升

解析9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，则AE与平面ABC1D1所成角的正弦值为________．取CD的中点F，连接EF，交平面ABC1D1于点O，连接AO.由已知正方体易知EO⊥平面ABC1D1，所以∠EAO为AE与平面ABC1D1所成的角．设正方体的棱长为1，在Rt△EOA中，EO＝1/2EF＝1/2A1D＝，AE＝，sin∠EAO＝，所以直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值为.2.3.1+2.3.2

刷提升

解析10．如图，P是二面角α－AB－β的棱AB上一点，分别在α，β上引射线PM，PN，截PM＝PN.若∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，则二面角α－AB－β的大小是________．在α内过点M作MO⊥AB于点O，连接NO，设PM＝PN＝a.∵∠BPM＝∠BPN＝45°，∴△OPM≌△OPN，∴NO⊥AB，∴∠MON为二面角α－AB－β的平面角．连接MN.∵∠MPN＝60°，∴MN＝a.又∵MO＝NO＝a，∴MO2＋NO2＝MN2，∴∠MON＝90°.90°2.3.1+2.3.2

刷提升

解析11．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等．若点A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成的角的正弦值等于________．由题意令三棱柱ABC－A1B1C1的棱长为2.如图，∵A1在底面ABC内的射影D为△ABC的中心，∴DA＝.由勾股定理，得A1D＝.过点B1作B1E⊥平面ABC，连接AE，则∠B1AE为AB1与底面ABC所成的角，且B1E＝A1D＝.作A1S⊥AB于点S，连接SD.∵A1D⊥底面ABC，AB平面ABC，∴A1D⊥AB.∵SD∩A1S＝S，∴AB⊥平面A1SD.∵SD平面A1SD，∴SD⊥AB.∴S为AB的中点．∴A1S＝.∴AB1＝.∴AB1与底面ABC所成的角的正弦值sin∠B1AE＝.2.3.1+2.3.2

刷提升

易错点对线面、面面垂直的判定定理理解不到位致误12．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下面三个结论：①点H是△A1BD的中心；②AH垂直于平面CB1D1；③直线AC1与直线B1C所成的角是90°.其中正确结论的序号是________．2.3.1+2.3.2

刷易错

易错点对线面、面面垂直的判定定理理解不到位致误13．如图，点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下面四个结论：①三棱锥A－D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1;③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确的结论的序号是___________．(写出所有你认为正确结论的序号)2.3.1+2.3.2

刷易错

Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切创伤的并非时间,而是爱.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艰苦的,但我应更坚强.励志名言请您欣赏易错点对线面、面面垂直的判定定理理解不到位致误12．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下面三个结论：①点H是△A1BD的中心；②AH垂直于平面CB1D1；③直线AC1与直线B1C所成的角是90°.其中正确结