2023年高考数学必背知识手册第三章 函数的概念与性质（公式、定理、结论图表）

2023年高考数学必背知识手册(新教材)第三章函数的概

念与性质(公式、定理、结论图表)

匚思维导图

函数

函数的现实背景一|函数的概念与表示一函数的基本性质

嘉函数

函数的应用

一知识梳理

1.函数的概念

一般地，设46是非空的实数集,如果对于集合4中的任意一个数x按照某种

定义确定的对应关系手，在集合6中都有唯一确定的数v和它对应,那么就称£

/f6为从集合A到集合8的一个函数

二对应关系y=f{x),x^A

要定义域自变量X的取值范围

素值域与X的值相对应的v的函数值的集合｛/'(x)

思考1：(1)有人认为“y=f(x)”表示的是“y等于F与x的乘积”，这种看法对吗？

(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？

提示：(1)这种看法不对.

符号尸f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；/1是对

应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当“

允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值.y=f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等

于/■与X的乘积”.在研究函数时，除用符号/'(X)外，还常用g(x),尸(x),C(x)等来表示函数.

(2)F(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x=a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量

x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(*)的一个特殊值，如一次函数f(x)=3x+4,当x=8

时,f(8)=3X8+4=28是一个常数.

2.区间及有关概念

(1)一般区间的表示

设a,6eR,且a<6,规定如下:

定义名称符号数轴表示

{x\闭区间一,一

｛x水水力｝开区间(a,6)

{x|aWK6}半开半闭区间[a,6)-4-----

ab

水半开半闭区间(a,-l---------

{x\b\ab

(2)特殊区间的表示

定义R{x\x'd}{x\x>a\{x\x^a}{x\x<a}

(一8，+8)(a,+0°)

符号la,+0°)(-8,目(—8,a)

思考2：(1)区间是数集的另一彳冲表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？

(2)“8”是数吗？如何正确使用“8”？

提示：(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合｛0｝就不能用区间表示.

(2)“8”读作“无穷大”，是一个符号，不是数.以“一8”或“+8”作为区间一端时，这一端

必须是小括号.

3.函数的表示法

就是用数学表达式表示两个变

量之间的对应关系

就是用醛表示两个变量之间

T的对应关系

就是列出都来表示两个变量

之间的对应关系

思考：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示吗？

提示：不一定.

并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如〃(x)=

0,xWQ,

「八列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示

[1，

函数的一个概况或片段.

4.分段函数

如果函数尸Mx),根据自变量x在1中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的

函数为分段函数.

思考：分段函数是一个函数还是几个函数？

提示：分段函数是一个函数，而不是几个函数.

5.增函数与减函数的定义

一般地，设函数/1(")的定义域为/,区间//：如果V为，X/RD,当小〈及时

条件

都有/UiXHxz)都有flxAKx。

那么就说函数f(x)在区间〃上是

结论那么就说函数f(x)在区间，上是增函数

减函数

r

制”触

图示

0覆«2X1*1«2X

思考1:增(减)函数定义中的小，用有什么特征？

提示：定义中的汨，*2有以下3个特征：

(1)任意性，即“任意取用，论”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；

(2)有大小，通常规定为〈物

(3)属于同一个单调区间.

2.函数的单调性与单调区间

如果函数尸Hx)在区间〃上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)

单调性，区间〃叫做y=f(x)的单调区间.

思考2：函数尸：在定义域上是减函数吗？

提示：不是.尸;在(一8,0)上递减，在(0,十8)上也递减，但不能说尸;在(一8,0)(J(0,+

8)上递减.

6.函数最大值与最小值

最大值最小值

设函数y=f(x)的定义域为1,如果存在实数也满足：WxRI,都有

条件其力三Mf(x)三M

SAOGZ,假习得(照)="

结论材是函数y=f{x)的最大值必是函数y=f{x)的最小值

几何意

f(x)图象上最高点的纵坐标F(x)图象上最低点的纵坐标

义

思考：若函数f(x)WM,则■定是函数的最大值吗？

提示：不一定，只有定义域内存在一点扬，使『(%)=材时，材才是函数的最大值，否则不是.

7.函数的奇偶性

奇偶性偶函数奇函数

条件设函数/Xx)的定义域为/,如果Vxe/,都有一xw/

结论F(—x)=F(x)F(—x)=—f(x)

图象特点关于y轴对称关于原点对称

思考：具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？

提示：定义域关于原点对称.

8.基函数的概念

一般地，函数尸x"叫做幕函数,其中工是自变量，上是常数.

9.幕函数的图象

在同一平面直角坐标系中，画出幕函数尸x,y=V,尸-y=而，尸的图象如图所示:

10.暴函数的性质

31—1

y=xy=x尸X尸危尸X

定义域RRR[0,+8)-0}

值域R[0,+°°)R[0,+8){引/0}

奇偶性奇偶佥非奇非偶直

A-G[0,+°0)矛£(0,+8)

时，增函数时，减函数

单调性增函数增函数增函数

XC(-8,00矛£(-8,0)

时，减函数时，减函数

11.常见的几类函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型f(x)=ax+b{a,6为常数，a*0)

二次函数模型f(x)=ax+bx+c(a,b,c为常数，aWO)

"(X),XGD\

£(x),xGDz

分段函数模型f{x)=<

,X^Dn

(解题方法与技巧》

1.判断对应关系是否为函数的2个条件

(1)46必须是非空实数集.

(2)/中任意一元素在8中有且只有一个元素与之对应.

对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系.

2.判断函数相等的方法

(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；

(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同.

典例1：(1)下列各组函数是同一函数的是()

①/1(*)=.一2*3与以才)=4/一2x；

②/'(x)=*与g(x)；

③/'(x)与g(x)=A:

④/'(x)—2%—1与g(£)=i2—2t—1.

A.①<2)B.①③

C.③④D.①④

(2)判断下列对应是不是从集合A到集合8的函数.

①6=N*,对应法则6对集合/!中的元素取绝对值与6中元素对应；

②4={-1,1,2,—2},8={1,4},对应法则f：x&A,yG&

③/={-1,1,2,-2),8={1,2,4},对应法则fx^y=x,x&A,y《B；

④/f={三角形},6={才|*>0},对应法则£对力中元素求面积与6中元素对应.

(DC[①f(x)—yl-2x—|*卬-2x与g(x)="-2x的对应法则和值域不同,故不是同一函数.

②g(x)=d，=|x|与F(x)=x的对应法则和值域不同，故不是同一函数.

③F(x)=x与g(x)=}都可化为y=l且定义域是{MxWO),故是同一函数.

④/'(才)=/一2》-1与式/)=干一21一1的定义域都是R,对应法则也相同，而与用什么字母表示无

关，故是同一函数.

由上可知是同一函数的是③④.

故选CJ

(2)［解］①对于"中的元素0,在f的作用下得0,但0不属于8,即力中的元素0在6中没有元素

与之对应，所以不是函数.

②对于4中的元素士1,在/•的作用下与6中的1对应，4中的元素±2,在f的作用下与6中的4对

应，所以满足力中的任一元素与8中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数.

③对于/中的任一元素，在对应关系/•的作用下，8中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1,±2

对应4,所以是函数.

④集合/不是数集，故不是函数.］

3.函数求值的方法

(1)己知/(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得«a)的值.

(2)求/(4a))的值应遵循由里往外的原则.

典例2：设/"(x)=2/+2,g(x)=+，

⑴求/1⑵,f(a+3),g(a)+g(0)(ar—2),g(F(2)).

⑵求g"(力).

［思路点拨］(1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即可；

(2)把f(x)直接代入式力中便可得到屋/Xx)).

［解］(1)因为f(x)=2*2+2,

所以/■⑵=2X22+2=10,

F(a+3)—2(a+3)'+2=2a1!+12a+20.因为g(x)=丫+°，

所以g(a)+g(0)=­+g(a#—2).

⑵)=g(10)-IO+2-T2'

(2)g(f(x))=.»+2=2f+2+2=2f+4,

4.求函数定义域的常用方法

(1)若以”)是分式，则应考虑使分母不为零.

(2)若nx)是偶次根式，则被开方数大于或等于零.

(3)若«x)是指数基，则函数的定义域是使基运算有意义的实数集合.

(4)若4x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集.

(5)若4x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.

典例3：

1.已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？

Y-\-1

提示：不可以.如《)==.倘若先化简，则4)=有，从而定义域与原函数不等价.

2.若函数y=F(x+D的定义域是［1,2］,这里的“［1,2］”是指谁的取值范围？函数y=f(x)的定义

域是什么？

提示：［1,2］是自变量x的取值范围.

函数尸f(x)的定义域是x+1的范围⑵3］.

5.分段函数求函数值的方法：

(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间.

(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现/•(/•(旅))的形式时，应从内到外依次求值.

6..已知函数值求字母取值的步骤：

(1)先对字母的取值范围分类讨论.

(2)然后代入不同的解析式中.

(3)通过解方程求出字母的值.

(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.

提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变

量的值，切记代入检验.

典例4：求下列函数的定义域：

(l)F(x)=2+—^；

x—2

(2)f(x)=a—1)

⑶/'(x)=yj3—x•

(4)f(禽小-x.

x十17

［思路点拨］要求函数的定义域，只需分母不为0,偶次方根中被开方数大于等于0即可.

［解］⑴当且仅当“一2努0,即止2时，

函数/'00=2+—5有意义,

X—2

所以这个函数的定义域为{x|xW2}.

"x—iro,

(2)函数有意义，当且仅当

AI1

、x+lW0,

解得X>—1且#1,

所以这个函数的定义域为{x|x>—1且丘1}.

3—x20,

(3)函数有意义，当且仅当解得1W启3,

[矛一120,

所以这个函数的定义域为bd1W启3}.

x+l#O,

⑷要使函数有意义，自变量X的取值必须满足解得xWl且正一1,

[l-x2O,

即函数定义域为3运1且任一1}.

*+1,—2,

已知函数/〃)=，/+2x,-2<X2,

.2x_1,x>2.

⑴求/X-5),f(一小),/(d一I))的值;

(2)若f(a)=3,求实数a的值.

5

［解］(1)由一5£(—8,—2］,一mW(―2,2),一］£(—8,—2］,知f(—5)=—5+1=—4,

f(一乖)—(一季)一+2乂(一4)=3—24.

5\53

1

=--+-

2/22

,3

而_2＜一万＜2,

+2x3=

•••代3卜小洞圄H=r4

⑵当aW—2时，a+l=3,

即。=2>—2,不合题意，舍去.

当一2〈水2时，a?+2a=3,

即a+2a-3=0.

(a—1)(a+3)=0,

解得a=l或a=-3.

1G(—2,2),—34(—2,2),

a—1符合题意.

当a22时，2a-l=3,即a=2符合题意.

综上可得，当f(a)=3时，a=l或8=2.

7.利用定义证明函数单调性的步骤

⑴取值：设%,X2是该区间内的任意两个值，且为<及.

(2)作差变形：作差«汨)一汽功，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的

式子.

(3)定号：确定4%)-/<>)的符号.

(4)结论：根据/(小)一/(对的符号及定义判断单调性.

提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式.

典例5：证明函数Ax)=x+：在(0,1)上是减函数.

［思路点拨］|设元0<水及<1］—>作差：«刘)一/Q)

变形结论

----»判号：及)-----减函数

［证明］设X1,用是区间(0,1)上的任意两个实数，且XI〈如则/'(汨)一/■(%)=(Xi+J—(x2+j=

尼―X11)(X1—质)(-1+xi%)

(小一及)+=(X1-X2)(%1—A2)1)

X\X2X\X2X\X2

・・•()—

A%i—^2<0,0<XiX2〈l,则一1+小彳2<0,

・(X—M)(—1+XE)>0

即AAi)>f(x2),

.X\X2

••.F(x)=x+1在(0,1)上是减函数.

X

8.函数单调性的应用

(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单

调性可以确定函数中参数的取值范围.

(2)若一个函数在区间切上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.

典例6：(1)若函数〃>)=-V—2(a+l)x+3在区间(一8,3］上是增函数，则实数a的取值范围是

(2)已知函数y=/(x)是(一8,+8)上的增函数，且/'(2x—3)>f(5x—6),则实数x的取值范围为

数形结合

［思路点拨］(1)［分析“x)的对称轴与区间的戏一>|建立关于a的不钿一»|求a的范围

f(x)在(一8,十8)上是增函数

⑵|侬—3)>«5［-6)|-------------------------------------->|建立关于渊不等式|——»|求x的范围

(1)(—8,—4］(2)(—8,1)［(1)・.・F(x)=-V—2(a+l)x+3的开口向下，要使f(x)在(一8,

3］上是增函数,

只需—只+1)［3,即aW—4.

・,•实数a的取值范围为(一8,—4］.

(2)在(-8,+8)上是增函数，且f(2x-3)>f(5x-