2024北京丰台区高一（下）期末数学试题及答案

2024北京丰台高一（下）期末数学2024.07第一部分（选择题共40分）一．选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。1．设复数z=1+i，则|z|=（A）1（B）2C）2（D42)B，C(4,m)(mR)，2．已知点，若⊥，则m的值为12（A）-1（B）C）1（D3z(1+i)z=23．已知复数满足，则在复平面内z的共轭复数z对应的点位于（C）第三象限（D）第四象限（A）第一象限B）第二象限4．一个盒子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球和2个白球，若从中任取2个球，则“恰有1个红球”的概率是16131223（A）（B）C）（D）5．已知数据x，x，x，，xn的平均数为x，方差为s2，数据31−1，32−1，33−1，，1233n−121的平均数为，方差为，则下列结论中正确的是xs1（A）1=3x，s2=9s21（B）x=3x，s2=9s2−111（C）1=3x−1，s2=9s21（D）x=3x−1，s2=9s2−1116.在正方体ABCD－ABCD中，直线ACBC所成角的大小为1111111（A）30°（B45°（C60°（D）120°7.在△中，点D是边的中点．记CA=a，CD=b，则CB=−a−b−a+2ba−2b（A）2（B）（C）a+2b（D）8.同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，记事件A=“点数之和为5B=“点数之积为6C“至少有一个点数为3D=“点数都不为（A）A为不可能事件（B）A与B相互独立（D）C与D互为对立（C）B与D互斥9.已知直线，b与平面，，，下列说法正确的是（A）若a∥，a⊥，则⊥（C）若⊥，⊥，则∥B）若a∥，a∥，则∥D）若，b⊥a，，则⊥第1页/共页10．八卦是中国传统文化中的一部分，八个方位分别象征天、地、风、雷、水、火、山、泽八种自然现象.八卦模型如图1所示，其平面图形为正八边形，如图2所示，点O为该正八边形的中心，设|OA=1，点P是正八边形ABCDEFGH边上任一点，下列结论中正确的个数是图1图2π①与的夹角为；4②|OA−OC=|DH|；22③在OD上的投影向量为−ee（其中为与OD2④PA+PB+PC+PD+PE+PF+PG+PH的取值范围是+2216]．（A）1（B）2（C）3（D）4第二部分（非选择题共110分）二．填空题共5小题，每小题5分，共25分。P()=0.3，P(B)=0.2，则设A，B是一个随机试验中的两个互斥事件，P(A.12.已知复数z和(z2都是纯虚数，则+z=．13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，，c.已知acosCc=7，则b=______.=csinA,那么C=________，若a=2，14.知一木制陀螺模型内接于一表面积为16cm2的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上，若圆柱的高为2cm，则该圆柱的体积为_______，该陀螺的表面积为______.15.已知正方体ABCD－ABCDE，F，G分别为棱AB，AA，CD的中点，给出下列四个结论：1111111第2页/共页①直线FG与平面ACD1②直线B1D⊥平面EFG；3③若AB=1D到平面ACD1的距离为；3④该正方体的棱所在直线与平面EFG所成的角都相等.其中所有正确结论的序号是____________．三．解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16.（本小题13分）a=0)，|b=2，且|a+b=3设平面向量.（Ⅰ）求ab的值；a（Ⅱ）判断与是否平行，并说明理由；b(a+b)(a+b)=12，求实数的值.（Ⅲ）若17.（本小题14分）某校为普及航天知识，在高一年级开展了航天知识竞赛.将成绩（单位：分）分成6组，绘制成频率分布直方图，如图所示：（Ⅰ）估计该校高一年级航天知识竞赛成绩的第80百分位数；（Ⅱ）为了进一步了解学生对航天知识的掌握情况，在成绩位于70)和90)的两组中，用比例分配的分层随机抽样方法抽取5名学生.（i）求这5名学生中位于90)内的人数；（ii）若从这5名学生中随机抽取2名学生进行访谈，求这2名学生中至少有1人成绩在70)内的概率.第3页/共页18.（本小题13分）如图，在三棱锥P-ABC中，E，F分别是线段AB，BC的中点.（Ⅰ）求证：EF∥平面；（Ⅱ）过直线EF作平面，若平面与直线PC交于点G，直线PB∥平面.求证：G是线段PC的中点.19.（本小题15分）在△ABC中，三个内角BC的对边分别为ac．已知b2+c2+bc=a2.（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）将射线AB绕点A旋转90交线段BC于点E=1.（i）若b=3，求c；（ii）求△ABC面积的最小值.20.（本小题15分）如图，在三棱柱ABC-ABC中，ABC=90º，AA=AB=1ABBA平面ABC.111111（Ⅰ）求证：AB⊥AC；11（Ⅱ）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，当直线A1C与平面ABC所成角为30º时，（ⅰ）求证：平面ABCACCA；1（ⅱ）求二面角B-1C-A的正弦值.条件①：AC=AC；111条件②：A1=2.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.第4页/共页21.（本小题共15分）设n为正整数，集合Att==,,,,,,,,,,．对于集合A中的任意元素12=(xx,x)=(yy,,M)|xy|+|xy|+|．和，记12n121122（Ⅰ）当n（Ⅱ）当n==3时，若=,−,，=，求M)和M)的值；4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素，当M)相同时，是奇数；当不同时，M)是偶数．求集合B中元素个数的最大值；,,（Ⅲ）给定不小于2的nAn2个两两互不相同的元素+,n+2.12证明：存在ijijn2)+，使得M)1．,ij第5页/共页参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．题号答案12345678910CBDADCCBDA二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．π12．i13．；3．0.5314．6πcm3；(3+63)πcm215．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题13分）a=，所以|a=1,因为|a+b=3，|b=2ab)9,+2=22a2+2ab+b2=9，所以a+ab+b=,29所以1+2ab+4=9，所以ab=2.…………4分（Ⅱ）平行，理由如下：ab|a||b|122abcos=，==1，解法1：设与的夹角为因为π]，所以=a…………9分0，与b平行.解法2：因为|a+b|a|+|b|a，当且仅当与共线时等号成立，b又因为|a+b=3，|a|+|b=3a，所以与共线，即与平行.abbb=a，2（Ⅲ）由（Ⅱ）及已知条件得：因为所以所以(a+b)(a+b)12，(a+2a)(a+2a)=+2)a2=+2)=12，=2.解法2：因为(a+b)(a+b)=12，所以a2+ab+ab+b2=12，因为|a=1，|b=2，ab=2，++22+4=12，所以=2所以.…………分17.（本小题14分）0.005202+0.0075200.0220a200.0025201，+++=可得a0.01.=由频率分布直方图可知，分以下的所占比例为0.350.40.75，+=因此，80%分位数一定位于130)内.第6页/共页0.050.2由110+20=115，估计该校高一年级航天知识竞赛成绩的80%分位数约为分.………………5分i）由题意70)与90)的频率之比为2:3，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，则需在90)分数段内抽取人…………8分3.（ii）在70)分数段内抽取2人，分别记为，A1A，2在90)分数段内抽取3人，分别记为，，B.3B1B2=AAABABABABABABBBBBBB3，2从这5名学生中任取2人的样本空间121112132122231213设“从这5名学生中任取2人，至少有1人成绩在70)内”为事件A，而事件A包含7个可能结果，即{AAABABABABABAB}，312111213212227()=所以PA，107故抽取的这2名学生至少有1人成绩在70)内的概率为……………14分.1018.（本小题13分）E，F分别是AB，的中点，所以EF∥AC.因为EF平面，AC平面，所以EF∥平面.…………6分（Ⅱ）依题意知，平面∩平面PBC=FG,因为直线PB∥平面，PB⊂平面PBC，所以PB∥FG，因为F是线段BC中点，所以G是线段PC.…………13分19.（本小题15分）b2+c2+bc=a2，由余弦定理得：A=b2+c2−a2bc12=−，因为A为三角形内角，所以A=.…………5分32π2πππi=和⊥，可知CAE=−=，3326因为b=3，在△AEC中，由余弦定理得：CE2=AE2+b2−2AEbcosCAE第7页/共页3=1+3−213=1，2π所以CE=AE，所以CAE=C=，62ππ因为A=，所以B=，所以c=b=3.…10分362π2πππ（ii）解法：由BAC=和ABAE，可知⊥CAE=−=，3326S=S+S，AEC因为ABCAEB1112所以sinBAC=cAEsinBAE+bAEsinCAE，222πππ312=sin=sin+bsin=c+又因为1，所以，即bcb，32bc，23623121又bc=c+b2cb=2212433当且仅当c=b，即b=c=时，等号成立，38所以所以S，31183233=sin=，223223所以ABC的面积的最小值为.…………分32π2πππ解法2：由=和⊥，可知CAE=−=，3326因为1,=AEC=+B，所以sinAEC=cosB22π312因为=，所以sinCsin(=−B)=cosB−sinB,332b=在△AEC中，由正弦定理得：AEsin,sinsinC1B1所以b===,sinC31312B−sinB−B2221在△AEB中，c=,B第8页/共页1所以S=bcsinA213=2tanB(3−tanB)π因为B(0)，所以tanB,3),,33233所以当tanB=时，ABC的面积的最小值为.220.（本小题15分）ABC=90º，所以ABBC，因为平面ABBA⊥平面ABC，平面ABBA∩平面ABC=AB，BC⊂平面ABC，⊥1111所以BC⊥平面ABBA，11因为AB⊂ABBA，111所以BC⊥AB1，因为三棱柱ABC-ABC，所以四边形ABBA是平行四边形，11111因为AAAB，所以ABBA是菱形，111所以AB⊥AB，11因为AB∩BC=B，ABBC⊂平面ABC，111所以AB⊥ABC，11因为A⊂ABCAB⊥AC.…………6分1111（Ⅱ）选条件①：（ⅰ）因为AC=AC，所以平行四边形ACCA为矩形，所以AA⊥AC，11111由（Ⅰ）知，AA1⊥BC，因为AC∩BC=C，BC，AC⊂平面ABC，所以AA1⊥ABC，因为AA⊂ACCA，所以平面ACCA⊥平面ABC.………分11111（ⅱ）因为⊥平面ABC，ACABC=C，11所以直线AC与平面ABC所成的角为ACAACA=30º，111因为AAAB=1，所以AC=2，AC=3，BC=2，AB=2111作BD⊥AC于D，因为平面ACCA⊥平面ABC，11第9页/共页平面ACCA∩平面ABC=AC，BD⊂平面ABC，11所以BD⊥平面ACCABD⊥AC.111作DE⊥A1C于E，连接BE，因为BD∩DE=D，BD，DE⊂平面BDE，所以A1C⊥BDE，因为BE⊂BDE，所以A1C⊥BE，所以是二面角B-AC-A的平面角.16因为ACBDABBC，所以BD==，36ACBE=ABBCBE=1因为，所以，所以sin==，1136所以二面角B-A1C-A的正弦值为.…………15分3条件②：A=2AB，因为AA=AB，所以2+AB2=A2，所以AAAB，11111由（Ⅰ）知，AA1⊥BC，因为AB∩BC=B，BC，AB⊂平面ABC，所以AA1⊥ABC，以下同条件①.21.（本小题15分）==，所以M(11=+(−)(−)+)1100=2，M(=+(−)+=.)1001111…………4分（Ⅱ）设=,,,，=,,,，xxxxyyyy12341234，其中i令'=x'1x'2x'3x'4'=y'1y'2y'3y'4'|ii|i|(i=4)'则M=)M(''='+'+'+)xxxx，'4M)=M'')=x'y'+x'y'+x'y'+x'y'，41231122334xxxx,,,−,,，则101x'x'x'x'，12341234当|x|y|=M)=M)=M'')，且(i4)时，ii由题意知，M)是奇数，M)(不同