对页码的使用总结

对页码的使用总结第1篇对页码的使用总结第1篇页码问题常见的主要有三种题型：一、一本书有N页，求排版时用了多少个数字；或者反过来，一本书排版时用了N个数字，求这本书有多少页；

二、已知一本N页的书中，求某个数字出现多少次；

三、已知一本N页的书中，求含有某个数字的页码有多少页

1．编一本书的书页，用了270个数字（重复的也算，如页码115用了2个1和1个5共3个数字），问这本书一共有多少页？

方法一：l--9是只有9个数字，10--99是2*90=180个数字，那么剩下270-9-180=81，剩下81/3=27页，则这本书是99+27-1=126页。

方法二：假设这个页数是A页，则有A个个位数，每个页码除了1--9，其他都有十位数，则有A-9个十位数，同理：有A-99个百位数。则：A+(A-9)+(A-99)=2703A-110+2=2703A=378，A=126方法三：公式法：公式：一本书用了N个数字，求有多少页：N/3+36。270/3+36=126。

2．一本小说的页码，在排版时必须用2211个数码。问这本书共有多少页？A．773解析：代入公式：N/3+36=737+36=773．王先生在编一本书，其页数需要用6869个字，问这本书具体是多少页？方法一：假设这个页数是A页，则：A+(A-9)+(A-99)+(A-999)=6869，求出A=1994方法二：6869>2889，所以，把所有的数字看作是4位数字，不足4位的添O补足4位，l,2,3,„9记为0001,0002,0003,..0009这样增加了3*9=27个010,11,12,„99记为0010,0011,0012，..0099增加了180个0100,101，„999记为0100,0101，„0999增加了900个O(6869+27+180+900)/4=1994

总结：一本书排版时用了N个数字，求这本书有多少页，N<2889时，用公式：N/3+36；N>2889时,用添加0计算。

4.在1-5000页中，出现过多少次数字3？

解析：每十个数里的个位上有一个3，5000个数就有5000/10=500个3，每一百个数里的十位上会有30到39,10个3，所以(5000/100)乘10=500个3，每一千个数里的百位上会有300到399，100个3所以(5000/1000)乘100=500个3，在千位上的3就有3000到3999，1000个3，所以500+500+500+1000=2500个3

5.一本书有4000页，问数字1在这本书里出现了多少次？解析：我们看4000分为千，百，十，个四个数字位置

千位是1的情况：那么百、十、个三个位置的选择数字的范围是0--9共计10个数字。就是10*10*10=1000百位是1的情况，千位是（0,1,2,3)4个数字可以选择。十位，个位还是0--9，10个数字可以选择即4*l0*10=400十位和个位都跟百位一样。那么答案就是1000+400*3=2200

总结：因为在页码1-99中，l、2、3、4、5、6、7、8、9均会出现20次；在页码100-999中，l、2、3、4、5、6、7、8、9均会出现20*9+100次。

上面两题均可以用公式,关于含“1”的页数问题，总结出的公式就是：总页数的1/10乘以（数字位-1)，再加上10的（数字位数-l）次方。如三位数：总页数的1/10乘以（3一l)+1O的（3-1)次方四位数：总页数的l/10乘以（4一l)+10的（4-l)次方

那么第4题：(5000/10)*3+1000=2500；第5题：(4000/10)*3+1000=22006．在1-5000页中，含3的页数有是多少？在页码1-99中，数字3出现了20次，即有19个含3的页码(33页要去掉一次）；在页码100-999中，分两种情况考虑：（1）首位数字是3，那么，后面两位就不用管了，一共有含3的页码100页；（2）首位数字不是3，那么必须考虑后两位数字含3，而前面知道，1-99中，有19个含3的页码，由于首位数字这时有l、2、4、5、6、7、8、9这么8种可能性，所以应该是19*8个含3的页码。

本题，在1-999中，含3的页码一共19+19*8+100=19*9+100页；再引申到1000-5000，也分两种情况：(l)千位是3，则有1000页：(2）千位不是3，则只可能是l、2、4，只考虑后3位，有（19*9+l00)*3个含3的页码。所以，合计是：19*9+100+(19*9+100)*3+1000=2084页中含有多少个带9的页面？

答案是40951，排列组合学的不是特别好的同学可以牢记公式:[(19*9+100)*9+1000]*9+10000=40951

规律很简单：19*9+100，代表l-999里含l、2、3、4、5、6、7、8、9的页码数；

(19*9+100)*9+1000，代表1-9999里含l、2、3、4、5、6、7、8、9的页码数；[(19*9+100)*9+1000]*9+10000，代表l-99999里含l、2、3、4、5、6、7、8、9的页码数。

2位数是19页，然后每多一位数就乘以9，再加上10的N次方，N=位数减1。8.一本300页的书中含“l”的有多少页？19*2+100=138页

9．将所有自然数，从1开始一次写下去得到：***13„„，试确定第206786个位置上出现的数字？解析：

方法一：9999*4<10000*4=40000<206786<99999*5,那么肯定是5位数了。

l,2,3,„9记位00001,00002,00003,..00009这样增加了4*9=36个010,11,12,„99记为00010,00011,00012，..00099增加了270个0100,101，„999记为00100,00101，„00999增加了1800个O1000,1001，„,9999记为01000,01010，„09999增加了9000个O(206786+36+270+1800+9000)/5=217892/5=43578余2,说明206788位置上的数就是第43579的第2个数字3方法二

设有A页，那么：A+(A-9)+（A-99）+（A-999）+（A-9999)=2067885A-(9+99+999+9999)=206786A=43578余数是2说明206786位置上的数就是第43579的第2个数字3

10、一本小说的页码，在印刷时必须用_个铅字，在这一本书的页码中数字1出现多少次？

解析：共有_/3+36=699页。

即出现：(700/10)*(3-1)+100=240次

11.印刷一本书用了1992个数字，在这本书中出现数字2的页码有多少页？

解析：有1992/3+36=664+36=700页，含有数字2的页码：6*19+100=214选A

对页码的使用总结第2篇一．页码问题

对多少页出现多少1或2的公式

如果是X千里找几，公式是1000+X00*3如果是X百里找几，就是100+X0*2，X有多少个0就*多少。依次类推！请注意，要找的数一定要小于X，如果大于X就不要加1000或者100一类的了，比如，7000页中有多少3就是1000+700*3=3100（个）

20000页中有多少6就是2000*4=8000（个）

友情提示，如3000页中有多少3，就是300*3+1=901，请不要把3000的3忘了

二．页码问题

(一)某数出现多少次问题

99中，某数（不含0）出现20次。999中，某数（不含0）出现20*9+120次。

(二)含某数的页数有多少问题（就是出现次数减去重复次数）99中，含某数（不含0）19页。999中，含某数（不含0）19*9+100页。

9999中，含某数（不含0）(19*9+100)*9+1000页。(三)A页的书需要多少字符数问题A+A-9+A-99=B(字符数)。

(四)页码数加减是否有误（等差求和公式的运用）等差求和公式是：Sn=（a1+an）×n/2，对于书本来说，页码是从第一页始，因此SN=（1+n）×n/2≈n^2/2

【解析】例题：一本故事书共121页，在这本书的页码中数字“1”出现多少次？？

选D。0-99中20个，100-121中22+11+2=35个，20+35=55。

例题：老李有一本很旧的书，已知这本书最后一页页码的第一个数字是3，其它的页码数都已模糊不清。这本书出现数字3的次数有180次。求这本书由多少个铅字组成（1代表1个铅字，11，代表2个铅字）【解析】选B。20+20+20+120，推出399页，399x3-9-99=1089。

例题：编一本书的书页，用了270个数字（重复的也算，如页码115用了2个1和1个5，共3个数字），问这本书一共有多少页？

【解析】选B。首先肯定是三位数，A+A-9+A-99=270，3A=378，A=126（页）。例题：甲乙两册书的页码共777个数码，其中甲比乙书多7页，问甲书有多少页？【解析】选D。1-9﹏9，10-99﹏180，甲乙都在百页。多7页就多21个数码，可列X+Y=777,X-Y=21；解得，X=399。3A-9-99=399，A=169（页）

例题：一本书的页码是连续的自然数，1，2，3，…，当将这些页码加起来的时候，某个页码被加了两次，得到不正确结果1997，则这个被加了两次的页码是()【解析】选D。N*(N+1)/2<=1997，N最大是62时，即1953。则被多加的页码是1997-1953=44。估算运用：n*(n+1)/2<1997，n*（n+1)<3994，n^2<3994，n^2<4000。

例题：有一本书的中间被撕掉了一张，余下的各页的页码数之和正好是1000，则被撕掉的那一张页码是（）和18和19和20和22【解析】选D。共45张，等差求和（1+45）*45/2=23*45=1035，1035-1000=35。

例题：如果把1到999些自然数按照从小到大的顺序排成一排，这样就组成了一个多位数：***——996997998999.那么在这个多位数里，从左到右第2000个数字是多少？？

【解析】1-9有9个数，10-99有180个数，求第2000个数字，减去前面的2000-189=1811。而100-999每个数值是3位数。那么1811/3可算出是第几个数值（不是数字）1811/3=603……2，因起步为100，100+603...2=703....2。

二，握手问题

N个人彼此握手，则总握手数

S＝（n-1）{a1+a(n-1)}/2=（n-1）{1+1+(n-2)}/2=『n^2-n』/2=N×（N-1）/2例题：

某个班的同学体育课上玩游戏，大家围成一个圈，每个人都不能跟相邻的2个人握手，整个游戏一共握手152次，请问这个班的同学有（）人

A、16B、17C、18D、19

【解析】此题看上去是一个排列组合题，但是却是使用的多边形对角线的原理在解决此题。按照排列组合假设总数为X人则Cx取3＝152但是在计算X时却是相当的麻烦。我们仔细来分析该题目。以某个人为研究对象。则这个人需要握x－3次手。每个人都是这样。则总共握了x×（x-3）次手。但是没2个人之间的握手都重复计算了1次。则实际的握手次数是x×（x-3）÷2＝152计算的x＝19人

三，钟表重合公式

钟表几分重合，公式为：x/5=(x+a)/60a时钟前面的格数

四，时钟成角度的问题

设X时时，夹角为30X，Y分时，分针追时针，设夹角为A.（请大家掌握）

钟面分12大格60小格每一大格为360除以12等于30度，每过一分钟分针走6度，时针走度，能追度。

1.【30X－】或是360－【】【】表示绝对值的意义（求角度公式）

变式与应用

2.【30X－】=A或360－【】=A（已知角度或时针或分针求其中一个角）

五，往返平均速度公式及其应用（引用）

某人以速度a从A地到达B地后，立即以速度b返回A地，那么他往返的平均速度v=2ab/(a+b)。

证明：设A、B两地相距S，则

往返总路程2S，往返总共花费时间s/a+s/b故v=2s/(s/a+s/b)=2ab/(a+b)六，空心方阵的总数

空心方阵的总数＝（最外层边人(物)数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4＝最外层的每一边的人数^２－（最外层每边人数－2*层数）^２

＝每层的边数相加×4－4×层数

空心方阵最外层每边人数=总人数/4/层数+层数

方阵的基本特点：①方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同．每向里一层边上的人数就少2；

②每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系：

③中实方阵总人（或物）数=(每边人（或物）数)2=（最外层总人数÷4+1）2例：①某部队排成一方阵，最外层人数是80人，问方阵共有多少官兵？（441人）

②某校学生刚好排成一个方队，最外层每边的人数是24人，问该方阵有多少名学生？（576名）解题方法：方阵人数＝（外层人数÷4+1）2＝（每边人数）2

③参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。问参加团体操表演的运动员有多少人？（289人）

解题方法：去掉的总人数＝原每行人数×2－1＝减少后每行人数×2+1

典型例题：某个军队举行列队表演，已知这个长方形的队阵最外围有32人，若以长和宽作为边长排出2个正方形的方阵需要180人。则原来长方形的队阵总人数是（）

A、64，B、72C、96D、100

【解析】这个题目经过改编融合了代数知识中的平方和知识点。长方形的（长＋宽）×2＝32＋4得到长＋宽＝18。可能这里面大家对于长＋宽＝18有些难以计算。你可以假设去掉4个点的人先不算。长＋宽（不含两端的人）×2＋4（4个端点的人）＝32，则计算出不含端点的长＋宽＝14考虑到各自的2端点所以实际的长宽之和是14＋2＋2＝18。求长方形的人数，实际上是求长×宽。根据条件长×长＋宽×宽＝180综合（长＋宽）的平方＝长×长＋宽×宽＋2×长×宽＝18×18带入计算即得到B。其实

在我们得到长宽之和为18时，我们就可以通过估算的方法得到选项B七，青蛙跳井问题

例如：①青蛙从井底向上爬，井深10米，青蛙每跳上5米，又滑下4米，这样青蛙需跳几次方可出井？（6）

②单杠上挂着一条4米长的爬绳，小赵每次向上爬1米又滑下半米来，问小赵几次才能爬上单杠？（7）

总解题方法：完成任务的次数＝井深或绳长-每次滑下米数（遇到半米要将前面的单位转化成半米）

例如第二题中，每次下滑半米，要将前面的4米转换成8个半米再计算。

完成任务的次数＝（总长-单长）/实际单长+1八，容斥原理

总公式：满足条件一的个数＋满足条件2的个数－两个都满足的个数＝总个数－两个都不满足的个数

【国2006一类-42】现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则两种实验都做对的有多少人？人人人人

上题就是数学运算试题当中经常会出现的“两集合问题”，这类问题一般比较简单，使用容斥原理或者简单画图便可解决。但使用容斥原理对思维要求比较高，而画图浪费时间比较多。鉴于此类问题一般都按照类似的模式来出，下面华图名师李委明给出一个通解公式，希望对大家解题能有帮助：

例如上题，代入公式就应该是：40+31-x=50-4，得到x=25。我们再看看其它题目：【国2004A-46】某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是多少？代入公式：26+24-x=32-4，得到x=22九，传球问题

这道传球问题是一道非常复杂麻烦的排列组合问题。

【李委明解三】不免投机取巧，但最有效果（根据对称性很容易判断结果应该是3的倍数，如果答案只有一个3的倍数，便能快速得到答案），也给了一个启发----传球问题核心公式

N个人传M次球，记X=[（N-1）^M]/N，则与X最接近的整数为传给“非自己的某人”的方法数，与X第二接近的整数便是传给自己的方法数。大家牢记一条公式，可以解决此类至少三人传球的所有问题。

四人进行篮球传接球练习，要求每人接球后再传给别人。开始由甲发球，并作为第一次传球，若第五次传球后，球又回到甲手中，则共有传球方式：

种种种种

x=(4-1)^5/4x=60十，圆分平面公式：

N^2-N+2,N是圆的个数

十一，剪刀剪绳

对折N次，剪M刀，可成M*2^n+1段

将一根绳子连续对折3次,然后每隔一定长度剪一刀，共剪6刀。问这样操作后,原来的绳子被剪成了几段?A．18段B．49段C．42段D．52段

十二，四个连续自然数，性质一，为两个积数和两个偶数，它们的和可以被2整除，但是不能被4整除

性质二，他们的积+1是一个奇数的完全平方数

十三，骨牌公式

公式是：小于等于总数的2的N次方的最大值就是最后剩下的序号

十四，指针重合公式

关于钟表指针重合的问题，有一个固定的公式：61T=S（S为题目中最小的单位在题目所要求的时间内所走的格书，确定S后算出T的最大值知道相遇多少次。）

十五，图色公式

公式：（大正方形的边长的3次方）—（大正方形的边长—2）的3次方。

十六，装错信封问题

小明给住在五个国家的五位朋友分别写信，这些信都装错的情况共有多少种44种

f（n）=n！（1-1/1！+1/2！-1/3!......+（-1）n（1/n！））

或者可以用下面的公式解答

装错1信0种

装错2信：1种249544

递推公式是S(n)=(n-1)+(-1)^n~~~~~如果是6封信装错的话就是265~~~~十七，伯努利概率模型

某人一次涉及击中靶的概率是3/5，设计三次，至少两次中靶的概率是

集中概率3/5，则没集中概率2/5，即为两次集中的概率+三次集中的概率

公式为C(2,3)*[(3/5)^2]*[(2/5)^1]+C(3,3)[(3/5)^3]*[(2/5)^0]81/125

十八，圆相交的交点问题

N个圆相交最多可以有多少个交点的问题分析N*(N-1)十九，约数个数问题

M=A^X*B^Y则M的约数个数是

（X+1）（Y+1）

360这个数的约数有多少个？这些约数的和是多少？

解〕360=2×2×2×3×3×5，所以360的任何一个约数都等于至多三个2（可以是零个，下同），至多两个3和至多一个5的积。如果我们把下面的式子

（1＋2＋4＋8）×（1＋3＋9）×（1＋5）

展开成一个和式，和式中的每一个加数都是在每个括号里各取一个数相乘的积。由前面的分析不难看出，360的每一个约数都恰好是这个展开式中的一个加数。由于第一个括号里有4个数，第二个括号里有3个数，第三个括号里有2个数，所以这个展开式中的加数个数为4×3×2=24，而这也就是360的约数的个数。另一方面，360的所有约数的和就等于这个展开式的和，因而也就等于

（1＋2＋4＋8）×（1＋3＋9）×（1＋5）

=15×13×6=1，170

答：360的约数有24个，这些约数的和是1，170。

甲数有9个约数，乙数有10个约数，甲、乙两数最小公倍数是2800，那么甲数和乙数分别是多少？

解：一个整数被它的约数除后，所得的商也是它的约数，这样的两个约数可以配成一对.只有配成对的两个约数相同时，也就是这个数是完全平方数时，它的约数的个数才会是奇数.因此，甲数是一个完全平方数.2800＝24×52×7.在它含有的约数中是完全平方数，只有

1，22，24，52，22×52，24×52.在这6个数中只有22×52＝100，它的约数是（2＋1）×（2+1）＝9（个）.2800是甲、乙两数的最小公倍数，上面已算出甲数是100＝22×52，因此乙数至少要含有24和7，而24×7＝112恰好有（4+1）×（1＋1）＝10（个）约数，从而乙数就是112.综合起来，甲数是100，乙数是112.二十，吃糖的方法

当有n块糖时，有2^(n-1)种吃法。

二十一，隔两个划数

1987=3^6+12581258÷2×3+1=1888即剩下的是1888

减去1能被3整除

二十二，边长求三角形的个数

三边均为整数，且最长边为11的三角形有多少个？

[asdfqwer]的最后解答：

11,11,11;11,11,10;11,11,9;...11,11,1;11,10,10;11,10,9;...11,10,2;11,9,9;...11,9,3;11,8,8;...11,8,4;11,7,7,...11,7,5;11,6,6;

1+3+5+7+9+11=6^2=36如果将11改为n的话，n=2k-1时，为k^2个三角形；

n=2k时，为(k+1)k个三角形。

二十三，2乘以多少个奇数的问题

如果N是1，2，3，…，1998，1999，2000的最小公倍数，那么N等于多少个2与1个奇数的积？

解：因2^10=1024，2^11=2048＞2000，每个不大于2000的自然数表示为质因数相乘，其中2的个数不多于10个，而1024=2^10，所以，N等于10个2与某个奇数的积。

二十四，直线分圆的图形数

设直线的条数为N则总数=1+{N（1+N）}/2

将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于50个小纸片，至少要画多少条直线？请说明．

〔解〕我们来一条一条地画直线。画第一条直线将圆形纸片划分成2块．画第二条直线，如果与第一条直线在圆内相交，则将圆形纸片划分成4块（增加了2块），否则只能划分成3块．类似地，画第三条直线，如果与前两条直线都在圆内相交，且交点互不相同（即没有3条直线交于一点），则将圆形纸片划分成7块（增加了3块），否则划分的块数少于7块．下图是画3条直线的各种情形

由此可见，若希望将纸片划分成尽可能多的块数，应该使新画出的直线与原有的直线都在圆内相交，且交点互不相同．这时增加的块数等于直线的条数。（为什么？）这样划分出的块数，我们列个表来观察：

直线条数纸片最多划分成的块数1＋1

1＋1＋2

1+1+2+3

1+1＋2+3+451＋1＋2+3+4+5

不难看出，表中每行右边的数等于1加上从1到行数的所有整数的和。（为什么？）我们把问题化为：自第几行起右边的数不小于50？我们知道

1+1+2+3＋…＋10＝56，1+1＋2＋3＋…＋9=46，可见

9行右边还不到50，而第10行右边已经超过50了。答：至少要画10条直线。

二十五，公交车超骑车人和行人的问题

一条街上，一个骑车人和一个步行人相向而行，骑车人的速度是步行人的3倍，每个隔10分钟有一辆公交车超过一个行人。每个隔20分钟有一辆公交车超过一个骑车人，如果公交车从始发站每隔相同的时间发一辆车，那么间隔几分钟发一辆公交车？

此类题通解公式：

a=超行人时间，b=超自行车时间，m=人速，n=自行车速

则每隔t分钟发车；t=（abn-abm）/(bn-am)，令M=1N=3，解得T=8。

二十六，公交车前后超行人问题

小明放学后,沿某公交路线以不变速度步行回家,该路公共汽车也以不变速度不停的运行,每隔9分钟就有一辆公共汽车从后面超过他,每隔7分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车,问该路公共汽车每隔多少分钟发一辆车?

此类题有个通解公式：如果a分钟追上，b分钟相遇，则是2ab/（a+b）分钟发一次车

二十七，象棋比赛人数问题

象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局胜者记2分，负者记0分，和棋各记1分，四位观众统计了比赛中全部选手得分总数分别是:1979，1980，1984，1985，经核实只有一位观众统计正确，则这次比赛的选手共有多少名?

解析：44*43=1892，45*44=1980，46*45=2070所以选B二十八，频率和单次频度都不同问题

猎犬发现在离它9米远的前方有一只奔跑着的兔子，立刻追赶，猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔要跑9步，但兔子动作快，猎犬跑2步的时间，兔子跑3步。猎犬至少跑多少米才能追上兔子？（）

答案b

分析：猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔要跑9步，但兔子动作快，猎犬跑2步的时间，兔子跑3步.可知猎犬和兔子的速度比是6:5，s/(s-9)=6/5，s=54二十九，上楼梯问题

一般来说上电梯有a1=1a2=2a3=4a4=a1+a2+a3所以一般公式是an=a(n-1)+a(n-2)+a(n-3)三十，牛吃草公式

核心公式:草场草量=(牛数-每天长草量)*天数

例如:10牛可吃20天,15牛可吃10天,则25牛可吃多少天?解:可用公式,设每天恰可供X头牛吃一天,25牛可吃N天

则(10-X)*20=(15-X)*10=(25-X)*N，可得X=5,Y=5三十一，十字相乘法

十字相乘法使用时要注意几点：

第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。

第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。

第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。

（2007年国考）某班男生比女生人数多80%，一次考试后，全班平均成级为75分，而女生的平均分比男生的平均分高20%，则此班女生的平均分是：

A．84分分分分答案：A

分析：假设女生的平均成绩为X，男生的平均Y。男生与女生的比例是9：5。

男生：Y975女生：X5

根据十字相乘法原理可以知道

X=84

6.（2007年国考）．某高校2006毕业学生7650名，比上增长2%.其中本科毕业生比上减少2%.而研究生毕业数量比上增加10%,那么，这所高校今年毕业的本科生有：

A．3920人B．4410人C．4900人D．5490人

答案：C

分析：去年毕业生一共7500人。7650/（1+2%）=7500人。

本科生：-2%8%2%

研究生：10%4%

本科生：研究生=8%：4%=2：1。

7500*（2/3）=50005000*

此方法考试的时候一定要灵活运用

三十二，兔子问题

An=A(n-1)An(n-2)

已知一对幼兔能在一月内长成一对成年兔子，一对成年兔子能在一月内生出一对幼兔。如果现在给你一对幼兔，问一年后共有多少对兔子？

析：1月:1对幼兔

2月:1对成兔

3月;1对成兔.1对幼兔

4;2对成兔.1对幼兔

5;;3对成兔.2对幼兔

6;5对成兔.3对幼兔.......可看出规律:1,1,2,3,5,8(第三数是前两数之和),可求出第12项

为:13,21,34,55,89,144，答:有144只兔

三十三，称重量砝码最少的问题

例题：要用天平称出1克、2克、3克……40克这些不同的整数克重量，至少要用多少个砝码？这些砝码的重量分别是多少？

分析与解：一般天平两边都可放砝码，我们从最简单的情形开始研究。

（1）称重1克，只能用一个1克的砝码，故1克的一个砝码是必须的。

（2）称重2克，有3种方案：

①增加一个1克的砝码；

②用一个2克的砝码；

③用一个3克的砝码，称重时，把一个1克的砝码放在称重盘内，把3克的砝码放在砝码盘内。从数学角度看，就是利用3-1=2。

（3）称重3克，用上面的②③两个方案，不用再增加砝码，因此方案①淘汰。

（4）称重4克，用上面的方案③，不用再增加砝码，因此方案②也被淘汰。总之，用1克、3克两个砝码就可以称出（3+1）克以内的任意整数克重。

（5）接着思索可以进行一次飞跃，称重5克时可以利用

9-（3+1）=5，即用一个9克重的砝码放在砝码盘内，1克、3克两个砝码放在称重盘内。这样，可以依次称到1+3+9=13（克）以内的任意整数克重。

而要称14克时，按上述规律增加一个砝码，其重为

14+13=27（克），可以称到1+3+9+27=40（克）以内的任意整数克重。

总之，砝码重量为1，3，32，33克时，所用砝码最少，称重最大，这也是本题的答案。

三十三，文示图

红圈：球赛。蓝圈：电影绿圈：戏剧。

X表示只喜欢球赛的人；Y表示只喜欢电影的人；Z表示只喜欢戏剧的人

a表示喜欢球赛和电影的人。仅此2项。不喜欢戏剧

b表示喜欢电影和戏剧的人。仅此2项。不喜欢球赛

c表示喜欢球赛和戏剧的人。仅此2项不喜欢电影。

中间的阴影部分则表示三者都喜欢的。我们用T表示。

回顾上面的7个部分。X，y，z，a，b，c，T都是相互独立。互不重复的部分

现在开始对这些部分规类。

X＋y＋z＝是只喜欢一项的人我们叫做Aa+b+c＝是只喜欢2项的人我们叫做BT就是我们所说的三项都喜欢的人

x＋a＋c＋T＝是喜欢球赛的人数构成一个红圈

y＋a＋b＋T＝是喜欢电影的人数构成一个蓝圈

z＋b＋c＋T＝是喜欢戏剧的人数构成一个绿圈

三个公式。

（1）A＋B＋T＝总人数

（2）A＋2B＋3T＝至少喜欢1个的人数和

（3）B＋3T＝至少喜欢2个的人数和

例题：学校教导处对100名同学进行调查，结果有58人喜欢看球赛，有38人喜欢看戏剧，有52人喜欢看电影。另外还知道，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧（但不喜欢看电影）的有6人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧（但不喜欢看球赛）的有4人，三种都喜欢的有12人。

通过这个题目我们看因为每个人都至少喜欢三项中的一项。则我们用三个圈红，绿，蓝代表球赛。戏剧、和电影。

A＋B＋T＝100A＋2B＋3T＝148T＝12则可以直接计算只喜欢一项的和只喜欢两项的A=64B=24

典型例题：甲,乙,丙三个人共解出20道数学题,每人都解出了其中的12道题,每道题都有人解出.只有一人解出的题叫做难题,只有两人解出的题叫做中等题,三人解出的题叫做容易题,难题比容易题多（）题?A、6B、5C、4D、3

【解析】第三题需要结合文氏图来理解了，画图会很清楚的我们设a表示简单题目，b表示中档题目c表示难题

a＋b＋c＝20

c＋2b＋3a＝12×3这个式子式文氏图中必须要记住和理解的将a＋b＋c＝20变成2a＋2b＋2c＝40减去上面的第2个式子

得到：c－a＝4答案出来了

可能很多人都说这个方法太耗时了，的确。在开始使用这样方法的时候费时不少。当当完全了解熟练运用a＋2b＋3c这个公式时，你会发现再难的题目也不会超过1分钟。

三十四，九宫图问题

此公式只限于奇数行列

步骤1：按照斜线的顺序把数字按照从小到大的顺序，依次斜线填写！

步骤2：然后将3×3格以外格子的数字折翻过来，最左边的放到最右边，最右边的放到最左边

最上边的放到最下边，最下边的放到最上边

这样你再看中间3×3格子的数字是否已经满足题目的要求了呵呵！

三十五，用比例法解行程问题

行程问题一直是国家考试中比较重要的一环，其应用之广恐无及其右者。行程问题的计算量按照基础做法不得不说非常大。所以掌握简单的方法尤为重要。当然简单的方法需要对题目的基础知识的全面了掌握和理解。

在细说之前我们先来了解如下几个关系：

路程为S。速度为V时间为TS＝VTV＝S/TT＝S/V

S相同的情况下：V跟T成反比

V相同的情况下：S跟T成正比

T相同的情况下：S跟V成正比

注：比例点数差也是实际差值对应的比例！理解基本概念后，具体题目来分析

一、甲乙2人分别从相距200千米的AB两地开车同时往对方的方向行驶。到达对方始发点后返回行驶，按照这样的情况，2人第4次相遇时甲比乙多行了280千米已知甲的速度为60千米每小时。则乙的速度为多少？

分析：这个题目算是一个相遇问题的入门级的题目。我们先从基础的方法入手，要多给自己提问求乙的速度即要知道乙的行驶路程S乙，乙所花的时间T乙。这2个变量都没有告诉我们，需要我们去根据条件来求出：

乙的行驶路程非常简单可以求出来。因为甲乙共经过4次相遇。希望大家不要嫌我罗嗦。我希望能够更透彻的把这类型的题目通过图形更清晰的展现给大家。

第一次相遇情况

A（甲）．。。。。。。。。。。（甲）C（乙）。。。。。。。。。。。B（乙）

AC即为第一次相遇甲行驶的路程。BC即为乙行驶的路程

则看出AC＋BC＝AB两者行驶路程之和＝S第2次相遇的情况

A．。。。。。。。。。。（乙）D（甲）。。。C。。。。。。。。。。。。。B

在这个图形中，我们从第一次相遇到第2次相遇来看甲从C点开始行驶的路线是C－B－D，其路程是BC＋BD乙行驶的路线则是C－A－D其行驶的路程是AC＋AD

可以看出第2次相遇两者的行驶路程之和是BC＋BD＋AC＋AD＝（BC＋AC）＋（BD＋AD）＝2S，同理第3，4次相遇都是这样。

则我们发现整个过程中，除第一次相遇是一个S外。其余3次相遇都是2S。总路程是2×3S＋S＝7S根据题目，我们得到了行驶路程之和为7×200＝1400

因为甲比乙多行驶了280千米则可以得到乙是（1400－280）÷2＝560则甲是560＋280＝840

好，现在就剩下乙的行驶时间的问题了。因为两个人的行驶时间相同则通过计算甲的时间得到乙的时间即840÷60＝14小时。

所以T乙＝14小时。那么我就可以求出乙的速度V乙＝S乙÷T乙＝560÷14＝40说道这里我需要强调的是，在行程问题中，可以通过比例来迅速解答题目。

比例求解法：

我们假设乙的速度是V则根据时间相同，路程比等于速度比，S甲：S乙＝V甲：V乙衍生出如下比例：（S甲＋S乙）：（S甲－S乙）＝（V甲＋V乙）：（V甲－V乙）

得出1400：280＝（60＋V）：（60－V）解得V＝40

二、甲车以每小时160千米的速度，乙车以每小时20千米的速度，在长为210千米的环形公路上同时、同地、同向出发。每当甲车追上乙车一次，甲车减速1/3，而乙车则增速1/3。问：在两车的速度刚好相等的时刻，它们共行驶了多少千米？

【解析】我们先来看需要多少次相遇才能速度相等

160×（2/3）的N次方＝20×（4/3）的N次方N代表了次数解得N＝3说明第三次相遇即达到速度相等

第一次相遇前：开始时速度是160：20＝8：1用时都一样，则路程之比＝速度之比

我们设乙行驶了a千米则（a＋210）：a＝8：1解得a＝30

第二次相遇前：速度比是甲：乙＝4：1用时都一样，则路程之比＝速度之比

我们设乙从第1次相遇到第2次相遇行驶了b千米则（b＋210）：b＝4：1解得a＝70第三次相遇前：速度比是甲：乙＝2：1用时都一样，则路程之比＝速度之比

我们设乙从第2次相遇到第3次相遇行驶了c千米则（c＋210）：c＝2：1解得c＝210则三次乙行驶了210＋70＋30＝310千米

而甲比乙多出3圈则甲是210×3＋310＝940则两人总和是940＋310＝1250

例三、一辆汽车以每小时40千米的速度从甲城开往乙城，返回时它用原速度走了全程的4分之3多5米，再改用每小时30千米的速度走完余下的路程，因此，返回甲城的时间比前往乙城的时间多用了10分钟，甲、乙两城相距多远？

【解析】我们知道多出来的10分钟即1/6小时是在最后1/4差5千米的路程里产生的，则根据路程相同

速度比等于时间比的反比

即T30：T40＝40：30＝4：3

所以30千米行驶的最后部分是用了1/6×（4－3）×4＝2/3小时

即路程是30×2/3=20千米

总路程是(20＋5)÷1/4=100

四、甲乙两人各坐一游艇在湖中划行,甲摇浆10次时乙摇浆8次,而乙摇浆70次,所走的路程等于甲摇浆90次所走的路程,现甲先摇浆4次,则乙摇浆多少次才能追上?

【解析】甲摇浆10次时乙摇浆8次知道甲乙速度之比=5：4

而乙摇浆70次,所走的路程等于甲摇浆90次所走的路程则可以得到每浆得距离之比是甲：乙＝7：9

所以，我们来看相同时间内甲乙得距离之比，5×7：4×9＝35：36说明，乙比甲多出1个比例单位

现在甲先划桨4次，每浆距离是7个单位，乙每浆就是9个单位，所以甲领先乙是4×7＝28个单位，事实上乙每4浆才能追上36-35＝1个单位，说明28个单位需要28×4＝112浆次追上！选C

五、甲乙两个工程队共100人,如果抽调甲队人的1/4至乙队,则乙队比甲队多了2/9,问甲队原来多少人?

这个题目其实也很简单，下面我说一个简单方法

【解析】根据条件乙队比甲队多了2/9我们假设甲队是单位1，则乙队就是1＋2/9＝11/9，100人的总数不变

可见甲乙总数是1＋11/9=20/9（分母不看）

则100人被分成20分即甲是100÷20×9＝45乙是55

因为从甲队掉走1/4则剩下的是3/4算出原来甲队是45÷3/4＝60三十六，计算错对题的独特技巧

例题：某次考试有30道判断题，每做对一道题得4分，不做的不得分，做错一道题倒扣2分小明得分是96分，并且小明有题目没做，则小明答对了几道试题（）

A28B27C26D25正确答案是D25题

我们把一个答错的和一个不答的题目看成一组，则一组题目被扣分是6＋4＝10解释一下6跟4的来源

6是做错了不但得不到4分还被扣除2分这样里外就差4＋2＝6分

4是不答题只被扣4分，不倒扣分。

这两种扣分的情况看着一组

目前被扣了30×4－96＝24分

则说明24÷10＝2组余数是4

余数是4表明2组还多出1个没有答的题目

则表明不答的题目是2＋1＝3题，答错的是2题

三十七，票价与票值的区别

票价是P（2，M）是排列票值是C（2，M）

三十八，两数之间个位和十位相同的个数

1217到2792之间有多少个位数和十位数相同的数？

从第一个满足条件的数开始每个满足条件的数之间都是相差11方法一：

看整数部分1217～2792

先看1220～2790相差1570则有这样规律的数是1570÷10＝157个

由于这样的关系我总结了一个方法给大家提供一个全新的思路

方法二：

我们先求两数差值2792－1217＝15751575中有多少11呢1575÷11＝143余数是2大家不要以为到这里就结束了其实还没有结束

我们还得对结果再次除以11直到所得的商小于11为止

商+余数再除以11

（143＋2）÷11＝13余数是2

（13＋2）÷11＝1因为商已经小于11，所以余数不管

则我们就可以得到个数应该是143＋13＋1＝157

不过这样的方法不是绝对精确的，考虑到起始数字和末尾数字的关系。误差应该会在1之间！不过对于考公务员来说误差为1已经可以找到答案了！

三十九，搁两人握手问题

某个班的同学体育课上玩游戏，大家围成一个圈，每个人都不能跟相邻的2个人握手，整个游戏一共握手152次，请问这个班的同学有（）人

A、16B、17C、18D、19

【解析】此题看上去是一个排列组合题，但是却是使用的对角线的原理在解决此题。按照排列组合假设总数为X人则Cx取3＝152但是在计算X时却是相当的麻烦。我们仔细来分析该题目。以某个人为研究对象。则这个人需要握x－3次手。每个人都是这样。则总共握了x×（x-3）次手。但是没2个人之间的握手都重复计算了1次。则实际握手次数是x×（x-3）÷2＝152计算的x＝19人

四十，溶液交换浓度相等问题

设两个溶液的浓度分别为A％，B％并且A＞B设需要交换溶液为X则有：（B－X）：X＝X：（A－X）

A：B=（A-X）：X

典型例题：两瓶浓度不同得盐水混合液。60％的溶液是40克，40％的溶液是60克。要使得两个瓶子的溶液浓度相同，则需要相互交换（）克的溶液？

A、36B、32C、28D、24

【解析】答案选D我们从两个角度分析一下，假设需要交换的溶液为a克。则我们来一个一个研究，先看60％的溶液相对于交换过来的a克40％的溶液可以采用十字交叉法来得出一个等式即（再设混和后的标准浓度是p）

40－a：a＝（P－40％）：（60％－P）

同理我们对40％的溶液进行研究采用上述方法也能得到一个等式：

60－a：a＝（60％－P）：（P－40％）

一目了然，两者实际上是反比，即40－a：a＝a：60－a解得a＝24即选D

如果你对十字交叉法的原理理解的话那么这个题目中间的过程完全可以省去。所以说任何捷径都是建立在你对基础知识的把握上。

解法二：干脆把2个溶液倒在一起混和，然后再分开装到2个瓶子里这样浓度也是相等的。我们根据十字交叉法，60跟40的溶液混合比例其实跟交换的x克60％溶液与剩下60－x克40％的溶液比例成反比，则60：40＝60－x：x解X＝24克

四十一，木桶原理

一项工作由编号为1～6的工作组来单独完成，各自完成所需的时间是：5天，7天，8天，9天，天，18天。现在将这项工作平均分配给这些工作组来共同完成。则需要（）天？

A、B、3C、D、6

【解析】这个题目就是我们常说的“木桶效应”类型的题目。“木桶效应”概念来自于经济学中的称呼。意思是一个木桶是由若干个木板拼凑起来的。其存水量取决于最短的那块木板。这个题目我们看该项工作平均分配给了每个小组，则每个小组完成1/6的工作量。他们的效率不同整体的时间是取决于最慢的那个人。当最慢的那个人做完了，其它小组早就完成了。18天的那个小组是最慢的。所以完成1/6需要3小时，选B

例题：一项工作，甲单独做需要14天，乙单独做需要18天，丙丁合做需要8天。则4人合作需要（）天？

A、4B、5C、6D、7

【解析】题目还是“木桶效应”的隐藏运用。我们知道甲乙的各自效率。但是丙丁不知道，根据合做的情况并且最后问的也是合作的情况。我们不妨将其平均化处理。也就是说两个人的平均效率是16天。那么这里效率最差的是18天。大家都是18天则4人合作需要18÷4＝天。可见最差也不会超过天，看选项只有A满足

四十二，坏钟表行走时间判定问题

一个钟表出现了故障，分针比标准时间每分钟快6秒，时针却是正常的。上午某一时刻将钟表调整至标准时间。经过一段时间发现钟表的时刻为晚上9：00请问钟表在何时被调整为标准时间？

A、10：30B、11：00C、12：00D、1：30

【解析】此题也是比较简单的题目。我们看因为每分钟快6秒则1个小时快60×6＝360秒即6分钟。当9：00的时候说明分针指在12点上。看选项。其时针正常，那么相差的小时数是正常的，A选项差个小时即分针快了×6＝63分钟。则分针应该在33分上。错误！同理看B选项相差10个小时即10×6＝60分钟，刚好一圈，即原在12上，现在还在12上选B，其它雷同分析。

四十三，双线头法则问题

设做题的数量为S做对一道得X分做错一道扣Y分不答不得分

竞赛的成绩可能值为N令T=（X+Y）/Y

则N={[1+（1+S）]*（1+S）}/2-{[1+（S-T+1）]*（S-T+1）}/2

某次数学竞赛共有10道选择题，评分办法是每一题答对得4分，答错一道扣2分，不答不得分，设这次竞赛最多有N种可能的成绩，则N应等于多少？

A、28B、30C、32D、36

【解析】该题是双线段法则问题【（1＋11）×11÷2】－【（1＋8）×8÷2】＝30

所谓线段法则就是说，一个线段上连两端的端点算在内共计N个点。问这个线段一共可以行成多少线段。计算方法就是（N－1）×N÷2，我看这个题目。我们按照错误题目罗列大家就会很清楚了

答对题目数可能得分40936，34832，30，28728，26，24，22624，22，20，18，16520，18，16，14，12，10416，14，12，10，8，6，4312，10，8，6，4，2，0，－228，6，4，2，0，－2，－4，－6，－84，2，0，－2，－4，－6，－8，－10，－12，－14，00，－2，－4，－6，－8，－10，－12，－14，－16，－18，－20

这样大家就不难发现可能得分的情况随着答对题目数量的减少，或者说答错题目的增多。呈现等差数列的关系，也就是线段法则的规律。然后从第7开始出现了重复数字的产生。也是随着题目的答错数量的增加而等差增加。这是隐藏的线段法则。所以称之为双线段法则应用。

回归倒我一看的题目大家可能要问，后面【】里面的8从什么地方来的？这就是确定重复位置在哪里的问题。（得分分值＋扣分分值）÷扣分分值＝3即当错3题时开始出现重复数字。也就是隐形线段法则的起始端。10－3＝7就是说从0～8之间有多少个间隔就有多少个重复组合。

四十四，两人同向一人逆相遇问题

典型例题：在一条长12米的电线上,红,蓝甲虫在8:20从左端分别以每分钟13厘米和11厘米的速度向右端爬行去,黄虫以每分钟15厘米的速度从右端向左爬去,红虫在什么时刻恰好在蓝虫和黄虫的中间?A8:55B9:00C9:05D9:10

公式总结；设同向的速度分别为AB逆向的为C时间为T则T=A+[（A-B）/2+C]*T=S四十五，往返行程问题的整体求解法

首先两运动物体除第一次相遇行S外，每次相遇都行使了2S。

我们可以假设停留的时间没有停留，把他计入两者的总路程中

化静为动巧求答

例题：1快慢两车同时从甲乙两站相对开出，6小时相遇，这时快车离乙站还有240千米，已知慢车从乙站到甲站需行15小时，两车到站后，快车停留半小时，慢车停留1小时返回，从第一次相遇到返回途中再相遇，经过多少小时？

解法：根据往返相遇问题的特征可知，从第一次相遇到返回途中再相遇，两车共行的路程为甲乙两站距离的2倍，假设快车不在乙站停留小时，慢车不在甲站停留1小时，则两车从第一次相遇到第二次相遇所行总路程为600×2+60××1=1270（千米），故此期间所经时间为1270÷（60+40）=（小时）甲乙两人同时从东镇出发，到相距90千米的西镇办事，甲骑自行车每小时行30千米，乙步行每小时行10千米，甲到西镇用1小时办完事情沿原路返回，途中与乙相遇。问这时乙走了多少千米？

解法：根据题意可知甲从东镇到西镇，返回时与乙相遇（乙未到西镇，无返回现象），故两人所行路程总和为（90×2=）180（千米），但因甲到西镇用了1小时办事。倘若甲在这1小时中没有停步（如到另一地方买东西又回到西镇，共用1小时），这样两人所行总路程应为：

90×2+30=210（千米），又因两人速度和为30+10=40（千米），故可求得相遇时间为：（210÷40=）（小时），则乙行了（10×）

（千米）。甲、乙两人同时从东西两镇相向步行，在距西镇20千米处两人相遇，相遇后两人又继续前进。甲至西镇、乙至东镇后都立即返回，两人又在距东镇15千米处相遇，求东西两镇距离？

解法一设东西两镇相距为x千米，由于两次相遇时间不变，则两人第一次相遇前所走路程之比等于第二次相遇前所走路程之比，故得方程：

所以东西两镇相距45千米。

解法二紧扣往返行程问题的特征，两人自出发至第二次相遇所走路程总和为东西两镇距离的3倍，而第一次相遇距西镇20千米，正是乙第一次相遇前所走路程，则从出发至第二次相遇乙共走（20×3=）60（千米），第二次相遇时乙已从东镇返回又走了15千米，所以，两镇的距离为（20×3-15=）45（千米）

四十六，行船问题快解

例题：一只游轮从甲港顺流而下到乙港，马上又逆水返回甲港，共用8小时，顺水每小时比逆水每小时多行12千米，前4小时比后4小时多行30千米。甲、乙两港相距多少千米？解析：30/12=5/2，8-5/2=11/2(12/2)*1/[(2/5-2/11)/2]=55四十七，N条线组成三角形的个数

n条线最多能画成几个不重叠的三角形F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)如f（11）＝19四十七，边长为ABC的小立方体个数

边长为ABC的长方体由边长为1的小立方体组成，一共有abc个小立方体，露在外面的小立方体共有abc－（a－2）（b－2）（c－2）

四十八，测井深问题

用一根绳子测井台到井水面的深度，把绳子对折后垂到井水面，绳子超过井台9米；把绳子三折后垂到井水面，绳子超过井台2米。那么，绳子长多少米?解答：（2*9-3*2）/(3-2)=12

（折数*余数-折数*余数）/折数差=高度

绳长=（高度+余数）*折数=（12+9）*2=42四十九，分配对象问题

（盈+亏）/分配差=分配对象数

有一堆螺丝和螺母，若一个螺丝配2个螺母，则多10个螺母；若1个螺丝配3个螺母，则少6个螺母。共有多少个螺丝？()

解析：A，（10+6）/（3-2）=16

若干同学去划船，他们租了一些船，若每船4人则多5人，若每船5人则船上空4个坐位，共有()位同学解析：D，（5+4）/（5-4）=9，4*9+5=41

对页码的使用总结第3篇第一章质点运动学和牛顿运动定律

平均速度v=△r△t瞬时速度v=lim△r△t0△t=drdt速度v=lim△rds△t0△tlim△t0dt平均加速度a=△v△t瞬时加速度（加速度）a=lim△v△t=dvdt△t0a=瞬时加速度rdt=dt2

匀速直线运动质点坐标x=x0+vt变速运动速度v=v0+at变速运动质点坐标x=x0+v0t+12at2速度随坐标变化公式:v2-v02=2a(x-x0)自由落体运动

竖直上抛运动

vgty1atvv0gtyvt1gt2v222gy02v2v20抛体运动速度分量vxv0cosavyv0sinagt

抛体运动距离分量xv0cosat1yv0sinat射程X=v20sin2ag

射高Y=v20sin2a2g飞行时间y=xtga—

轨迹方程y=xtga—gx22v22向心加速度a=v2R

圆周运动加速度等于切向加速度与法向加速度矢量

和a=at+an

加速度数值a=a22tan

法向加速度和匀速圆周运动的向心加速度相同

v2an=R

切向加速度只改变速度的大小at=

dvdt

vdsdtRdΦdtRω角速度ωdφdt

角加速度αdωd2dtφdt2角加速度a与线加速度an、at间的关系

an=v2(Rω)2RRω2Rat=dvdtRdωdtRα

牛顿第一定律：任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，除非它受到作用力而被迫改变这种状态。

牛顿第二定律：物体受到外力作用时，所获得的加速度a的大小与外力F的大小成正比，与物体的质量m成反比；加速度的方向与外力的方向相同。F=ma

牛顿第三定律：若物体A以力F1作用与物体B，则同

时物体B必以力F2作用与物体A；这两个力的大小相等、方向相反，而且沿同一直线。

万有引力定律：自然界任何两质点间存在着相互吸引力，其大小与两质点质量的乘积成正比，与两质点间的距离的二次方成反比；引力的方向沿两质点的连线

F=Gm1m2r2G为万有引力称量=×10-11Nm2/kg2

重力P=mg(g重力加速度)重力P=GMmr2

有上两式重力加速度g=GMr2(物体的重力加速度与物体本身的质量无关，而紧随它到地心的距离而变)胡克定律F=—kx(k是比例常数，称为弹簧的劲度系数)最大静摩擦力f最大=μ0N（μ0静摩擦系数）

滑动摩擦系数f=μN(μ滑动摩擦系数略小于μ0)第二章守恒定律动量P=mv牛顿第二定律F=d(mv)dtdPdt动量定理的微分形式Fdt=mdv=d(mv)F=ma=mdvdtt2v2tFdt＝1vd(mv)＝mv2－mv1

冲量I=t2tFdt

动量定理I=P2－P1

平均冲力F与冲量

t2tFdt=F(t2-t1)

平均冲力F＝ItFdt1mv2mv1t＝t＝

2t12t1t2质点系的动量定理(F1+F2)△t=(m1v1+m2v2)—(m1v10+m2v20)

左面为系统所受的外力的总动量，第一项为系统的末动量，二为初动量质点系的动量定理：

nnnFi△tmivimivi0

i1i1i作用在系统上的外力的总冲量等于系统总动量的增量

质点系的动量守恒定律（系统不受外力或外力矢量和为零）

nnmivi=mivi0=常矢量

i1iLpRmvR圆周运动角动量R为半径Lpdmvd非圆周运动，d为参考点o到p点的垂直距离

Lmvrsin同上

MFdFrsin

F对参考点的力矩MrF

力矩MdL

dt作用在质点上的合外力矩等于质点角动量的时间变化率0Ldt如果对于某一固定参考点，质点（系）常矢量所受的外力矩的矢量和为零，则此质点对于该参考点的角

动量保持不变。质点系的角动量守恒定律I2mrii刚体对给定转轴的转动惯量i量Ek12mv物体的动能MI（刚体的合外力矩）刚体在外力矩M的作用下所获得的角加速度a与外合力矩的大小成正比，并于转动惯量I成反比；这就是刚体的定轴转动定律。Irdmrdv转动惯量（dv为相应质元WEkEk0合力对物体所作的功等于物体动能的增量（动能定理）

Wabmg(hahb)重力做的功WabaFdr(b22GMmGMm)()万有引rarbdm的体积元，p为体积元dv处的密度）LI角动量MIa力做的功

WabaFdrbdL物体所受对某给定轴的合外力矩等dt1122kxakxb弹性力做的功22于物体对该轴的角动量的变化量MdtdL冲量距

W保EpaEpbEp势能定义

Epmgh重力的势能表达式EpEpMdtt0tLL0dLLL0II0

GMm万有引力势能LI常量WFrcos

WFr力的功等于力沿质点位移方向的分量与质点位移大小的乘积Wabba(L)12kx弹性势能表达式W外W内EkEk0质点系动能的增量等于所有外力的功和内力的功的代数和（质点系的动能定理）W外W保内W非内EkEk0保守内力和不保守内力

W保内Ep0EpEp系统中的保守内力的功等于系统势能的减少量

W外W非内(EkEp)(Ek0Ep0)

EEkEp系统的动能k和势能p之和称为系统的机械能

W外W非内EE0质点系在运动过程中，他的机械能增量等于外力的功和非保守内力的功的总和（功能原理）dWbaFdrbaFcosds

(L)(L)Wba(L)Fdrba(L)(F1F2Fn)drW1W2Wn合力的功等于各分力功的代数和

N功率等于功比上时间

tWdWNlim

t0tdtsFcosvFv瞬时功率NlimFcost0t等于力F与质点瞬时速度v的标乘积

Wv0mvdvmvmv0功等于动能的增当W外0、W非内0时，有EEkEp常量如果在一个系统的运动过程中的任意一小段时间内，外力对系统所作总功都为零，系统内部又没有非保守内力做功，则在运动过程中系统的动能与势能之和保持不变，即系统的机械能不随时间改变，这就是机械能守恒定律。12mv2mgh12mv20mgh0重力作用下机械能守恒的一个特例12mv212kx212122mv02kx0弹性力作用下的机械能守恒

第三章气体动理论

1毫米汞柱等于

1mmHg=1标准大气压等户760

毫米汞柱1atm=760mmHg=×105Pa热力学温度T=气体定律P1V1TP2V2常量即PVT=常量

1T2阿付伽德罗定律：在相同的温度和压强下，1摩尔的任何气体所占据的体积都相同。在标准状态下，即压强P0=1atm、温度T0=时，1摩尔的任何气体体积均为v0=L/mol罗常量Na=１０２３mol-1

普适气体常量RP0v0T

国际单位制为：0J/()

压强用大气压，体积用升×10-2()

理想气体的状态方程：PV=

MMRT

M(质molMmol量为M，摩尔质量为Mmol的气体中包含的摩尔数)(R为与气体无关的普适常量，称为普适气体常量)理想气体压强公式P=1mnv2N3(n=

V为单位体积中的平均分字数，称为分子数密度；m为每个分子的质量，v为分子热运动的速率)

MRTMNmRTNRTnkT(nNmolVNAmVVNAV为气体分子密度，R和NA都是普适常量，二者之比称为波尔兹常量k=

RN1023J/K气体动理论温度公式：平均动能3t2kT(平均动能只与温度有关)

完全确定一个物体在一个空间的位置所需的独立坐

标数目，称为这个物体运动的自由度。双原子分子共有五个自由度，其中三个是平动自由度，两个适转动自由度，三原子或多原子分子，共有六个自由度）

分子自由度数越大，其热运动平均动能越大。每个具有相同的品均动能

12kTti2kT

i为自由度数，上面3/2为一个原子分子自由度1摩尔理想气体的内能为：E0=NA12NiAkT2RT质量为M，摩尔质量为Mmol的理想气体能能为E=EMMi0ME0MRT

molmol2气体分子热运动速率的三种统计平均值

最概然速率(就是与速率分布曲线的极大值所对应哦速率，物理意义：速率在p附近的单位速率间隔内的分子数百分比最大）p2kTm（温度越高，p越大，分子质量m越大p）

因为k=NA和mNA=Mmol所以上式可表示为RTp2kT2RTm2mNAM平均速率v8kTm8RTM方均根速率v23RTMmolMmol

三种速率，方均根速率最大，平均速率次之，最概速率最小；在讨论速率分布时用最概然速率，计算分子运动通过的平均距离时用平均速率，计算分子的平均平动动能时用分均根

第四章热力学基础

热力学第一定律：热力学系统从平衡状态1向状态2的变化中，外界对系统所做的功W’和外界传给系统的热量Q二者之和是恒定的，等于系统内能的改变E2-E1

W’+Q=E2-E1

Q=E2-E1+W注意这里为W同一过程中系统对外

界所做的功（Q>0系统从外界吸收热量；Q<0表示系统向外界放出热量；W>0系统对外界做正功；W<0系统对外界做负功）

dQ=dE+dW（系统从外界吸收微小热量dQ，内能

增加微小两dE,对外界做微量功dW

平衡过程功的计算dW=PSdl=PdV

V2VPdV

平衡过程中热量的计算Q=

MMC(T2T1)(C为摩mol尔热容量，1摩尔物质温度改变1度所吸收或放出的热量)等压过程：QpMCp(T2T1)定压摩尔热容量MmolMCv(T2T1)

定容摩尔热容Mmol量

只有一部分用等容过程：Qv于增加系统的内能，其余部分对于外部功）

内能增量E2-E1=

MiR(T2T1)

CpCvR（1摩尔理想气体在等压过程温度升

高1度时比在等容过程中要多吸收焦耳的热量，用来转化为体积膨胀时对外所做的功，由此可见，普适气体常量R的物理意义：1摩尔理想气体在等压过程中升温1度对外界所做的功。）

泊松比

MidERdTMmol2

等容过程常量或12

TMmolVT1T2MCv(T2T1)等容过程系统Mmol不对外界做功；等容过程内能变化

等压过程Qv=E2-E1=

CpCv

Cv

ii2RCpR22CpCvi2i温

VVVMR常量或12TMmolPT1T2MR(T2T1)MmolPVMRT常量或P1V1P2V2WV2V1PdVP(V2V1)WP1V1lnV2VM或WRTln2QPE2E1W(等压膨胀过程中，系统从外界

吸收的热量中

等温过程热容量计算：QTW（全部转化为功）

参数都变化PV常量或P1V1P2V2

绝热过程的能量转换关系WP1V111(V1r1V)2WMMCv(T2T1)根据已知量求绝热过程mol的功

W循环=Q1Q

2Q2为热机循环中放给外界的热量

热机循环效率W循环Q（Q1一个循环从高温热1库吸收的热量有多少转化为有用的功）Q1Q2Q1Q2

（不可能把所有的1Q<11热量都转化为功）制冷系数Q2QW'2循环Q(Q2为从低温热1Q2库中吸收的热量)第五章静电场

库仑定律：真空中两个静止的点电荷之间相互作用的静电力F的大小与它们的带电量q1、q2的乘积成正比，与它们之间的距离r的二次方成反比，作用力的方向沿着两个点电荷的连线。F1q1q24

0r2基元电荷：e=1019C

；0真空电容率=1012;14=109

F1q1q242rˆ库仑定律的适量形式场强EFqEFqQ4r

r为位矢电场强度叠加原理（矢量和）

电偶极子（大小相等电荷相反）场强E1P4r3电0偶极距P=ql

电荷连续分布的任意带电体EdE1dq4ˆ0r2r均匀带点细直棒dExdEcosdx42cosdEdxydEsin42sin4r(sinsina)i(cosasos)j无限长直棒E2rj

EdEdS在电场中任一点附近穿过场强方向的单位面积的电场线数

电通量dEEdSEdScosdEEdSEdEsEdS

EsEdS

封闭曲面

高斯定理：在真空中的静电场内，通过任意封闭曲面的电

通量等于该封闭曲面所包围的电荷的电量的代数和的1

SEdS1q

若连续分布在带电体上0=1Qdq

E1Q4r2rˆ（rR)均匀带点球就像电荷都集0中在球心

E=0(r均匀带点球壳内部场强处处为零

E2无限大均匀带点平面（场强大小与到带0点平面的距离无关，垂直向外（正电荷））

4(1)电场力所作的功LEdl0

静电场力沿闭合路径所做的功为零（静电场场强的环流恒等于零）

电势差UbabUaUbaEdl

电势Ua无限远aEdl注意电势零点

AabqUabq(UaUb)电场力所做的功UQ4r带点量为Q的点电荷的电场中的电0rˆ势分布，很多电荷时代数叠加,注意为rnUqia4电势的叠加原理

i1UdqaQ4电荷连续分布的带电体的0r电势

UP40r3rˆ电偶极子电势分布，r为位矢，P=ql

UQ半径为R的均匀带电Q圆

4220(Rx)12环轴线上各点的电势分布

W=qU一个电荷静电势能，电量与电势的乘积

E或0E静电场中导体表面场强CqU孤立导体的电容U=

Q4孤立导体球

0RC40R孤立导体的电容CqUU两个极板的电容器电容

1CqU0S平行板电容器电容

1CQ20LUln(R圆柱形电容器电容R2是大2R1)的

UU电介质对电场的影响

CrCU相对电容率Cr0SrC0dd

=r0叫这种电介质的电容率（介电系数）（充满电解质后，电容器的电容增大为真空时电容的r倍。）（平行板电容器）

EE0在平行板电容器的两极板间充满各项同

r性均匀电解质后，两板间的电势差和场强都减小到板间为真空时的1r

E=E0+E/电解质内的电场（省去几个）

DE32半径为R的均匀带点球放在相0rr对电容率r的油中，球外电场分布

WQ22C12QU12CU2电容器储能第六章稳恒电流的磁场

Idqdt

电流强度（单位时间内通过导体任一横截面的电量）

jdIdSˆj

电流密度（安/米2）

垂直ISjdcosSjdS电流强度等于通过S的电流密度的通量

SjdSdqdt电流的连续性方程SjdS=0电流密度j不与与时间无关称稳恒电流，电场称稳恒电场。

EKdl电源的电动势（自负极经电源内部到正极的方向为电动势的正方向）

LEKdl电动势的大小等于单位正电荷绕闭合回路移动一周时非静电力所做的功。在电源外部Ek=0时，就成了

BFmaxqv磁感应强度大小毕奥-萨伐尔定律：电流元Idl在空间某点P产生的磁感应轻度dB的大小与电流元Idl的大小成正比，与电流元和电流元到P电的位矢r

之间的夹角的正弦成正比，与电流元到P点的距离r的二次方成反比。

dB0Idlsin4r204为比例系数，04107TmA为真空磁导率

B0Idlsin4r20I4R(con1cos2)载流直导线的磁场（R为点到导线的垂直距离）

B0I4R点恰好在导线的一端且导线很长的情况

B0I2R

导线很长，点正好在导线的中部B0IR22(R22)32圆形载流线圈轴线上的磁场分布

B0I2R在圆形载流线圈的圆心处，即x=0时磁场分布

B0IS2x3在很远处时平面载流线圈的磁场也常用磁矩Pm，定义为线圈中的电

流I与线圈所包围的面积的乘积。磁矩的方向与线圈的平面的法线方向相同。

PmISnn表示法线正方向的单位矢量。PmNISn线圈有N匝

B02Pm4x3圆形与非圆形平面载流线圈的磁场（离线圈较远时才适用）

B0I4R扇形导线圆心处的磁场强度

LR为圆弧所对的圆心角（弧度）

IQ△tnqvS运动电荷的电流强度

B0qvrˆ4r2运动电荷单个电荷在距离r处产生的磁场

dBcosdsBdS磁感应强度，简称磁通量（单位韦伯Wb）

mSBdS通过任一曲面S的总磁通量

SBdS0通过闭合曲面的总磁通量等于零

LBdl0I磁感应强度B沿任意闭合路径L的积分

LBdl0I内在稳恒电流的磁场中，磁感应强度沿任意闭合路径的环路积分，等于这