新人教A版选修4-5高中数学数学归纳法 同步练习1

数学归纳法同步练习

1.已知n为正偶数，用数学归纳法证明

,1111C,111、

1--------1-----------------F•••4------2(------F十,•,4---)

23471-1n+2〃+42〃时，若已假设〃=乂左之2为偶

数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证()

A."=左+1时等式成立B."=左+2时等式成立

C.〃=2攵+2时等式成立D."=2优+2)时等式成立

/(〃)=-----1------1--------------F•••H---------(〃WN)..八r/、

2.设n+1n+2n+32n,则/(〃+D-/(")=()

111111

-----------------------------------------------------1-----------------------------------------------

A.2«+1B.2〃+2c.2〃+12〃+2Q.2n+12n+2

I2+22+---+(n-l)2+n2+(H-1)2+---+22+12="⑵？川

3.用数学归纳法证明3

时，

由"=%的假设到证明〃=々+1时，等式左边应添加的式子是()

1,八，,

/f八2/112z1八2—(4+1)[2(攵+1)~+1]

A.也+D+2k2B.(k+1)+Ac(k+l)2D.3

4.某个命题与正整数n有关,如果当〃=M%eN+)时命题成立，那么可推得当

〃二女+1时

命题也成立.现已知当〃=5时该命题不成立，那么可推得()

A.当n=6时该命题不成立B.当n=6时该命题成立

C.当n=4口寸该命题不成立D.当n=4时■该命题成立

5.用数学归纳法证明“(〃+1)(〃+2>-(〃+〃)=2"-1-2……(2〃-1)”(〃cN+)时,

从

"〃=氏到"=忆+1”时，左边应增添的式子是（）

2k+12k+2

A.2k+1B.2(2A+1)C.k+1D.左+1

6.用数学归纳法证明"2342n-\2〃n+1n+22〃”时,

由〃=%的假设证明”=%+1时,如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为

)

1111

--------+・.•-1----------1--------------1-------------

A.攵+12k2k+1B.女+12k2Z+12Z+2

11+・•・+,+1

k+2…2k2k+1

C.D.k+22k+12k+2

7.数列"｝的前n项和S，，二〃2q（〃Z2）,而6=1,通过计算W，%，%，猜想

%=()

2222

A.(〃+1尸B,〃(〃+1)C.2^D,而口

8.已知数列也」的通项公式("+DN*),记

/(〃)=(1-q)(1-。2)(1-。3>-(1-右)，

通过计算/⑴J(2)J(3),"4)的值，由此猜想/(〃)=()

n+2〃+22/1—1〃+1

A.2(〃+1)B.4〃c.(〃+DD,〃(〃+1)

9.数列"J中，al=l,Sn表示前n项和，且Sn,Sn+1,2sl成等差数列，通过计

算SI,S2,

S3,猜想Sn=()

2〃+12〃-1n(ji+1)1

A.B.c.2"D.1-2^

10.al=l,°"+|>"，，，且(%+i—%)之-2(a“+i+%)+1=0,计算出，的，然后猜想

%=()

A.nB.n2C.n3D.一〃

0<g<4_____

11.设<<5'已知q=2cosa％=在"，则猜想明=()

cecece.o

2cos—2cos--2cos--2nsin—

A.2"B.2"Tc.2向D.2"

12.从一楼到二楼的楼梯共有n级台阶，每步只能跨上1级或2级，走完这n级台

阶共有"〃)

种走法，则下面的猜想正确的是()

A.”〃)=/(〃-1)+/(〃-2)(n>3)B./(〃)=2/(〃-1)(«>2)

C./(〃)=2/(〃一1)—1(n>2)口./(〃)=/(〃一1)/(〃一2)(n>3)

二、填空题

13.凸左边形内角和为了(幻，则凸女+1边形的内角为

业+1)=/也)+

14.平面上有n条直线，它们任何两条不平行，任何三条不共点，设左条这样的直

线把平面分

成了(6个区域，则左+1条直线把平面分成的区域数

f(k+l)=f(k)+

15.用数学归纳法证明"2'川N〃2+〃+2(〃GN*)”时，第一步验证

为^

16.用数学归纳法证明''当n为正奇数时，x"+V'能被x+y整除"，当第二步假

设

〃=2%-1(火€N*)命题为真时，进而需证〃=时，命题亦真.

17.数列"J中，%=L且4%+「*%+2。"=9,通过计算由，%，。4,然后猜想

%=___.

18.在数列"J中，％=L%“=(〃+1居，通过计算出必，①，然后猜想%=

19.设数列｛%｝的前n项和Sn=2n-an(nEN+),通过计算数列的前四项，猜想%=

/(.)=2、

20.已知函数2--记数列的前。项和为Sn,旦q=/⑴，当〃之2时，

211

S”------二—(〃-+5/2-2),/\

八%)2则通过计算由9,%，的值，猜想口」的通项公式

三、解答题

21.用数学归纳法证明：

222

-I--1--2---1---1n=--n-(-n-+--1)

1-33-5-----(2n-l)(2/i+1)2(2〃+1).

22.用数学归纳法证明：

(I)7?"-4,"-297能被264整除；

(II)#"'+伍+1)2”‘能被/+。+1整除(其中n,a为正整数)

23.用数学归纳法证明：

,1111,

(I)2342—；(II)

1111“，、

—+---+----+•••+—>l(n>1)

nn+1n+2n".

2

｛%｝中,%=2p,an=2〃一上一

24.数列“，i,P是不等于零的常数，求证：P不在数

列｛%｝中.

2=312

25.设数列""…==记""蓝+/'其中心2,〃e“，

0<%<-x>--(-)"

求证：对〃eN*都有(I)"2.(n)X"<3；(III)"22.

26.是否存在常数a,b,c,使等式

1•22+2-32H---1-n(n+I)2=+"(an?+hn+c)对"e

12N+都成立，并证明你的

结论.

27.已知数列｛%｝的各项为正数，其前n项和为Sn,又明与然满足关系式:

4sl4s2=4S“0

-----1----1-…d------=Sn,)

%+2a,+2an+2,试求的通项公式.

c1z1、

(1S“=[(a“+—)

28.已知数列MJ的各项为正数，Sn为前n项和，且2见，，归纳出an

的公式，并证明你的结论.

29.已知数列｛%｝是等差数列，%=1，%=2,设

Pn=4]+。3+。9+…+即(Z=3"I〃WN+)

Qn=a2+a6+al0+---+am(m=4n-2,neN+)>问Pn与Qn哪一个大？证明你

的结论.

30.已知数列I%｝：。0=1'。"=Pl《TK〃GN*，。<"1),

--<an<0.

(I)归纳出an的公式，并证明你的结论;(II)求证：P

答案

一、1.B2.D3.B4.C5.B6.D7.B8.A9.D10.B11.B12.A

二、13.兀，14.k+[,15.当〃=1时，左边=4=右边，命题正确.16.2Z+1

6〃-52n-1

17.2n-l18.n!19.2,,_|20,n+1

♦伙+l)(%+1y_伙+1)(：+2)

21.当〃二人+1时，左边=2(21+1)+(2:+1)(2/+3)-2(24+3).

22.(J)当〃=攵+1时,72(*+1)-42M+,)-297=49x(72*-42*—297)+33x4?/+48x297

=49x(72*-42*—297)+33x8x(2浜-3+48x9)=49x(72*-42t-297)

4

+264x(2I+48x9)能被264整除，命题正确.

([[)”=女+]时，2+(a+1)-A+I=(a+l)2[ai+l+(tz+l)~i]+ak+2-aA+l(a+1)2

-(a+l)2[aA+l+(a+1)",—'[一a*"(a。+a+1)能被a?+q+]整除，

=(1+T…+-75—)+(4+

H--：~：---)<%+

23.(I)当〃=A+1时，左边22-122t+l-l

1111

--------1--------P,••4---------=1(+24=k+l

2k2t____21F

vv-=右边,命题止确

2*项

=_L+...+_L+(_J_+•••+也+1-)>

(II)〃=4+1时，左边后+1匕k-+l

1+(2A:+1)--^——-=1+A?一k—l

>1.)

k2+ik/2+1)

n+11„

a,,=---Pa“=pn—p=0np=0

24.先用数学归纳法证明〃；假设〃与条件矛盾.

25.三小题都用数学归纳法证明：

3.八1

*.*X,——,..0<<—

(I)1°.当凡=1时，162成立;

八1

0<Xi.<一

2°.假设〃=%时，2成立，

3123111

.•.当k+]时，Xk+i-8+2X*<8+2X4-2,

31

Xk+\>—>0,/.0<xk+l<—

而o2♦.

!

由『2°知，对〃eN*都有<Xn<2

3123

X〉——I----Xi〉—>Xi

(II)1°.当n=l时，-828,命题正确;

2°.假设〃=%时命题正确，即

当〃=攵+1时，**Xk+\>4>°，'Xk+]>Xk

312312

••Z+2=石+彳4+1>三+彳]上=4+]

8282,命题也正确;

由1°,2。知对都有X”<x"+i

311.1

X,=—>(―)

(III)1°.当n=l时，1622,命题正确;

%〉—1

2°.假设〃=女时命题正确，即“2

...当〃=%+1时,可=尹3>在，白-《厅4+白［卜夕+（产

k+l+（•1严〉产

2222,命题正确;

1

X>--

由1°、2。知对〃WN*都有〃2

26.令n=l得a+"c=24①，令n=2得船+2b+c=44②,

令n=3得9"+3匕+c=70③，解①、②、③得a=3,b=ll,c=10,记原式的

/?（n+l）11小

Sc=-----（3n2+lln+lO）

左边为Sn,用数学归纳法证明猜想12（证明略）

27.计算得%=2,g=4,%=6,猜测*=2〃，用数学归纳法证明（证明略）.

c1,1、a1;丁1+a?——（劭---）a?—yf