三角形的外角练习题

11.2.2三角形的外角

一、单选题

1.如图，射线AD,BE,CF构成N1,Z2,Z3,则Nl+N2+N3=()

A.180°B.360°C.540°D.无法确定

2.下图能说明N1>N2的是（）

C.35°D.40°

4.己知直线@〃>将一块含45。角的直角三角板（NC=90。）按如图所示的位置摆放，若/1=55。，则N2的度数为

()

A.80°B.70°C.85°D.75°

5.如图，已知aABC为直角三角形，ZB=90°,若沿图中虚线剪去N8,则Nl+N2=（）

A.90°B.135°C.270°D.315°

6.如图，。尸//QR//ST下列各式中正确的是（）

o

Q琳

A.Zl+Z2+Z3=180°B.N1+N2-N3=9（T

C.Nl—N2+N3=90D.Z2+Z3-Z1=180°

7.如图，把AABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，则/A与/I和N2之间有一种数量关系

始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）

A.ZA=Z1-Z2B.2ZA=Z1-Z2

C.3ZA=2Z1-Z2D.3ZA=2(Z1-Z2)

8.如图，BP、C尸是AABC的外角角平分线，若NP=60°,则NA的大小为()

A.30°B.60°C.90°D.120°

9.如图，在AABC中，NABC=ZACB,是A4BC内角NABC的平分线，AO是AABC外角NE4C的平

分线，CO是AABC外角NAC尸的平分线，以下结论不正确的是（）

c.ZADC=90-ZABDD.BD平分NADC

10.如图，在射线。4,上分别截取。4=。81,连接43,在Bi4,上分别截取BIA2=BI比,连接A2B2,…

按此规律作下去，若NABiO=a,则乙4|0即）。=（)

4

OB：B2B3B$B

aaaa

Bc.D.

A♦源-F20

二、填空题

11.将一把直尺与一块三角板如图所示放置，若Zl=40°,则N2的度数为

13.如图，a〃b,Zl=40°,Z2=80°,则N3=度.

14.如图，11/712,AABC的顶点B、C在直线12上，已知/A=40。，Zl=60°,则N2的度数为'

15.如图，直线。平移后得到直线b,若Nl=70。，则N2—N3=.

16.如图，在AABC中，/B=60°,AD平分ZBAC,点七在延长线上，且EC_LAC.若NE=50°，则/ADC

的度数是__________

B

iy

17.如图，在aABC中，ZA=a.NABC与/ACC的平分线交于点Ai,得NAi；N4BC与N4C。的平分线相交

于点42,得NA2；…；NA2019BC与乙42019。。的平分线相交于点42020,得乙42020,则乙42020=.

18.如图，NABC=NACB,AD、BD、CD分别平分AABC的外角/EAC、内角NABC、外角/AFC,以下结论：

①AD〃BC；②NACB=2NADB；③NADC=90°—NABD；④NBDC=，NBAC,其中正确的结论有

2

三、解答题

19.N4CZ)是AABC的外角，BE平分NA8C,CE平分N4C。，且BE、CE交于点E.

⑴若NA=58",求：NE的度数.

(2)猜想NA与NE的关系，并说明理由.

20.(1)如图I,AB〃CD,点E是在AB、CD之间，且在BD的左侧平面区域内一点，连结BE、DE.求证:

ZE=ZABE+ZCDE.

B

(2)如图2,在(1)的条件下，作出NEBD和NEDB的平分线，两线交于点F,猜想NF、NABE、NCDE之间

的关系，并证明你的猜想.

(3)如图3,在(1)的条件下，作出/EBD的平分线和AEDB的外角平分线，两线交于点G,猜想NG、/ABE、

NCDE之间的关系，并证明你的猜想.

21.(1)如图1,在AABC中，BD平分ZABC,且与AABC的外角ZACE的角平分线交于点D,若ZABC=75°,

ZACB=45°,求NO的度数.

图1

(2)如图2,在四边形MVC3中，平分且与四边形M/VC8的外角NNCE的角平分线交于点。,

若/BMN=T30°,NCNM=100°，求ND的度数.

图2

22.已知AABC,P是平面内任意一点(A、B、C、P中任意三点都不在同一直线上).连接PB、PC,设/PBA=

s：NPCA=t。,NBPC=x。，NBAC=y°.

(1)如图，当点P在AABC内时，

①若y=70,s=10,t=20,则x=；

②探究s、t、x、y之间的数量关系，并证明你得到的结论.

(2)当点P在AABC外时，直接写出s、t、x、y之间所有可能的数量关系，并画出相应的图形.

参考答案

1.B

【解析】

【分析】

由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得N7=/BAC+/BC4,Z2=ZABC+ZBAC,Z3=ZACB+Z

ABC,所以//+/2+0=21/BAC+/BC4+/48C）,进而利用三:角形的内角和定理求解.

【详解】

解:•.•/7=Z8AC+Z8C4,N2=/4BC+N84C,Z3=ZACB+ZABC（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内

角的和），

；.Nl+/2+N3=2（ZBAC+ZBCA+^ABC）,

XVZBAC+ZBCA+ZABC=180°（三角形内角和定理），

.\Z1+Z2+Z3=2xl80°=360°.

故选B.

【点睛】

本题主要考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，实际上证明了三角形的外角和是360。,解决本题的关键是要

熟练掌握三角形外角和内角的关系.

2.C

【解析】

【分析】

【详解】

A、根据对顶角的性质，Z1=Z2；

B、若两直线平行，则N1=N2,若两直线平行，则/I和/2的大小不确定；

C、根据三角形的外角大于与它不相邻内角的性质，Z1>Z2；

D、根据直角三角形两锐角互余的关系，Z1=Z2.

故选C.

3.A

【解析】

【分析】

先根据平行线的性质得到NC=/AED=80。，然后根据三角形外角性质求解.

【详解】

BC〃DE,

二ZC=ZAED=80°,

VZ1=ZA+ZC,

.*.ZA=100°-80°=20°.

故选：A.

【点睛】

本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等.也考查来了三角形外角的性质.

4.A

【解析】

【分析】如图，先根据三角形外角的性质求出/4的度数，再根据平行线的性质求出N5的度数，最后根据邻补角

的定义进行求解即可得.

【详解】如图，

VZ1=Z3=55O,NB=45。，

Z4=Z3+ZB=100°,

；a〃b,

.*.Z5=Z4=100°,

.•.N2=180。-N5=80°,

故选A.

【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，结合图形灵活运用相关的知

识解决问题是关键.

5.C

【解析】

【分析】

如图，根据题意可知/l=90o+/BNM,N2=9(r+/BMN,然后结合三角形内角和定理即可推出/1+/2的度数.

【详解】

解：:△ABC为直角三角形，ZB=90°

.,.Z1=9O°+ZBNM,Z2=90°+ZBMN,ZBMN+ZBNM=90°,

.".Zl+Z2=270°.

故选C.

【点睛】

本题考查三角形的外角性质、三角形内角和定理，直角三角形的性质，解题的关键在于求证N1=9(T+/BNM,

Z2=90°+ZBMN.

6.D

【解析】

.*.Z2=Z4,

VZ3与NESR互补，

.-.ZESR=180°-Z3,

•••N4是AFSR的外角，

.".ZESR+Z1=Z4,即180°-Z3+Z1=Z2,

AZ2+Z3-Z1=180°.

故选D.

考点：平行线的性质.

7.B

【解析】

【分析】

本题求的是/A、ZLN2之间的数量关系，首先画出折叠前的三角形，设为△BCF,可根据三角形的外角性质,

首先表示出/QEF的度数，进而根据三角形内角和定理，得到所求的结论.

【详解】

如图，设翻折前A点的对应点为立根据折叠的性质知：/3=/4,NF=/A.

由三角形的外角性质知：ZDEF=Z5+Z3=ZA+Z2+Z3.

在ADEf1中，ZD£F=180°-Z4-ZF,故180°-N4-NF=/A+N2+N3,即：

180°-Z4-ZA=ZA+Z2+Z3,180°-Z4-Z3=2ZA+Z2,即N1=2NA+N2,2ZA=Z1-Z2.

故选B.

【点睛】

本题考查了图形的翻折变换、三角形内角和定理以及三角形的外角性质，正确作出辅助线是解答此题的关键.

8.B

【解析】

【分析】

首先根据三角形内角和与NP得出NPBC+/PCB,然后根据角平分线的性质得出ZABC和NACB的外角和，进而

得出NABC+NACB,即可得解.

【详解】

NP=60°

ZPBC+ZPCB=180°-ZP=180°-60°=120°

；BP、CP是AABC的外角角平分线

；.NDBC+NECB=2(ZPBC+ZPCB)=240°

NABC+NACB=1800-ZDBC+180°-ZECB=360°-240°=l20°

ZA=60°

故选：B.

【点睛】

此题主要考查角平分线以及三角形内角和的运用，熟练掌握，即可解题.

9.D

【解析】

【分析】

A、由AD平分ZiABC的外角/EAC,求出/EAD=/DAC,由三角形外角得/EAC=NACB+/ABC,且

ZABC=ZACB,得出NEAD=/ABC,利用同位角相等两直线平行得出结论正确.

B、由AD〃BC,得出/ADB=/DBC,再由BD平分NABC,所以/ABD=/DBC,ZABC=2ZADB,得出结论

ZACB=2ZADB,

C、在^ADC中，ZADC+ZCAD+ZACD=180°,利用角的关系得

ZADC+ZCAD+ZACD=ZADC+2ZABD+ZADC=2ZADC+2ZABD=180°,得出结论NADC=9(r-NABD；

D、由BD平分NABC,得至IJNABD=NDBC,由于NADB=NDBC,NADO90。-，NABC,得至IjNADB不等于NCDB,

2

故错误.

【详解】

A.〈AD平分AABC的外角NEAC,

AZEAD=ZDAC,

VZEAC=ZACB+ZABC,HZABC=ZACB,

.\ZEAD=ZABC,

AAD/7BC,

故A正确.

B.由(1)可知AD〃BC,

AZADB=ZDBC,

YBD平分NABC,

AZABD=ZDBC,

AZABC=2ZADB,

VZABC=ZACB,

AZACB=2ZADB,

故B正确.

C.在2kADC中,NADC+NCAD+NACD=180。，

VCD平分△ABC的外角ZACF,

AZACD=ZDCF,

VAD//BC,

AZADC=ZDCF,ZADB=ZDBC,ZCAD=ZACB

:.ZACD=ZADC,ZCAD=ZACB=ZABC=2ZABD,

AZADC+ZCAD+ZACD=ZADC+2ZABD+ZADC=2ZADC+2ZABD=180°,

・•・ZADC+ZABD=90°

.\ZADC=90°-ZABD,

故C正确；

D.YBD平分/ABC,

，NABD=NDBC,

VZADB=ZDBC,ZADC=90°--ZABC,

2

.•.NADB不等于NCDB,；.D错误；

故选D.

【点睛】

此题考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，解题关键在于掌握各性质定义.

10.B

【解析】

【分析】

根据等腰三角形两底角相等用a表示出NA2B2O,依此类推即可得到结论.

【详解】

：B|A2=B|B2,ZAiBiO=a,

I

ZA2B2O=—a,

2

同理NA3B.Q=—xya=*a,

1

/A4B4O=-ra，

23

；♦NA]oBi（）0=—,

故选B.

【点睛】

本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，图形的变化规律，依次求出相邻的两个角的差，得到分母成2的指数次

事变化，分子不变的规律是解题的关键.

11.130°

【解析】

【分析】

【详解】

解：如解图，'：EF//GH,：.ZFCD^Z2,'：ZFCD=Z1+ZA,Nl=40°，NA=90°，

Z2=ZFCD=40u+90°=130°.

12.30

【解析】

【分析】

本题可利用两直线平行，同位角相等求解NEGC,继而根据邻补角定义求解NCDE,最后根据外角定义求解/BCD.

【详解】

令BC与EF相交于G点，如下图所示：

ABHEF/ABC=75°,ZCDF=135°,

ZEGC=ZABC=75°,ZEDC=180°-ZCDF=180°-135°=45°,

XVZEGC=ZBCD+ZEDC,

.".ZBCD=75°-45°=30°,

故答案：30.

【点睛】

本题考查直线平行的性质，外角以及邻补角定义，难度一般，掌握一些技巧有利于解题效率，例如见平行推角等.

13.120

【解析】

【分析】

【详解】

如图，

；a〃b,Z2=80°,

.•.N4=N2=80°（两直线平行，同位角相等）

N3=N1+Z4=40°+80°=120°.

故答案为120。.

14.100°

【解析】

分析：首先根据两直线平行，内错角相等得到/ABC=/1,再由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和

的性质得到/2=NA+/ABC,接下来再将/A、/ABC的度数代入即可求得N2的度数.

详解：：4〃/2，

.".ZABC=Z1=6O°,

Z2=ZA+ZABC=400+60°=100°.

故答案为100°.

点睛：本题考查了平行线的性质、熟练掌握平行线的性质，并能进行推理论证与计算是解决本题的关键.

15.110°.

【解析】

【分析】

延长直线后根据平行线的性质和三角形的外角性质解答即可.

【详解】

延长直线,如图：

•••直线a平移后得到直线b,

：.Z5=180°-Zl=l80°-70°=110°,

VZ2=Z4+Z5,Z3=Z4,

.,.Z2-Z3=Z5=110°,

故答案为110°.

【点睛】

此题考查平移的性质，解题关键在于作辅助线.

16.100°.

【解析】

【分析】

根据题意先求出NEAC的度数，因为AD平分NBAC,所以可知NBAD的度数.因为NADC是的外角，所以NADC

=NB+NBAD.

【详解】

VEC±AC

:.ZACE=90°

VZE=50°

AZEAC=180°-ZAEC-ZE=40°

「AD平分NBAC

・・・ZBAD=ZEAC=40°

VZB=60°

・・・NADC=NB+/BAD=600+40°=100°

【点睛】

本题考查三角形内角和定理与内角外角之间的关系.

a

17--------

•22020

【解析】

【分析】

根据角平分线的定义以及三角形外角的性质，可知：ZAi=-ZA,ZA2=-ZAI=^ZA,以此类推，即可得

2222

到答案.

【详解】

与NACD的平分线交于点4,

11

.\ZAiBC=-ZABC,ZAiCD=-ZACD,

22

VZAICD=ZAI+ZAIBC,

即：-ZACD=ZAi+-ZABC,

22

1

.,.ZAi=-(ZACD-ZABC),

VZA+ZABC=ZACD,

AZA=ZACD-ZABC,

1,

・♦NAi=-NA,

2

NAz=-NA尸一NA,

222

1a

以此类推可知：NA2O2O=~~2O2ONA=2)O20,

故答案为：

【点睛】

本题主要考查三角形的外角的性质，以及角平分线的定义，掌握三角形的外角等于不相邻的内角的和，是解题的关

键.

18.①②③④

【解析】

【分析】

根据角平分线定义得出NABC=2/ABD=2/DBC,NEAC=2/EAD,ZACF=2ZDCF,根据三角形的内角和定

理得出NBAC+NABC+NACB=180。，根据三角形外角性质得出ZACF=ZABC+ZBAC,NEAC=ZABC+

ZACB,根据已知结论逐步推理，即可判断各项.

【详解】

解：；AD平分NEAC,

.*.ZEAC=2ZEAD,

VZEAC=ZABC+ZACB,ZABC=ZACB,

；.NEAD=NABC,

，AD〃BC,...①正确；

：AD〃BC,

；.NADB=NDBC,

；BD平分/ABC,NABC=NACB,

/ABC=/ACB=2NDBC,

；.NACB=2NADB,.•.②正确；

；AD平分NEAC,CD平分NACF,

11

AZDAC=-ZEAC,ZDCA=-ZACF,

22

：NEAC=/ABC+/ACB,/ACF=NABC+ZBAC,ZABC+ZACB+ZBAC=180°,

AZADC=180°-(ZDAC+ZACD)

=180°--(ZEAC+ZACF)

2

=180°--(ZABC+ZACB+ZABC+ZBAC)

2

=180°-,(180°+/ABC)

2

=90。」ZABC

2

=90。一NABD,...③正确；

：NACF=2NDCF,NACF=NBAC+NABC,ZABC=2ZDBC,NDCF=NDBC+NBDC,

；./BAC=2NBDC,.•.④正确，

故答案为①②③④.

【点睛】

本题考查了三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定，三角形内角和定理的应用，主要考察学生的推理能力，

有一定的难度.

19.(1)NE的度数29。；(2)/A与/E的关系是/E='/A,理由详见解析.

2

【解析】

【分析】

(1)根据角平分线的定义可得ZACD^2ZDCE,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个

内角的和可得NAC£>=/A+NABC,NDCE=NE+NCBE,然后整理即可得到NA=2/E,再求解即可；

(2)根据(1)的求解解答.

【详解】

(1)平分/ABC,CE平分/4C£>,AZABC=2ZCBE,ZACD=2ZDCE,由三角形的外角性质得：

ZACD=ZA+ZABC,NDCE=NE+NCBE,：.ZA+ZABC=2(ZE+ZCBE),：.ZA=2ZE.

；NA=58°,，NE=29°.

(2)ZE=-ZA.理由如下：

2

平分/A8C,CE平分NACD,二/ABC=2NCBE,ZACD=2ZDCE,由三角形的外角性质得：ZACD=ZA+ZABC,

NDCE=NE+NCBE,：.ZA+ZABC=2(NE+NCBE),：.ZA=2ZE,：.ZE=-ZA.

2

【点睛】

本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解

题的关键.

20.(1)见解析(2)见解析(3)2ZG=ZABE+ZCDE

【解析】

【分析】

(1)利用平行线的性质即可得出结论；

(2)先判断力/EBD+NEDB=180。-(ZABE+ZCDE),进而得出NDBF+NBDF=90。-'(ZABE+ZCDE),最后

2

用三角形的内角和即可得出结论；

(3)先由(1)知I,NBED=/ABE+NCDE,再利用角平分线的意义和三角形外角的性质即可得出结论.

【详解】

(1)如图，

过点E作EH〃AB,

AZBEH=ZABE,

,・'EH〃AB,CD//AB,

AEH/7CD,

:.ZDEH=ZCDE,

:.ZBED=ZBEH+ZDEH=ZABE+ZCDE；

(2)2ZF-(ZABE+ZCDE)=180°,

理由：由(1)知，NBED=NABE+NCDE,

ZEDB+ZEBD+ZBED=180°,

・•.ZEBD+ZEDB=180°-ZBED=180°-(ZABE+ZCDE),

VBF,DF分别是NDBE,NBDE的平分线，

AZEBD=2ZDBF,NEDB=2NBDF,

A2ZDBF+2ZBDF=180°-(ZABE+ZCDE),

AZDBF+ZBDF=90°--(ZABE+ZCDE),

2

在ABDF中，ZF=180°-(ZDBF+ZBDF)=180°-[90°--(NABE+NCDE)]=90°+-(ZABE+ZCDE),

22

即：2ZF-(ZABE+ZCDE)=180°；

B

E

丁

G(图3)}

(3)2ZG=ZABE+ZCDE,理由:如图3,

由(1)知，NBED=/ABE+NCDE,

:BG是/EBD的平分线，

/.ZDBE=2ZDBG,

：DG是/EDP的平分线，

ZEDP=2ZGDP,

ZBE