直线与方程知识点总结与例题

直线与方程知识点总结

1、直线的斜率与倾斜角

⑴斜率

①两点的斜率公式：P（X］，X）,Q（X2，）2），则kpQ=—~—（%,丰%）

x2-xx

②斜率的范围：kGR

（2）直线的倾斜角范围：［0,n）

（3）斜率与倾斜角的关系：Z:=tana（aH90'）

注：（1）每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率；

（2）特别地，倾斜角为0"的直线斜率为0；倾斜角为90,的宜线斜率不存在。

例题1：设直线1过坐标原点,它的倾斜角为a,如果将直线L绕坐标原点按逆时针方向旋转45。得到直线L1,求直线

L1的倾斜角

解：（1）当0Wa<135°时,L1的倾斜角为a+45°

（2）135Wa<180°,则a+45°N180°,此时倾斜角为a+45°-180°=a-135°

2、直线方程

（1）点斜式：y-y0=k（x-x0）-,适用于斜率存在的直线

（2）斜截式：y=kx+b-,适用于斜率存在的直线

注：人为直线在y轴上的截距，截距不是距离，截距可正，可负，可为零

（3）两点式：上』=2』（西工马，/力为）；适用于斜率存在且不为零的直线

々一%%—X

（4）截距式：-+^=1；适用于斜率存在，且不为零且不过原点的直线

ab

（5）一般式：Ax+B），+C=0（A,8不同时为0）

（6）特殊直线方程

①斜率不存在的直线（与y轴垂直）：x=x°；特别地，y轴：x=0

②斜率为0的直线（与x轴垂直）：y=%；特别地，x轴：y=0

③在两轴上截距相等的直线：（I）y=—x+b；（IDy=kx

在两轴上截距相反的直线：（I）y=x+8：（II）y=kx

在两轴上截距的绝对值相等的直线：（I）y=—x+/?；（IDy=x+b-,（III）y=kx

例题2：过点（1,2）的直线1与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A、B两点，0为坐标原点，当的面

积最小时，直线1的方程是

设直浅的斜率为k,且由直线I与xtt的正半轴,y轴的正半轴分别交于A、B两点得到k<0,

所的成为：y-2=k(x-1)即kx-y+2-k=0,令x=0,得到y=2-k,所以B(0r2-k);令y=0

22

得到x=l，，所以A(l，,0)

kk

由k<0,贝!I三角形AOB的面积为S=±I(2-k)(1-2-)=1-(44---k)>1i[4+2(--4)«(-k)]=4,

2k2k21k

4

当且仅当二=*即1<=±2,因为k<0,所以k=-2,

k

所以直线方程为2x+y-4=0

解：故答案为2x+y-4=0

3、平面上两直线的位置关系及判断方法

(1)/,:y=ktx+bt;l2:y-k2x+b2

①平行：匕=右且白力优(注意验证乙*仇)

②重合：q=&且4=b2

③相交：k苫k2

特别地，垂直：左他=-1

(2)/,:4%++G=0;/2:A^x+B2y+C2=0

①平行：4与=4用且4c2(验证)

②重合：4为=42瓦且4c2=4G

③相交：^生力劣与

特别地，垂直：4人+片%=0

(3)与直线井+8y+C=0平行的直线可设为：Ax+By+m^0

与直线Ax+8y+C=0垂直的直线可设为：Bx-Ay+n^Q)

例题3：若两条直线朋=品於-n与睇=蝙卡啜密-剑川1互相平行，则说等于_______.

珏*=娥带袈Z

,•「=僦=一」

解：...两直线互相平行，工孝一*书：】

4、其他公式

(1)平面上两点间的距离公式：4对,),8(工2，%)，则■=依-々)2+(%-%)2

（2）线段中点坐标公式：4%,凹）,3（々,％），则AB中点的坐标为（"X"卫）

（3）三角形重心坐标公式：4（4必）,3（々,>2），。（七，%），则三角形ABC的重心坐标公式为：

x+w+wy+%+%)

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（4）点尸（%,稣）到直线/：Ax+By+C=O的距离公式：4=出。+孙）+一

VA2+B2

（5）两平行线4：Ar+By+G=O；/2：玉+为+。2=0（。产G）间的距离：d=忙0（用此公式前要将两

VA2+52

直线中的系数统一）

例题4：直线平朗一裳岁普-=顿与直线酶・图度*唐的距离为

甯_Iq―，I

解：由两平行直线痣*邈■北■=〔尊■题■，%量如片“=砥的距离公式可得疹奇（注意两直线的系数必须化为

4

相同），出不

（6）点A关于点P的对称点8的求法：点尸为中点

（7）点A关于直线/的对称点6的求法：利用直线A8与直线/垂直以及AB的中点在直线/上，列出方程组，求

出点8的坐标。

例题5：已知点P（3,2）与点Q（l,4）关于直线1对称，则直线1的方程为

解：因为点P（3,2）与点Q（l,4）关于直线1对称，所以直线1是线段PQ的垂直平分线；由线段PQ的中点坐标为（2,

硼一誓

3）,*嬲一耳¥一北一微一：由直线方程的点斜式得：¥-冬=富-逐即窜-/4=颐

例题6：已知直线如续-髯股+痣'=盹和两点她醺，境:一露f,若直线看上存在点裁使得「型#1用I最小，则点尸

的坐标为.

解：如图，作应关于直线雷一邓科离=飒的对称点或，连结副廨交直线需‘一琳’科朋=物于隼，则点即为使

[Hi7=b7

II至一薯吧%姓触母=盥

|陶A|礴|最小的死设您篇1威，则1^即娥-娥，

A

(二)、圆

1、圆的方程

(1)圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2,其中(a/)为圆心，r为半径

nF

(2)圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),其中圆心为(―彳,一一)，半径为

^D2+E2-4F(只有当%2,丁的系数化为1时才能用上述公式)

注意：已知圆上两点求圆方程时，注意运用圆心在这两点的垂直平分线上这个条件可简化计算。

2、直线与圆的位置关系

⑴直线l:Ax+By+C^Q,圆C:(x—a)2+(y-b)2=r2,记圆心C[a,b)到直线/的距离d=叫+劭

A/A2+B2

①直线与圆相交，则OWd<r或方程组的△>0

②直线与圆相切，则4=「或方程组的A=0

③直线与圆相离，则d〉r或方程组的A<0

(2)直线与圆相交时，半径r,圆心到弦的距离d,弦长/,满足：/=2,户一与2

(3)直线与圆相切时，

①切线的求法：

(I)已知切点(圆上的点)求切线，有且只有一条切线，切点与圆心的连线与切线垂直；

(II)已知切线斜率求切线，有两条互相平行的切线，设切线方程为丁=依+8，利用圆心到切线的距离等于半径

列出方程求出b的值；

(III)已知过圆外的点P(%,〉o)求圆。：。一。)2+('-勿2=，2的切线，有两条切线，若切线的斜率存在，设切线

方程为：y-y0=k(x-x0),利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出左的值；若切线的斜率不存在，则切线

方程为X=X。，验证圆心到切线距离是否等于半径。

②由圆外点P(x0,y0)向圆C:(x—a)2+。一切2=/引切线，记P,C两点的距离为d,则切线长/=二7

(4)直线与圆相离时，圆心到直线距离记为d,则圆上点到直线的最近距离为d-厂，最远距离为d+r

3、两圆的位置关系

圆&：(X-4)2+(y-4)2=(2,圆：(无一出尸+(y-仇)2=&2,两圆圆心距离J=J(q一/+(4-41

(1)两圆相离，则△>/+弓

(2)两圆相外切，则4=八+G

(3)两圆相交，则

注：圆£：尤2+,2+£）］%+&），+6=0,圆G：/+y2+。2彳+七2，+6=0相交，则两圆相交弦方程为：

（9一。2）+（男一马）"3-6）=0

（4）两圆相内切，则d=|弓一回

（5）两圆内含，则044＜卜一寸

特别地，当d=0时，两圆为同心圆