立体几何初步中的9种轨迹问题-【题型·技巧培优系列】2022-2023年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第三册）（解析版）

专题10立体几何中的轨迹问题

◎常考题型目录

题型1等距法求轨迹................................................................................1

♦类型1求轨迹形状...........................................................................1

♦类型2求轨迹长度...........................................................................8

♦类型3求轨迹面积..........................................................................14

题型2距离和为定值求轨迹长度....................................................................15

题型3由平行求轨迹...............................................................................16

♦类型1求轨迹形状..........................................................................16

♦类型2求轨迹长度..........................................................................20

♦类型3求轨迹面积..........................................................................30

题型4由垂直求轨迹...............................................................................33

♦类型1求轨迹形状..........................................................................33

♦类型2求轨迹长度..........................................................................41

♦类型3求轨迹面积..........................................................................52

题型5由等角求轨迹...............................................................................55

♦类型1求轨迹形状..........................................................................55

♦类型2求轨迹长度..........................................................................57

题型6交轨法求轨迹长度...........................................................................63

题型7截面求轨迹长度.............................................................................65

题型8翻折求轨迹长度.............................................................................66

题型9投影法求轨迹...............................................................................71

题型1等距法求轨迹

♦类型1求轨迹形状

【例题1-11（2023春・江苏南京•高二南京市第二十九中学校考阶段练习）已知线段0餐直于定圆所在的

平面，口,。是圆上的两点，。是点O在口入的射影，当。运动，点。运动的轨迹（）

A.是圆B.是椭圆C.是抛物线D.不是平面图形

【答案】A

【分析】设定圆圆心为口，半径为口，由线面垂直的判定与性质可推导证得口O_L口口,由直角三角形性

质可确定口。=□□=□□=□,由此可得轨迹图形.

【详解】设定圆圆心为。，半径为口,

连接OO,设直径为oo,连接。2口口,

UUUUU,£7£7u平面Z7£7£7,二□□1;

•••0叫直径，.•♦□□工口□,又。。n□□=口,口口,口口匚礴口口口,

□□邛面□□□,又。Z7u平面O/7D,二口□工LJU,

又£701口口,口口门口□=D,口口,口口^^口口口,

ZZ7Z71平面£7£7u平面Z7Z7O,：.□□L,

在R3£7Z7。中，□口=□□=□□=口,则点中）轨迹是以£7为圆心，。为半径的圆.

故选：A.

【变式1-1]1.（2021•高一课时练习）在三棱台AiBiCi-ABC中，点D在AXB1上，且AAiIIBD，点

M是4d4&内（含边界）的一个动点，且有平面BDMII平面AiC,则动点M的轨迹是（）

AB

出nB,

A.平面B.直线

C.线段，但只含1个端点D.圆

【答案】C

【解析】利用面面平行的判定定理构造平面平面口0，由此确定D点的轨迹.

【详解】过D作DNIIA1C1,交B1C1于N,连结BN,

由于&&u平面&口。。2平面&O,所以口口/平面UQ

在三棱台A1B1C1-ABC中，点D在A1B1上，且AA1IIBD,

且U平面口,□□N平面□、口,

:.□□H平面口、口.

•.AAinAlCl=Al,BDADN=D,

,平面BDNll平面A1C,

•.•点M是45&0内（含边界）的一个动点,且有平面BDMII平面A1C,

-M的轨迹是线段DN,且M与D不重合，

,动点M的轨迹是线段，但只含1个端点.

故选：C

【点睛】本小题主要考查面面平行的判定定理，属于基础题.

【变式1-1]2.（2019•高一课时练习）如图所示，△为正三角形，四边形。口〃班正方形，平

面。。01平面ODDO.O为平面SOO内的一动点，且满足£70=.则点O在正方形口口£7。内

的轨迹为（C为正方形的中心）

P

/W---------7c

【答案】A

【详解】试题分析：在空间中，过线段PC中点，且垂直线段PC的平面上的点到P,C两点的距离相等，

此平面与平面ABCD相交，两平面有一条公共直线.

解：在空间中，存在过线段PC中点且垂直线段PC的平面，平面上点到P,C两点的距离相等，记此平面

为a,平面a与平面ABCD有一个公共点D,则它们有且只有一条过该点的公共直线.取特殊点B,可排除

选项B,故选A.

考点：轨迹方程.

【变式1-1]3.如图，在棱长为4的正方体ABCD-ABCD中，E、F分别是AD、AD，的中点，长为2的

线段MN的一个端点M在线段EF上运动，另一个端点N在底面ABCD'上运动，则线段MN的中点P

的轨迹（曲面）与正方体（各个面）所围成的几何体的体积为

A.争孚序靖

【答案】D

【分析】

连接PF、NF,分析得出FP=1,可知点P的轨迹是以点F为球心，半径长为1的球面，作出图形，结合球

体的体积公式可求得结果

【详解】

连接PF、NF,因为ADZ/A'D'/AD=A'D',

且E、F分别为AD、AD的中点,故AE/A'F且AE=A'F,所以，四边形AA'FE为平行四边形，故EF//AA'

且EF=AA'=4,〔AA」平面ABC'D',则EF_L平面ABC'D',因为FNu平面A'B'C'D',所以,EF±FN,

•••P为MN的中点，故FP=^MN=1,

所以，点P的轨迹是以点F为球心，半径长为1的球面，如下图所示：

所以，线段MN的中点P的轨迹（由面）与正方体（各个面）所围成的几何体为球F的:,故所求几何体的

体积为v=（xgnxl3=］故选择：D.

【变式l-l】4.四棱锥P-0ABC中，底面0ABe是正方形，0P_L0A,0A=0P=a.D是棱0P上的一动点，

E是正方形OABC内一动点，DE的中点为Q,当DE=a时，Q的轨迹是球面的一部分，其表面积为3n,

则a的值是()

A.2V3B.2V6C.3妮D.6

【答案】B

【分析】

由题意结合选项可特殊化处理，即取0P与底面垂直，求得Q的轨迹，结合球的表面积求解.

【详解】

不妨令OPLOC,则OP_L底面OABC,如图，

•.D是0P上的动点，.,QD_L底面OABC,可得OD_LOE,又Q为DE的中点，.：口□

=夕，即Q的轨迹是以0为球心，

以夕为半径的球面，其表面积为S总x4Dx5=3n,得a=2倔故选：B.

【变式1-1]5.(2020•高一课时练习)如图，水平的广场上有一盏路灯挂在高10封电线杆顶上，记电

线杆的底部为点A把路灯看作一个点光源，身高1.5OB勺女孩站在离点055勺点侬,回答下面的问题.

（1）若女孩以5%半径绕着电线杆走一个圆圈，人影扫过的是什么图形，求这个图形的面积；

（2）若女孩向点。前行4。到达点然后从点O出发沿着以口R对角线的正方形走一圈，画出女孩走

一圈时头顶影子的轨迹，说明轨迹的形状.

【答案】（1）人影扫过的图形是一个圆环，Z7=黄。（2）女孩走一圈时头顶影子的轨迹形状为正方形

□□□口

【分析】（1）人影扫过的图形是一个圆环，根据相似计算得到影长为提,再计算面积得到答案.

（2）如图所示,女孩在移动过程上比例关系不变，故轨迹为正方形.

【详解】（1）人影扫过的图形是一个圆环，设影长。口=口，如图（1）,由题意知，

□口=、5口口=0口口=5得=总,•..〃=焉二。=口(5+a2_ox52=塞以

iu£_/+0।(\1//zoy

（2）如图（2）,女孩在移动过程上比例关系不变，如

DD_DD_口口

'DD=历=历=历=赤

故女孩走一圈时头顶影子的轨迹形状为正方形。。〃口

【点睛】本题考查了轨迹方程，意在考查学生的空间想象能力和应用能力.

♦类型2求轨迹长度

【例题1-2]（2022秋•河南•高三校联考阶段练习）在正方悻口□□□-口d口1口内，已知□□I=7,

点。在棱口口上，目口□=4,则正方体表面上到点O距离为5的点的轨迹的总长度为（）

A.等B.（4+3V2n）C.警D.（4+3何TT

【答案】C

【分析】根据题意找到平面。口、口】□、口、,□□□、□□□[4平面都有轨迹，都为一个圆周即

可求解.

【详解】依题意「：□□=4,7,口口=口口=5,

:.□口=3=口=4=□□,

所以△Z7OZZ7=A所以4□□□=£□、□□,

又因为上口□□+乙□□口=/所以4乙□□口=T,

所以/□□□=TT-（N4□□+4口□口）=最即口口.

在平面O4口、g满足条件的点的轨迹为比，

该轨迹是以5为半径的:个圆周，所以长度为2nx5x；=?

同理，在平面。内满足条件的点轨迹长度为苧；

在平面口a口、口、内满足条件的点的轨迹为以口为圆心,

口i孕半径的圆弧，长度为2nx4x1=2n;

同理，在平面ABCD内满足条件的点的轨迹为以A为圆心，

AE为半径的圆弧，长度为2nx3xj=y.

故轨迹的总长度为苧+y+2n+y=^.

故选:C.

【变式1-2]1.（2023春•河南•高三校联考阶段练习）已知正四棱柱OOO。-口1□、口]□[中,=

2/7/7=2,点M为O&的中点，若P为动点，目口□=&,则P点运动轨迹与该几何体表面相交的曲

线长度为（）

A.3TTB.4nC.6nD.8Tl

【答案】A

【分析】由题意分析点P的轨迹为以M为球心，以鱼为半径的球，所以在正四棱柱OOOO-□、4口口、

的表面上找到M的距离为近的点的集合.

【详解】由题意分析点P的轨迹为以M为圆心，以在为半径的球,此球面与正四棱柱mo。-

□i□、口、&上下底面交线为半径1的两个胭与面口a口、3口面£74□、。的交线为半径为1的半圆，

长度为6x4x2nx1=3n.

故选A.

【变式i-2]2.（2023春・湖南•高三统考阶段练习）环体□□□□-4&a口的棱长为i，点。在

三棱锥a-so的表面上运动，目口1口=苧,则点附迹的长度是（）

AV3+2通~02V3+V6_

66

/V3+V6„卜2V3+V6

c•-nD-^—n

【答案】A

【分析】根据题意，点。在以a为球心，半径。=半的球面上，进而依次讨论该球与三棱锥3-口、口口口

的表面的交线即可得答案.

【详解】解：由题设知点OE以0为球心，半径口=膏的球面上,

所以点P的轨迹就是该球与三棱锥&-表面的交线.

由正方体性质易知三棱锥4-为正四面体，

所以，点4到平面a00的距离。=竽，

所以球a在平面a。口上的截面圆的半径a=J厅-土=],

所以，截面圆的圆心口是正小口、。。中心，正△口勺边长为我，其内切圆&的半径4=*＜么.

因此，点p在面口口。内的轨迹是圆口在△口、。口内的弧长，

如图所示,C0SNO&。=筹=惇=4,所以上□□[口=7，

5LJLJ\N4

G

所以NO&Z7=T，

所以，点P在此面内的轨迹长度为a(2n-3x，=粤.

因为1平面ABCD,所以球口在平面ABCD上的截面圆心为A,

其半径02=]U一0^=苧，又苧＜《＜1,

所以点P在平面BCD内的轨迹是一段弧R7,

如图幅，COSNODD=需=苧,

而以上口口口=《,耐4口□口=；,所以也=等.

0J丫

C

B

由于对称性，点P在平面口0%口平面&OO内的轨迹长度都是粤,

故点P在三棱锥&-的表面上的轨迹的长度是W+3X等=变箸TT.

故选：A

【变式1-2】3（2022・高一单元测试在长方体口。。口一口1口口1口1中,□□=«,UU=3，口口1=5,

点P在长方体的面上运动，且满足口。=5,则P的轨迹长度为（）

A.12nB.8TTC.6nD.4n

【答案】c

【分析】由题设，在长方体表面确定P的轨迹，应用弧长公式计算轨迹长度.

【详解】如图，O在左侧面的轨迹为弧牛7,在后侧面的轨迹为弧DD,在右侧面的轨迹为弧也，在前

侧面内的轨迹为弧。7。

易知|Z7£7|=^/Z7x4x2=2/Z7,|Z^£7|=；ZZ7x3x2=^,Xsinz/ZZ1口□=cosz•□口□=g,cosz

□、□□=sinz□□□—|,

则+|£7rO|=；Ox5x2=岁，

-P的轨迹长度为6n,

故选：C.

5

【变式1-2]4.（2020•高一课时练习）在棱长为1的正方1体□□□□一口1口1口1口1中，点P在侧面

□□□i□冲动若点P到点A的距离为竽则动点P的轨迹在正方形口口4a内的一段曲线长为（）

AV3£B2心口c4聪口口E口

,3336

【答案】D

【分析】由题意得动点P的轨迹在正方形。口&&内的一段曲线为四分之一圆弧，求出截面半径后即可

得解.

【详解】由题意得动点p的轨迹是以A为球心，半径为学的球面被平面。aac窸得的的圆，落在正

方形口口1口、。内的曲线即为四分之一圆弧，

2

截面半径为O=J（第-1=y,

故这段弧长为:X2。X[=攀

4OO

故选：D.

【点睛】本题考查了球的截面，考查了空间想象能力，属于中档题.

【变式1-2]5.（2016春•四川成都•高一统考期末）如图，在四棱锥£7-口口口为，侧面PAD为正三

角形，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面Z7S1底面ABCD,M为底面ABCD内的一个动点，且满

足口。=口□,则点M在正方形ABCD内的轨迹的长度为

P

A

A.V5B.2V2C.nD.第

【答案】A

【分析】因为口口=口口,所以点M在线段PC的垂直平分面上,通过垂直平分面与底面的交线可得.

【详解】取AB中点为E,PC中点为F连接DF、EF,因为£70=口□=2所以OD_L□□因为□□1□口,

侧面£700,底面ABCD,侧面。O£7c底面ABCD=口口,耐以□□遹口□□,又□□强□□口,所

以口口1口口，所以0£7=□口=V5,所以□□L□□，又口口门口□=口,口口u平面。£70,口□u

平面口口口,所以。£71平面。£70,易知平面。£7%的所有点到P、C的距离相等，所以点M在正方

形ABCD内的轨迹DE,易得DE长度为痣.

故选：A.

p

♦类型3求轨迹面积

【例题1-3]（2020・高一课时练习）在棱长为1的正方/体□□□□—口、d口中，点□是碗口□□口

内的动点，tanN4口口21,则动点2勺轨迹的面积为动线段轨迹所形成几何体的体

积是.

【答案】71；

【解析】由题意得点辛轨迹是以外圆心，1为半径的:个圆和圆的内部，再根据扇形的面积公式以及圆

锥的体积公式求解即可.

【详解】解:.：tan4□[□口=嘿21,：.□□$1,

即点训轨迹是以班圆心，1为半径的泠圆和圆的内部,

二。的轨迹的面积为0=与X产=*，

口、。的轨迹所形成几何体为力圆推，其体积为O=gX与X1=余，

故答案为：§;1.

【点睛】本题主要考查扇形的面积公式与圆锥的体积公式，属于基础题.

题型2距离和为定值求轨迹长度

【例题2]（2020•浙江•高一期末）在棱长为1的正方体Z7Z7ZZ7-□、口&&中，点P是正方体棱上一

点，且满足|口。|+||=2,则点P的个数为.

【答案】6

【解析】由已知得点a是以2£7=V3为焦距，以口=1为长半轴，以g为短半轴的椭球上，。在正方体的棱

上，可得答案.

【详解】因为正方体的棱长为1，;O&=V3,又|叩+=2,

所以点。是以2。=g为焦距，以1为长半轴,以;为短半轴的椭球上，。在正方体的棱上，

•••口应是椭球与正方体的棱的交点，结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在棱

口、口、□口,口口,上各有一点满足条件，

故答案为：6.

【点睛】关键点点睛：解决本题问题的关键在于得出点P的轨迹，利用椭球与正方体的各棱交点得出答案.

【变式2-1]（2022春辽宁铁岭•高一校联考期末）如图，在棱长为3的正方体0口1口1口1口1中,

点P是平面&内一个动点，且满足=2+，行，则点P的轨迹长度为.

【答案】2口

【分析】连接aa,首先证明平面,设平面&〃&=口,连接,即

可得到三棱锥4-为正三棱锥，求出a。、口口,再利用勾股定理表示m+□口、,即可得到

□□八从而得到轨迹长.

【详解】解：连接0。，因为四边形&&a&为正方形，则。,

,**□_L平>[§]□、u平•面□、□、□、□、t则ZlVi£Vi_L□]

因为Z^7i□、A□□、=□、,□、□*□□、u平面ZZ7i□、□、_L平■面□、□□、（

,•*□、□u平面ZZ7i□□、，：•□、口J.□、EJy,

同理可证ZZ7[口_L□、□,□、□n□、□、=□、i□、□,□、□、u平面□[□、口~L平面□、□□、,

设口、口「平面口、口□、=n,连接。£7、DO,

因为□□]=□、口、=3垃,口口、=□□]=口1口1,所以三棱锥&一为正三棱锥，

2

则小△&D&的中心厕OZ7=|I（3V2）2一（苧）=V6，且△□[□□]内切圆的半径&==苧,

所以&口=JzZZ/Z^—口曰=V3,v□、□=3\[3,A□□=□[□-□]口=2V3,

­•■□、□上^^口1口口\,UUu平面口口口….DDL,即口。1□口,□□工□口,

因为。D+□□[=2+V13,即9。3+12++3=2+V13,□□>0,解得£70=1,

所以点2勺轨迹是半径为1的圆，因为4>1,所以点木轨迹长为2x1x£7=20.

故答案为：2口

题型3由平行求轨迹

♦类型1求轨迹形状

【例题3-1]（2022•全国•高一专题练习庵三棱台&&&一LJLJU^，点。在上息□□[〃□□,

点。是三角形。内（含边界）的一个动点，/平面□□□“平面口]□□□[,则动点。0勺轨迹是

（）

A.三角形ada边界的一部分B,一个点

C.线段的一部分D.圆的一部分

【答案】C

【分析】过滥□、交口、口立口,连接。口，证明平面。。。//平面口&a。，得口£‘

即得结论.

【详解】如图，过oi乍oz7〃aa交44于。，连接

□□，平■面□□、□、□,□□、u平■囿口□、□、口,所以ZZ7ZZ7〃平面OOj£7,

同理Z7Z7〃平面/7□□、口,又£7£7n□□=口,口□,Z7Z7u平面/7£7。,

密C厚面□口口〃平面口口1口1口，即以口€口□,（冰与砥合，否则没有平面OS）,

故选：C.

【变式3-1]1.（2023•全国•高一专题练习）如图，在正四棱锥口-口口口收,。是口木中点，口氤

在侧面△口。O内及其边界上运动，并且总是保持平面口口。.则动点。的轨迹与△O口溷成的相

关图形最有可能是图中的（）

S

【分析】先分别取。口OBJ中点£7、O,再证明面005面。S,可知当牛。入移动时，UUu

面□口□,能够保持OOII平面Z7OO,进而得到选项A符合题意.

【详解】分别取£75勺中点£7、O,连接。£7,口口，口口，

又£7/2^]中点

文：口□,□□（^□□口，□□遂□□□,:面□□□,面□□□,

丈：口口门口□=□,仁^^口口口，：面□□□“面口口口,

二当口在口匚上移动时,□□遹□□□,此时能够保持。0II平面。£70,

则动点厘勺轨迹与△。口。组成的相关图形是选项A故选：A.

【变式3-1］2.（2022・全国•高一专题练习）如图，在薪悻□□□□-口1口［口1口1中,£7是棱。&的

中点，。是侧面Z7O4□］内的动点，且口。与平面4勺垂线垂直，则下列说法不正确的是（）

B.a300是异面直线

C•点06勺轨迹是一条线段

D.三棱锥的体积为定值

【答案】A

【分析】设平面口］口□与直线口国于口，建接口口,则a为。z而中点，分别取a。，a4的

中点。,D,连接0□,□□,□、口,证明平面40£7〃平面打□□,即可分析选项ABC的正误；再

由得点。到平面勺距离为定值，可得三棱锥。-口。。1的体积为定值判断D.

【详解】解：设平面与直线。依于。，连接OO,口口,

则班DOB勺中点，分别取&&的中点。，a,

连接4£7,□口,,

如图.

/ZT]ZZy/EJyZZ7,□[□仁平面□、□□r□u平■面.□口,

:口。/平面口、□□,同理可得0口/平面口、□口,

又口、口、口。是平面a。口内的两条相交直线，

:.平面口1口□“平面口1口□,而口1口1平面,.,.□]□u平面

得点次轨迹为一条线段,故c正确；

并由此可知，当。与O重合时，口、口与口10平行，故A错误；

•.平面1007/平面□□口,口平面4相交,：口。与是异面直线，故B正确；

•••口0/。。,则点。到平面口口中）距离为定值，.•・三棱锥£7-口口。|的体积为定值，故D正确.故选:

A.

♦类型2求轨迹长度

【例题3-2]（2023春•全国•高一专题练习）已知正方体口口口口-的棱长为2,点M、N

在正方体的表面上运动，分别满足：口口=2,口口、雁□□□],设点M、N的运动轨迹的长度分别为

m.n,则白.

【答案】苧*衅n

【分析】轨迹为半径为2的球。与正方体表面的交线，即3个半径为2的;圆弧，要满足00II平面

□□□、,则N在平行于平面的平面与正方体表面的交线上，可证得为^口□、□],最后求值即可

【详解】点M、N在正方体的表面上运动，由口口=2,则2勺轨迹为半径为2的球。与正方体表面的交

线，即3个半径为2的牺弧，故。=3x：x2nx2=3n.

正方体中，II||nA□□、=□*□□］、u

平■面□u平•面□□□、,故平面。。［/7||平面ZZ7/Z7/Z7i,

当。在△口□、口上时，即满足口口II平面。且N在正方体的表面上，故。=3x2夜=675,故刍=

3nV2n

【变式3-2】1•（2023春•全国•高一专题练习）在棱长为2的正方体口。口口-口、aa4中，E为棱

BC的中点，F是侧面□□□□］内的动点，若ag/平面口□［n,则点F轨迹的长度为（）

A.yB.V2C.苧D.2V2

【答案】B

【分析】取中点o,aa中点。，连接口口,则易证平面&平面口口、口,进而得当F的轨迹

为线段口OB寸，则有口1口呼面口□［口,再根据勾股定理及三角形的中位线计算即可.

【详解】如图所示:

取中点o,aa中点o,连接。o,

所以口口”□□「

□口仁平面□□、口,□□、u平面□□、口,

所以□□〃平面口□[口,

同理可证明a。/平面£70口,

又因为OOn。）。=Z7,□□,□]□口、□□,

所以平面&□口H平面□□1D,

当F的轨迹为线段DOB寸，此时&£7u平面口口口,则有4口11平面口,

此时匚7。=；口□、=：x2夜=夜.

故选：B.

【变式3-2]2.（2022・全国•高一期末）如图所示，斯梅□□□□-aaaa的棱长为2,E,F分

别为£74,OU的中点，点P是正方体表面上的动点，若口[□"平面口□[□□,则。点在正方体表面上

运动所形成的轨迹长度为（）

A.V2+V5B.V2+2V5C.2V2+V5D.2V2+2V5

【答案】B

【分析】要满足口口呼面只需要寻找一个平面，使该平面经过&,且与平面。&。斤?行

即可，取〃口的中点G,4a的中点H，连结叩口、口,&a证明出面a口口画口□、oa得到a点

在正方体表面上运动所形成的轨迹为三角形a□□,求出周长即可.

【详解】取。4的中点G,□、&的中点H,连结□□口、□,□、□,□、□,

正方悻□□□□一口1口1口1口1的楼长为为中点，即以□□“□、口,□□“□、□,所以

□□“□□目□□=口□=V2.

因为aa为分别为。aa&的中点，即以目口□:□□一所以四边形平行四

边形，耐以

因为C面口□、口口,口□u面口口、口口,所以面口口1

同理可证：画

又口口门口□、=u面□口

所以面口□“面

所以o点在正方体表面上运动所形成的轨迹为三角形□

因为正方体口一口、口15a的棱长为2,所以£70=□□[=V22+12=V5,

所以三角形&口ZJ的周长为=V2+V5+V5=V2+2V5.

故选：B

【变式3-2】3.（2023•广西南宁・统考一模）如图，已知正方体-口1口、&&的棱长为2,口、为

别是棱口、a的中点，点％底面四边形口口口。内（包括边界）的一动点，若直线a□与平面□□口

无公共点，则点。在四边形口口口。内运动所形成轨迹的长度为.

___________f.

【答案】V5

【分析】利用直线与平面没有交点，转化为寻找过直线aa且与平面ooo平行的平面oao,平面

oqa与底面口£7。迎交线即为所求，再求出线段长就可得到结果.

【详解】取Z7O的中点。,趣妾口口,口1口,口□、,如图所示：

a。分别是棱、口、a的中点，所以。。II,

妨为□□U平面□□口口□、C平面OOZ7,所以。&||平面£700.

因为£74||□口,=□□,

所以四边形为平行四边形，所以。。II

年为口口匚平面仁平面ODD,所以aqii平面

因为n=d,所以平面。a。||平面

因为点印底面四边形。内（包括边界）的一动点，直线口、口与平■面□□卬讼共氤,

所以木轨迹为线段口口,则=V22+12=V5.

故答案为：V5.

【变式3-2]4.（2023春•江苏南京・高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考阶段练习）如图，在矩形

□□□仔,口口=盘口口=4,口，口，口,啰别为£70,口□，□口,O色中点，□□与口皱_

于点口,现将△□口□,△□□□,△□□□,△□□峰跆金口口£7。巴这个雌折成一

个空间图形，使。与a重合，。与。重合，重合后的点分别记为口，口,口为的中点，则多面体

0。的体积为；若点。是该多面体表面上的动点，满足。。10OB寸，点。0勺轨迹长度为

【答案】2V22+2V2

【分析】根据给定的几何体，证明平面OOOO,求出四棱锥。-蜜勺体积即可；证明点O所

在平面平行于平面。口o,作出过点a与平面行的几何体的截面，求出其周长作答.

【详解】在接口口,口口,有口口工口□.而□口=□口=2,生□济彘,则有OO_L□□,

□□c□□二£7,则£7£7_1_平面Z7OO,同理Z7Z71平面Z7OZ7,又平面£70。与平面Z7Z7二有公共点£7,

于是点a口,口,ZZ7共面，而口仔+=8=□仃,即有。0_L□口，口□=；□□=品=□□=

因为ZZ7ZZ7J.口□,£7£71口口,口口门口□=口，口□u平面□□□,则ZZ7O,平面£70。，

又OOu平面OZ7/Z7,即有£701口口,贝(JN£7Z7O=z£70/7=45°,同理N£7£7Z7=45°,

即4口□□=4口口口，从而口口〃口口，即四边形□□□与平行四边形，口□”□□,□□=□口=2,

等腰梯形ODD。中,高口口=。次in45°=1,其面积0□皿==巨券=3,

显然ZZ7ZZ71平面0/Z7/Z7ZZ7所以多面体ZZ7ZZ7ZZ70口体积ZZ7=2□□.□□口□=2口口口口,□□=2x

x3xV2=2V2；

因为口□，平面□□□,同理可得口口，平面□□□,又口口,则口□1平面□口口,

依题意，动点，所在平面与口。垂直，则该平面与平面口。。?行，而此平面过点。，

令这个平面与几何体棱的交点依次为a,aaa口，区

又。为口色勺中点,则点口,口,a,。为所在棱的中点，即点z□的轨迹为五边形0a口口口,

长度为：+d£7+DD+Z7Z7+DU=□□+□□+DD+UD)=1(2+V2+2V2+

V2+2)=2+2V2.

故答案为：2V2;2+2V2

【点睛】思路点睛：涉及立体图形中的轨迹问题，若动点在某个平面内，利用给定条件，借助线面、面面

平行、垂直等性质，确定动点与所在平面内的定点或定直线关系，结合有关平面轨迹定义判断求解.

【变式3-2]5.（2023•全国•高一专题练习）在棱长为2的正方悻□□□□-□向，□口心

别为口□,□口,&&的中点，点。在底面口。口。内，若直线与平面。OO没有公共点，则线段&口

长的最小值是________.P的轨迹长度为.

【答案】V62V2

【分析】作出辅助线彳导到平面Z7O&II平面ODZ7,从而得到P的轨迹和轨迹长度，以及当4。1口口，

P为AC中点时，线段4张最小，求出最小值.

【详解】连接0,0.AC,则因为aa分别为oa&&的中点，所以口□=口、□,

因为。OilD,所以四边形0/7。&是平行四边形，所以口aII□□,

因为口口仁平面口口□,仁平面□□□,所以口aII平面。。口，

又因为a2分别为口中中点，所以。。是三角形ABC的中位线，所以aon□口,

因为口口匚平面□□□,OOC平面£700,所以Z7Z7II平面£7/70,

因为n□□=口,u平面£7Z74,ZZ7£7u平面£7£7a,所以平面0Z74II平面ODO,

点P在线段AC上时,能够满足直线口。与平面。Z7O殳有公共点，

点P的轨迹是线段AC,长度为J22+甘=2近，且当口匚七时,线段4张度最小，

此时由三线合一得：P为AC中点，因为□□、=□□=2短，口口=垃,

所以&。=^/8^2=V6,线段口张的最小值为

故答案为：遍，2夜

【变式3-2]6.（2019春福建泉州•高一福建省晋江市养正中学校联考期末）如图，各棱长均为辛正三

■□□□一口口通，口、。分别为线段010、上的动点，目□□北平面□□□】□「□，口

点且九迹长度为百,则正三棱柱ooo-daa的体积为（）

A.V3B.|V3C.3D.2V3

【答案】D

【分析】设□□不□□节的中氤为分\为口，口，口，判断出口口中点a的轨迹是等边三角形勺高,

由此计算出正三棱柱的边长，进而计算出正三棱柱的体积.

【详解】设。的中点分别为aao,连接□□，口口，口1口.由于口口“平面

□□□、口、‘所以当□[口=□□=o时，口。中点。为平面。oaa的中心，即。1。的中

点（设为a点1处当口、口=口口=遮阖,此时05勺中点a为。a的中点.所以a点的轨迹是三角形

go口高z?a由于三角形ooa是等边三角形而口口;风，所以。=2.故正三棱柱oo。-&□、&

的体积为?X22x2=2V3.

故选：D

【点睛】本小题主要考查线面平行的有关性质，考查棱柱的体积计算，考查空间想象能力，考查分析与解

决问题的能力，属于中档题.

【变式3-2]7.（2022・高一课时练习）如图,直四棱柱口。。口-口、口1口、口1,底面。口口。是边长

为6的正方形，U,Z7分别为线段O4,□]£7上的动点，若直线OA与平面&没有公共点或有无

数个公共点，点。为0中]中点，则。点的轨迹长度为.

【答案】3V5

【分析】口印平面□]□□口、或口口匚平面口、口,过点口作口口11口口1交□□于口,过点£7作

□□H□□、交口方口,彘^J^面口□□堂*媛在口□上,设为。，2为£7。中点，口口=号为定

值，。的轨迹为△□□61□□上的中线，得到答案.

【详解】超妾口□,直线oa与平面没有公共点或有无数个公共点，

故口。/平面口、□□□]或口□u平面口、□□□、,

过点、口花口口1口口灰口方口,过点乍ZZO/ZZ74交。万。,

所以*面□□□口呼面□]□□□],

点O在平面的投影在。。上，设为£7,孕。。中点,

设□□=□□□、,根据相似得到£70=□□□,=□□□,口□=（1-口口口、,

故塔四=写为定值，木轨迹为4口£7。边£7。上的中线，

故中点勺轨迹的长度等于△边上的中线长，该中线长为，6?+3?=3V5.

故答案为：3V5.

【点睛】本题考查了空间中的轨迹问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

♦类型3求轨迹面积

【例题3-3]（2022春・广东珠海•高一珠海市斗门区第一中学校考期中）在边长为2的正方体。£7£7。-

□1,点M是该正方体表面及其内部的一动点，且£7。//平面Z74。，则动点M的轨迹所形

成区域的面积是.

【答案】2V3

【分析】由题意，求出作出过。的平面与平面。a。平行，该平面即为动点M的轨迹所形成区域，求出该

区域的面积即可.

【详解】如图，边长为2的旺方棒□□□□-口、口、&&中，

动点M满足□□佯面D.

由面面平行的性质可得

当。a始终在一个与平面。&分行的面内，即满足题意,

过a乍与平面。口。平行的平面，

连接口I1口】口11平面平面ZZ7£7i口t

所以=；x2V2xyx2V2=2V3.

故答案为：2V3

【变式3-3】1.（2023•全国•高一专题练习）正三棱柱。£70-4&&的底面边长是4