广西五校2023-2024学年高二下学期5月联考数学试题

广西五校2023-2024学年高二下学期5月联考数学试题一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若C93=A．3 B．6 C．9 D．3或62．下列说法错误的是（）A．在经验回归方程y=−2x+0.8中，当解释变量xB．若变量x和y之间的样本相关系数为r=−0.999，则变量x和C．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好D．决定系数R23．函数y=f(x)的导函数y=fA．y=f(x)在x=0处的切线的斜率大于0B．f(−1)是函数的极值C．y=f(x)在区间(−3,D．f(−1)是函数的最小值4．袋中装有白球和黑球各3个，从中任取2个，则至多有一个黑球的概率是.A．15 B．45 C．135．从0，1，2，5中取三个不同的数字，组成能被5整除的三位数，则不同三位数有（）A．12个 B．10个 C．8个 D．7个6．(1+x)(1−2x)5的展开式中A．-40 B．-10 C．40 D．307．某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为111，从第二题开始，若甲同学前一题答错，则此题答对的概率为14；若前一题答对，则此题答对的概率为13.记甲同学回答第n题时答错的概率为Pn，当n≥2时，A．97132 B．49132 C．47668．若关于x的不等式a(lnx+lna)A．(0,e] B．(0,e二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知随机变量X∼B(2,p)，且A．p=13 C．P(12≤X≤10．在(x−2A．常数项为160 B．含x2C．第4项的二项式系数为15 D．各项系数的绝对值的和为3611．3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（）A．共有60种不同的坐法 B．空位不相邻的坐法有72种C．空位相邻的坐法有24种 D．两端不是空位的坐法有27种三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知随机变量X~N(2,σ2)13．函数y=x+ax在(1，2)上单调递增，则实数a14．甲、乙、丙、丁四位同学参加跳台滑雪、越野滑雪、单板滑雪三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少一个人参加，且甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则四人参加比赛的不同方案一共有种；如果符合以上条件的各种方案出现的概率相等，定义事件A为丙和丁参加的项目不同，事件B为甲和乙恰好有一人参加跳台滑雪，则P(B|A四、解答题：共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．为持续深化“一盔一带”安全守护行动，有效遏制和减少因电动车闯红灯､逆行､不佩戴安全头盔等行为带来的交通安全隐患，2022年5月以来，泰安交警景区大队根据辖区实际.稳步推进“一盔一带”安全守护行动，确保辖区道路交通环境畅通､有序，该行动开展一段时间后，针对电动自行车骑乘人员是否佩戴安全头盔问题进行调查，在随机调查的1000名骑行人员中，记录其年龄和是否佩戴头盔情况，其中年龄低于40岁占60%，得到如图的等高堆积条形图.附：K2=nα0.050.010.005x3.8416.6357.879（1）据等积条所给的数据，完成下面的列联表：年龄佩戴头盔合计是否年龄低于40岁年龄不低于40岁合计（2）根据（1）中的列联表，依据小概率值α=0.16．已知函数f(x)=ax3−（1）a的值；（2）曲线y=f(x)在点(1,（3）函数f(x)在区间[0,17．2024年元旦期间，辽宁省推出了将冰雪温泉、民俗文化与体育活动深度融合的冬季主题系列活动．现主委会要招募一批志愿者，应聘者需参加相关测试，测试合格者才能予以录用．测试备选题中关于冰雪温泉内容的有3道，关于民俗文化内容的有4道，关于体育活动内容的有m道．已知应聘者甲随机抽出2道题都是关于冰雪温泉内容的概率为115（1）求m的值；（2）招募方案规定：每位应聘者要从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为测试合格．已知应聘者甲能答对备选题中的6道题，应聘者乙答对每道备选题的概率都是35（ⅰ）求应聘者甲答对题的数量X的分布列和数学期望；（ⅱ）试估计甲、乙两名应聘者谁被录用的可能性大，并说明理由．18．为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y（单位：g/m3）与样本对原点的距离x（单位：m）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中ui=1xi其回归直线s=α+βt的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β=i=1nxyui=1i=1i=1i=1i=1697.900.21600.14141226.13﹣1.40（1）利用样本相关系数的知识，判断y=a+bx与y=c+dx哪一个更适宜作为平均金属含量y关于样本对原点的距离（2）根据（1）的结果回答下列问题：（i）建立y关于x的回归方程；（ii）样本对原点的距离x=20时，金属含量的预报值是多少？（iii）已知该金属在距离原点xm时的平均开采成本W（单位：元）与x，y关系为W=1000(y−lnx)(1≤x≤100)，根据（2）的结果回答，19．已知函数f(x)=lnx+2ax,（1）求a的取值范围；（2）证明：x1

答案解析部分1．【答案】D【知识点】组合及组合数公式【解析】【解答】解：因为C93=C9x，所以x=3或故答案为：D.【分析】根据组合数公式计算即可.2．【答案】A【知识点】线性相关；线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征【解析】【解答】解：A、因为回归方程y=−2x+0.8，所以当解释变量xB、因为相关系数为r=−0.999<0，且|r|接近于1，所以变量x和C、残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故C正确；D、决定系数R2故答案为：A.【分析】根据经验回归方程的解析式即可判断A；根据相关系数r的意义即可判断B；根据残差的定义计算即可判断C；根据决定系数R23．【答案】A【知识点】导数的几何意义；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值【解析】【解答】解：A、由图象可知：f'(0)>0，即y=f(x)在x=0处的切线的斜率大于0，故A正确；

BCD、当x<−3时，f'(x)<0；当x>−3时，f'(x)≥0；则y=f(x)在(−∞,−3)内单调递减，故答案为：A.【分析】根据导数的几何意义分析即可判断A；由图像判断y=f(x)的单调性和最值，即可判断BCD；4．【答案】B【知识点】古典概型及其概率计算公式【解析】【解答】解：记事件Aii=0,1,2为任取2个球中黑球的个数从袋中任取2个球，

从白球和黑球各3个球中任取2个共有C62=15种不同的取法；

至多有一个黑球包括，0个黑球和1个黑球，nA0=C5．【答案】B【知识点】排列与组合的综合【解析】【解答】解：三位数能被5整除，则末位数字是0或5；当末位数字为0时，有A3当末位数字为5时，有2×2=4个不同的三位数，故共有4+6=10个不同的三位数.故答案为：B.【分析】根据能被5整除的数的特征，分类讨论，再结合排列组合求解即可.6．【答案】D【知识点】二项式定理；二项展开式的通项【解析】【解答】解：二项式(1−2x)5展开式的通项公式为C故展开式中含x2项的系数为C故答案为：D.【分析】根据二项式展开式的通项公式求解即可.7．【答案】D【知识点】数列的函数特性；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的性质【解析】【解答】解：因为甲同学回答第n−1题时有答对、答错两种情况，

则回答第n题(n≥2)时答错的概率Pn=34P由题意知P1=10所以数列{Pn−811}是211为首项、112为公比的等比数列，所以Pn−811=211故答案为：D.【分析】写出甲同学回答第n题时答错的概率Pn=112P8．【答案】D【知识点】指数式与对数式的互化；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值【解析】【解答】解：不等式axln(ax)≤2xe2x，变形可得令f(x)=xex,当f'(x)<0时，x∈(−∞,−1)，则f(x)在(−∞,−1)上单调递减；

当f'且当x<0时，f(x)<0，当x>0时，f(x)>0；由f(lnax)≤f(2x)(x>0)，得ln(ax)≤2x，则a≤e令g(x)=e2xx当g'(x)<0时，x∈(0,12)，g(x)单调递减，当故[g(x)]min=g(12)=2e，即a≤2e故答案为：D．【分析】根据指对混合型不等式，利用指、对运算将不等式a(lnx+lna)≤2e2x，转化为axln(ax)≤2xe9．【答案】A,D【知识点】二项分布【解析】【解答】解：随机变量服从二项分布X∼B(2,p)，且E(X)=23；

A、因为E(X)=2B、D(X)=np(1−p)=2×1C、P(1D、E(2X+1)=2E(X)+1=2×2故答案为：AD.【分析】由二项分布的期望公式即可判断A；由二项分布方差公式可即可判断B；由二项分布的概率公式即可判断C；由期望公式即可判断D.10．【答案】B,D【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式系数【解析】【解答】解：因为二项展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以n=6，

则(x−2x)n(n∈N∗)展开式的通项为Tr+1=C6rx6−r(−2x)r=(−2)rC6rx6−2r，

A、令6−2r=0，得r=3，则T4=(−2)3C63=−160，故A错误；

B、令6−2r=211．【答案】A,C【知识点】简单计数与排列组合【解析】【解答】对于A，C5对于B，A3对于C，A3对于D，3×2×3=18，故错误，故答案为：AC.

【分析】根据相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法逐项进行判断，可得答案.12．【答案】0.3【知识点】正态密度曲线的特点【解析】【解答】解：因为随机变量服从X~N(2,σ2所以P(故答案为：0.【分析】根据正态曲线的对称性计算即可.13．【答案】a≤1【知识点】利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】由题得y'=1−a故答案为：a≤1

【分析】求导数，根据函数单调递增，导函数大于等于0，解不等式即可求出实数a的取值范围.14．【答案】30；2【知识点】分类加法计数原理；排列与组合的综合；条件概率【解析】【解答】解：甲、乙、丙、丁四位同学参加三个项目，则有2人参加同一项目，共有C4其中甲、乙参加同一项目的方案A33=6因为甲、乙两人不能参加同一项目，所以丙、丁两人不能参加同一项目，则甲、乙必有其中一人和丙、丁其中一人参加同一项目，这里有C2若甲单独选择跳台滑雪，则丙、丁可分别选择越野滑雪或者单板滑雪，乙也可在其中二选一，故总共有A2若甲和一人一起选择跳台滑雪，则甲只可能和丙或丁共同选择，剩下2个人分别选择2个项目，故共有C2同理，乙单独选择跳台滑雪，有A2乙和一人共同选择跳台滑雪，有C2所以P(故答案为：30；23【分析】利用部分平均分组分配问题，结合间接法求解即可；利用分类加法原理，结合排列组合的知识与条件概率的概率公式求解即可.15．【答案】（1）解：根据等高堆积条形图所给的数据，得列联表如下：年龄佩戴头盔合计是否年龄低于40岁54060600年龄不低于40岁34060400合计8801201000（2）解：零假设H0根据列联表中的数据，计算得：χ2根据小概率值α=0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0【知识点】独立性检验；2×2列联表【解析】【分析】（1）根据等高堆积条形图的数据，直接写出列联表即可；（2）先进行零假设，再计算χ216．【答案】（1）解：∵f(x)=ax3−x2，∴（2）解：由（1）知f(x)=x3−x2，所以f(1)=0，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的斜率为k=f'（3）解：由（1）可知：f(x)=x3−x2，f'(x)=3x2−2x，令f'(x)=3x2−2x=0，解得x1=0，x2=23，

故当x∈(0又f(0)=0，f(2)=23−22【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；实际问题中导数的意义【解析】【分析】本题主要考查导数的几何意义，利用导数确定函数的单调区间，进而确定函数的最值.

（1）对函数fx求导，利用f'(1)=1，解出a即可求解；

（2）由（1）知f(x)=x3−x2，然后求导，利用导数的几何意义，求得曲线y=f(x)在点17．【答案】（1）解：设事件A表示甲抽出的2道题都是关于冰雪温泉内容的，则P(A)=C32（2）解：（ⅰ）甲答对题的数量X的所有可能取值为0,1,P(X=1)=C所以X的分布列为X0123P1311于是X的数学期望E(X)=0×1（ⅱ）设事件B表示甲测试合格，则由（ⅰ）可知P(B)=P(X=2)+P(X=3)=1设事件C表示乙测试合格，则P(C)=C因为23【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】（1）根据古典概型概率公式计算即可；（2）（ⅰ）易知X的所有可能取值为0,（ⅱ）分别计算出甲、乙两人测试合格的概率为2318．【答案】（1）解：y=a+bx的线性相关系数r1y=c+dx的线性相关系数因为|r1|＜|r2|，所以（2）解：（i）β=i=19则y=100−10u=100−10x，所以y关于x（ii）当x=20时，金属含量的预报值为y=100−（iii）W=1000(y−ln令f(x)=100−10x−当1≤x＜10时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当10<x≤100时，f'则f(x)在x=10处取得极大值，也是最大值，此时W取得最大值，故x为10时，开采成本最大．【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；变量相关关系；线性相关；线性回归方程【解析】【分析】（1）计算出y=a+bx的线性相关系数r1和y=c+dx（2）（i）计算出β和α，即可得y关于x的回归方程；（ii）代入x=20计算即可；（iii）求出W，令f(x)=100−10x−19．【答案】（1）解：函数f(x)=lnx+2ax若a≤0，则f'(x)>0恒成立，即f(x)单调递增，不存在两个不等零点，故显然当x>2a时，f'(x)>0，当0<x<2a时，则f(x)在(0,2a)上单调递减，在所以若要符合题意，需f(2a)<0⇒ln此时有4a2<2a令g(t)=2ln而1e即g(t)在(0,1e)上递减，故又f(1)=2a>0，故在区间(4a2,2a)和综上a∈(0,（2）解：由（1），令0<x构造函数g(x)=f(x)−f(4a−x)(0<x<2a)，则g'即g(x)单调递减，所以g(x)>g(2a)=0，即g(x因为0<x1<2a<由（1）知f(x)在(2a,+∞)上单调递增，所以由故x1【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；不等式的证明；函数零点存在定理【解析】【分析】（1）求导，利用导数研究函数的单调性及最值，再结合零点存在性定理计算即可；（2）构造函数g(x)=f(x)−f(4a−x)，利用导数研究其单调性与最值证明即可.

试题分析部分1、试卷总体分布分析总分：150分分值分布客观题（占比）63.0(42.0%)主观题（占比）87.0(58.0%)题量分布客观题（占比）12(63.2%)主观题（占比）7(36.8%)2、试卷题量分布分析大题题型题目量（占比）分值（占比）填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.3(15.8%)15.0(10.0%)多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.3(15.8%)18.0(12.0%)单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.8(42.1%)40.0(26.7%)解答题：共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.5(26.3%)77.0(51.3%)3、试卷难度结构分析序号难易度占比1普通(42.1%)2容易(57.9%)4、试卷知识点分析序号知识点（认知水平）分值（占比）对应