专题12 集合的基本运算（补集与集合的综合应用运算）（教师版）-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义

专题12集合的基本运算(补集与集合的综合应用运算)【知识点梳理】知识点1：全集文字语言一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集知识点2：补集文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作符号语言∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言【知识点拨】(1)简单地说，是从全集U中取出集合A的全部元素之后，所有剩余的元素组成的集合．(2)性质：A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅，∁U(∁UA)＝A，∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．(3)如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示．【题型归纳目录】题型1：补集的运算题型2：集合的交并、补集的综合运算题型3：与补集有关的求参数问题题型4：根据交并补混合运算确定参数题型5：利用Venn图求集合【典例例题】题型1：补集的运算例1．(2023·高一单元测试)已知全集，，，则=()A． B．C． D．【答案】D【解析】∵，，∴或，，∴.故选：D例2．(2023·高一课时练习)设全集，，则)等于(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，则，故，故选：C例3．(2023·吉林长春·高一汽车区第三中学校考期末)设集合，则(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】集合，故选：B.变式1．(2023·四川眉山·高一校考期末)已知集合，则(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】集合，则B=，则=.故选：D.变式2．(2023·陕西汉中·高一统考期末)已知全集，集合，则(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，所以．故选：C．变式3．(2023·海南·高一统考学业考试)已知集合，，则(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，所以.故选：B题型2：集合的交并、补集的综合运算例4．(2023·高一课时练习)已知全集，且，则(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，则.故选：D例5．(2023·高一单元测试)设集合，则(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，所以故选：B例6．(2023·全国·高一专题练习)已知全集，集合，．求：(1)；(2)；(3).【解析】(1)；(2).(3)，故，，.变式4．(2023·高一单元测试)已知全集，集合，．求，，．【解析】因为，，，所以，，或，所以或，.变式5．(2023·湖南张家界·高一张家界市民族中学校考阶段练习)已知集合，或．(1)若全集，求、；(2)若全集，求；【解析】(1)由题意可得，或且或，则或(2)根据题意，且，则可得则变式6．(2023·云南曲靖·高一会泽县实验高级中学校校考阶段练习)已知全集，集合，，求：(1)；(2).【解析】(1)因为，，所以，所以.(2)因为，，所以，所以.变式7．(2023·河北衡水·高一衡水市第二中学校考阶段练习)设，若，，则集合______．【答案】/【解析】因为因为因为,如果,则与已知矛盾，所以.所以.故答案为：变式8．(2023·高一课时练习)设全集，若，，，则__________．【答案】【解析】全集，作出韦恩图如下图所示：由图形可知集合，，因此，.故答案为.变式9．(2023·河北衡水·高一河北冀州中学阶段练习)已知，，，，则_____．【答案】【解析】，且，，，.故答案为：.变式10．(2023·内蒙古赤峰·高一阶段练习)设集合都是的子集，已知，，则等于____________．【答案】{3,4}【解析】由，即，则．故答案为：.题型3：与补集有关的求参数问题例7．(2023·全国·高一专题练习)已知全集，集合，，则实数的值为__________．【答案】【解析】由集合，可得，解得，又由且，可得，解得，经验证满足条件，所以实数的值为.故答案为：.例8．(2023·浙江温州·高一校联考期中)已知全集，集合，，则实数a的值为__________．【答案】1或-3【解析】全集，集合，，则，解得或，所以实数a的值为1或-3.故答案为：1或-3例9．(2023·北京·高一北京市八一中学校考阶段练习)设全集，则__________.【答案】7【解析】因为，所以，，解得：，故.故答案为：7变式11．(2023·高一课时练习)设，，全集，，或，则______.【答案】1【解析】因为，，所以或.又或，所以，，所以.故答案为：1.变式12．(2023·广东汕尾·高一华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习)设集合，，，若，则_________.【答案】【解析】解方程得或，所以，因为，所以，又，所以，，解得，.故答案为：.变式13．(2023·上海·高一专题练习)设，，，则________.【答案】【解析】，，，又，则故答案为：变式14．(2023·全国·高一专题练习)设集合，，若，则实数的取值范围是_______.【答案】或【解析】先求得集合A，由已知得，分和两种情况建立不等式，可求得答案．集合或，，∵，∴，当，即时，，符合题意；当，即时，或，得.综上，或.故答案为：或．变式15．(2023·高一课时练习)已知，，且，则的值等于_____．【答案】【解析】根据，可得，即可解得p的值，进而可求得集合，又根据，可得，即，即可解得q的值，即可得答案.因为，所以，则，解得，所以，解得，又因为，所以，即，所以，解得，所以，故答案为：变式16．(2023·上海·高一期中)已知集合，，若，，则_____.【答案】19【解析】利用交集和并集的性质可得，从而5和6是方程的两个根，则，进而可求出的值因为，，，，所以，所以5和6是方程的两个根，所以，解得，所以故答案为：19题型4：根据交并补混合运算确定参数例10．(2023·全国·高一期中)已知集合，设集合，，若，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】当时，，解得：，此时，，符合题意；当时，，解得，因为集合，，所以或，因为，所以，解得：，所以时，，综上所述：实数的取值范围是.例11．(2023·江西抚州·高一统考期末)已知集合，或．(1)当时，求；(2)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在(2)问中的横线上，并求解，若__________，求实数的取值范围．(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)【解析】(1)当时，，或，所以，，因此，.(2)若选①，当时，则时，即当时，成立，当时，即当时，即当时，由可得，解得，此时.综上，；若选②，当时，则时，即当时，成立，当时，即当时，即当时，由可得，解得，此时.综上，；若选③，由可得，当时，则时，即当时，成立，当时，即当时，即当时，由可得，解得，此时.综上，.例12．(2023·湖北咸宁·高一校考阶段练习)设集合，．(1)当时，求和；(2)若，求实数的取值范围．【解析】(1)当时，，所以，.(2)由题意得，或，因为，所以，若，则；若，则，且，因为，或，所以，解得.综上，实数的取值范围是.变式17．(2023·山西朔州·高一校考阶段练习)已知集合，，若，则实数a的取值范围是________．【答案】【解析】由已知可求得，集合与集合有公共元素，即可求出实数a的取值范围.由集合，可得，，可得集合与集合有公共元素，.故答案为：.变式18．(2023·上海普陀·高一上海市晋元高级中学校考期中)若且，则实数的范围是_________________.【答案】【解析】由题得或，因为，所以.故答案为：变式19．(2023·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习)已知集合集合，集合，若，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】当时，，满足题意.当时，时，解得综上所述，.故答案为：变式20．(2023·广西桂林·高一校考阶段练习)设全集，集合，且，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】，又，，．故答案为：.题型5：利用Venn图求集合例13．(2023·四川·高一校考阶段练习)高一某班共有55人，其中有14人参加了球类比赛，16人参加了田径比赛，4人既参加了球类比赛，又参加了田径比赛.则该班这两项比赛都没有参加的人数是______.【答案】【解析】由题意画出ven图，如图所示：由ven图知：参加比赛的人数为26人，所以该班这两项比赛都没有参加的人数是29人，故答案为：29例14．(2023·河南郑州·高一校考阶段练习)中国健儿在东京奥运会上取得傲人佳绩，球类比赛获奖多多，其中乒乓球、羽毛球运动备受学生追捧．某校高一(1)班40名学生在乒乓球、羽毛球两个兴趣小组中，每人至少报名参加一个兴趣小组，报名乒乓球兴趣小组的人数比报名羽毛球兴趣小组的人数3倍少4人，且两兴趣小组都报名的学生有8人，则只报名羽毛球兴趣小组的学生有__人．【答案】5【解析】设报名乒乓球兴趣小组的学生构成集合A，其元素个数为x，报名羽毛球兴趣小组的学生构成集合B，元素个数为y，其关系如下：由题意可知:，解得，因此只报名羽毛球兴趣小组的学生有人．故答案为：5例15．(2023·河北廊坊·高一校考阶段练习)七宝中学2020年的“艺术节”活动正如火如荼准备中，高一某班学生参加大舞台和风情秀两个节目情况如下：参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三；参加大舞台的人数比参加风情秀的人数多3人；两个节目都参加的人数比两个节目都不参加的学生人数少7人，则此班的人数为______.【答案】40【解析】设为七宝中学高一某班全体学生，集合参加大舞台的学生，集合参加风情秀的学生，设两个节目都参加的人数为，只参加风情秀的人数为，两个节目都不参加的人数为，只参加大舞台的人数为，则由参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三，得，解得，所以总的人数为人.故答案为：变式21．(2023·全国·高一专题练习)疫情期间，某社区因疫情防控需要招募志愿者进行连续3天的核酸采样工作，第一天有19人参加，第二天有13人参加，第三天有18人参加，其中，前两天都参加的有3人，后两天都参加的有4人.则这三天参加的人数最少为___________.【答案】29【解析】记第一天，第二天，第三天参加志愿者的人员分别构成集合A，B，C，设三天都参加的志愿者人数为，第一天和第三天均参加的志愿者人数为，根据题意可作维恩图如图：依题意必有均为自然数，所以，，故这三天参加的志愿者总人数为：当时，总人数最少，最少人数为.故答案为：29.变式22．(2023·山东潍坊·高一校考期中)国庆节期间，某校要求学生从三部电影《长津湖》、中国机长》《攀登者》中至少观看一部并写出观后感．高一某班50名学生全部参与了观看，其中只观看《长津湖》的有10人，只观看《中国机长》的有10人，只观看《攀登者》的有10人，既观看《长津湖》又观看《中国机长》的有7人，既观看《长津湖》又观看《攀登者》的有12人，既观看《中国机长》又观看《攀登者》的有9人，则三部都观看的学生有______人．【答案】4【解析】设观看《长津湖》的学生的集合为，观看《中国机长》的学生的集合为，观看《攀登者》的学生的集合为，根据题意，作出集合对应的韦恩图如下所示：设三部都观看的学生有人，则，解得.即三部都观看的学生有人.故答案为：.【过关测试】一、单选题1．(2023·高一课时练习)已知全集，，，，则(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意画出图如下，可得：，，，.故选：D.2．(2023·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期中)如图所示，两个大圆和一个小圆分别表示集合、、，它们是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是(

)

A． B．C． D．【答案】C【解析】由图知，首先阴影部分是的子集，其次不含集合中的元素且在集合的补集中，可得阴影部分所表示的集合是或.故选：C.3．(2023·四川眉山·高一眉山市彭山区第一中学校联考阶段练习)已知全集，集合，，则(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，则，所以．故选：A.4．(2023·云南玉溪·高一云南省玉溪第一中学校考期中)已知全集，集合，，则等于(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】由集合，可得，又由合，可得.故选：A.5．(2023·全国·高一专题练习)集合且，，，且，，，则(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】作出Venn图如图所示，则，．故选：C．6．(2023·高一课时练习)设全集I是实数集R，或与都是I的子集(如图所示)，则阴影部分所表示的集合为(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以阴影部分表示的集合为.故选：C.7．(2023·辽宁沈阳·高一东北育才双语学校校考期末)已知集合，，则(

)A．或 B．C． D．【答案】B【解析】，，．故选：B.8．(2023·江苏·高一淮阴中学校考期中)已知集合，若是的子集，且同时满足：①若，则；②若，则；则集合的个数为(

)A．8 B．16 C．20 D．24【答案】B【解析】由题意当时，，当时，，当时，，当时，，元素5与7没有限制，则集合的个数等于的子集个数，集合有个子集，集合可以为：，，，，，，，，，，，，，，，，共16个，故选：B二、多选题9．(2023·高一单元测试)已知全集U={1,2,3,4,5,6}，集合P={1,3,5}，Q={1,2,4}，则下列结论正确的是()A．={1} B．={1,2,3,4,5,6}C．={1,2,4,6} D．={3,5}【答案】ACD【解析】∵P={1,3,5}，Q={1,2,4}，∴={1}，={1,2,3,4,5}.又={2,4,6}，={3,5,6}，∴={1,2,4,6}，={3,5}.故选：ACD.10．(2023·高一课时练习)已知全集为U，A，B是U的非空子集，且，则下列关系一定正确的是(

)A．且B．C．或D．且【答案】AB【解析】因为，所以，则且，，故AB正确；若是的真子集，则，则且，故C错误；因为，所以不存在且，故D错误.故选：AB.11．(2023·浙江杭州·高一校考期中)已知集合M、N的关系如图所示，则下列结论中正确的(

)A． B．C． D．【答案】BD【解析】由图可知，,A错误；，B正确；，C错误；,D正确，故选:BD.12．(2023·浙江·高一期中)已知集合A中含有6个元素，全集中共有12个元素，中有m个元素，已知，则集合B中元素个数可能为(

)A．2 B．6 C．8 D．12【答案】BC【解析】因为中有m个元素，所以中有个元素，设集合B中元素个数为x，又集合A中含有6个元素，则，即，因为，所以，又中共有12个元素，所以，则，故选：BC三、填空题13．(2023·广东汕尾·高一华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习)向50名学生调查对两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多1人.则赞成的不赞成的有_____人.【答案】【解析】由已知得赞成的人数是，赞成的人数是，设都赞成的学生数为，则都不赞成的学生数为，，解得，则赞成的不赞成的有人.故答案为：.14．(2023·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考阶段练习)已知，，则__________.【答案】【解析】由题意,,故画图如图:即得，故答案为：15．(2023·西藏林芝·高一校考期中)已知全集，集合，.则=_________.【答案】或【解析】因为，所以或.又，所以或.故答案为：或16．(2023·浙江金华·高一校考阶段练习)已知集合，且，则实