平面向量的概念与运算 练习-高一年级下册数学人教A版（2019）必修第二册

高二学考复习之平面向量的概念与运算

1.给出下列说法：

①若向量a与向量b不平行，则a与b的方向一定不相同;②若向量崩，而满

足|靠且福与而同向，则魂>而;③若|a|=|b|,则a,b的长度相等且方向相同

或相反;④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行，其中正确说法的个

数是()

A.lB.2C.3D.4

2.向量a=(2,l),b=(1,3),则a+b=()

A.(3,4)B.(2,4)C.(3,-2)D.(l,-2)

3.已知向量a=(4,3),则|a|=()

A.3B.4C.5D.7

4.已知向量a=(x,l),b=(2,-3),若a〃b,则实数x的值是()

%-----

5.如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点，则方+而等于()

A.FD

B.FC

C.FE

D.BE

6.在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，熊=a,X5=b，则屁=()

11

A.—a-bB.—a+b

22

C.-a-bD.-a+b

7.在△ABC中,D为边BC上一点,E是线段AD的中点，若而=入瓦，屈=

1丽+卜就，贝Ik+g=()

1177

A.-B.--C.—D.—

3366

8.若点G为AABC的重心(三角形三边中线的交点)，设前=a,U^=b，则靠=

A.-a--bB.-a+-b

2222

C.2a-bD.b-2a

M

9.(多选)如图,A,B分别是射线OM,ON上的点，下列以0为起点的向量中，终

点落在阴影区域内的向量是()

A.OA+2OB

B.-OA+iOB

23

C.-OA+-OB

43

D.-OA+iOB

45

10.已知向量a,b不共线,c=3a+b,d=ma+(m+2)b,若c〃d,贝Um=()

A.-12B.-9C.-6D.-3

11.已知A(m,-6),B(-2,m),P(0,-2),Q(-5,m),则下列选项中是AB1PQ的充分不

必要条件的是()

A.m=-12B.m=2

C.m=-2D.m=-2或m—11

12.已知向量a=(l,-2),b=(2<4)Ji]()

A.a与b同向

B.a与b反向

C.(a+b)±a

D.(a+b)±b

13.已知四边形ABCD是边长为1的菱形,NBAD=60。,则|庆+

BC|=.

A

L

B

14.如图，在梯形ABCD中,AD〃BC,且AD=BC,E,F分别为线段AD与BC的

中点.设丽=a,氏=b，则

EF=,DF=,CD=.(用向量a,b表示)

15.在边长为1的正方形ABCD中，设屈=a，阮=b,^=c，则|b-a-

c|=•

16.设a,b是不共线的两个平面向量，已知E=a+kb,而=2a-b,若P,Q,R三点共

线,则实数k的值为.

A

----------

17.如图，在△ABC中，前=-NC,P是BN上的一点，若而=01通+之谶,则实数

39

m的值为.

18.已知平行四边形ABCD,A(1,3),B(2,4),C(5,6),则点D的坐标

为.

19.已知ei=(2,l),e2=(l,3),a=(-l,2),若a=Qei+Me2,则实数对(入i,九2)

为.

20.已知向量嬴=(k』2),丽=(4,5),前=(10,8),若A,B,C三点共线，则

k=.

21.已知两个非零向量a,b^^^,OA=2a-3b,OB=a+2b,OC=ka+12b.

⑴若2OA-3OB+玩=0,求实数k的值；

(2)若A,B,C三点共线,求实数k的值.

22.已知点6是4ABO的重心,M是AB边的中点.

⑴求蕊+盛+而；

⑵若PQ过小ABO的重心G,且UX=a,而=b，而=ma,的=nb,求证士+-=3.

mn

23.已知平面向量a,b,a=(l,2).

⑴若b=(O,l),求|a+2bl的值；

⑵若b=(2,m),a与a-b共线,求实数m的值.

24.B知平面内三个向量a=(3,2),b=(-l,2),c=(4,l).

⑴求满足a=mb+nc的实数m,n的值；

⑵若(a+kc)〃(2b-a),求实数k的值;

(3)设d=(x,y)满足(d-c)〃(a+b),且|d-c|=l,求向量d.

参考答案及部分

1.A①正确;②两向量不能比较大小，故不正确;③a与b长度相等,但方向

不定，故不正确;④规定0与任意向量平行，故不正确.

2.A3.C4.A5.D

6.B由题意可得福=BA+AD+DE=-a+b+|a=b-|a.

7.BCE=1(CB-CA)+gAC=1CB+(-i-g)CA=孚诟+(-1平)以.因为E

33333

入+1_1

T~V解得马片磊所以k+n=-i

(亏k7

8.D因为点G为^ABC的重心，所以有初+GB+阮=0.因为前=a，前=b,

所以证=BG-^=a-b,所以起=GB-嬴=b-2a.故选D.

9.AC由向量共线的条件可得:当点P在直线AB上时，存在唯一的一对有

序实数u,v,使得OP=u^^+用豆成立，且u+v=l.

可以证明点P位于阴影区域内等价于:而=u6X+v醇，且u>0,v>0,u+v>l.证

明如下:如下图所示,

A

oF>FBN

点P是阴影区域内的任意一点，过点P作PE〃ON,PF〃OM,分别交

OM,ON于点E,F;

PE交AB于点P:过点P作P'F'Z/OM交ON于点F',

则存在唯---对实数(x,y),(u，,v)使得赤=*配+丫5?=1嬴+,南,且

u'+v，=l,u\v'唯一;

同理存在唯——对实数x\y，使得而=x，标+y，丽=uUX+v而，而

x*=x,y*>y,/.u=u\v>v\Au+v>u'+v'=l,

对于AJ.T+2>1,根据以上结论，，点P位于阴影区域内，故A正确；

对于B,因为3+31,所以点P不位于阴影区域内，故B不正确；

对于C,因为*+i=">1,所以点P位于阴影区域内，故C正确；

对于D,因为;+1=黑1,所以点P不位于阴影区域内，故D不正确.故选AC.

10.D已知向量a,b不共线，且c=3a+b,d=ma+(m+2)b,

因为c〃d,所以c=kd,

则3a+b=mXa+(m+2认b,

所以1比］二解得片二二3做选正

((m+2)入=1,(■入=一1.

ll.CVA(m,-6),B(-2,m),P(0,-2),Q(-5,m),

.,.AB=(-2-m,m+6),PQ=(-5,m+2).

VAB±PQ,.\-5(-2-m)+(m+6)(m+2)=0,

m=-2或m=-ll.

-{-2}E-2,4l},：.m=-2符合题意.

故选C.

12.A

13.V3V四边形ABCD是边长为1的菱形，

NBAD=6()O,，NADC=120O在AACD中,由余弦定理得

AC=VAD2+CD2-2ADCDcoszADC=V3.

.*.|DC+BC|=|DC4-AD|=|AC|=V3.

EF=EA+AB+BF=-ib-a+jb=^b-a,DF=DE+

EF=-*b+(gb-a)=^b-a,CD=CF+FD=-ib-(^b-a)=a-|b.

15.2由题|a|=l,a+b=c,；・|b・a・c|=|b・a・a・b|=卜2a|=2|a|=2.

16.-i因为P,Q,R三点共线，所以所=顺，即a+kb=M2a-b),所以:

故k="?

17.JVB,P,N三点共线,:.存在实数X使得第=九福+(11)前=a5+

i^AC=mAB+^AC,

49'

(入=m1

/♦ji-A_2解得m=-.

I4-9，

18.(4,5)

Va=Ajei+九202=(2九i+九2,九i+3九2),

-1=2入1+入2,解得。1=T

又a=(-l,2),»•.2=入1+3入2,解得1入2=1，

，实数对(九1,瓦)=(-1,1).

20.18BC=OC-OB=(6,3),

AC=OC-OA=(10-k,-4).VA,B,C三点共线,

Z.BC||AC,-24-3(10-k)=0,MMk=18.

21.解(1)V2OA-3OB+OC=0,.,.2(2a-3b)-3(a+2b)+ka+12b=(l+k)a=0,X

k=-l;

(2)VA,B,C三点共线，，前=演,...沃-OB=k(OB-OA),r.(k-l)a+10b=-

入a+5Lb,又a,b不共线:一人'.•.k=-L

(J_U—□A,

22.(1)解VGA+GB=2GM=-GO,

.\GA+GB+GO=0;

⑵证明易知6而=；(a+b),因为G是4ABO的重心，所以US=|OM=

ga+b),由P,G,Q三点共线，得前力近，而一OQ=t(OP-代)，即而=tU?+(L

_,11(mt=1